2023四川泸州数学试卷+答案(PDF版)_12.2026年4月全国各地高考模拟卷_2026版初中金考卷•45套中考试卷汇编系列合集_全国版中考真题(1)_各省市《历年中考真题》2013-2024(10)_26四川地区试卷

11111111泸州市二○二三年初中学业水平考试
数学试题
全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．全卷满分
120分．考试时间共120分钟．
注意事项：
1．答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、准考证号和座位号．考
试结束，将试卷和答题卡一并交回．
2．选择题每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂
黑．如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案．非选择题须用0.5毫米黑色
墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效．
第Ⅰ卷（选择题 共36分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1. 下列各数中，最大的是（ ）
A. −3 B.0 C.2 D. −1
【答案】C
【解析】
【分析】首先化简绝对值，然后把选项中的4个数按从小到大排列，即可得出最大的数．
【详解】∵ −1 =1，
∴−3<0< −1 <2，
∴最大的数是2．
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，一般地，正数大于零，零大于负数，两个负数，绝
对值大的反而小．
2. 泸州市 2022年全市地区生产总值（GDP）为2601.5亿元，将数据260150000000用科
学记数法表示为（ ）
A. 2.6015×1010 B. 2.6015×1011 C. 2.6015×1012 D.
2.6015×1013
【答案】B
【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1 ≤ a < 10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数
≥10时，n为正整数；当原数<1时，n为负整数．
【详解】解：260150000000=2.6015×1011．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示形式，正确确定a和n的值是解题关键．
3. 如图，AB∥CD，若∠D=55°，则∠1的度数为（ ）
A. 125° B. 135° C. 145° D. 155°
【答案】A
【解析】
【分析】先根据两直线平行、同旁内角互补求得∠2的度数，然后再根据对顶角的性质解答
即可．
【详解】解：∵AB∥CD，∠D=55°，
∴∠2=180°−∠D=125°，
∴∠1=∠2=125°．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、对顶角的性质等知识点，运用平行线的性质求得∠2
是解答本题的关键．
4. 一个立体图形的三视图如图所示，则该立体图形是（ ）A. 圆柱 B. 圆锥 C. 长方体 D. 三棱柱
【答案】D
【解析】
【分析】根据三视图进行判断即可．
【详解】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形形可判断出这
个几何体应该是三棱柱．
故选：D．
【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，掌握基本立体图形的三视图是解题的关键．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. m3 −m2 =m B. 3m2⋅2m3 =6m5 C. 3m2 +2m3 =5m5 D.
( )3
2m2 =8m5
【答案】B
【解析】
【分析】根据运算法则，对每一个选项进行计算排除即可．
【详解】A、m3与m2不是同类项，不可以合并，故选项计算错误，不符合题意；
B、3m2·2m3 =6m2+3 =6m5，故选项计算正确，符合题意；
C、3m2与2m3不是同类项，不可以合并，故选项计算错误，不符合题意；
D、 ( 2m2 )3 =23m2×3 =8m6，故选项计算错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查单项式乘单项式，积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，解答的
关键是熟练掌握相应的运算法则及其应用．
6. 从 1，2，3，4，5，5六个数中随机选取一个数，这个数恰为该组数据的众数的概率为（ ）
1 1 1 2
A. B. C. D.
6 3 2 3
【答案】B
【解析】
【分析】由众数的概念可知六个数中众数为5，然后根据简单概率计算公式求解即可．
【详解】解：1，2，3，4，5，5六个数中，数字 5出现了 2次，出现的次数最多，
故这组数据的众数为5，
2 1
所以从六个数中随机选取一个数，这个数恰为该组数据的众数的概率为P= = ．
6 3
故选：B．
【点睛】本题主要考查了求一组数据的众数以及简单概率计算，正确确定该组数据的众数是解题关键．
7. 如图，Y ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，
E是PD中点，若AD=4，CD=6，则EO的长为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定可
得AP = AD =4，进而可得BP=2，再根据三角形的中位线解答即可.
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，CD=6，
∴ABCD，AB=CD=6，DO= BO，
∴∠CDP=∠APD，
∵PD平分∠ADC，
∴∠ADP =∠CDP，
∴∠ADP=∠APD，
∴AP = AD =4，
∴BP= AB−AP=6−4=2，
∵E是PD中点，
1
∴OE = BP=1；
2
故选：A.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定以及三角形的中
位线定理等知识，熟练掌握相关图形的判定与性质是解题的关键.
8. 关于x的一元二次方程x2 +2ax+a2 −1=0的根的情况是（ ）
A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 实数根的个数与实数a的取值有关
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式求出∆=( 2a )2 −4 ( a2 −1 ) =4a2 −4a2 +4=4>0，
即可得出答案．
【详解】解：∵∆=( 2a )2 −4 ( a2 −1 ) =4a2 −4a2 +4=4>0，∴关于x的一元二次方程x2 +2ax+a2 −1=0有两个不相等的实数根，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2 +bx+c=0 ( a≠0 ) 的根与
∆=b2 −4ac有如下关系：当∆>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有
两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
9. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：
1( ) 1( )
a= m2 −n2 ，b=mn，c= m2 +n2 ，其中m>n>0，m，n是互质的奇数．下
2 2
列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（ ）
．．
A.3，4，5 B.5，12，13 C.6，8，10 D.7，24，
25
【答案】C
【解析】
【分析】首先证明出a2 +b2 =c2，得到a，b是直角三角形的直角边然后由m>n>0，m，
n是互质的奇数逐项求解即可．
1( ) 1( )
【详解】∵a = m2 −n2 ,b=mn,c= m2 +n2 ，
2 2
2
∴a2 +b2 =
1(
m2
−n2)
+(mn)2 =
1(
m2
−n2)2
+m2n2 =
1
m4 +
1
m2n2 +
1
n4．
 
