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一、选择题（共12小题）
1．（2016四川省绵阳市）﹣4的绝对值是（ ）
A．4 B．﹣4 C． D．
【答案】A．
【点评】本题主要考查了绝对值的定义，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对
值是它的相反数；0的绝对值是0，比较简单．
考点：绝对值．
2．（2016四川省绵阳市）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D．
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则和除法法则进行判断．
【解析】 与 不是同类项，不能合并，A错误；
与 不是同类项，不能合并，B错误；
，C错误；
，D正确．学科网
故选D．
【点评】本题考查的是合并同类项、同底数幂的乘除法，掌握合并同类项法则、同底数幂的乘法法则和除
法法则是解题的关键．
考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法．
3．（2016四川省绵阳市）下列图案，既是轴对称又是中心对称的是（ ）
名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的中考！ 1A． B． C． D．
【答案】C．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解析】A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形；
C．是轴对称图形，也是中心对称图形；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折
叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
考点：中心对称图形；轴对称图形．
4．（2016四川省绵阳市）如图是一个由7个相同正方体组合而成的几何体，它的主视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A．
[来源:学科网ZXXK]
【点评】本题考查的是简单几何体的三视图的作图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和
上面看所得到的图形．
考点：简单组合体的三视图．
5．（2016四川省绵阳市）若关于x的方程 有一根为﹣1，则方程的另一根为（ ）
名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的中考！ 2A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3
【答案】D．
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程 （a≠0），当
≥0时，方程有解，设为 ， ，则有 ， ．
考点：根与系数的关系．
6．（2016四川省绵阳市）如图，沿AC方向开山修建一条公路．为了加快施工进度．要在小山的另一边寻
找点E同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=150°．沿BD方向前进，取∠BDE=60°，测得BD=520m，
BC=80m，并且AC，BD，DE在同一平面内，那么公路CE段的长度为（ ）
A．180m B． m C． m D． m
【答案】C．
【分析】根据已知利用已知角的正弦函数表示即可．
【 解 析 】 ∵ ∠ ABD=150° ， ∴ ∠ E=150D° － 60°=90° ， 在 直 角 △ BDE 中 ， sinD= ，
∴BE=BD•sinD=520×sin60°= = ，∴CE=BE－BC= m．故选C．
【点评】正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．
考点：解直角三角形．
名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的中考！ 37．（2016 四川省绵阳市）如图，平行四边形 ABCD 的周长是 26cm，对角线 AC 与 BD 交于点 O，
AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm
【答案】B．
【分析】由▱ABCD的周长为 26cm，对角线 AC、BD相交于点 0，若△AOD的周长比△AOB的周长多
3cm，可得AB+AD=13cm，AD﹣AB=3cm，求出AB和AD的长，得出BC的长，再由直角三角形斜边上的中
线性质即可求得答案．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线性质．熟练掌握平行四边形的性质，由
直角三角形斜边上的中线性质求出AE是解决问题的关键．
考点：平行四边形的性质．
8．（2016四川省绵阳市）在关于x、y的方程组 中，未知数满足x≥0，y＞0，那么m的
取值范围在数轴上应表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C．
【分析】把m看做已知数表示出方程组的解，根据x≥0，y＞0求出m的范围，表示在数轴上即可．
【解析】 ，①×2﹣② 得：3x=3m+6，即 x=m+2，把 x=m+2 代入②得：y=3﹣m，由
名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的中考！ 4x≥0，y＞0，得到 ，解得：﹣2≤m＜3，表示在数轴上，如图所示：
，故选C．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练
掌握运算法则是解本题的关键．
[来源:学|科|网]
考点：解一元一次不等式组；二元一次方程组的解；在数轴上表示不等式的解集．
9．（2016 四川省绵阳市）如图，△ABC 中 AB=AC=4，∠C=72°，D 是 AB 中点，点 E 在 AC 上，
DE⊥AB，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C．
