成都市二○一三年高中阶段教育学校统一招生考试
(含成都市初三毕业会考)
数学试题（含答案全解全析）
(满分120分 时间120分钟)
A卷(共100分)
第Ⅰ卷(选择题,共 30 分)
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分.每小题均有四个选项,其中只有一项符
合题目要求)
1.2的相反数是( )
1 1
A.2 B.-2 C. D.-
2 2
2.如图所示的几何体的俯视图可能是( )
5
3.要使分式 有意义,则x的取值范围是( )
x-1
A.x≠1 B.x>1 C.x<1 D.x≠-1
4.如图,在△ABC中,∠B=∠C,AB=5,则AC的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
5.下列运算正确的是( )
1
A. ×(-3)=1 B.5-8=-3
3
C.2-3=6 D.(-2 013)0=0
6.参加成都市今年初三毕业会考的学生约有13万人,将13万用科学记数法表示应为( )
A.1.3×105 B.13×104 C.0.13×105 D.0.13×106
7.如图,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,使点C与点C'重合,若AB=2,则C'D的长为( )
A.1 B.2 C.3 D.48.在平面直角坐标系中,下列函数的图象经过原点的是( )
5
A.y=-x+3 B.y= C.y=2x D.y=-2x2+x-7
x
9.一元二次方程x2+x-2=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
10.如图,点A、B、C在☉O上,∠A=50°,则∠BOC的度数为( )
A.40° B.50° C.80° D.100°
第Ⅱ卷(非选择题,共 70 分)
二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分)
11.不等式2x-1>3的解集为 .
12.今年4月20日在雅安市芦山县发生了7.0级的大地震,全川人民众志成城,抗震救灾.某班组
织“捐零花钱,献爱心”活动,全班50名学生的捐款情况如图所示,则本次捐款金额的众数是
元.
13.如图,∠B=30°,若AB∥CD,CB平分∠ACD,则∠ACD= 度.
14.如图,某山坡的坡面AB=200米,坡角∠BAC=30°,则该山坡的高BC的长为 米.
三、解答题(本大题共6个小题,共54分)
15.(本小题满分12分,每题6分)
(1)计算:(-2)2+|-√3|+2sin 60°-√12;
{ x+ y=1,①
(2)解方程组:
¿2x- y=5.②16.(本小题满分6分)
a2-2a+1
化简:(a2-a)÷ .
a-1
17.(本小题满分8分)
如图,在边长为1的小正方形组成的方格纸上,将△ABC绕着点A顺时针旋转90°.
(1)画出旋转后的△AB'C';
(2)求线段AC在旋转过程中所扫过的扇形的面积.
18.(本小题满分8分)
“中国梦”关乎每个人的幸福生活.为进一步感知我们身边的幸福,展现成都人追梦的风采,
我市某校开展了以“梦想中国,逐梦成都”为主题的摄影大赛,要求参赛学生每人交一件作品.
现将参赛的50件作品的成绩(单位:分)进行统计如下:
等级 成绩(用s表示) 频数 频率
A 90≤s≤100 x 0.08
B 80≤s<90 35 y
C s<80 11 0.22
合计 50 1
请根据上表提供的信息,解答下列问题:
(1)表中x的值为 ,y的值为 ;(2)将本次参赛作品获得A等级的学生依次用A,A ,A ,…表示,现该校决定从本次参赛作品获
1 2 3
得A等级的学生中,随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会,请用树状图或列表法求恰好抽
到学生A 和A 的概率.
1 2
19.(本小题满分10分)
k
如图,一次函数y=x+1的图象与反比例函数y= (k为常数,且k≠0)的图象都经过点A(m,2).
1 2
x
(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式;
(2)结合图象直接比较:当x>0时,y 与y 的大小.
1 2
20.(本小题满分10分)
如图,点B在线段AC上,点D,E在AC同侧,∠A=∠C=90°,BD⊥BE,AD=BC.
(1)求证:AC=AD+CE;
(2)若AD=3,CE=5,点P为线段AB上的动点,连结DP,作PQ⊥DP,交直线BE于点Q.
DP
i)当点P与A、B两点不重合时,求 的值;
PQ
ii)当点P从A点运动到AC的中点时,求线段DQ的中点所经过的路径(线段)长.(直接写出结
果,不必写出解答过程)
B卷(共50分)
一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
a
21.已知点(3,5)在直线y=ax+b(a,b为常数,且a≠0)上,则 的值为 .
b-5
22.若正整数n使得在计算n+(n+1)+(n+2)的过程中,各数位上均不产生进位现象,则称n为
“本位数”.例如2和30是“本位数”,而5和91不是“本位数”.现从所有大于0且小于100的
“本位数”中,随机抽取一个数,抽到偶数的概率为 .
