文档内容
2015 年重庆市初中毕业暨高中招生考试
数学试题（含答案全解全析）
( b 4ac-b2 ) b
参考公式:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为 - , ,对称轴为x=- .
2a 4a 2a
第Ⅰ卷(选择题,共48分)
一、选择题:(本大题共12个小题,每小题4分,共48分)在每个小题的下面,都给出了代号为
A、B、C、D的四个答案,其中只有一个是正确的.
1.在-4,0,-1,3这四个数中,最大的数是( )
A.-4 B.0 C.-1 D.3
2.下列图形是轴对称图形的是( )
3.化简√12的结果是( )
A.4√3 B.2√3 C.3√2 D.2√6
4.计算(a2b)3的结果是( )
A.a6b3 B.a2b3 C.a5b3 D.a6b
5.下列调查中,最适合用普查方式的是( )
A.调查一批电视机的使用寿命情况
B.调查某中学九年级一班学生的视力情况
C.调查重庆市初中学生每天锻炼所用的时间情况
D.调查重庆市初中学生利用网络媒体自主学习的情况
6.如图,直线AB∥CD,直线EF分别与直线AB,CD相交于点G,H.若∠1=135°,则∠2的度数为(
)
A.65° B.55° C.45° D.35°
7.在某校九年级二班组织的跳绳比赛中,第一小组五位同学跳绳的个数分别为
198,230,220,216,209,则这五个数据的中位数为( )
A.220 B.218 C.216 D.209
8.一元二次方程x2-2x=0的根是( )
A.x =0,x=-2 B.x =1,x=2 C.x =1,x=-2 D.x =0,x=2
1 2 1 2 1 2 1 2
9.如图,AB是☉O的直径,点C在☉O上,AE是☉O的切线,A为切点,连结BC并延长交AE于
点D.若∠AOC=80°,则∠ADB的度数为( )A.40° B.50° C.60° D.20°
10.今年“五一”节,小明外出爬山,他从山脚爬到山顶的过程中,中途休息了一段时间.设他从
山脚出发后所用时间为t(分钟),所走的路程为s(米),s与t之间的函数关系如图所示.下列说法
错误
的是( )
··
A.小明中途休息用了20分钟
B.小明休息前爬山的平均速度为每分钟70米
C.小明在上述过程中所走的路程为6 600米
D.小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度
11.下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的,其中第①个图形中一共有6个小
圆圈,第②个图形中一共有9个小圆圈,第③个图形中一共有12个小圆圈,……,按此规律排列,
则第⑦个图形中小圆圈的个数为( )
A.21 B.24 C.27 D.30
12.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD在第一象限内,边BC与x轴平行,A,B两点的纵坐
3
标分别为3,1,反比例函数y= 的图象经过A,B两点,则菱形ABCD的面积为( )
x
A.2 B.4 C.2√2 D.4√2
第Ⅱ卷(非选择题,共102分)
二、填空题:(本大题6个小题,每小题4分,共24分)
13.我国“南仓”级远洋综合补给舰满载排水量为37 000吨,把数37 000用科学记数法表示
为 .
14.计算:2 0150-|2|= .
15.已知△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的相似比为4∶1,则△ABC与△DEF对应边上的高之比为
.
16.如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AB=4√2.以A为圆心,AC长为半径作弧,交AB于点D,则图中阴影部分的面积是 .(结果保留π)
{2x+3<4,
17.从-3,-2,-1,0,4这五个数中随机抽取一个数记为a,a的值既是不等式组
3x-1>-11
的解,
1
又在函数y= 的自变量取值范围内的概率是 .
2x2+2x
18.如图,在矩形ABCD中,AB=4√6,AD=10,连结BD,∠DBC的角平分线BE交DC于点E,现
把△BCE绕点B逆时针旋转,记旋转后的△BCE为△BC'E'.当射线BE'和射线BC'都与线段AD
相交时,设交点分别F,G.若△BFD为等腰三角形,则线段DG长为 .
三、解答题:(本大题2个小题,每小题7分,共14分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或
推理步骤,画出必要的图形(包括作辅助线).
