2016 年福州市初中毕业会考高级中等学校招生考试
数学试题（含答案全解全析）
(满分:150分 时间:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共36分)
一、选择题(共12小题,每题3分,满分36分;每小题只有一个正确选项)
1.下列实数中的无理数是( )
1
A.0.7 B. C.π D.-8
2
2.如图是3个相同的小正方体组合而成的几何体,它的俯视图是( )
3.如图,直线a,b被直线c所截,∠1与∠2的位置关系是( )
A.同位角 B.内错角 C.同旁内角 D.对顶角
4.下列算式中,结果等于a6的是( )
A.a4+a2 B.a2+a2+a2 C.a2·a3 D.a2·a2·a2
{x+1>0,
5.不等式组 的解集是( )
x-3>0
A.x>-1 B.x>3 C.-1<x<3 D.x<3
6.下列说法中,正确的是( )
A.不可能事件发生的概率为0
1
B.随机事件发生的概率为
2
C.概率很小的事件不可能发生
D.投掷一枚质地均匀的硬币100次,正面朝上的次数一定为50次
7.A,B是数轴上两点,线段AB上的点表示的数中,有互为相反数的是( )
8.平面直角坐标系中,已知▱ABCD的三个顶点坐标分别是A(m,n),B(2,-1),C(-m,-n),则点D的
坐标是( )
A.(-2,1) B.(-2,-1) C.(-1,-2) D.(-1,2)
9.如图,以O为圆心,1为半径的弧交坐标轴于A,B两点,P是 ⏜ 上一点(不与A,B重合),连接
AB
OP,设∠POB=α,则点P的坐标是( )A.(sin α,sin α) B.(cos α,cos α)
C.(cos α,sin α) D.(sin α,cos α)
10.下表是某校合唱团成员的年龄分布
年龄/岁 13 14 15 16
频数 5 15 x 10-x
对于不同的x,下列关于年龄的统计量不会发生改变的是( )
A.平均数,中位数 B.众数,中位数
C.平均数,方差 D.中位数,方差
11.已知点A(-1,m),B(1,m),C(2,m+1)在同一个函数图象上,这个函数图象可以是( )
12.下列选项中,能使关于x的一元二次方程ax2-4x+c=0一定有实数根的是( )
A.a>0 B.a=0 C.c>0 D.c=0
第Ⅱ卷(非选择题,共114分)
二、填空题(共6小题,每题4分,满分24分)
13.分解因式:x2-4= .
14.若二次根式√x-1在实数范围内有意义,则x的取值范围是 .
15.已知四个点的坐标分别是(-1,1),(2,2),(2 3),( 1),从中随机选取一个点,在反比例
, -5,-
3 2 5
1
函数y= 图象上的概率是 .
x
16.如图所示的两段弧中,位于上方的弧半径为r ,下方的弧半径为r ,则r r .(填
上 下 上 下
“>”“=”或“<”)
17.若x+y=10,xy=1,则x3y+xy3的值是 .
18.如图,6个形状、大小完全相同的菱形组成网格,菱形的顶点称为格点.已知菱形的一个角
(∠O)为60°,A,B,C都在格点上,则tan∠ABC的值是 .
三、解答题(共9小题,满分90分)
19.(7分)计算:|-1|-√3 8+(-2 016)0.(a+b)2
20.(7分)化简:a-b- .
a+b
21.(8分)一个平分角的仪器如图所示,其中AB=AD,BC=DC.
求证:∠BAC=∠DAC.
22.(8分)列方程(组)解应用题:
某班去看演出,甲种票每张24元,乙种票每张18元.如果35名学生购票恰好用去750元,甲乙
两种票各买了多少张?
23.(10分)福州市2011—2015年常住人口数统计如图所示.
根据图中提供的信息,回答下列问题:
(1)福州市常住人口数,2015年比2014年增加了 万人;
(2)与上一年相比,福州市常住人口数增加最多的年份是 ;
(3)预测2016年福州市常住人口数大约为多少万人?请用所学的统计知识说明理由.24.(12分)如图,正方形ABCD内接于☉O,M为 ⏜ 中点,连接BM,CM.
AD
(1)求证:BM=CM;
(2)当☉O的半径为2时,求 ⏜ 的长.
BM
√5-1
25.(12分)如图,在△ABC中,AB=AC=1,BC= ,在AC边上截取AD=BC,连接BD.
2
(1)通过计算,判断AD2与AC·CD的大小关系;
(2)求∠ABD的度数.
26.(13分)如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,M是边CD上一点,将△ADM沿直线AM对折,得
到△ANM.
(1)当AN平分∠MAB时,求DM的长;
(2)连接BN,当DM=1时,求△ABN的面积;
(3)当射线BN交线段CD于点F时,求DF的最大值.