{t-a≥0, 1
23.若关于t的不等式组 恰有三个整数解,则关于x的一次函数y= x-a的图象与反
2t+1≤4 4
3a+2
比例函数y= 的图象的公共点的个数为 .
x
1
24.在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx(k为常数)与抛物线y= x2-2交于A,B两点,且A点在y
3
轴左侧,P点的坐标为(0,-4),连结PA,PB.有以下说法:①PO2=PA·PB;②当k>0时,(PA+AO)(PB-BO)
√3
的值随k的增大而增大;③当k=- 时,BP2=BO·BA;④△PAB面积的最小值为4√6.
3
其中正确的是 .(写出所有正确说法的序号)
25.如图,A,B,C为☉O上相邻的三个n等分点, ⏜ = ⏜ ,点E在 ⏜ 上,EF为☉O的直径,将☉O
AB BC BC
沿EF折叠,使点A与A'重合,点B与B'重合,连结EB',EC,EA'.设EB'=b,EC=c,EA'=p.现探究
b,c,p三者的数量关系:发现当n=3时,p=b+c.请继续探究b,c,p三者的数量关系:
当n=4时,p= ;当n=12时,p= .
( √6-√2 √6+√2)
参考数据:sin15°=cos75°= ,cos15°=sin75°=
4 4
二、解答题(本大题共3个小题,共30分)
26.(本小题满分8分)
某物体从P点运动到Q点所用时间为7秒,其运动速度v(米/秒)关于时间t(秒)的函数关系如
图所示.某学习小组经过探究发现:该物体前3秒运动的路程在数值上等于矩形AODB的面
积.由物理学知识还可知:该物体前n(3<n≤7)秒运动的路程在数值上等于矩形AODB的面积
与梯形BDNM的面积之和.
根据以上信息,完成下列问题:
(1)当3<t≤7时,用含t的代数式表示v;
(2)分别求该物体在0≤t≤3和3<t≤7时,运动的路程s(米)关于时间t(秒)的函数关系式;并求该物
7
体从P点运动到Q点总路程的 时所用的时间.
1027.(本小题满分10分)
如图,☉O的半径r=25,四边形ABCD内接于☉O,AC⊥BD于点H,P为CA延长线上一点,且
∠PDA=∠ABD.
(1)试判断PD与☉O的位置关系,并说明理由;
3 4√3-3
(2)若tan∠ADB= ,PA= AH,求BD的长;
4 3
(3)在(2)的条件下,求四边形ABCD的面积.
28.(本小题满分12分)
1
在平面直角坐标系中,已知抛物线y=- x2+bx+c(b,c为常数)的顶点为P,等腰直角三角形ABC
2
的顶点A的坐标为(0,-1),C的坐标为(4,3),直角顶点B在第四象限.
(1)如图,若该抛物线过A,B两点,求抛物线的函数表达式;
(2)平移(1)中的抛物线,使顶点P在直线AC上滑动,且与AC交于另一点Q.
i)若点M在直线AC下方,且为平移前(1)中的抛物线上的点,当以M,P,Q三点为顶点的三角形
是等腰直角三角形时,求出所有符合条件的点M的坐标;
PQ
ii)取BC的中点N,连结NP,BQ.试探究 是否存在最大值?若存在,求出该最大值;若不
NP+BQ
存在,请说明理由.
答案全解全析：
A卷1.B 2的相反数是-2,故选B.
2.C 图中几何体的俯视图是圆(包括圆心),故选C.
5
3.A 要使分式 有意义,需x-1≠0,即x≠1,故选A.
x-1
4.D ∵∠B=∠C,∴AB=AC,∵AB=5,∴AC=5,故选D.
1 1
5.B ∵ ×(-3)=-1,5-8=-3,2-3= ,(-2 013)0=1,∴运算正确的是选项B,故选B.
3 8
6.A 13万=13×104=1.3×105,故选A.
7.B 因为四边形ABCD是矩形,所以DC=AB=2.根据折叠知,C'D=CD=2,故选B.
8.C 当x=0时y=0的函数只有y=2x,即函数y=2x的图象经过原点,故选C.
9.A 对于一元二次方程x2+x-2=0,Δ=b2-4ac=12-4×1×(-2)=9>0,所以该方程有两个不相等
的实数根,故选A.
10.D 因为一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,所以∠BOC=2∠BAC=100°,故
选D.
