绵阳市 2013 年初中学业考试暨高中阶段学校招生考试
数学
第一卷（选择题，共36分）
一．选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1． 的相反数是（ C ）
A． B． C． D．
2．下列“数字”图形中，有且仅有一条对称轴的是（ A ）
3．2013年，我国上海和安徽首先发现“H7N9”禽流感，H7N9是一种新型禽流感，其病毒颗
粒呈多形性，其中球形病毒的最大直径为0.00000012米，这一直径用科学记数法表示为（
D ）
A．1.2×10-9米 B．1.2×10-8米 C．12×10-8米 D．1.2×10-7米
4．设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示，那
么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（ C ）
A．■、●、▲ B．▲、■、●
C．■、▲、● D．●、▲、■
5．把右图中的三棱柱展开，所得到的展开图是（ B ）
6．下列说法正确的是（ D ）[来源
A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形[
C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
7．如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手
张开的开口b至少为（ C ）
A．6 2mm B．12mm
7题图．
C． D
6 3mm 4 3mm
8．朵朵幼儿园的阿姨给小朋友分苹果，如果每人3个还差3个，如果每人2个又多2个，请问
共有多少个小朋友？（ B ）
A．4个 B．5个 C．10个 D．12个
9．如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点
恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60º，又从A点测得D
点的俯角β为30º，若旗杆底点G为BC的中点，则矮建筑物的高
CD为（ A ）
A．20米 B． 米 C． 米 D． 米
10．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB
于点H，且DH与AC交于G，则GH=（ B ）
A． B． C． D．
11．“服务他人，提升自我”，七一学校积极开展志愿者服务活动，来自初三的5名同学（3男
两女）成立了“交通秩序维护”小分队，若从该小分队中任选两名同学进行交通秩序维护，
则恰好是一男一女的概率是（ D ） 10题图
A． B． C． D．
12．把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），
（19，21，23，25，27，29，31），…，现用等式A =（i，j）表示正奇数M是第i组第j个数（从左往
M
右数），如A=（2，3），则A =（ C ）
7 2013
A．（45，77） B．（45，39） C．（32，46） D．（32，23）
第二卷（非选择题，共114分）
二．填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分。将答案填写在答题卡相应的横线上。
13．因式分解： = x 2 y 2 (y+x ) (y-x ) 。
14．如图，AC、BD相交于O，AB//DC，AB=BC，∠D=40º，
∠ACB=35º，则∠AOD= 7 5 º 。
[来源:学科网]
15．如图，把“QQ”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是（-2，3），嘴唇C点的坐标
为（-1，1），则将此“QQ”笑脸向右平移3个单位后，右眼B的坐标是 （ 3 ， 3 ） 。
14题图
15题图
16．对正方形ABCD进行分割，如图1，其中E、F分别是BC、CD的中点，M、N、G分别是OB、OD、EF的中点，沿分化线可以剪出一副
“七巧板”，用这些部件可以拼出很多图案，图2就是用其中6块拼出的“飞机”。若
△GOM的面积为1，则“飞机”的面积为 1 4 。
17．已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方
y
程 ，则△ABC的周长是 1 0 。
18．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结
论：①2a+b＞0；②b＞a＞c；③若-1＜m＜n＜1，则m+n
＜ ；④3|a|+|c|＜2|b|。其中正确的结论是 ① ③ ④ x
-1 O 1
（写出你认为正确的所有结论序号）.