{y=2x-4, ①
19.解方程组
3x+ y=1. ②
20.如图,在△ABD和△FEC中,点B,C,D,E在同一直线上,且AB=FE,BC=DE,∠B=∠E.
求证:∠ADB=∠FCE.四、解答题:(本大题4个小题,每小题10分,共40分)解答时每小题必须给出必要的演算过程
或推理步骤,画出必要的图形(包括作辅助线).
21.计算:
(1)y(2x-y)+(x+y)2;(2)( 8 )÷y2-6 y+9.
y-1-
y+1 y2+ y
22.为贯彻政府报告中“全民创新,万众创业”的精神,某镇对辖区内所有小微企业按年利润
w(万元)的多少分为以下四个类型:A类(w<10),B类(10≤w<20),C类(20≤w<30),D类(w≥30),该
镇政府对辖区内所有的小微企业的相关信息进行统计后,绘制成以下条形统计图和扇形统计
图,请你结合图中信息解答下列问题:(1)该镇本次统计的小微企业总个数是 ,扇形统计图中B类所对应扇形圆心角的度数
为 度,请补全条形统计图;
(2)为进一步解决小微企业在发展中的问题,该镇政府准备召开一次座谈会,每个企业派一名
代表参会.计划从D类企业的4个参会代表中随机抽取2个发言,D类企业的4个参会代表中
有2个来自高新区,另2个来自开发区.请用列表或画树状图的方法求出所抽取的2个发言代
表都来自高新区的概率.
23.如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字,与从个位到最高
位依次排出的一串数字完全相同,那么我们把这样的自然数称为“和谐数”.例如自然数12
321,从最高位到个位依次排出的一串数字是:1,2,3,2,1,从个位到最高位依次排出的一串数字
仍是:1,2,3,2,1,因此12 321是一个“和谐数”.再如22,545,3 883,345 543,…,都是“和谐数”.
(1)请你直接写出3个四位“和谐数”;请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除,并
说明理由;
(2)已知一个能被11整除的三位“和谐数”,设其个位上的数字为x(1≤x≤4,x为自然数),十位
上的数字为y,求y与x的函数关系式.24.某水库大坝的横截面是如图所示的四边形 ABCD,其中AB∥CD.大坝顶上有一瞭望台
PC,PC正前方有两艘渔船M,N,观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M的俯角α为31°,渔船
N的俯角β为45°.已知MN所在直线与PC所在直线垂直,垂足为E,且PE长为30米.
(1)求两渔船M,N之间的距离(结果精确到1米);
(2)已知坝高24米,坝长100米,背水坡AD的坡度i=1∶0.25.为提高大坝防洪能力,请施工队将
大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固,坝底BA加宽后变为BH,加固后背水坡DH的坡度
i=1∶1.75,施工队施工10天后,为尽快完成加固任务,施工队增加了机械设备,工作效率提高到
原来的2倍,结果比原计划提前20天完成加固任务.施工队原计划平均每天填筑土石方多少
立方米?
(参考数据:tan 31°≈0.60,sin 31°≈0.52)五、解答题:(本大题2个小题,每小题12分,共24分)解答时每小题必须给出必要的演算过程
或推理步骤,画出必要的图形(包括作辅助线).
25.如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°.点E是∠BAC角平分线上一点.过点E作AE的
垂线,过点A作AB的垂线,两垂线交于点D,连结DB,点F是BD的中点.DH⊥AC,垂足为H,连
结EF,HF.
(1)如图1,若点H是AC的中点,AC=2√3,求AB,BD的长;
(2)如图1,求证:HF=EF;
(3)如图2,连结CF,CE.猜想:△CEF是否是等边三角形?若是,请证明;若不是,请说明理由.
图1
图2√3
26.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=- x2+√3x+3√3交x轴于A,B两点(点A在点B的
4
左侧),交y轴于点W,顶点为C,抛物线的对称轴与x轴的交点为D.
(1)求直线BC的解析式;
(2)点E(m,0),F(m+2,0)为x轴上两点,其中20>-1>-4,所以最大的数是3,故选D.
