2022 年四川省成都市中考数学真题
一、选择题(本大题共8 个小题,每小题4 分,共32 分,每小题均有四个选项,其
中只有一项符合题目要求)
1.(2022 四川成都,1,4 分)-3
7的相反数是
( )
A.3
7
B.-3
7
C.7
3
D.-7
3
2.(2022 四川成都,2,4 分)2022 年5 月17 日,工业和信息化部负责人在“2022 世
界电信和信息社会日”大会上宣布,我国目前已建成5G 基站近160 万个,成为全
球首个基于独立组网模式规模建设5G 网络的国家.将数据160 万用科学记数法
表示为( )
A.1.6×102
B.1.6×105
C.1.6×106
D.1.6×107
3.(2022 四川成都,3,4 分)下列计算正确的是( )
A.m+m=m2 B.2(m-n)=2m-n
C.(m+2n)2=m2+4n2 D.(m+3)(m-3)=m2-9
4.(2022 四川成都,4,4 分)如图,在△ABC 和△DEF 中,点A,E,B,D 在同一直线上,
AC∥DF,AC=DF,只添加一个条件,能判定△ABC≌△DEF 的是
( )
A.BC=DE
B.AE=DB
C.∠A=∠DEF
D.∠ABC=∠D
5.(2022 四川成都,5,4 分)在中国共产主义青年团成立100 周年之际,某校团委
招募志愿者到六个社区开展“书香成都”全民阅读服务活动,报名人数分别为
56,60,63,60,60,72,则这组数据的众数是
( )
A.56
B.60
C.63
D.72
6.(2022 四川成都,6,4 分)如图,正六边形ABCDEF 内接于☉O,若☉O 的周长等
于6π,则正六边形的边长为( )
A.√3
B.√6
C.3 D.2√3
7.(2022 四川成都,7,4 分)中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题
目:九百九十九文钱,甜果苦果买一千,四文钱买苦果七,十一文钱九个甜,甜苦两
果各几个?其大意是:用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果,其中四文钱可
以买苦果七个,十一文钱可以买甜果九个.问:苦、甜果各有几个?设苦果有x 个,
甜果有y 个,则可列方程组为
( )
A.{
x + y =1 000
4
7 x + 11
9 y =999
B.{
x + y =1 000
7
4 x + 9
11 y =999
C.{
x + y =1 000
7 x +9 y =999 D.{
x + y =1 000
4 x +11 y =999
8.(2022 四川成都,8,4 分)如图,二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴相交于
A(-1,0),B 两点,对称轴是直线x=1,下列说法正确的是( )
A.a>0
B.当x>-1 时,y 的值随x 值的增大而增大
C.点B 的坐标为(4,0)
D.4a+2b+c>0
二、填空题(本大题共5 个小题,每小题4 分,共20 分)
9.(2022 四川成都,9,4 分)计算:(-a3)2= .
10.(2022 四川成都,10,4 分)在平面直角坐标系xOy 中,若反比例函数y=k -2
x 的
图象位于第二、四象限,则k 的取值范围是 .
11.(2022 四川成都,11,4 分)如图,△ABC 和△DEF 是以点O 为位似中心的位似
图形.若OA∶AD=2∶3,则△ABC 与△DEF 的周长比是 .
12.(2022 四川成都,12,4 分)分式方程3- x
x - 4 + 1
4 - x =1 的解是 .
13.(2022 四川成都,13,4 分)如图,在△ABC 中,按以下步骤作图:①分别以点B
和C 为圆心,以大于1
2BC 的长为半径作弧,两弧相交于点M 和N;②作直线MN
交边AB 于点E.若AC=5,BE=4,∠B=45°,则AB 的长为 .
三、解答题(本大题共5 个小题,共48 分)
14.(2022 四川成都,14,12 分)(1)计算:(
1
2)
-1-√9+3tan 30°+|√3-2|.