11.答案 x>2
解析 2x-1>3,则2x>4,∴x>2.
12.答案 10
解析 在捐款情况的条形统计图中,捐款额为10元的学生最多,所以捐款金额的众数是10
元.
13.答案 60
解析 ∵AB∥CD,∴∠BCD=∠B=30°,∵CB平分∠ACD,∴∠ACD=2∠BCD=60°.
14.答案 100
1
解析 ∵在Rt△ABC中,∠A=30°,∠ACB=90°,AB=200米,∴BC= AB=100米.
2
√3
15.解析 (1)原式=4+√3+2× -2√3=4.
2
(2)由①+②,得3x=6,∴x=2.
把x=2代入①,得2+y=1,
∴y=-1.
{ x=2,
∴原方程组的解为
y=-1.
(a-1)2 a-1
16.解析 原式=a(a-1)÷ =a(a-1)· =a.
a-1 (a-1)2
17.解析 (1)如图,△AB'C'即为所求三角形.
(2)由图可知,AC=2,
90π·22
∴线段AC在旋转过程中所扫过的扇形的面积为S= =π.
360
18.解析 (1)4;0.7.
(2)由(1)知获得A等级的学生共有4人,则另外两名学生为A 和A.
3 4
画如下树状图:
所有可能出现的结果:(A,A),(A,A),(A,A),(A,A),(A,A)(A,A),(A,A),(A,A),(A,
1 2 1 3 1 4 2 1 2 3 2 4 3 1 3 2 3
A),(A,A),(A,A),(A,A).
4 4 1 4 2 4 3
或列表如下:
A A A A
1 2 3 4
A (A,A) (A,A) (A,A)
1 1 2 1 3 1 4
A (A,A) (A,A) (A,A)
2 2 1 2 3 2 4A (A,A) (A,A) (A,A)
3 3 1 3 2 3 4
A (A,A) (A,A) (A,A)
4 4 1 4 2 4 3
由此可见,共有12种可能出现的结果,且每种结果出现的可能性相同,其中恰好抽到学生
A,A 的结果有2种.
1 2
2 1
∴P(恰好抽到学生A,A)= = .
1 2
12 6
19.解析 (1)∵一次函数y=x+1的图象经过点A(m,2),∴2=m+1,解得m=1.
1
∴点A的坐标为(1,2).
k
∵反比例函数y= 的图象经过点A(1,2),
2
x
k
∴2= ,解得k=2.
1
2
∴反比例函数的表达式为y= .
2
x
(2)由图象,得当0<x<1时,y<y;
1 2
当x=1时,y=y;
1 2
当x>1时,y>y.
1 2
20.解析 (1)证明:∵BD⊥BE,A,B,C三点共线,
∴∠ABD+∠CBE=90°.
∵∠C=90°,
∴∠CBE+∠E=90°,
∴∠ABD=∠E.
又∵∠A=∠C,AD=BC,
∴△DAB≌△BCE(AAS).
∴AB=CE,
∴AC=AB+BC=AD+CE.
(2)i)连结DQ,设BD与PQ交于点F.∵∠DPF=∠QBF=90°,∠DFP=∠QFB,
∴△DFP∽△QFB,
DF PF
∴ = .
QF BF
又∵∠DFQ=∠PFB,
∴△DFQ∽△PFB,
∴∠DQP=∠DBA.
DP DA
∴tan∠DQP=tan∠DBA.即在Rt△DPQ和Rt△DAB中, = .
PQ AB
∵AD=3,AB=CE=5,
DP 3
∴ = .
PQ 5
2
ii)线段DQ的中点所经过的路径(线段)长为 √34.
3
B卷
1
21.答案 -
3
a 1
解析 依题得:5=3a+b,∴3a=5-b,∴ =- .
b-5 3
7
22.答案
11
解析 依题意得,所有大于0且小于100的本位数有1、2、10、11、12、20、21、22、30、
7
31、32,共11个,其中偶数有7个,所以P(抽到偶数)= .
11评析 本题是阅读理解题,能理解“本位数”的定义且能找出一定范围内的本位数是解决本
题的关键,属中等难度题.
23.答案 0或1
3 1 3a+2
解析 解不等式组得a≤t≤ ,不等式组恰有三个整数解,则-2<a≤-1.令 x-a= ,则
2 4 x
1 1
x2-ax-(3a+2)=0,Δ=a2+3a+2=(a+1)(a+2)≤0,所以一次函数y= x-a的图象与反比例函数
4 4
3a+2
y= 的图象的公共点个数是0或1.
x
评析 本题主要考查不等式组的解法,考查两个不同函数图象的交点的个数.求出不等式组
中参数的取值范围是解决本题的关键,属中档题.
