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2016年广州市初中毕业生学业考试
数学
26A
(满分:150分 时间:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共30分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.中国人很早开始使用负数,中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章,在世界数学史上首次正式引入负数,如果收入100元记作+100元,那么-80元表示( )
A.支出20元 B.收入20元 C.支出80元 D.收入80元
左视图
2.如图所示的几何体的 是( )
···
3.据统计,2015年广州地铁日均客运量约为6 590 000人次.将6 590 000用科学记数法表示为( )
A.6.59×104 B.659×104 C.65.9×105 D.6.59×106
4.某个密码锁的密码由三个数字组成,每个数字都是0~9这十个数字中的一个,只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同时,才能将锁打开,如果仅忘记了所设密码的最后那个数字,那么一次就能打开该密码锁的概率是( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
10 9 3 2
5.下列计算正确的是( )
x2 x 1
A. = (y≠0) B.xy2÷ =2xy(y≠0)
y2 y 2y
C.2√x+3√y=5√xy(x≥0,y≥0) D.(xy3)2=x2y6
6.一司机驾驶汽车从甲地去乙地,他以80千米/小时的平均速度用了4小时到达乙地,当他按原路匀速返回时,汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系是( )
320 20
A.v=320tB.v= C.v=20t D.v=
t t
7.如图,已知△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,DE是AC的垂直平分线,DE交AB于点D,连接CD,则CD=( )
A.3 B.4 C.4.8 D.5
8.若一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限,则下列不等式中总是成立的是( )
A.ab>0 B.a-b>0 C.a2+b>0D.a+b>0
1
9.对于二次函数y=- x2+x-4,下列说法正确的是( )
4
A.当x>0时,y随x的增大而增大 B.当x=2时,y有最大值-3
C.图象的顶点坐标为(-2,-7) D.图象与x轴有两个交点1
10.定义新运算:a★b=a(1-b),若a,b是方程x2-x+ m=0(m<1)的两根,则b★b-a★a的值为( )
4
A.0 B.1 C.2 D.与m有关
第Ⅱ卷(非选择题,共120分)
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分)
11.分解因式:2a2+ab= .
12.代数式√9-x有意义时,实数x的取值范围是 .
13.如图,△ABC中,AB=AC,BC=12 cm,点D在AC上,DC=4 cm.将线段DC沿CB方向平移7 cm得到线段EF,点E,F分别落在边AB,BC上,则△EBF的周长为 cm.
1 2
14.方程 = 的解是 .
2x x-3
⏜
15.如图,以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB是小圆的切线,点P为切点,AB=12√3,OP=6,则劣弧AB的长为 (结果保留π).
16.如图,正方形ABCD的边长为1,AC,BD是对角线.将△DCB绕点D顺时针旋转45°得到△DGH,HG交AB于点E,连接DE交AC于点F,连接FG,则下列结论:
①四边形AEGF是菱形;②△AED≌△GED;
③∠DFG=112.5°;④BC+FG=1.5.
其中正确的结论是 .(填写所有正确结论的序号)
三、解答题(本大题共9小题,满分102分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分9分)
{ 2x<5,
解不等式组: 并在数轴上表示解集.
3(x+2)≥x+4,
18.(本小题满分9分)
如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,若AB=AO,求∠ABD的度数.19.(本小题满分10分)
某校为了提升初中学生学习数学的兴趣,培养学生的创新精神,举办“玩转数学”比赛.现有甲、乙、丙三个小组进入决赛,评委从研究报告、小组展示、答辩三个方面为各小组打分,各项成绩均按百分制记录.甲、乙、丙三个小组各项得分如下表:
小组 研究报告 小组展示 答辩
甲 91 80 78
乙 81 74 85
丙 79 83 90
(1)计算各小组的平均成绩,并从高分到低分确定小组的排名顺序;
(2)如果按照研究报告占40%、小组展示占30%、答辩占30%,计算各小组的成绩,哪个小组的成绩最高.
