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2016 年北京市高级中等学校招生考试
数学试题（含答案全解全析）
(满分:120分 时间:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共30分)
一、选择题(本题共30分,每小题3分)
只有
第1~10题均有四个选项,符合题意的选项 一个.
··
1.如图所示,用量角器度量∠AOB,可以读出∠AOB的度数为( )
A.45° B.55° C.125° D.135°
2.神舟十号飞船是我国“神舟”系列飞船之一,每小时飞行约28 000 千米.将28 000用科学记数法
表示应为( )
A.2.8×103 B.28×103 C.2.8×104 D.0.28×105
3.实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,则正确的结论是( )
A.a>-2 B.a<-3 C.a>-b D.a<-b
4.内角和为540°的多边形是( )
5.下图是某个几何体的三视图,该几何体是( )
A.圆锥 B.三棱锥 C.圆柱 D.三棱柱
( b2 ) a
6.如果a+b=2,那么代数式 a- · 的值是( )
a a-b
1 1
A.2 B.-2 C. D.-
2 2
不是
7.甲骨文是我国的一种古代文字,是汉字的早期形式.下列甲骨文中, 轴对称图形的是( )
··8.在1~7月份, 某种水果的每斤进价与每斤售价的信息如图所示,则出售该种水果每斤利润最大的月
份是( )
A.3月份 B.4月份 C.5月份 D.6月份
9.如图,直线m⊥n.在某平面直角坐标系中,x轴∥m,y轴∥n,点A的坐标为(-4,2),点B的坐标为(2,-4),则
坐标原点为( )
A.O B.O C.O D.O
1 2 3 4
10.为了节约水资源,某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价,水价分档递增.计划使第一档、第
二档和第三档的水价分别覆盖全市居民家庭的80%,15%和5%.为合理确定各档之间的界限,随机抽
查了该市5万户居民家庭上一年的年用水量(单位:m3),绘制了统计图,如图所示.下面有四个推断:
①年用水量不超过180 m3的该市居民家庭按第一档水价交费
②年用水量超过240 m3的该市居民家庭按第三档水价交费
③该市居民家庭年用水量的中位数在150~180之间
④该市居民家庭年用水量的平均数不超过180
其中合理的是( )
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题(本题共18分,每小题3分)
2
11.如果分式 有意义,那么x的取值范围是 .
x-1
12.下图中的四边形均为矩形.根据图形,写出一个正确的等式: .
13.林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率,下表是这种幼树在移植过程中的一组统计
数据:
移植的棵 1 1 2 4 8 15 20 30
数n 000 500 500 000 000 000 000 000
成活的棵 1 2 3 7 13 17 26
865
数m 356 220 500 056 170 580 430
成活的频
0.86 0.90 0.88 0.87 0.88 0.87 0.87 0.88
m
率 5 4 8 5 2 8 9 1
n
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为 .
14.如图,小军、小珠之间的距离为2.7 m,他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m,1.5 m.已知小军、
小珠的身高分别为1.8 m,1.5 m,则路灯的高为 m.
15.百子回归图是由1,2,3,…,100无重复排列而成的正方形数表,它是一部数化的澳门简史,如:中央四
位“19 99 12 20”标示澳门回归日期,最后一行中间两位“23 50”标示澳门面积,……,同时它也是十
阶幻方,其每行10个数之和、每列10个数之和、每条对角线10个数之和均相等,则这个和为
.
16.下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.已知:直线l和l外一点P.
求作:直线l的垂线,使它经过点P.
作法:如图,
(1)在直线l上任取两点A,B;
(2)分别以点A,B为圆心,AP,BP长为半径作弧,两弧相交于点Q;
(3)作直线PQ.
所以直线PQ就是所求作的垂线.
请回答:该作图的依据是 .
三、解答题(本题共72分,第17~26题,每小题5分,第27题7分,第28题7分,第29题8分)
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17.计算:(3-π)0+4sin 45°-√8+|1-√3|.
{2x+5>3(x-1),
18.解不等式组:
x+7
4x> .
2
19.如图,四边形ABCD是平行四边形,AE平分∠BAD,交DC的延长线于点E.求证:DA=DE.
20.关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-1=0有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)写出一个满足条件的m的值,并求此时方程的根.21.如图,在平面直角坐标系xOy中,过点A(-6,0)的直线l 与直线l :y=2x相交于点B(m,4).