三．解答题：本大题共7个小题，共90分。解答应写出文 18题图
字说明．证明过程或演算步骤。
19．（本题共2个小题，每小题8分，共16分）
（1）计算： ；
解： 原式= - +|1- |×2(+1)
= - +(-1) ×2(+1)
= - +2[（）2 -12]
= 2-
=
（2）解方程：
[来源:学&科&网Z&X&X&K]
解： =
x+2 = 3
x = 1
经检验，x = 1是原方程的增根，原方程无解。
20．（本题满分12分）
为了从甲．乙两名选手中选拔一个参加射击比赛，现对他们进行一次测验，两个人在相同条
件下各射靶10次，为了比较两人的成绩，制作了如下统计图表：
图1 甲、乙射击成绩统计表
命中10
平均数 中位数 方差
环的次数
甲 7 7 4 0
[来源:学_科_网]
乙 7 7．5 5．4 1
图2 甲、乙射击成绩折线图（1）请补全上述图表（请直接在表中填空和补全折线图）；
（2）如果规定成绩较稳定者胜出，你认为谁应胜出？说明你的理由；
答：甲胜出。因为S 2 <S 2（甲的方差小于乙的方差），甲的成绩较稳定。
甲 乙
（3）如果希望（2）中的另一名选手胜出，根据图表中的信息，应该制定怎样的评判规则？为什
么？
答：如果希望乙胜出，应该制定的评判规则为：平均成绩高的胜出；如果平均成绩相同，则随
着比赛的进行，发挥越来越好者或命中满环（10环）次数多者胜出。因为甲乙的平均成绩相同，
乙只有第5次射击比第四次射击少命中1环，且命中1次10环，而甲第2次比第1次、第4次
比第3次，第5次比第4次命中环数都低，且命中10环的次数为0次，即随着比赛的进行，乙
的射击成绩越来越好。
21．（本题满分12分）
如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交
⊙O于E，连接CE。
（1）判断CD与⊙O的位 置关系，并证明你的结论；
（2）若E是 的中点， ⊙O的半径为 1，求
图中阴影部分的面积。
解（1）直线CD与⊙O相切。
证明：连结AC，OA=OC，
∠OAC=∠OCA，
AC平分∠DAB，∠DAC=∠OAC，
∠DAC=∠OCA，AD//OC，AD⊥CD，OC⊥CD，CD与⊙O相
切。
（2）连结OE，， 点E是 的中点，
，∠DAC=∠ECA（相等 的弧所对的圆周角相等），
∠ DAC=∠OAC（（1）中已证），∠ECA=∠OAC，CE//OA，AD//OC，
四边形AOCE是平行四边形，CE=OA，AE=OC， OA=OC=OE=1，
OC=OE=CE=OA=AE=1，四边形AOCE是菱形，△OCE是等边三角形，
∠OCE=60º，∠OCD=90º，∠DCE=∠OCD-∠OCE=90º-60º=30º，
AD⊥CD，在Rt△DCE中，ED= CE = ,DC=cos30º•CE= ,
CE弧与CE弦所围成部分的面积 = AE弧与AE弦所围成部分的面积，
S =S =•ED•DC=××= .
阴影 △DCE
答：图中阴影部分的面积为。
22．（本题满分12分）
如图，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，双曲线 （k＞0）与矩形两边AB、BC分别交于
E、F。
（1）若E是AB的中点，求F点的坐标；
（2）若将△BEF沿直线EF对折，B点落在x轴上的D点，作EG⊥OC，垂足为G，证明
△EGD∽△DCF，并求k的值。
22 题
图解：（1）OABC为矩形,AB=OC=4，点E是
AB的中点，AE=2，OA=2，，
点E（2，2）在双曲线y=上，
k=2×2=4 ,点F在直线BC及双
曲线y= ，设点F的坐标为（4，f）,f= =1,
所以点F的坐标为（4，1）.
(2)①证明：△DEF是由△BEF沿EF对折得到的，
∠EDF=∠EBF=90º，点D在直线OC上，
∠GDE+∠CDF=180º-∠EDF=180º-90º=90º，
∠DGE=∠FCD=90º，∠GDE+∠GED=90º，∠CDF=∠GED，
△EGD∽△DCF；
② 设点E的坐标为（a ,2）, 点F的坐标为（4,b）,点E、F在双曲线y=上，k=2a=4b,a=2b,所
以有点E（2b,2）, AE=2b,AB=4,
ED=EB=4-2b, EG=OA=CB=2, CF=b, DF=BF=CB-CF=2-b,
DC===2,
[来源:Z.xx.k.Com]
△EGD∽△DCF,= ,= ,b= ,
有点F（4，），k = 4×= 3.
23．（本题满分12分）
“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具。某运动商城的自行车销
售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆。
（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行
车？
（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已
知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆。
根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍。假设所进车辆全部售
完，为使利润最大，该商城应如何进货？
解：（1）设前4个月自行车销量的月平均增长率为x ,
根据题意列方程：64（1+x）2 =100 ,
解得x=-225%（不合题意，舍去）, x= 25%
100×(1+25%)=125(辆) 答：该商城4月份卖出125辆自行车。
（2）设进B型车x辆，则进A型车辆，
根据题意得不等式组 2x≤≤2.8x ，
解得 12.5≤x≤15,自行车辆数为整数，所以13≤x≤15,
销售利润W=（700-500）×+（1300-1000）x .