26B
20.(本小题满分10分)
(a+b)2-4ab
已知A= (a,b≠0且a≠b).
ab(a-b)2
(1)化简A;
5
(2)若点P(a,b)在反比例函数y=- 的图象上,求A的值.
x21.(本小题满分12分)
如图,利用尺规,在△ABC的边AC上方作∠CAE=∠ACB,在射线AE上截取AD=BC,连接CD,并证明:CD∥AB.(尺规作图要求保留作图痕迹,不写作法)
22.(本小题满分12分)
如图,某无人机于空中A处探测到目标B,D,从无人机A上看目标B,D的俯角分别为30°,60°,此时无人机的飞行高度AC为60 m,随后无人机从A处继续水平飞行30√3 m到达A'处.
(1)求A,B之间的距离;
(2)求从无人机A'上看目标D的俯角的正切值.
23.(本小题满分12分)
(4 5)
,
如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=-x+3与x轴交于点C,与直线AD交于点A ,点D的坐标为(0,1).
3 3
(1)求直线AD的解析式;
(2)直线AD与x轴交于点B,若点E是直线AD上一动点(不与点B重合),当△BOD与△BCE相似时,求点E的坐标.24.(本小题满分14分)
已知抛物线y=mx2+(1-2m)x+1-3m与x轴相交于不同的两点A、B.
(1)求m的取值范围;
(2)证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P,并求出点P的坐标;
1
(3)当 0.
A.∵a<0,b>0,∴ab<0,∴A错;
B.∵a<0,b>0,∴a-b<0,∴B错;
C.∵a2>0,b>0,∴a2+b>0,∴C正确;
D.∵a<0,b>0,∴无法确定a+b的大小,∴D错.
9.B A.由题可知,该二次函数的图象开口向下,对称轴为x=2.因此,当x<2时,y随x的增大而增大,当x>2时,y随x的增大而减小.所以A错;
B.当x=2时,y有最大值-3.所以B正确;
C.该二次函数图象的顶点坐标为(2,-3),所以C错;
( 1)
D.Δ=12-4× - ×(-4)=-3<0,因此该二次函数图象与x轴没有交点,所以D错.
4
评析 本题考查二次函数的图象和性质,解决这类问题需要熟练掌握二次函数的知识.
1
10.A ∵a,b是方程x2-x+ m=0(m<1)的两根,∴a+b=1,由定义的新运算可得,b★b-a★a=b(1-b)-a(1-a)=b-b2-a+a2=a2-b2-(a-b)=(a-b)(a+b-1)=(a-b)(1-1)=0.
4
评析 对于定义的新运算必须抓住运算的本质特征,转化为熟悉的运算从而解决问题.本题通过定义新运算考查学生的转化能力.
二、填空题
11. 答案 a(2a+b)
解析 2a2+ab=a(2a+b).
12. 答案 x≤9
解析 二次根式有意义的条件是被开方数要大于或等于0,故9-x≥0,即x≤9.
评析 本题考查二次根式的意义.
13. 答案 13
解析 由题可得FC=7 cm,EF=DC=4 cm,EF∥DC,
∴∠EFB=∠DCF,
∵AB=AC,∴∠DCF=∠ABC,∴∠EFB=∠ABC,∴EB=EF=4 cm,
∵BC=12 cm,∴BF=BC-FC=5 cm,
∴△EBF的周长为EB+BF+EF=4+5+4=13 cm.
评析 本题考查了平移与等腰三角形的性质,理解平移中各线段的关系是解决这类问题的关键.14. 答案 x=-1
解析 原分式方程两边同时乘2x(x-3),得x-3=2×2x,
解得x=-1,
检验:当x=-1时,2x(x-3)≠0,∴x=-1是原分式方程的解.
评析 本题考查解分式方程,解分式方程的关键是去分母和检验.
15. 答案 8π
1 AP
解析 连接AO,由于弦AB为小圆的切线,点P为切点,故OP⊥AB,AP=BP= AB=6√3,在Rt△AOP中,tan∠AOP= =√3,OA=√AP2+OP2=12,
2 OP
120×π×12
∴∠AOP=60°,连接OB,则∠AOB=120°,∴l ⏜ = =8π.
AB 180
16. 答案 ①②③
解析 由题可知△DGH≌△DCB,∴DH=DB,∠DHG=∠DBC=45°,∠DGH=∠DCB=90°,DG=DC=AD,
又∵∠DAC=45°,
∴∠DAC=∠DHG,
∴AF∥EG.