(2)解不等式组:{
3( x +2)≥2 x +5,①
x
2 -1< x -2
3
.②
15.(2022 四川成都,15,8 分)2022 年3 月25 日,教育部印发《义务教育课程方案
和课程标准(2022 年版)》,优化了课程设置,将劳动从综合实践活动课程中独立
出来.某校以中国传统节日端午节为契机,组织全体学生参加包粽子劳动体验活
动,随机调查了部分学生,对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计,并根据
统计结果绘制成如下不完整的统计图表.
等级时长t(单位:分
钟)
人
数所占百分比
A
0≤t<2
4
x
B
2≤t<4
20
C
4≤t<6
36%
D
t≥6
16%
根据图表信息,解答下列问题:
(1)本次调查的学生总人数为 ,表中x 的值为 ;
(2)该校共有500 名学生,请你估计等级为B 的学生人数;
(3)本次调查中,等级为A 的4 人中有两名男生和两名女生,若从中随机抽取两人
进行活动感想交流,请利用画树状图或列表的方法,求恰好抽到一名男生和一名
女生的概率.
16.(2022 四川成都,16,8 分)2022 年6 月6 日是第27 个全国“爱眼日”,某数学兴
趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关
系”的实践探究活动.
如图,当张角∠AOB=150°时,顶部边缘A 处离桌面的高度AC 的长为10 cm,此时
用眼舒适度不太理想.小组成员调整张角大小继续探究,最后联系黄金比知识,发
现当张角∠A'OB=108°时(点A'是A 的对应点),用眼舒适度较为理想.求此时顶部
边缘A'处离桌面的高度A'D 的长. (结果精确到1 cm;参考数据:sin
72°≈0.95,cos 72°≈0.31,tan 72°≈3.08)
17.(2022 四川成都,17,10 分)如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,以BC 为直径作
☉O,交AB 边于点D,在´
CD上取一点E,使´BE= ´
CD,连接DE,作射线CE 交AB 边
于点F.
(1)求证:∠A=∠ACF;
(2)若AC=8,cos∠ACF=4
5 ,求BF 及DE 的长.
18.(2022 四川成都,18,10 分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,一次函数
y=-2x+6 的图象与反比例函数y=k
x
的图象相交于A(a,4),B 两点.
(1)求反比例函数的表达式及点B 的坐标;
(2)过点A 作直线AC,交反比例函数图象于另一点C,连接BC,当线段AC 被y 轴
分成长度比为1∶2 的两部分时,求BC 的长;
(3)我们把有两个内角是直角,且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称
为“完美筝形”.设P 是第三象限内的反比例函数图象上一点,Q 是平面内一点,当
四边形ABPQ 是完美筝形时,求P,Q 两点的坐标.
一、填空题(本大题共5 个小题,每小题4 分,共20 分)
19.(2022 四川成都,19,4 分)已知2a2-7=2a,则代数式(a- 2a-1
a )
÷a-1
a
2 的值为
.
20.(2022 四川成都,20,4 分)若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次
方程x2-6x+4=0 的两个实数根,则这个直角三角形斜边的长是 .
21.(2022 四川成都,21,4 分)如图,已知☉O 是小正方形的外接圆,是大正方形的
内切圆.现假设可以随意在图中取点,则这个点取在阴影部分的概率是 .
22.(2022 四川成都,22,4 分)距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物
体,物体离地面的高度h(米)与物体运动的时间t(秒)之间满足函数关系
h=-5t2+mt+n,其图象如图所示,物体运动的最高点离地面20 米,物体从发射到
落地的运动时间为3 秒.设w 表示0 秒到t 秒时h 的值的“极差”(即0 秒到t 秒时h
的最大值与最小值的差),则当0≤t≤1 时,w 的取值范围是 ;当2≤t≤3
时,w 的取值范围是 .
23.(2022 四川成都,23,4 分)如图,在菱形ABCD 中,过点D 作DE⊥CD 交对角线
AC 于点E,连接BE,点P 是线段BE 上一动点,作P 关于直线DE 的对称点P',点Q
是AC 上一动点,连接P'Q,DQ.若AE=14,CE=18,则DQ-P'Q 的最大值为
.