2.A A选项是轴对称图形,B、C、D选项都不是轴对称图形,故选A.
3.B √12=√4×3=2√3,故选B.
4.A (a2b)3=(a2)3·b3=a6b3,故选A.
5.B A、C、D选项适合抽样调查,B选项适合普查,故选B.
6.C 因为AB∥CD,所以∠2=∠BGE,因为∠BGE=180°-∠1=45°,所以∠2=45°,故选C.
7.C 把五个数据从小到大排列为198,209,216,220,230,则中位数是216,故选C.
8.D x2-2x=0,x(x-2)=0,解得x=0,x=2,故选D.
1 2
1
9.B ∵AE是☉O的切线,∴∠BAE=90°,∵∠B= ∠AOC=40°,∴∠ADB=90°-∠B=50°,故选B.
2
2 800
10.C 从题图可看出A选项正确;小明休息前爬山的平均速度为 =70米/分钟,休息后
40
3 800-2 800
爬山的平均速度为 =25米/分钟,所以小明休息前爬山的平均速度大于休息
100-60
后爬山的平均速度,B、D选项正确;从题图看出小明所走的总路程为3 800米,所以C选项错
误,故选C.
11.B 第①个图形中有2×3=6个小圆圈;第②个图形中有3×3=9个小圆圈;第③个图形中有
3×4=12个小圆圈;……;第⑦个图形中有3×8=24个小圆圈,故选B.
12.D 由题意可得A(1,3),B(3,1),底边BC=AB= =2 ,菱形BC边上的高
√(3-1)2+(1-3)2 √2
为3-1=2,所以菱形ABCD的面积是4√2,故选D.
评析 本题重点考查反比例函数的图象与性质,平面直角坐标系内线段长度的计算方法,试题
新颖别致,属于中等难度题.
二、填空题
13.答案 3.7×104
解析 37 000=3.7×104.
14.答案 -1
解析 2 0150-|2|=1-2=-1.
15.答案 4∶1
解析 两个相似三角形对应边上的高之比等于相似比,所以答案是4∶1.
16.答案 8-2π
1 45π·42
解析 在Rt△ABC中,BC=AC=AB·cos 45°=4,所以阴影部分的面积为 ×4×4- =8-
2 360
2π.
2
17.答案
5
{ 2x+3<4, 10 1 1
解析 解不等式组 得- -11, 3 2 2x2+2x
x≠0且x≠-1②,从-3,-2,-1,0,4这五个数中随机抽取一个数,共有5种可能,其中同时满足①②的
2
有-3,-2,共2种可能,所以所求的概率是 .
598
18.答案
17
解析 过点 F 作 FH∥BD 交 BG 的延长线于点 H,在矩形 ABCD 中,BD=
√(4√6)2+102
1 1
=14,∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC,∵BE平分∠DBC,∴∠FBG=∠EBC= ∠DBC,∴∠FBG= ∠FDB,
2 2
1
由 题 可 得 BF=FD,∴∠FBD=∠FDB,∴∠FBG=
2
∠FBD,∴∠FBG=∠GBD,∵FH∥BD,∴∠H=∠GBD,∴∠H=∠FBG,∴FB=FH=FD, 设 FD=x(x>0),在
49 49
Rt△ABF中,由勾股定理得BF2=AF2+AB2,即x2=(10-x)2+(4√6)2,解得x= ,∴FB=FH=FD=
5 5
49 49
FH FG - y 98 98
.∵FH∥BD,∴△FHG∽△DBG,∴ = ,设GD=y(y>0),∴ 5 = 5 ,解得y= ,∴GD= .
BD GD 17 17
14 y
评析 本题重点考查勾股定理,矩形的性质,相似三角形的性质与判定,方程思想等,综合性较
强,属于难题.
三、解答题
19.解析 将①代入②,得3x+2x-4=1,(2分)
解得x=1.(4分)
将x=1代入①,得y=-2.(6分)
{ x=1,
所以原方程组的解是 (7分)
y=-2.