在Rt△AED和Rt△GED中,AD=GD,ED=ED,
∴Rt△AED≌Rt△GED,∴∠ADE=∠GDE,故②正确;
在△ADF与△GDF中,AD=GD,∠ADF=∠GDF,FD=FD,
∴△ADF≌△GDF,∴AF=GF,∠DGF=∠DAF=45°,
又∵∠DBA=45°,∴FG∥AE,
∴四边形AEGF是平行四边形,
又∵AF=GF,∴平行四边形AEGF是菱形,故①正确;
1
∵∠GDF= ∠ADB=22.5°,∠DGF=45°,∴∠DFG=112.5°,故③正确;
2
∵FG=AE=HA=HD-AD=BD-AD=√2-1,∴BC+FG=1+√2-1=√2,故④不正确.
评析 正方形、菱形、等腰直角三角形是特殊的四边形和三角形.本题考查了平行四边形、三角形的知识,借助旋转把这些知识融合在一起,考查了学生把复杂的图形转化为简单的图形来解决问题的能力.
三、解答题
5
17. 解析 由2x<5得x< .
2
由3(x+2)≥x+4得3x+6≥x+4.
3x-x≥4-6.
2x≥-2,x≥-1.
5
∴这个不等式组的解集为-1≤x< .
2
这个不等式组的解集在数轴上表示如图所示:
评析 本题主要考查一元一次不等式组的解法及在数轴上表示其解集等基础知识,考查运算能力.
18. 解析 解法一:∵四边形ABCD是矩形,
1 1
∴AO= AC,BO= BD,AC=BD,
2 2
∴AO=BO.
又∵AB=AO,
∴AB=AO=BO,∴△ABO为等边三角形,
∴∠ABD=60°.
1
解法二:∵四边形ABCD是矩形,∴AO= AC,∠ABC=90°,
2
1
∵AB=AO,∴AB= AC,
2AB 1
在Rt△ABC中,cos∠BAC= = ,∴∠BAC=60°.
AC 2
∴△ABO为等边三角形,∴∠ABD=60°.
评析 本题主要考查矩形的性质、等边三角形的定义和性质,考查几何推理能力.本题也可以用三角函数求解.
91+80+78
19. 解析 (1)甲组的平均成绩为 =83(分),
3
81+74+85
乙组的平均成绩为 =80(分),
3
79+83+90
丙组的平均成绩为 =84(分),
3
∵84>83>80,
∴排名是:第一名是丙组,第二名是甲组,第三名是乙组.
(2)甲组的成绩为91×40%+80×30%+78×30%=83.8(分),
乙组的成绩为81×40%+74×30%+85×30%=80.1(分),
丙组的成绩为79×40%+83×30%+90×30%=83.5(分),
∵80.1<83.5<83.8,
∴甲组成绩最高.
a2+2ab+b2-4ab a2-2ab+b2 1
20. 解析 (1)解法一:A= = = .
ab(a-b)2 ab(a2-2ab+b2) ab
a2+2ab+b2-4ab a2-2ab+b2 (a-b)2 1
解法二:A= = = = .
ab(a-b)2 ab(a-b)2 ab(a-b)2 ab
5
(2)∵点P(a,b)在反比例函数y=- 的图象上,∴ab=-5,
x
1 1
∴A= =- .
ab 5
评析 本题主要考查分式的约分,完全平方公式,反比例函数图象上点的坐标特征等基础知识,考查运算能力.
21. 解析 如图为所求作的图形.
证法一:∵∠CAE=∠ACB,
∴AD∥BC,
又∵AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形,
∴CD∥AB.
证法二:∵∠ACB=∠CAE,CB=AD,AC=CA,
∴△ABC≌△CDA,
∴∠BAC=∠DCA,∴CD∥AB.
评析 本题主要考查尺规作图中作一个角等于已知角、作一条线段等于已知线段,平行线的判定与性质,平行四边形的判定与性质,全等三角形的判定与性质等基础知识,考查学生的动手能力和推理能力.
22. 解析 (1)解法一:利用直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半.
如图1,∵AA'∥BC,∴∠B=∠1=30°,
1
∴在Rt△ABC中,AC= AB=60 m,∴AB=120 m.
2图1
解法二:利用正弦的概念.