27.(13分)已知,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点,顶点为A(h,k)(h≠0).(1)当h=1,k=2时,求抛物线的解析式;
(2)若抛物线y=tx2(t≠0)也经过A点,求a与t之间的关系式;
(3)当点A在抛物线y=x2-x上,且-2≤h<1时,求a的取值范围.
答案全解全析：
一、选择题
1
1.C 0.7为有限小数, 为分数,-8为整数,都属于有理数,π为无限不循环小数,属于无理数.故
2
选C.
2.C 根据俯视图的定义可知选C.
3.B ∠1与∠2是内错角.故选B.
4.D A.a4+a2≠a6;B.a2+a2+a2=3a2;
C.根据同底数幂的乘法法则,可得a2·a3=a5;D.根据同底数幂的乘法法则,可得a2·a2·a2=a6.故选D.
{x+1>0,①
5.B
x-3>0,②
解不等式①,得x>-1,解不等式②,得x>3,
∴x>3,故原不等式组的解集是x>3.故选B.
6.A A.不可能事件发生的概率为0,所以A选项正确;
B.随机事件发生的概率在0与1之间,所以B选项错误;
C.概率很小的事件不是不可能发生,而是发生的概率较小,所以C选项错误;
D.投掷一枚质地均匀的硬币100次,正面朝上的次数可能为50次,所以D选项错误.故选A.
7.B 表示互为相反数的点,必须要满足在数轴原点的左、右两侧,且到原点的距离相等.故选
B.
8.A ∵A(m,n),C(-m,-n),
∴点A和点C关于原点对称,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴点D和点B关于原点对称,
∵B(2,-1),
∴点D的坐标是(-2,1).
故选A.
9.C 过P作PQ⊥OB,交OB于点Q,
在Rt△OPQ中,OP=1,∠POQ=α,
PQ OQ
∴sin α= ,cos α= ,即PQ=sin α,OQ=cos α,
OP OP
∴点P的坐标为(cos α,sin α).故选C.
评析 熟练掌握锐角三角函数的定义是解本题的关键.
10.B 由题表可知,年龄为 15 岁与年龄为 16 岁的频数和为 x+10-x=10,则总人数为
5+15+10=30,
14+14
故该组数据的众数为14岁,中位数为 =14岁,
2
即对于不同的x,关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数,故选B.
11.C ∵点A(-1,m),B(1,m),
∴点A与B关于y轴对称,故A,B错误;
∵B(1,m),C(2,m+1),m+1>m,
∴C正确,D错误.故选C.
12.D 若一元二次方程ax2-4x+c=0有实数根,
则Δ=(-4)2-4ac=16-4ac≥0,且a≠0.
∴ac≤4,且a≠0.
A.若a>0,则当a=1,c=5时,ac=5>4,故此选项错误;
B.a=0不符合一元二次方程的定义,故此选项错误;C.若c>0,则当a=1,c=5时,ac=5>4,故此选项错误;
D.若c=0,则ac=0≤4,故此选项正确.故选D.
评析 本题主要考查一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系:(1)Δ>0 方程有两个不相等
的实数根;(2)Δ=0 方程有两个相等的实数根;(3)Δ<0 方程没有实数根.
⇔
二、填空题
⇔ ⇔
13.答案 (x+2)(x-2)
解析 x2-4=(x+2)(x-2).
14.答案 x≥1
解析 若二次根式√x-1在实数范围内有意义,则x-1≥0,解得x≥1.
1
15.答案
2
解析 ∵-1×1=-1,2×2=4,2×3=1,(-5)×( 1)=1,
-
3 2 5
∴点(2 3),( 1)在反比例函数y=1的图象上,
, -5,-
3 2 5 x
1 2 1
∴随机选取一点,在反比例函数y= 图象上的概率是 = .
x 4 2
16.答案 <
解析 如图.
易得r <r .
上 下
17.答案 98
解析 x3y+xy3=xy(x2+y2)=xy[(x+y)2-2xy],将x+y=10,xy=1代入,得原式=1×(102-2×1)=98.
√3
18.答案
2
解析 如图,连接 EA,EC,易知 E、C、B 三点共线.设小菱形的边长为 a,由题意得
∠AEF=30°,∠BEF=60°,AE=√3a,EB=2a,
∴∠AEB=90°,
AE √3a √3
∴tan∠ABC= = = .
BE 2a 2
三、解答题
19.解析 原式=1-2+1=0.
20.解析 原式=a-b-(a+b)=a-b-a-b=-2b.{AB=AD,
21.证明 在△ABC与△ADC中, BC=DC,
AC=AC,
∴△ABC≌△ADC(SSS).
∴∠BAC=∠DAC.
22.解析 设甲种票买了x张,则乙种票买了(35-x)张.
由题意,得24x+18(35-x)=750.
解得x=20.
∴35-x=15.
答:甲种票买了20张,乙种票买了15张.