1 2
(1)求直线l 的表达式;
1
(2)过动点P(n,0)且垂直于x轴的直线与l ,l 的交点分别为C,D,当点C位于点D上方时,写出n的取值
1 2
范围.
22.调查作业:了解你所住小区家庭5月份用气量情况.
小天、小东和小芸三位同学住在同一小区,该小区共有300户家庭,每户家庭人数在2~5之间,这
300户家庭的平均人数约为3.4.
小天、小东和小芸各自对该小区家庭5月份用气量情况进行了抽样调查,将收集的数据进行了整
理,绘制的统计表分别为表1、表2和表3.
表1 抽样调查小区4户家庭5月份用气量统计表 (单位:m3)
家庭人数 2 3 4 5
用气量 14 19 21 26
表2 抽样调查小区15户家庭5月份用气量统计表 (单位:m3)
家庭人数 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4
用气量 101115131415151717181818182022
表3 抽样调查小区15户家庭5月份用气量统计表 (单位:m3)
家庭人数 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5
用气量 101213141717181920202226312831
根据以上材料回答问题:
小天、小东和小芸三人中,哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该小区家庭5月份用气量情
况,并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处.
23.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点,连接BM,MN,BN.
(1)求证:BM=MN;
(2)若∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,求BN的长.24.阅读下列材料:
北京市正围绕“政治中心、文化中心、国际交往中心、科技创新中心”的定位,深入实施“人
文北京、科技北京、绿色北京”的发展战略.“十二五”期间,北京市文化创意产业展现了良好的发
展基础和巨大的发展潜力,已经成为首都经济增长的支柱产业.
2011年,北京市文化创意产业实现增加值1 938.6亿元,占地区生产总值的12.1%.2012年,北京市
文化创意产业继续呈现平稳发展态势,实现产业增加值2 189.2亿元,占地区生产总值的12.3%,是第
三产业中仅次于金融业、批发和零售业的第三大支柱产业.2013年,北京市文化创意产业实现增加值
2 406.7亿元,比上年增长9.1%.文化创意产业作为北京市支柱产业已经排到了第二位.2014年,北京市
文化创意产业实现增加值2 794.3亿元,占地区生产总值的13.1%,创历史新高.2015年,北京市文化创
意产业发展总体平稳,实现产业增加值3 072.3亿元,占地区生产总值的13.4%.
(以上数据来源于北京市统计局)
根据以上材料解答下列问题:
(1)用折线图将2011—2015年北京市文化创意产业实现增加值表示出来,并在图中标明相应数据;
(2)根据绘制的折线图中提供的信息,预估2016年北京市文化创意产业实现增加值约 亿元,
你的预估理由是 .
25.如图,AB为☉O的直径,F为弦AC的中点,连接OF并延长交 ⏜ 于点D,过点D作☉O的切线,交BA
AC
的延长线于点E.
(1)求证:AC∥DE;
(2)连接CD,若OA=AE=a,写出求四边形ACDE面积的思路.
26.已知y是x的函数,自变量x的取值范围是x>0,下表是y与x 的几组对应值.
x … 1 2 3 5 7 9 …
y … 1.98 3.95 2.63 1.58 1.13 0.88 …
小腾根据学习函数的经验,利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律,对该函数的图象与性质
进行了探究.
下面是小腾的探究过程,请补充完整:
(1)如图,在平面直角坐标系xOy中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点,画出该函
数的图象;(2)根据画出的函数图象,写出:
①x=4对应的函数值y约为 ;
②该函数的一条性质: .
27.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2-2mx+m-1(m>0)与x轴的交点为A,B.
(1)求抛物线的顶点坐标;
(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.
①当m=1时,求线段AB上整点的个数;
②若抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有6个整点,结合函数的图
象,求m的取值范围.
28.在等边△ABC中,
(1)如图1,P,Q是BC边上两点,AP=AQ,∠BAP=20°,求∠AQB的度数;
(2)点P,Q是BC边上的两个动点(不与B,C重合),点P在点Q的左侧,且AP=AQ,点Q关于直线AC的
对称点为M,连接AM,PM.
①依题意将图2补全;
②小茹通过观察、实验,提出猜想:在点P,Q运动的过程中,始终有PA=PM.小茹把这个猜想与同学们
进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:
想法1:要证PA=PM,只需证△APM是等边三角形.
想法2:在BA上取一点N,使得BN=BP,要证PA=PM,只需证△ANP≌△PCM.