如图1,∵AA'∥BC,∴∠B=∠1=30°,
AC
∴在Rt△ABC中,sin B= ,
AB
60
∴sin 30°= ,
AB
1 60
即 = ,∴AB=120 m.
2 AB
解法三:利用余弦的概念.
如图1,∵∠BAC=90°-∠1=90°-30°=60°,
AC
∴在Rt△ABC中,cos∠BAC= ,
AB
60
∴cos 60°= ,
AB
1 60
即 = ,∴AB=120 m.
2 AB
(2)(分两步进行,第一步求DC的长,第二步求正切值)
第一步,求DC的长有以下两种解法,如图2,
解法一:∵∠DAC=90°-∠EAD=90°-60°=30°,
DC
∴在Rt△ADC中,tan∠DAC= ,
AC
DC
∴tan 30°= ,
60
√3 DC
即 = ,∴DC=20√3 m.
3 60
解法二:∵AA'∥BC,∴∠EAD=∠ADC=60°,
AC
在Rt△ADC中,tan∠ADC= ,
DC
60
∴tan 60°= ,
DC
60
即√3= ,∴DC=20√3 m.
DC
图2
第二步,求俯角的正切值有以下两种解法,
解法一:利用正切的概念,构造直角三角形.
如图2,连接A'D,过点A'作A'F⊥BC的延长线于点F.
(备注:过点D作AA'的垂线,解法一样)
∵AA'∥BC,AC⊥BC,∴A'F=AC=60 m,CF=AA'=30√3 m,∠2=∠3.
∴DF=DC+CF=20√3+30√3=50√3(m),
A'F 60 2√3
∴在Rt△A'DF中,tan∠3= = = ,
DF 50√3 5
2√3
∴tan∠2=tan∠3= .
5
解法二:利用相似三角形的性质.
如图3,连接A'D,交AC于点M,
图3
∵AA'∥BC,∴△AMA'∽△CMD,
AM AA' 30√3 3
∴ = = = ,
CM CD 20√3 2
3 3
∴AM= AC= ×60=36(m),
5 5
AM 36 2√3
∴在Rt△A'AM中,tan∠2= = = .
AA' 30√3 5
评析 本题主要考查解直角三角形中特殊角的三角函数值及正切的概念等基础知识,考查用锐角三角函数解决实际问题的能力.
{4 5 { 1
(4 5) k+b= , k= ,
23. 解析 (1)设直线AD的解析式为y=kx+b(k≠0),把点A , ,D(0,1)的坐标代入y=kx+b,得 3 3 解得 2
3 3
b=1. b=1,
1
∴直线AD的解析式为y= x+1.
2
(2)∵△BOD与△BCE相似,且△BOD是直角三角形,
∴△BCE也是直角三角形.
∵在△BCE中,∠EBC为锐角,
∴△BCE是直角三角形分两种情况:∠BCE=90°或∠BEC=90°.
①如图1,过点C作CE⊥x轴交直线BD于点E,此时△BOD∽△BCE,∠BOD=∠BCE=90°.
图1
将y=0代入y=-x+3得-x+3=0,x=3,∴C(3,0).
1 1 5 ( 5)
将x=3代入y= x+1,得y= ×3+1= ,∴E
3,
.
2 2 2 2
②如图2,过点C作CE⊥BD于点E,过点E作EH⊥x轴于H,图2
此时△BOD∽△BEC,∠BOD=∠BEC=90°,
1 1
把y=0代入y= x+1得 x+1=0,x=-2,
2 2
∴B(-2,0),OB=2.∵D(0,1),∴OD=1.
求点E的坐标有以下六种解法:
解法一:∵∠EBC+∠BEH=∠BEH+∠HEC=90°,
∴∠EBC=∠HEC,即∠DBO=∠HEC,
∴tan∠DBO=tan∠HEC,
OD CH OD CH
∵tan∠DBO= ,tan∠HEC= ,∴ = ,
OB EH OB EH
1
∵点E在直线y= x+1上,
2
( 1 )
∴设E
x, x+1
,则点H(x,0),
2
1
∵点C(3,0),∴CH=3-x,EH= x+1,
2
3-x
OD CH 1
∵ = ,∴ =1 ,解得x=2,经检验x=2是原方程的解,
OB EH 2 x+1
2
1 1
x+1= ×2+1=2,∴E(2,2).