20.证明 ∵BC=DE,∴BC+CD=DE+CD,即DB=CE.(3分)
又∵AB=FE,∠B=∠E,∴△ABD≌△FEC.(6分)
∴∠ADB=∠FCE.(7分)
四、解答题
21.解析 (1)原式=2xy-y2+x2+2xy+y2(3分)
=x2+4xy.(5分)
(2)原式=[(y+1)(y-1) 8 ]÷(y-3)2 (8分)
-
y+1 y+1 y(y+1)
(y+3)(y-3) y(y+1)
= · (9分)
y+1 (y-3)2y2+3 y
= .(10分)
y-3
22.解析 (1)25;72.补全条形统计图如下:
某镇各类型小微企业个数条形统计图
(6分)
(2)记来自高新区的2个代表为A,A,来自开发区的2个代表为B,B,画树状图如下:
1 2 1 2
(8分)
或列表如下:
第一
个 A 1 A 2 B 1 B 2
第二个
A (A,A) (B,A) (B,A)
1 2 1 1 1 2 1
A (A,A) (B,A) (B,A)
2 1 2 1 2 2 2
B (A,B) (A,B) (B,B)
1 1 1 2 1 2 1
B (A,B) (A,B) (B,B)
2 1 2 2 2 1 2
(8分)
由树状图或列表可知,共有12种等可能情况,其中2个发言代表都来自高新区的有2种.所以,2个发言代表都来自高新区的
2 1
概率P= = .(10分)
12 6
23.解析 (1)写出3个满足条件的数即可.
(千位上的数字与个位上的数字相同,百位上的数字与十位上的数字相同)
猜想:任意一个四位“和谐数”能被11整除.
设一个四位“和谐数”个位上的数字为a(1≤a≤9且a为自然数),十位上的数字为b(0≤b≤9且b
为自然数),则这个四位“和谐数”可表示为1 000a+100b+10b+a.
∵1 000a+100b+10b+a=1 001a+110b=11×91a+11×10b=11(91a+10b),
∴1 000a+100b+10b+a能被11整除,
即任意一个四位“和谐数”能被11整除.(5分)
(2)∵这个三位“和谐数”的个位上的数字为x,十位上的数字为y,∴这个三位“和谐数”可表示为100x+10y+x.(6分)
∵100x+10y+x=99x+11y+2x-y=11(9x+y)+(2x-y),
又这个三位“和谐数”能被11整除,且x,y是自然数,
∴2x-y能被11整除.(8分)
∵1≤x≤4,0≤y≤9,∴2x-y=0.
∴y与x的函数关系式为y=2x(1≤x≤4且x为自然数).(10分)
24.解析 (1)由题意得,∠E=90°,∠PME=∠α=31°,∠PNE=∠β=45°,PE=30米.
在Rt△PEN中,PE=NE=30(米).(2分)
PE
在Rt△PEM中,tan 31°= ,
ME
30
∴ME≈ =50(米).(4分)
0.60
∴MN=ME-NE=50-30=20(米).
答:两渔船M,N之间的距离约为20米.(5分)
(2)过点D作DG⊥AB于G,坝高DG=24米.
∵背水坡AD的坡度i=1∶0.25,∴DG∶AG=1∶0.25.
∴AG=6(米).
∵加固后背水坡DH的坡度i=1∶1.75,∴DG∶GH=1∶1.75,
∴GH=42(米).
∴AH=GH-GA=42-6=36(米).(6分)
1 1
∴S = AH·DG= ×36×24=432(平方米).
△ADH
2 2
∴需要填筑土石方432×100=43 200(立方米).(7分)
设施工队原计划平均每天填筑土石方x立方米,
43 200-10x 43 200
根据题意,得10+ = -20.(9分)
2x x
解方程,得x=864.经检验,x=864是原方程的根且符合题意.
答:施工队原计划平均每天填筑土石方864立方米.(10分)
五、解答题
25.解析 (1)∵点H是AC的中点,AC=2√3,
1
∴AH= AC=√3.(1分)
2
∵∠ACB=90°,∠BAC=60°,∴∠ABC=30°,∴AB=2AC=4√3.(2分)
∵DA⊥AB,DH⊥AC,∴∠DAB=∠DHA=90°.