24.答案 ③④
√3 √3 1
解析 当k=- 时,直线y=- x与抛物线y= x2-2的交点是A(-2√3,2),B(√3,-1).
3 3 3
而P(0,-4),
∴BP2=(√3)2+(-1+4)2=12,BO=2,BA=6,
∴BP2=BO·BA;
1
当 x2-2=kx时,x2-3kx-6=0,
3
∴x+x=3k,x·x=-6.
A B A B
1
∴S
△PAB
= PO·(|x
A
|+|x
B
|)=2(x
B
-x
A
)=2√(x +x )2-4x x =2√9k2+24,
2 A B A B
∴当k=0时,△PAB的面积最小,其最小值是2√24=4√6,所以正确的是③④.
评析 本题主要考查直线与抛物线交点坐标的求法以及一元二次方程中根与系数的关系.根
据题意,正确地计算出有关线段的长度和图形的面积是解决本题的关键,属中等偏难题.√6+√2
25.答案 √2b+c; b+c
2
解析 当n=4时,连结B'F交EA'于点G,连结A'B'、EB、CB、OC、OB,则∠BOC=90°,
1
∴∠BEC=135°,∠A'EB'= ·∠A'OB'=45°,
2
∵EF是☉O的直径,∴∠EB'G=90°,
∴在Rt△EB'G中,EG=√2EB'=√2b,且B'G=B'E=BE,∠A'GB'=135°,
又 ⏜ = ⏜ ,∴∠B'A'G=∠BCE,∴△A'B'G≌△CBE,∴A'G=CE=c,∴p=EA'=EG+GA'= b+c;
EB' EB √2
1 360°
当n=12时,∠A'EB'= × =15°,
2 12
在A'E上取一点G',使∠B'G'E=15°,则∠B'G'E=∠B'EG'=15°,
EH
过B'作B'H⊥EG',则有cos 15°= ,
EB'
√6+√2
∴EH= b,
4
√6+√2
∴EG'=2EH= b,
2
√6+√2
同上易证△A'B'G'≌△CBE,∴A'G'=CE=c,∴p=EA'=EG'+G'A'= b+c.
2
评析 本题主要考查了正多边形与圆的关系的计算.理清题中边与角的关系,利用锐角三角
函数和三角形全等的知识就能较好地解决本题.属难题.
{2=3k+b,
26.解析 (1)当3<t≤7时,设v=kt+b,把(3,2),(7,10)代入,得
10=7k+b.
{ k=2,
解得
b=-4.
∴v=2t-4.
(2)当0≤t≤3时,s=2t;
1
当3<t≤7时,s=2×3+ [2+(2t-4)](t-3)=t2-4t+9.
27
∴总路程为72-4×7+9=30(米),且30× =21>6.
10
令s=21,得t2-4t+9=21,解得t=6,t=-2(舍去).
1 2
7
∴该物体从P点运动到Q点总路程的 时所用的时间是6秒.
10
评析 本题是图象信息题,主要考查了函数表达式的求解.读懂图象信息,理解变量之间的关
系是解决问题的关键.属中等偏易题.
27.解析 (1)PD与☉O相切.理由如下:
过点D作直径DE,连结AE,
则∠DAE=90°,
∴∠AED+∠ADE=90°.
∵∠ABD=∠AED,∠PDA=∠ABD,
∴∠PDA=∠AED.
∴∠PDA+∠ADE=90°.
∴PD与☉O相切.
(2)连结BE,设AH=3k,
3 4√3-3
∵tan∠ADB= ,PA= AH,AC⊥BD于H.
4 3
∴DH=4k,AD=5k,PA=(4√3-3)k,PH=PA+AH=4√3k.
DH √3
∴tan P= = .
PH 3
∴∠P=30°,PD=8k.
∵BD⊥AC,
∴∠P+∠PDB=90°.
∵PD⊥DE,
∴∠PDB+∠BDE=90°.
∴∠BDE=∠P=30°.∵DE为直径,r=25,
∴∠DBE=90°,DE=2r=50.
∴BD=DE·cos∠BDE=50cos 30°=25√3.
(3)连结CE.
∵DE为直径,∴∠DCE=90°.
4
∴CD=DE·sin∠CED=DE·sin∠CAD=50× =40.
5
∵∠PDA=∠ABD=∠ACD,∠P=∠P.
∴△PDA∽△PCD.