整理得：W=-100x+12000， ∵ W随着x的增大而减小,
∴ 当x=13时，销售利润W有最大值，
此时，=34，
所以该商城应进入A型车34辆，B型车13辆。
24．（本题满分12分）
y
如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为
（0，-2），交x轴于A、B两点，其中A（-1，0），直线l：
x=m（m＞1）与x轴交于D。
（1）求二次函数的解析式和B的坐标；
（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、
x
A O B D
C
lB为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角
顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。
解：（1）①二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点C的坐标为（0，-2），c = -2 , - , b=0 ,
点A(-1,0)、点B是二次函数y=ax2-2 的图象与x轴的交点，a-2=0,a=2. 二次函数的解析式
为y=2x2-2；
②点B与点A(-1,0)关于直线x=0对称，点B的坐标为（1，0）；
（2）∠BOC=∠PDB=90º，点P在直线x=m上，
设点P的坐标为（m,p）, OB=1， OC=2， DB= m-1 , DP=|p| ，
①当△BOC∽△PDB时，,,p= 或p = ,
点P的坐标为（m，）或（m，）；
②当△BOC∽△BDP时， ，，p=2m-2或p=2-2m,
点P的坐标为（m，2m-2）或（m，2-2m）；
综上所述点P的坐标为（m，）、（m，）、（m，2m-2）或（m，2-2m）；
（3）不存在满足条件的点Q。
点Q在第一象限内的抛物线y=2x2-2上，
令点Q的坐标为（x, 2x2-2），x>1, 过点Q作QE⊥直线l ,
垂足为E，△BPQ为等腰直角三角形，PB=PQ，∠PEQ=∠PDB，
∠EPQ=∠DBP，△PEQ≌△BDP，QE=PD，PE=BD，
① 当P的坐标为（m，）时，
m-x = ， m=0 m=1
2x2-2- = m-1, x= x=1
与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件；
② 当P的坐标为（m，）时，
x-m= m=- m=1
[来源:学科网]
2x2-2- = m-1, x=- x=1
与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件；
③ 当P的坐标为（m，2m-2）时，
m-x =2m-2 m= m=1
2x2-2-(2m-2) = m-1, x=- x=1
与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件；
④当P的坐标为（m，2-2m）时，
x- m = 2m-2 m= m=1
2x2-2-(2-2m) = m-1 x=- x=1
与x>1矛盾,此时点Q不满足题设条件；
综上所述，不存在满足条件的点Q。25．（本题满分14分）
我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心。重心有很多美
妙的性质，如在关线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中
的若干问题。请你利用重心的概念完成如下问题：
（1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明： ；
（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足 ，试判断O是
△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶
点重合）（如图3），S ．S 分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究的最大
四边形BCHG △AGH
值。解：（1）证明：如图1，连结CO并延长交AB于点P，连结PD。
∵点O是△ABC的重心，
∴P 是 AB 的中点，D 是 BC 的中点，PD 是△ABC 的中位线，
AC=2PD， AC // PD，
∠DPO=∠ACO，∠PDO=∠CAO，
△OPD∽△CA，= = , = ,∴；
（2）点O是是△ABC的重心。
证明：如图2，作△ABC的中线CP，与 AB边交于点P，与△ABC
的另一条中线AD交于点Q，则点Q是△ABC的重心，根据（1）中的证
明可知 ，
而 ，点Q与点O重合（是同一个点），所以点O是△ABC的重心；
（3）如图3，连结CO交AB于F，连结BO交
AC 于 E，过点 O 分别作 AB、AC 的平行线
OM、ON，分别
与AC、AB交于点M、N，
∵点O是△ABC的重心，
∴ = ， = ,
∵ 在△ABE中，OM//AB，= = ，OM = AB，
在△ACF中，ON//AC，= = ，ON = AC，
在△AGH中，OM//AH，= ，
在△ACH中，ON//AH，= ，
∴ + = +=1， + =1, + = 3 ,
令= m , = n , m=3-n,
∵ = ,
= =
= -1= mn-1=(3-n)n-1= -n2 +3n-1= -(n- )2 + ,
∴ 当 = n = ，GH//BC时， 有最大值 。
附：或 的另外两种证明方法的作图。
方法一：分别过点B、C作AD的平行线BE、CF，分别
交直线GH于点E、F。
方法二：分别过点B、C、A、D作直线GH的垂线，垂足
分别为E、F、N、M。
下面的图解也能说明问题：