二、解答题(本大题共3 个小题,共30 分)
24.(2022 四川成都,24,8 分)随着“公园城市”建设的不断推进,成都绕城绿道化身
成为这座城市的一个超大型“体育场”,绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚.
甲、乙两人相约同时从绿道某地出发同向骑行,甲骑行的速度是18 km/h,乙骑
行的路程s(km)与骑行的时间t(h)之间的关系如图所示.
(1)直接写出当0≤t≤0.2 和t>0.2 时,s 与t 之间的函数表达式;
(2)何时乙骑行在甲的前面?
25.(2022 四川成都,25,10 分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线
y=kx-3(k≠0)与抛物线y=-x2相交于A,B 两点(点A 在点B 的左侧),点B 关于y
轴的对称点为B'.
(1)当k=2 时,求A,B 两点的坐标;
(2)连接OA,OB,AB',BB',若△B'AB 的面积与△OAB 的面积相等,求k 的值;
(3)试探究直线AB'是否经过某一定点,若是,请求出该定点的坐标;若不是,请说
明理由.
26.(2022 四川成都,26,12 分)如图,在矩形ABCD 中,AD=nAB(n>1),点E 是AD
边上一动点(点E 不与A,D 重合),连接BE,以BE 为边在直线BE 的右侧作矩形
EBFG,使得矩形EBFG∽矩形ABCD,EG 交直线CD 于点H.
【尝试初探】
(1)在点E 的运动过程中,△ABE 与△DEH 始终保持相似关系,请说明理由.
【深入探究】
(2)若n=2,随着E 点位置的变化,H 点的位置随之发生变化,当H 是线段CD 中点
时,求tan∠ABE 的值.
【拓展延伸】
(3)连接BH,FH,当△BFH 是以FH 为腰的等腰三角形时,求tan∠ABE 的值(用含
n 的代数式表示).
2022 年四川省成都市中考数学真题
1.A -3
7
的相反数是3
7
.
2.C 160 万=1 600 000,用科学记数法表示为1.6×106.
3.D m+m=2m,故A 错误;2(m-n)=2m-2n,故B 错误;(m+2n)2=m2+4mn+4n2,故C 错误;
(m+3)(m-3)=m2-9,故D 正确.故选D.
4.B ∵AC∥DF,∴∠A=∠D,又∵AC=DF,∴只需添加AB=DE,即可证明
△ABC≌△DEF(SAS).∵AB=DE,BE=BE,∴AE=DB.
5.B 这组数据中60 出现的次数最多,故众数为60.
6.C 如图,连接OE,OD,设☉O 的半径为r.∵正六边形ABCDEF 内接于
☉O,∴∠DOE=60°,OD=OE,∴△ODE 是等边三角形.
又∵☉O 的周长为2πr=6π,∴r=3,∴DE=OD=r=3,即正六边形的边长为3.
7.A 由4 文钱可以买苦果7 个,11 文钱可以买甜果9 个,知1 个苦果4
7
文钱,1 个甜果11
9
文钱,由
共买了1 000 个苦果和甜果,可得x+y=1 000.由共花了999 文钱,可得4
7
x+11
9
y=999.
8.D ∵抛物线开口向下,∴a<0,故A 错误;∵抛物线的对称轴是直线x=1,∴当-1<x<1 时,y 的
值随x 值的增大而增大,当x≥1 时,y 的值随x 值的增大而减小,故B 错误;由A(-1,0)及对称轴
为直线x=1,可得点B 的坐标为(3,0),故C 错误;由图象知,当x=2 时,y=4a+2b+c>0,故D 正确.
故选D.
9.答案 a6
解析 (-a3)2=(-1)2·(a3)2=1·a6=a6.
10.答案 k<2
解析 ∵反比例函数y=k -2
x
的图象位于第二、四象限,∴k-2<0,∴k<2.