【分析】先根据等腰三角形的性质与判定以及三角形内角和定理得出∠EBC=36°，∠BEC=72°，AE=BE=
BC．再证明△BCE∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式 ，求出AE，然后在△ADE中
利用余弦函数定义求出cosA的值．
名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的中考！ 5【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性
质，相似三角形的判定与性质，难度适中．证明△BCE∽△ABC是解题的关键．
考点：解直角三角形．
10．（2016四川省绵阳市）有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，随机抽取3张，
用抽到的三个数字作为边长，恰能构成三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A．
【分析】确定剩下的三边长包含的基本事件，剩下的三张卡片上的数字作为边长能构成三角形的基本事件，
即可求出能构成三角形的概率．
【点评】本题主要考查了用列举法来求古典概率的问题，关键是列举要不重不漏，难度不大．
考点：列表法与树状图法；三角形三边关系．
11．（2016四川省绵阳市）如图，点E，点F分别在菱形ABCD的边AB，AD上，且AE=DF，BF交DE于
点G，延长BF交CD的延长线于H，若 =2，则 的值为（ ）
名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的中考！ 6A． B． C． D．
【答案】B．
【分析】设DF=a，则DF=AE=a，AF=EB=2a，由△HFD∽△BFA，得 = ，求出FH，再
由HD∥EB，得△DGH∽△EGB，得 = ，求出BG即可解决问题．
【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∵AF=2DF，设DF=a，则DF=AE=a，AF=EB=2a，
∵HD∥AB，∴△HFD∽△BFA，∴ = ，∴HD=1.5a， ，∴FH= BH，
∵HD∥EB，∴△DGH∽△EGB，∴ = ，∴ ，∴BG= HB，∴ = =
．故选B．
【点评】本题考查相似三角形的性质和判定、菱形的性质、比例的选择等知识，解题的关键是利用相似三
角形的性质解决问题，学会设参数，属于中考常考题型．
考点：相似三角形的判定与性质；菱形的性质．
12．（2016四川省绵阳市）二次函数 的图象如图所示，下列结论：
名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的中考！ 7①b＜2a； ②a+2c-b＞0；③b＞a＞c；④
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D．
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称
轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
④由①知 ，由一元二次方程根的判别式得 ，又由③知a＞c，则 ，∴b＞
2c，∴ ，故④正确，综上所述：四个结论都正确，故选D．
【点评】二次函数 系数符号的确定：
（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．
（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x= 判断符号．
（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．
（4） 的符号由抛物线与 x轴交点的个数确定：2个交点， ＞0；1个交点，
=0；没有交点， ＜0．
名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的中考！ 8（5）当x=1时，可确定a+b+c的符号，当x=﹣1时，可确定a﹣b+c的符号．
（6）由对称轴公式x= ，可确定2a+b的符号．学科网
考点：二次函数图象与系数的关系；压轴题．
二、填空题（共5小题）
13．（2016四川省绵阳市）因式分解： = ．
【答案】 ．
【分析】先提取公因式2m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
14．（2016 四川省绵阳市）如图，AC∥BD，AB 与 CD 相交于点 O，若 AO=AC，∠A=48°，∠D=
．
【答案】66°．
[来源:学+科+网]
【分析】首先利用等腰三角形的性质求出∠C的度数，再根据平行线的性质可得∠D=∠C，即可得出结论．
【解析】∵AO=AC，∴∠C=∠AOC，∵∠A=48°，∴∠C=（180°-48°）÷2=66°，∵AB∥CD，
∴∠D=∠C=66°．故答案为：66°．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质和平行线的性质．
考点：等腰三角形的性质；平行线的性质．
15．（2016四川省绵阳市）根据绵阳市统计年鉴，2014年末绵阳市户籍总人口数已超过548万人，548万
人用科学记数法表示为 人．
【答案】5.48×106．
名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的中考！ 9【解析】将548万用科学记数法表示为：5.48×106．故答案为：5.48×106．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
考点：科学记数法—表示较大的数．
16．（2016四川省绵阳市）△OAB三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（4，6），B（3，0），以O为
位似中心，将△OAB 缩小为原来的 ，得到△OA′B′，则点 A 的对应点 A′的坐标为
．
【答案】（﹣2，﹣3）或（2，3）．
【分析】根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或
﹣k进行解答．