想法3:将线段BP绕点B顺时针旋转60°,得到线段BK,要证PA=PM,只需证PA=CK,PM=CK.
……
请你参考上面的想法,帮助小茹证明PA=PM.(一种方法即可)29.在平面直角坐标系xOy中,点P的坐标为(x ,y ),点Q的坐标为(x ,y ),且x ≠x ,y ≠y ,若P,Q为某个
1 1 2 2 1 2 1 2
矩形的两个顶点,且该矩形的边均与某条坐标轴垂直,则称该矩形为点P,Q的“相关矩形”.下图为点
P,Q的“相关矩形”的示意图.
(1)已知点A的坐标为(1,0),
①若点B的坐标为(3,1),求点A,B的“相关矩形”的面积;
②点C在直线x=3上.若点A,C的“相关矩形”为正方形,求直线AC的表达式;
(2)☉O的半径为√2,点M的坐标为(m,3).若在☉O上存在一点N,使得点M,N的“相关矩形”为正方
形,求m的取值范围.
答案全解全析：
一、选择题
1.B 由题图可知,∠AOB=55°.
2.C 28 000=2.8×104.故选C.
3.D 由数轴可知,-33(x-1),①
18.解析 原不等式组为
x+7
4x> .②
2
解不等式①,得x<8.
解不等式②,得x>1.
∴原不等式组的解集为10,
5
解得m>- .
4
(2)答案不唯一.如:m=1.
此时方程为x2+3x=0.
解得x =-3,x =0.
1 2
21.解析 (1)∵点B(m,4)在直线l :y=2x上,
2
∴m=2.
设直线l 的表达式为y=kx+b(k≠0).
1
∵直线l 经过点A(-6,0),B(2,4),
1{ 1
∴{-6k+b=0,解得 k= ,
2
2k+b=4,
b=3.
1
∴直线l 的表达式为y= x+3.
1
2
(2)n<2.
22.解析 小芸的抽样调查的数据能较好地反映出该小区家庭5月份用气量情况.
小天的抽样调查的不足之处:抽样调查所抽取的家庭数量过少.
小东的抽样调查的不足之处:抽样调查所抽取的15户家庭的平均人数明显小于3.4.
23.解析 (1)证明:在△ABC中,∠ABC=90°,M为AC的中点,
1
∴BM= AC.
2
∵N为CD的中点,
1
∴MN= AD.
2
∵AC=AD,∴BM=MN.
(2)∵∠BAD=60°,AC平分∠BAD,
∴∠BAC=∠CAD=30°.
由BM=AM,可得∠BMC=2∠BAC=60°.
由MN∥AD,可得∠CMN=∠CAD=30°.
∴∠BMN=∠BMC+∠CMN=90°.
∵AC=AD=2,
∴BM=MN=1.
在Rt△BMN中,BN= = .
√BM2+M N2 √2
24.解析 (1)
(2)预估理由需包含折线图中提供的信息,且支撑预估的数据.
评析 本题考查折线统计图,以及借助统计图预估数据,属中档题.
25.解析 (1)证明:连接OC,如图.∵OA=OC,F为AC的中点,
∴OD⊥AC.
∵DE是☉O的切线,∴OD⊥DE.
∴AC∥DE.
(2)求解思路如下:
①在Rt△ODE中,由OA=AE=OD=a,可得△ODE,△OFA为含30°角的直角三角形;
1
②由∠ACD= ∠AOD=30°,可知CD∥OE;
2
③由AC∥DE,可知四边形ACDE是平行四边形;
④由△ODE,△OFA为含有30°角的直角三角形,可求DE,DF的长,进而可求四边形ACDE的面积.
26.解析 本题答案不唯一.
画出的函数图象需符合表格中所反映出的y与x之间的变化规律,写出的函数值和函数性质需符合所
画出的函数图象.如:
(1)
(2)①x=4对应的函数值y约为1.98.
②当x>2时,y随x的增大而减小.
27.解析 (1)y=mx2-2mx+m-1=m(x-1)2-1.
∴抛物线的顶点坐标为(1,-1).
(2)①当m=1时,抛物线的表达式为y=x2-2x.
令y=0,解得x =0,x =2.
1 2
∴线段AB上整点的个数为3.
1
②当抛物线经过点(-1,0)时,m= .
4
1
当抛物线经过点(-2,0)时,m= .
9
1 1
结合函数的图象可知,m的取值范围为