11.答案 2∶5
解析 ∵OA∶AD=2∶3,∴OA∶OD=OA∶(OA+AD)=2∶5,又∵△ABC 和△DEF 是以点O 为位
似中心的位似图形,∴C△ABC∶C△DEF=AC∶DF=OA∶OD=2∶5.
12.答案 x=3
解析 3- x
x - 4
+ 1
4 - x
=1,去分母,得3-x-1=x-4,移项、合并同类项,得-2x=-6,系数化为1,得
x=3.经检验,x=3 是原方程的解.
13.答案 7
解析 连接CE.由题意可知MN 是线段BC 的垂直平分线,
∴BE=CE=4,∴∠EBC=∠ECB.∵∠EBC=45°,∴∠BEC=∠CEA=90°.在Rt△ACE 中,根据勾股定理
得AE=√A C
2-C E
2=3,∴AB=AE+BE=3+4=7.
14.解析 (1)原式=2-3+3×√3
3
+2-√3=2-3+√3+2-√3=1.
(2)由①得3x+6≥2x+5,解得x≥-1.
由②得3x-6<2x-4,解得x<2.
∴不等式组的解集为-1≤x<2.
15.解析 (1)50;8%.
详解:由等级为D 的人数为8,占总人数的16%,得总人数为8÷16%=50.等级为A 的人数为4,故等
级为A 的人数占总人数的4÷50=8%,即x 的值为8%.
(2)500×20
50
=200.
∴估计等级为B 的学生人数为200.
(3)
共有12 种等可能的结果,其中抽到一男一女的结果有8 种,∴恰好抽到一名男生和一名女生的概
率为8
12
=2
3
.
16.解析 依题意可得,∠ACO=∠A'DO=90°,AC=10 cm.∠AOC=180°-∠AOB=180°-
150°=30°,∠A'OD=180°-∠A'OB=180°-108°=72°.
在Rt△AOC 中,sin 30°=1
2
= AC
OA
,∴OA=2AC=20 cm,∴OA'=OA=20 cm.
在Rt△A'OD 中,sin 72°= A ' D
OA '
,∴A'D=OA'·sin 72°≈20×0.95=19 cm.
∴此时顶部边缘A'处离桌面的高度A'D 的长为19 cm.
17.解析 (1)证明:连接CD、BE.∵BC 是☉O 的直径,
∴∠CDB=90°.∵∠ACB=90°,∴∠A=∠BCD.∵BC 是☉O 的直径,
∴∠BEC=90°,∴∠CBE+∠BCE=90°.∵∠ACB=90°,∴∠ACF+∠BCE=90°,∴∠CBE=∠ACF.∵
´BE= ´
CD,∴´CE= ´BD,∴∠CBE=∠BCD,∴∠A=∠ACF.
(2)∵∠A=∠ACF,∴FA=FC,∵´BE= ´
CD,∴∠BCF=∠CBD,∴FB=FC.∴FA=FB,∴F 是AB 中点.
∵∠A=∠ACF,∴cos∠A=cos∠ACF=4
5
,又∵cos∠A= AC
AB
,∴AC
AB
=4
5
,∵AC=8,∴AB=10.∴BF=1
2
AB=5,BC=√A B
2- A C
2=√10
2-8
2=6.∵∠CBD=∠ABC,∠BDC=
∠BCA,∴△BCD∽△BAC,∴BC
BA
=BD
BC
,即6
10
=BD
6
,∴BD=3.6.∵BF=5,∴DF=BF-BD=1.4.∵四
边形BCED 为☉O 的内接四边形,∴∠FDE=∠BCE.∵´BE= ´
CD
,∴∠BCE=∠CBD,∴∠FDE=∠CBD,又∵∠DFE=∠BFC,∴△FDE∽△FBC,∴DF
BF
= DE
BC
,即1.4
5
= DE
6
,∴DE=1.68.
18.解析 (1)∵A(a,4)在直线y=-2x+6 上,∴-2a+6=4,∴a=1,∴点A 的坐标为(1,4).把A(1,4)
代入y=k
x
,得k=4,∴反比例函数的表达式为y=4
x
.