PD DA PA
∴ = = .
PC CD PD
8k 5k (4√3-3)k
∴ = = ,∴PC=64,k=4√3-3.
PC 40 8k
∴AC=PC-PA=64-(4√3-3)k=64-(4√3-3)2=7+24√3.
∴S =S +S
四边形ABCD △ABD △CBD
1 1
= BD·AH+ BD·CH
2 2
1
= BD·AC
2
175√3
=900+ .
2
评析 本题主要考查了切线的判定、三角形相似的判定和相似三角形的性质等知识.和用圆
中边与角之间的关系和锐角三角函数等知识是解决本题的关键.属中等偏难题.
28.解析 (1)由题意,得点B的坐标为(4,-1).∵抛物线过点A(0,-1),B(4,-1)两点,
{
-1=c,
∴ 解得{b=2,
1
-1=- ×42+4b+c. c=-1.
2
1
∴抛物线的函数表达式为y=- x2+2x-1.
2
(2)i)∵A的坐标为(0,-1),C的坐标为(4,3).
∴直线AC的解析式为y=x-1.
设平移前的抛物线的顶点为P,则由(1)可得P 的坐标为(2,1),且P 在直线AC上.
0 0 0
∵点P在直线AC上滑动,∴可设P的坐标为(m,m-1),
1
则平移后的抛物线的函数表达式为y=- (x-m)2+(m-1),
2
{
y=x-1,
解方程组
1
y=- (x-m)2+(m-1),
2
得{ x
1
=m, {x
2
=m-2,
y =m-1, y =m-3.
1 2
即P(m,m-1),Q(m-2,m-3).
过点P作PE∥x轴,过点Q作QE∥y轴,则
PE=m-(m-2)=2,QE=(m-1)-(m-3)=2,
∴PQ=2√2=AP.
0
若△MPQ为等腰直角三角形,则可分以下两种情况:
①当PQ为直角边时,M到PQ的距离为2√2(即为PQ的长).
由A(0,-1),B(4,-1),P(2,1)可知,
0
△ABP 为等腰直角三角形,且BP⊥AC,BP=2√2.
0 0 0
1
过点B作直线l∥AC交抛物y=- x2+2x-1于点M,则M为符合条件的点,
1
2设直线l 的解析式为y=x+b,
1 1
∵点B的坐标为(4,-1),∴-1=4+b,解得b=-5.
1 1
∴直线l 的解析式为y=x-5.
1
解方程组 {
y=x-5,
得{ x =4, {x =-2,
1 1 2
y=- x2+2x-1 y =-1, y =-7.
2 1 2
∴M(4,-1),M(-2,-7).
1 2
②当PQ为斜边时,MP=MQ=2,可求得M到PQ的距离为√2.
取AB的中点F,则点F的坐标为(2,-1).
由A(0,-1),F(2,-1),P(2,1)可知,△AFP 为等腰直角三角形,且F到AC的距离为√2.
0 0
1
∴过点F作直线l∥AC交抛物线y=- x2+2x-1于点M,则M为符合条件的点.
2
2
设直线l 的解析式为y=x+b.
2 2
∵点F的坐标为(2,-1),∴-1=2+b,解得b=-3.∴直线l 的解析式为y=x-3.
2 2 2
解方程组 {
y=x-3,
得{ x =1+√5, { x =1-√5,
1 1 2
y=- x2+2x-1, y =-2+√5, y =-2-√5.
2 2 2
∴M(1+√5,-2+√5),M(1-√5,-2-√5).
3 4
综上所述,所有符合条件的点M的坐标为
M(4,-1),M(-2,-7),M(1+√5,-2+√5),M(1-√5,-2-√5).
1 2 3 4
PQ
ii) 存在最大值,理由如下:
NP+BQPQ
由i)知PQ=2√2,当NP+BQ取最小值时, 有最大值.
NP+BQ
取点B关于AC的对称点B',易得B'的坐标为(0,3),BQ=B'Q,
连结QF,FN,QB',易得FNPQ.
∴四边形PQFN为平行四边形.
∴NP=FQ.
∴NP+BQ=FQ+B'Q≥FB'= =2 .
√22+42 √5
当B',Q,F三点共线时,NP+BQ最小,最小值为2√5.
PQ 2√2 √10
∴ 的最大值为 = .
NP+BQ 2√5 5
评析 本题是二次函数综合题,考查的知识点主要有二次函数表达式的求解.直线与抛物线
交点坐标的计算等.和用直线平行的条件以及图形运动和对称等知识就能较好地解决本题,
属难题.