23.解析 (1)7.
(2)2014.
(3)预测2016年福州市常住人口数大约为757万人.理由如下:
从统计图可以看出,福州市常住人口每年增加的数量的众数为7万人,因此预测2016年福州
市常住人口数大约为757万人.(答案不唯一,言之有理即可得分)
24.解析 (1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=CD,∴ ⏜ = ⏜ .
AB CD
∵M为 ⏜ 中点,∴ ⏜ = ⏜ ,∴ ⏜ = ⏜ ,∴BM=CM.
AD AM DM BM CM
(2)连接OM,OB,OC.
∵ ⏜ = ⏜ ,∴∠BOM=∠COM.
BM CM
∵正方形ABCD内接于☉O,
360°
∴∠BOC= =90°.
4
∴∠BOM=135°.
135×2×π 3
由弧长公式,得 ⏜ 的长l= = π.
BM
180 2
√5-1
25.解析 (1)∵AD=BC= ,
2
∴AD2=(√5-1) 2 =3-√5.
2 2
∵AC=1,
√5-1 3-√5
∴CD=1- = ,
2 2
∴AD2=AC·CD.
(2)∵AD2=AC·CD,AD=BC,BC CD
∴BC2=AC·CD,即 = .
AC BC
又∠C=∠C,
∴△ABC∽△BDC.
AB AC
∴ = .
BD BC
又AB=AC,
∴BD=BC=AD.
∴∠A=∠ABD,∠ABC=∠C=∠BDC.
设∠A=∠ABD=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,
∴∠ABC=∠C=∠BDC=2x,
∴∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°.
解得x=36°.
∴∠ABD=36°.
评析 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定
理的应用,证得△ABC∽△BDC是解题的关键.
26.解析 (1)由折叠可知△ANM≌△ADM,
∴∠MAN=∠DAM.
∵AN平分∠MAB,
∴∠MAN=∠NAB.
∴∠DAM=∠MAN=∠NAB,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠DAB=90°.
∴∠DAM=30°,
√3
∴DM=AD·tan∠DAM=3× =√3.
3
(2)如图,延长MN交AB的延长线于点Q.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥DC,
∴∠DMA=∠MAQ.
由折叠可知△ANM≌△ADM,
∴∠DMA=∠AMQ,AN=AD=3,MN=MD=1.
∴∠MAQ=∠AMQ,
∴MQ=AQ.
设NQ=x,则AQ=MQ=1+x.
在Rt△ANQ中,AQ2=AN2+NQ2,
∴(x+1)2=32+x2.
解得x=4.
∴NQ=4,AQ=5.
∵AB=4,AQ=5,4 4 1 24
∴S = S = × AN·NQ= .
△NAB △NAQ
5 5 2 5
(3)如图,过点A作AH⊥BF于点H,则△ABH∽△BFC.
BH CF
∴ = .
AH BC
∵AH≤AN=3,AB=4,
∴当点N,H重合(即AH=AN)时,DF最大.
(AH最大,BH最小,CF最小,DF最大)
此时点M,F重合,B,N,M三点共线,△ABH≌△BFC(如图).
∴CF=BH= = = ,
√AB2-AH2 √42-32 √7
∴DF的最大值为4-√7.
评析 本题考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判
定与性质、勾股定理等知识.本题综合性强,难度较大,熟练掌握矩形和折叠的性质,证明三角
形相似和三角形全等是解决问题的关键.
27.解析 根据题意,抛物线的解析式可化为y=a(x-h)2+k(a≠0).
(1)∵h=1,k=2,
∴y=a(x-1)2+2,
∵该抛物线经过原点,
∴a+2=0,
解得a=-2,
∴y=-2(x-1)2+2,即y=-2x2+4x.
(2)∵抛物线y=tx2(t≠0)经过点A(h,k),
∴k=th2.
∴y=a(x-h)2+k可化为y=a(x-h)2+th2.
∵抛物线y=a(x-h)2+th2(a≠0)经过原点,
∴ah2+th2=0.
∵h≠0,
∴a=-t.
(3)∵点A(h,k)在抛物线y=x2-x上,
∴k=h2-h.
∴y=a(x-h)2+k可化为y=a(x-h)2+h2-h.
∵抛物线y=a(x-h)2+h2-h(a≠0)经过原点,
∴ah2+h2-h=0.
∵h≠0,1
∴a= -1.
h
分两类讨论:
1 1
①当-2≤h<0时,由反比例函数性质可知 ≤- ,
h 2
3
∴a≤- ;
2
1
②当0<h<1时,由反比例函数性质可知 >1,
h
∴a>0.
3
综上所述,a的取值范围是a≤- 或a>0.
2
评析 本题考查二次函数等知识,解题的关键是学会用参数解决问题,题目比较难,参数比较
多,第三个问题要注意讨论,属于中考压轴题.