【解析】∵以原点O为位似中心，将△OAB缩小为原来的 ，A（4，6），则点A的对应点A′的坐标为
（﹣2，﹣3）或（2，3），故答案为：（﹣2，﹣3）或（2，3）．
【点评】本题考查了位似变换：位似图形与坐标，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中
心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
考点：位似变换；坐标与图形性质．
17．（2016四川省绵阳市）如图，点O是边长为 的等边△ABC的内心，将△OBC绕点O逆时针旋转
30°得到△OBC ，BC 交BC于点D，BC 交AC于点E，则DE= ．
1 1 1 1 1 1
【答案】 ．
名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的中考！ 10【分析】令OB 与BC的交点为F，BC 与AC的交点为M，过点F作FN⊥OB于点N，根据等边三角形的
1 1 1
性质以及内心的性质找出△FOB为等腰三角形，并且△BFO∽△BFD，根据相似三角形的性质找出BD的
1 1
长度，再通过找全等三角形以及解直角三角形求出C E的长度，由此即可得出DE的长度．
1
【点评】本题考查了等边三角形的性质、三角形内心的性质、相似三角形的判定及性质、全等三角形的判
定及性质以及解直角三角形，解题的关键是求出线段BD、C E的长度．本题属于中档题，难度不小，解
1 1
决该题型题目时，用到了相似三角形和全等三角形的判定及性质，因此找出相等的边角关系是关键．
名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的中考！ 11考点：三角形的内切圆与内心；等边三角形的性质；旋转的性质．
18．（2016四川省绵阳市）如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形．现用
表示第三行开始，从左往右，从上往下，依次出现的第 i个数．例如： =1， =2， =1， =1，
=3， =3， =1，则 = ．
【答案】2016．
【分析】根据杨辉三角中的已知数据，可以发现其中规律，每行的数的个数正好是这一行的行数，由题意
可以判断A 在哪一行第几个数，从而可以解答本题．学科网
2016
【点评】此题考查数字排列的规律，解题的关键是明确题意，发现其中的规律，计算出所求问题的答案．
考点：规律型：数字的变化类；规律型．
三、解答题（共7小题）
19．（2016四川省绵阳市）（1）计算： ；
（2）先化简，再求值： ，其中a= ．
【答案】（1）2；（2） ， ．
【分析】（1）本题涉及零指数幂、二次根式化简、绝对值、特殊角的三角函数值四个考点．针对每个考
点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；
（2）先算括号里面的，再算除法，最后把a的值代入进行计算即可．
名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的中考！ 12【点评】本题考查实数的综合运算能力和分式的化简求值，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题
目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、二次根式化简、绝对值等考点的运算．
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值；分式的化简求值．
20．（2016四川省绵阳市）绵阳七一中学开通了空中教育互联网在线学习平台，为了解学生使用情况，该
校学生会把该平台使用情况分为A（经常使用）、B（偶尔使用）、C（不使用）三种类型，并设计了调查
问卷、先后对该校初一（1）班和初一（2）班全体同学进行了问卷调查，并根据调查结果绘制成如下两幅
不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：
（1）求此次被调查的学生总人数；
（2）求扇形统计图中代表类型C的扇形的圆心角，并补全折线统计图；
（3）若该校初一年级学生共有1000人，试根据此次调查结果估计该校初一年级中C类型学生约有多少人．
【答案】（1）100；（2）36°；（3）100．
【分析】（1）先由折线统计图得到偶尔使用的学生有58人，再由扇形统计图得到了解很少的学生所占的
百分比，然后用58除以这个百分比即可得到接受问卷调查的学生人数；
（2）先用总数分别减去其它三组的人数得到C的学生数，再补全折线统计图；用c部分所占的百分比乘以
360°即可得到c部分所对应扇形的圆心角的大小；
（3）利用样本中c程度的百分比表示该校这两项所占的百分比，然后用1000乘以这个百分比即可得到c
名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的中考！ 13程度的总人数的估计值．
[来源:学科网]
（3）根据此次可得C的比例为10%，估计该校初一年级中C类型学生约1000×10%=100人．
【点评】本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后
把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．折线图不但可以表示出数量
的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了扇形统计图和用样本估计总体．
考点：折线统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
21．（2016四川省绵阳市）（11分）如图，直线 （ ）与x轴交于点A，与y轴交于点
B，与反比例函数 （ ）的图象在第一象限交于C、D两点，点O为坐标原点，△AOB的面积
为 ，点C的横坐标为1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果一个点的横、纵坐标都是整数，那么我们就称这个点为“整点”，请求出图中阴影部分（不含
名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的中考！ 14边界）所包含的所有整点的坐标．