联立得{
y = 4
x ,
y =-2 x +6,
整理得x2-3x+2=0,解得x1=2,x2=1(与点A 重合,舍去),∴点B 的坐标为
(2,2).
(2)设AC 与y 轴交于D,过A 作AE⊥y 轴于E,过C 作CF⊥y 轴于F,过B 作BG⊥CF,交CF 的延长
线于G,
图1 图2
①如图1,当AD
DC
=1
2
时,易证△AED∽△CFD,则AE
CF
= AD
DC
=1
2
,
∴CF=2AE=2,又∵点C 在函数y=4
x
的图象上,∴C(-2,-2).
在Rt△BCG 中,根据勾股定理得BC=√C G
2+ BG
2=4√2
.
②如图2,当AD
DC
=2
1
时,易证△AED∽△CFD,则AE
CF
= AD
DC
=2
1
,∴CF=1
2
AE=1
2
,又∵点C 在函数
y=4
x
的图象上,∴C(- 1
2 ,-8)
.
在Rt△BCG 中,根据勾股定理得BC=√C G
2+ BG
2=5
2 √17.
综上,BC 的长为4√2或5
2 √17.
(3)如图3,当∠AQP=∠ABP=90°时,设直线AB 与y 轴交于点E,过点B 作BF⊥y 轴于F,设BP 与
y 轴的交点为N,连接BQ,AP 交于点H,
图3
∵直线y=-2x+6 与y 轴交于点E,
∴点E 的坐标为(0,6),
∵点B 的坐标为(2,2),∴BF=OF=2,∴EF=4,
∵∠ABP=90°,
∴∠ABF+∠FBN=90°=∠ABF+∠BEF,
∴∠BEF=∠FBN,
又∵∠EFB=∠BFN=90°,
∴△EBF∽△BNF,
∴BF
EF
= FN
BF
,
∴FN=2×2
4
=1,
∴点N 的坐标为(0,1),
∴直线BN 的解析式为y=1
2
x+1,
联立得{
y = 4
x ,
y = 1
2 x +1,
解得{
x1=- 4 ,
y1=-1,{
x2=2,
y2=2,
∴点P 的坐标为(-4,-1),
∴直线AP 的解析式为y=x+3,
∵AP 垂直平分线段BQ,
∴设直线BQ 的解析式为y=-x+b,
将B(2,2)代入y=-x+b,得2=-2+b,∴b=4,
∴直线BQ 的解析式为y=-x+4.
令x+3=-x+4,得x=1
2
,
∴点H 的坐标为(
1
2 , 7
2)
,
∵点H 是BQ 的中点,点B(2,2),
∴点Q 的坐标为(-1,5).
19.答案 7
2
解析 原式=a
2-2a+1
a
· a
2
a-1
=(a-1)
2
a
· a
2
a-1
=a(a-1).
由2a2-7=2a 得2a2-2a=7,
∴a2-a=7
2
,
∴a(a-1)=7
2
,
当a(a-1)=7
2
时,原式=7
2
.
解题关键
先将2a2-7=2a 化简,再将化简结果整体代入所求的代数式中即
可.
20.答案 2√7
解析 设此直角三角形两直角边的长分别为a、b,斜边长为c,则a、b 是方程x2-6x+4=0 的两根,
∴a+b=6,ab=4.
∵c=√a
2+b
2,
∴c=√(a+b)
2-2ab
=√36-8
=2√7
.
21.答案 π
4
-1
2
解析 设大正方形边长为√2a,则圆的直径为√2a,可得小正方形边长为a.
∵S 圆=π(
√2
2 a)
2=1
2
πa2,S 小正方形=a2,
∴S 阴影部分=(
π
2 -1)
a2.
又∵S 大正方形=(√2a)2=2a2,
∴这个点取在阴影部分的概率是(
π
2 -1)a
2
2a
2
=π
4
-1
2
.