2 2
解法二:如图2,OB=2,OD=1,BC=5,BD=√5.
∵△BOD∽△BEC,
OB EB
∴ = ,
BD BC
2 EB
∴ = ,
√5 5
∴EB=2√5,
∵OD∥HE,∴△BOD∽△BHE,
OD BD BO
∴ = = ,
HE BE BH
1 √5 2
∴ = = ,
HE 2√5 BH
∴HE=2,BH=4.
∵OB=2,∴OH=2,∴E(2,2).
(还可以用中位线求EH、BH的长,EB=2√5,BD=√5,点D为BE的中点)
解法三:∵∠EBC+∠BEH=∠BEH+∠HEC=90°,
∴∠EBC=∠HEC,
∵∠BHE=∠EHC=90°,
∴△BEH∽△ECH,EH CH
∴ = ,
BH EH
∴EH2=BH·CH,
( 1 )
设E
x, x+1
,则点H(x,0),
2
∵C(3,0),B(-2,0),
1
∴EH= x+1,BH=x+2,CH=3-x,
2
(1 ) 2
∴ x+1 =(x+2)(3-x),解得x=2,x=-2,
2 1 2
∵E在第一象限,∴x=-2不合题意,舍去.
2
1 1
当x=2时, x+1= ×2+1=2,∴E(2,2).
2 2
( 1 )
解法四:如图2,设E
x, x+1
,
2
则CE= √ (3-x)2+ (1 x+1 ) 2 ,EB= √ (x+2)2+ (1 x+1 ) 2 ,
2 2
OD EC
∵△BOD∽△BEC,∴ = ,
OB EB
√ (3-x)2+ (1 x+1 ) 2
1 2
∴ = ,
2 √ (x+2)2+ (1 x+1 ) 2
2
14
解得x=2,x= .
1 2 3
14 14
经检验x
1
=2,x
2
=
3
都是原方程的解,但是当x
2
=
3
时,△BEC不是直角三角形,
14
所以舍去x= .
2 3
1 1
当x=2时, x+1= ×2+1=2,∴E(2,2).
2 2
( 1 )
解法五:如图2,设E
x, x+1
,
2
1
∴EH= x+1,OH=x,
2
∴BH=x+2,HC=3-x,(1 ) 2
在Rt△BEH中,BE2=BH2+HE2=(x+2)2+ x+1 .
2
(1 ) 2
在Rt△EHC中,CE2=EH2+HC2= x+1 +(3-x)2,
2
在Rt△BEC中,BC2=BE2+EC2,
(1 ) 2
∴52=(x+2)2+2 x+1 +(3-x)2.
2
化简得x2=4.
∴x=2,x=-2(不符合题意,舍去),
1 2
∴E(2,2).
解法六:如图2,设直线CE的解析式为y=-2x+b,
把C(3,0)代入得-2×3+b=0,解得b=6,
∴直线CE的解析式为y=-2x+6,
{ 1
y= x+1, {x=2,
解方程组 2 得
y=2,
y=-2x+6,
∴E(2,2).
( 5)
综上所述,当△BOD与△BCE相似时,点E的坐标为E
3,
或(2,2).
2
评析 本小题主要考查用待定系数法求一次函数解析式,一次函数图象与坐标轴的交点,相似三角形的性质与判定,锐角三角函数的应用等基础知识,考查推理能力、计算能力、分类讨论思想、转化思想.
24. 解析 (1)∵二次函数图象与x轴有两个不同的交点,
∴Δ>0,且m≠0.
即(1-2m)2-4m(1-3m)>0,且m≠0.
∴16m2-8m+1>0,且m≠0.
∴(4m-1)2>0,且m≠0.
1
∴m≠ ,且m≠0.
4
(2)因为该抛物线一定经过定点,即与m的值无关,
所以y=mx2+(1-2m)x+1-3m
=mx2+x-2mx+1-3m
=(x2-2x-3)m+x+1.
则x2-2x-3=0,x=3,x=-1.
1 2
当x=3时,y=4,则P(3,4);
当x=-1时,y=0,则P(-1,0),此时点P在x轴上,不符合题意,舍去.
∴符合题意的点P的坐标为(3,4).
1 3
(3)当