【答案】（1） ；（2）（2，4）、（3，3）、（4，2）．
【分析】（1）分别令x=0、y=0，求得对应y和x的值，从而的得到点A、B的坐标，然后依据三角形的面
积公式可求得k 的值，然后由直线的解析式可求得点C的坐标，由点C的坐标可求得反比例函数的解析式；
1
（2）由函数的对称性可求得D（6，1），从而可求得x的值范围，然后求得当x=2、3、4、5时，一次函
数和反比例函数对应的函数值，从而可得到整点的坐标．
（2）∵点C与点D关于y=x对称，∴D（6，1）．
当x=2时，反比例函数图象上的点为（2，3），直线上的点为（2，5），此时可得整点为（2，4）；
当x=3时，反比例函数图象上的点为（3，2），直线上的点为（3，4），此时可得整点为（3，3）；
当x=4时，反比例函数图象上的点为（4， ），直线上的点为（4，3），此时可得整点为（4，2）；
当x=5时，反比例函数图象上的点为（5， ），直线上的点为（5，2），此时，不存在整点．
综上所述，符合条件的整点有（2，4）、（3，3）、（4，2）．学科网
【点评】本题主要考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，依据三角形的面积求得 k 的值是解题得关
1
键．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
22．（2016四川省绵阳市）如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是 的中点，DE⊥AC于E，
名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的中考！ 15DF⊥AB于F．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若OF=4，求AC的长度．
【答案】（1）相切；（2）8．
【分析】（1）先连接OD、AD，根据点D是 的中点，得出∠DAO=∠DAC，进而根据内错角相等，判
定OD∥AE，最后根据DE⊥OD，得出DE与⊙O相切；
（2）先连接BC交OD于H，延长DF交⊙O于G，根据垂径定理推导可得OH=OF=4，再根据AB是直径，
推出OH是△ABC的中位线，进而得到AC的长是OH长的2倍．
（2）连接 BC交OD于H，延长 DF交⊙O于G，由垂径定理可得：OH⊥BC， ，∴
，∴DG=BC，∴弦心距OH=OF=4，∵AB是直径，∴BC⊥AC，∴OH∥AC，∴OH是△ABC的
中位线，∴AC=2OH=8．
名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的中考！ 16【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确指出直
线与圆有公共点时，通常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．本题也可以根据△ODF与
△ABC相似，求得AC的长．
考点：直线与圆的位置关系；三角形中位线定理；垂径定理；切线的判定；探究型．
23．（2016四川省绵阳市）绵阳人民商场准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛
奶的进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同．
（1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件，两种牛奶的总数不超过95件，该商场甲种
牛奶的销售价格为49元，乙种牛奶的销售价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使
销售的总利润（利润=售价﹣进价）超过371元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方案？
【答案】（1）甲种牛奶的进价是45元，乙种牛奶的进价是50元；（2）共有两种方案：方案一：购进甲
种牛奶67件，乙种牛奶24件；方案二：购进甲种牛奶70件，乙种牛奶25件．
【分析】（1）设乙种牛奶的进价为每件x元，则甲种牛奶的进价为每件（x﹣5）元，由题意列出关于x的
方程，求出x的值即可；
（2）设购进乙种牛奶y件，则购进甲种牛奶（3y﹣5）件，根据题意列出关于y的不等式组，求出y的整
数解即可得出结论．
（ 2 ） 设 购 进 乙 种 牛 奶 y 件 ， 则 购 进 甲 种 牛 奶 （ 3y﹣5 ） 件 ， 由 题 意 得 ：
，解得23＜y≤25．学科网
∵y为整数，∴y=24或25，∴共有两种方案：
方案一：购进甲种牛奶67件，乙种牛奶24件；
方案二：购进甲种牛奶70件，乙种牛奶25件．
【点评】本题考查的是分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
考点：分式方程的应用；一元一次不等式组的应用；方案型．
名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的中考！ 1724．（2016四川省绵阳市）如图，抛物线 （a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点
C（0，3），且此抛物线的顶点坐标为M（﹣1，4）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设点D为已知抛物线对称轴上的任意一点，当△ACD与△ACB面积相等时，求点D的坐标；
（3）点P在线段AM上，当PC与y轴垂直时，过点P作x轴的垂线，垂足为E，将△PCE沿直线CE翻折，
使点P的对应点P′与P、E、C处在同一平面内，请求出点P′坐标，并判断点P′是否在该抛物线上．
【答案】（1） ；（2）D（﹣1，﹣2）或（﹣1，6）；（3）P′（ ， ），不在抛物
线上．
【分析】（1）由抛物线经过的C点坐标以及顶点M的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线解析式；
（2）设点D坐标为（﹣1，y ），根据三角形的面积公式以及△ACD与△ACB面积相等，即可得出关于y
D D
含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得出结论；