22.答案 0≤w≤5;5≤w≤20
解析 由题意得抛物线顶点的纵坐标为20,抛物线过点(3,0),
∴{
4×(-5)×n-m
2
4×(-5)
=20,
-5×3
2+3m+n=0,
解得{
m=10,
n=15 或{
m=50,
n=-105(舍去),
∴h=-5t2+10t+15=-5(t-1)2+20.
∴抛物线顶点坐标为(1,20).
当t=0 时,h=15;当t=2 时,h=15;当t=3 时,h=0.
∴当0≤t≤1 时,0≤w≤5;
当2≤t≤3 时,5≤w≤20.
23.答案 16√2
3
解析 延长DE 交AB 于点M,取点B 关于MD 的对称点B',连接B'E,则P'在B'E 上移动,作B'E 关
于AE 的对称线段B″E,则P'关于AE 的对称点P″在B″E 上移动,DQ-P″Q≤DP″,故DP″最大时,
DQ-P'Q 可以取到最大值,此时P″与B″重合,即P 与B 重合,DQ-P'Q 的最大值为BB'的长.
取AC 的中点O,连接BO,
∵AE=14,CE=18,∴EO=2,
易证△EOB∽△EBC,
∴EO
EB
= EB
EC
,∴2
EB
= EB
18
,∴EB=6,
∴OB=√E B
2- EO
2=4√2
,
∴AB=√O B
2+ A O
2=12√2
,
易证△AME∽△AOB,
∴AM
AE
= AO
AB
,∴AM
14
= 16
12√2
,∴AM=28√2
3
,
∴B'B=2MB=2(AB-AM)=2×(12√2- 28√2
3 )
=16√2
3
.
∴DQ-P'Q 的最大值为16√2
3
.
24.解析 (1)当0≤t≤0.2 时,s=15t;当t>0.2 时,s=20t-1.
详解:当0≤t≤0.2 时,设s 与t 之间的函数表达式为s=k1t,将t=0.2,s=3 代入得,
3=0.2k1,∴k1=15.
∴当0≤t≤0.2 时,s=15t.
当t≥0.2 时,设s 与t 之间的函数表达式为s=k2t+b,
将t=0.2,s=3 和t=0.5,s=9 代入得,
{
3=0.2k2+b,
9=0.5k2+b,
解得{
k2=20,
b=-1,
∴当t>0.2 时,s=20t-1.
(2)∵v 甲=18 km/h,
∴s 甲=18t.
∵18>15,∴当0≤t≤0.2 时,v 乙<v 甲,乙不可能在甲前面.
当t>0.2 时,v 乙>v 甲,
若乙在甲前面,则s 乙>s 甲,
∴20t-1>18t,
解得t>0.5.
答:0.5 小时后,乙骑行在甲的前面.
25.解析 (1)当k=2 时,直线AB 的表达式为y=2x-3.
联立得{
y =2 x -3,
y =- x
2,
解得{
x1=1,
y1=-1,{
x2=-3,
y2=-9.
∵点A 在点B 的左侧,
∴A(-3,-9),B(1,-1).
(2)①如图1,当k>0 时,
联立得{
y =kx -3,
y =- x
2,
解得x1=-k +√k
2+12
2
,x2=-k -√k
2+12
2
,
∵点A 在点B 的左侧,
∴xB=-k +√k
2+12
2
,
∵B 与B'关于y 轴对称,
∴xB'=k -√k
2+12
2
,
将xB'=k -√k
2+12
2
代入y=-x2,得yB'=-k
2+6-k √k
2+12
2
,
∵S△B'AB=S△OAB,
∴OB'∥AB,
∴直线OB'的表达式为y=kx(k≠0),
将xB'=k -√k
2+12
2
代入y=kx,得yB'=k
2-k √k
2+12
2
,
∴-k
2+6-k √k
2+12
2
=k
2-k √k
2+12
2
,
∴k=√6
2
.