∴∠DAH=30°,∴AD=2.(3分)
在Rt△ADB中,∵∠DAB=90°,∴BD2=AD2+AB2.∴BD= =2 .(4分)
√22+(4√3)2 √13
(2)证明:连结AF,如图.
∵F是BD的中点,∠DAB=90°,∴AF=DF,∴∠FDA=∠FAD.(5分)
∵DE⊥AE,∴∠DEA=90°.
∵∠DHA=90°,∠DAH=30°,
1
∴DH= AD.
2
1
∵AE平分∠BAC,∴∠CAE= ∠BAC=30°.
2
∴∠DAE=60°,∴∠ADE=30°.
1
∴AE= AD,∴AE=DH.(6分)
2
∵∠FDA=∠FAD,∠HDA=∠EAD=60°,
∴∠FDA-∠HDA=∠FAD-∠EAD.
∴∠FDH=∠FAE.(7分)
∴△FDH≌△FAE(SAS).∴FH=FE.(8分)
(3)△CEF是等边三角形.(9分)
理由如下:取AB的中点G,连结FG,CG.如图.
1
∵F是BD的中点,∴FG∥DA,FG= DA.
2
∴∠FGA=180°-∠DAG=90°,
1
又∵AE= AD,∴AE=FG.
2
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
点G为AB的中点,∴CG=AG.
又∵∠CAB=60°,∴△GAC为等边三角形.(10分)
∴AC=CG,∠ACG=∠AGC=60°.
∴∠FGC=30°,∴∠FGC=∠EAC.
∴△FGC≌△EAC(SAS).(11分)
∴CF=CE,∠ACE=∠GCF.
∵∠ECF=∠ECG+∠GCF=∠ECG+∠ACE=∠ACG=60°.
∴△CEF是等边三角形.(12分)√3
26.解析 (1)∵- x2+√3x+3√3=0的解为x=-2,x=6,
1 2
4
√3
∴抛物线y=- x2+√3x+3√3与x轴交于点A(-2,0),B(6,0).(1分)
4
√3 √3
∵y=- x2+√3x+3√3=- (x-2)2+4√3,∴顶点C(2,4√3).(2分)
4 4
设直线 BC 的解析式为 y=kx+b(k≠0),将点(6,0),(2,4 )代入得,{ 6k+b=0, 解得
√3
2k+b=4√3.
{k=-√3,
b=6√3.
∴直线BC的解析式为y=-√3x+6√3.(4分)
(2)由已知得E'(
m,-
√3
m2+√3m+3√3
),
4
M(m,-√3m+6√3),
F'(
m+2,-
√3
(m+2)2+√3(m+2)+3√3
),
4
N(m+2,-√3(m+2)+6√3).
√3 √3
ME'=- m2+2√3m-3√3,NF'=- m2+√3m.(5分)
4 4
√3 √3 √3 3√3
ME'+NF'=- m2+2√3m-3√3- m2+√3m=- (m-3)2+ (22.
3 3
∴重叠部分为如图①所示的等边三角形Q'H I,
1 1
图①
s=1IH·Q'K =√3( 1) 2 =√3×(17-2√31 1) 2 =131√3-20√93.
1 1 1 t+ +
2 3 2 3 6 2 27②当t=17+2√31时,Q'(-4-√31 ),P'(5-√31 ),
2 ,√3 ,0
6 3 3
-4-√31 5-√31
∵ <-2,-2< <0,
3 3
∴重叠部分为如图②所示的直角三角形HIP',
2 2
图②
∴s=1HI·IP'=3√3(13 ) 2 =3√3(13 17+2√31) 2 =76√3-11√93.
2 2 2 -t -
2 8 2 8 2 6 12
131√3-20√93
综上,当点 Q'到 x 轴的距离与点 Q'到直线 AW 的距离相等时,s= 或 s=
27
76√3-11√93
.(12分)
12