（3）作点P关于直线CE的对称点P′，过点P′作PH⊥y轴于H，设P′E交y轴于点N．根据对称的性
质即可得出△EON≌△CP′N，从而得出CN=NE，由点A、M的坐标利用待定系数法可求出直线AM的解
析式，进而得出点P的坐标，在Rt△P′NC中，由勾股定理可求出CN的值，再由相似三角形的性质以及
线段间的关系即可找出点P′的坐标，将其代入抛物线解析式中看等式是否成立，由此即可得出结论．
名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的中考！ 18（2）依照题意画出图形，如图1所示．令 =0，解得：x=﹣3或x=1，故A（﹣3，0），B
（1，0），∴OA=OC，△AOC为等腰直角三角形．
设AC交对称轴x=﹣1于F（﹣1，y ），由点A（﹣3，0）、C（0，3）可知直线AC的解析式为y=x+3，
F
∴y =﹣1+3=2，即F（﹣1，2）．
F
设点D坐标为（﹣1，y ），则S = DF•AO= ×|y ﹣2|×3．
D △ADC D
又∵S = AB•OC= ×[1﹣（﹣3）]×3=6，且S =S ，∴ ×|y ﹣2|×3=6，解得：y =﹣2或
△ABC △ADC △ABC D D
y =6，∴点D的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，6）；
D
（3）如图2，点P′为点P关于直线CE的对称点，过点P′作PH⊥y轴于H，设P′E交y轴于点N．
在△EON和△CP′N中，∵∠CNP′=∠ENO，∠CP′N=∠EON，P′C=PC=OE，∴△EON≌△CP′N
（AAS）．
设NC=m，则NE=m，∵A（﹣3，0）、M（﹣1，4）可知直线AM的解析式为y=2x+6，∴当y=3时，x=
，即点 P（ ，3），∴P′C=PC= ，P′N=3﹣m，在 Rt△P′NC 中，由勾股定理，得：
，解得：m= ．
名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的中考！ 19【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式、全等三角形的判定及性质以及相似三
角形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）找出关于y 含绝对值符号的一
D
元一次方程；（3）求出点P′坐标．本题属于中档题，难度不小，（3）中求出点P′的坐标是本题的难
点，使用垂直平分线的性质找点的坐标亦可．学科网
考点：二次函数综合题；压轴题．
25．（2016四川省绵阳市）如图，以菱形ABCD对角线交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，A、B两
点的坐标分别为（﹣ ，0）、（0，﹣ ），直线DE⊥DC交AC于E，动点P从点A出发，以每秒2
个单位的速度沿着A→D→C的路线向终点C匀速运动，设△PDE的面积为S（S≠0），点P的运动时间为
t秒．
（1）求直线DE的解析式；
（2）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）当t为何值时，∠EPD+∠DCB=90°？并求出此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值．
【 答 案 】 （ 1 ） ； （ 2 ） ； （ 3 ） 当 t= 时 ，
名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的中考！ 20∠ EPD+∠ DCB=90° ． 此 时 直 线 BP 与 直 线 AC 所 夹 锐 角 的 正 切 值 为 ． 当 t= 时 ，
∠EPD+∠DCB=90°．此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值为1．
【解析】（1）解：由菱形的对称性可得，C（ ，0），D（0， ），∴OD= ，OC= ，
tan∠ DCO= = ， ∵ DE⊥ DC ， ∴ ∠ EDO+∠ CDO=90° ， ∵ ∠ DCO+∠ CD∠ =90° ，
∴∠EDO=∠DCO，∵tan∠EDO=tan∠DCO= ，∴ ，∴OE= ，∴E（﹣ ，0），
∴D（0， ），∴直线DE解析式为 ；
（2）由（1）得 E（﹣ ，0），∴AE=AO﹣OE= = ，根据勾股定理得，DE=
= ，∴菱形的边长为 5，如图1，过点E作EF⊥AD，∴sin∠DAO= ，∴EF=
= ，当点P在AD边上运动，即0≤t＜ ，S= PD×EF= ×（5﹣2t）× = ，如
图2，点P在DC边上运动时，即 ＜t≤5时，S= PD×DE= ×（2t﹣5）× = ；
∴ ；
（3）设 BP 与 AC 相交于点 O，在菱形 ABCD 中，∠DAB=∠DCB，DE⊥DC，∴DE⊥AB，
名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的中考！ 21∴∠DAB+∠ADE=90°，∴∠DCB+∠ADE=90°，∴要使∠EPD+∠DCB=90°，∴∠EPD=∠ADE；
①当点P在AD上运动时，如图 3，∵∠EPD=∠ADE，∴EF垂直平分线 PD，∴AP=AD﹣2DF=AD﹣2
，∴2t=5﹣ ，∴t= ，此时AP=1，∵AP∥BC，∴△APQ∽△CBQ，∴
，∴ ，∴ ，∴AQ= ，∴OQ=OA﹣AQ= ，在 RT△OBQ 中，
tan∠OQB= = ；
综上所述：当t= 时，∠EPD+∠DCB=90°．此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值为 ．
当t= 时，∠EPD+∠DCB=90°．此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值为1．
【点评】此题是一次函数综合题，主要考查菱形的性质，待定系数法求直线解析式，相似三角形的判定和
性质，找出相似三角形是解本题的关键，分情况讨论是解本题的难点．
考点：一次函数综合题；动点型；分段函数；相似三角形的判定与性质；分类讨论；压轴题．
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