②如图2,当k<0 时,
设AB 与y 轴交于点D,BB'与y 轴交于点C,
∵直线AB 的解析式为y=kx-3,
∴D(0,-3).∴OD=3.
连接AC,∵S△B'AB=S△OAB,S△B'AB=2S△ABC,
∴S△ABC=1
2
S△OAB,
∵S△OAB=1
2
OD·|xB-xA|,S△ABC=1
2
CD·|xB-xA|,
∴CD=1
2
OD.
∵OD=3,∴CD=3
2
,
∴OC=OD+CD=3+3
2
=9
2
.
∴yC=-9
2
,∴yB=-9
2
,
∴-(
-k +√k
2+12
2
)
2=-9
2
,
∴k=-√2
2
.
综上,k 的值为√6
2
或-√2
2
.
(3)直线AB'经过定点(0,3).理由如下:
联立得{
y =- x
2,
y =kx -3,
得{
x =-k -√k
2+12
2
,
y =-k
2-6-k √k
2+12
2
或{
x =-k +√k
2+12
2
,
y =-k
2-6+k √k
2+12
2
,
∵点A 在点B 的左侧,
∴A(
-k -√k
2+12
2
,-k
2-6-k √k
2+12
2
),B -k +√k
2+12
2
,-k
2-6+k √k
2+12
2
.
∴B'(
k -√k
2+12
2
,-k
2-6+k √k
2+12
2
)
.
设直线AB'的解析式为y=mx+n,将点A,B'的坐标分别代入y=mx+n,
得{
-k
2-6-k √k
2+12
2
=-k -√k
2+12
2
m+n,
-k
2-6+ k √k
2+12
2
= k -√k
2+12
2
m+n,
解得{
m=√k
2+12,
n=3,
∴直线AB'的解析式为y=√k
2+12
x+3,
令x=0,得y=3,即直线AB'过定点(0,3).
26.解析 (1)在Rt△BAE 中,∠ABE+∠BEA=90°,
∵BE⊥EG,∴∠DEH+∠BEA=90°,
∴∠ABE=∠DEH.
又∵∠BAE=∠EDH=90°,
∴△ABE∽△DEH.
(2)∵n=2,∴AD=2AB.
设AD=4t,则AB=2t,
∵H 是CD 中点,
∴DH=t.
设AE=m,则DE=4t-m,
由(1)知AB
DE
= AE
DH
,∴
2t
4 t -m
=m
t
,
解得m=(2+√2)t 或m=(2-√2)t,
∴tan∠ABE= AE
AB
=2+√2
2
或2-√2
2
.
(3)设AB=x,AE=y.
∵四边形BEGF 为矩形,
∴∠BEH=∠FGH=90°,BE=FG,
①当FH=BH 时,易证Rt△BEH≌Rt△FGH,
∴EH=GH,
∵矩形ABCD∽矩形EBFG,
∴AD
AB
= EG
EB
=n,∴EH
EB
=n
2
,
由(1)得DE
AB
= EH
EB
=n
2
,∴nx - y
x
=n
2
,
得y
x
=n
2
,∴tan∠ABE= AE
AB
=n
2
.
②当BF=FH 时,
∵矩形ABCD∽矩形EBFG,
∴∠ABC=∠EBF, AB
BC
=BE
BF
,
∴∠ABC-∠EBC=∠FBE-∠EBC,∴∠ABE=∠CBF,∴△ABE∽△CBF,
∴∠BCF=∠A=90°,∴F 在直线DC 上,
∵BF=FH,∴∠FBH=∠FHB,
∵EG∥BF,∴∠FBH=∠BHE,
∴∠BHE=∠FHB,
又∠BEH=∠BCH,BH=BH,
∴△BCH≌△BEH,∴BE=BC,
在Rt△ABE 中,AB2+AE2=BE2,
即x2+y2=(nx)2,化简得y
x
=√n
2-1(舍负),
∴tan∠ABE= y
x
=√n
2-1.
综上,tan∠ABE 的值为n
2
或√n
2-1.