2  4 4 2 4
2
∵c2 =
1(
m2
+n2)
=
1(
m2
+n2)2
=
1
m4 +
1
m2n2 +
1
n4，
 
2  4 4 2 4
∴a2 +b2 =c2．
∴a，b是直角三角形的直角边，
∵m，n是互质的奇数，
∴A．3=1×3，
1( ) 1( )
∴当m =3，n =1时，a= m2 −n2 =4，b=mn=3，c= m2 +n2 =5，
2 2
∴3，4，5能由该勾股数计算公式直接得出；
B．5=1×5，
1( ) 1( )
∴当m=5，n =1时，a= m2 −n2 =12，b=mn=5，c= m2 +n2 =13，
2 2
∴5，12，13能由该勾股数计算公式直接得出；
C．6=2×3，8=2×4，
∵m，n是互质的奇数，∴6，8，10不能由该勾股数计算公式直接得出；
D．7 =1×7，
1( ) 1( )
∴当m=7，n =1时，a= m2 −n2 =24，b=mn=7，c= m2 +n2 =25，
2 2
∴7，24，25能由该勾股数计算公式直接得出．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股数的应用，通过m>n>0，m，n是互质的奇数这两个条件去求
得符合题意的t的值是解决本题的关键．
10. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2 −10x+m =0的两个实数
根，且其面积为11，则该菱形的边长为（ ）
A. 3 B. 2 3 C. 14 D. 2 14
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到a+b =10，根据菱形的面积得到ab=22，
利用勾股定理以及完全平方公式计算可得答案．
【详解】解：设方程x2 −10x+m =0的两根分别为a，b，
∴a+b =10，
∵a，b分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为 11，
1
∴ ab=11，即ab=22，
2
∵菱形对角线垂直且互相平分，
2 2
a b 1 1
∴该菱形的边长为
 
+
 
= a2 +b2 = ( a+b )2 −2ab
2 2 2 2
1
= 102 −2×22 = 14，故C正确．
2
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及菱形的性质，完全平方公式，利用根与系数的关系
得出a+b =10是解题的关键．
11. 如图，在Rt△ABC中，∠C =90°，点D在斜边AB上，以AD为直径的半圆O与BC
相切于点E，与AC相交于点F ，连接DE．若AC =8，BC =6，则DE的长是（ ）4 10 8 10 80 8
A. B. C. D.
9 9 27 3
【答案】B
【解析】
【分析】连接OE，AE，首先根据勾股定理求出AB= AC2 +BC2 =10，然后证明出
40 10
BCA∽BEO，利用相似三角形的性质得到OE = ，BE = ，证明出DBE∽EBA，
9 3
8 10
利用相似三角形的性质求出DE = ．
9
【详解】如图所示，连接OE，AE，
∵∠C =90°，AC =8，BC =6，
∴AB= AC2 +BC2 =10，
∵以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，
∴OE ⊥ BC，
∵∠C =90°，
∴∠C =∠OEB=90°，
∴AC∥OE，
∴∠A=∠EOB，
∴BCA∽BEO，
OE OB BE OE 10−OE BE
∴ = = ，即 = = ，
AC AB 6 8 10 6
40 10
∴解得OE = ，BE = ，
9 3
8
∴AE = AC2 +CE2 = 10，
3∵∠OEB=90°，
∴∠OED+∠DEB =90°，
∵∠ODE+∠EAD=90°，∠ODE =∠OED，
∴∠EAD=∠DEB，
又∵∠B=∠B，
∴DBE∽EBA，
10
DE BE DE 3
∴ = ，即 = ，
AE AB 8 10
10
3
8 10
∴解得DE = ．
9
故选：B．
【点睛】此题考查了圆与三角形综合题，切线的性质定理，相似三角形的性质和判定，勾股
定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
12. 已知二次函数y =ax2 −2ax+3（其中x是自变量），当0< x<3时对应的函数值y均
为正数，则a的取值范围为（ ）
A. 0<a<1 B. a < −1或a>3
C. −3<a<0或0<a<3 D. −1<a<0或0<a<3
【答案】D
【解析】
−2a
【分析】首先根据题意求出对称轴x=− =1，然后分两种情况：a>0和a<0，分别
2a
根据二次函数的性质求解即可．
【详解】∵二次函数y =ax2 −2ax+3，
−2a
∴对称轴x=− =1，
2a
当a>0时，
∵当0< x<3时对应的函数值y均为正数，
∴此时抛物线与x轴没有交点，
∴∆=(−2a )2 −4a×3<0，
∴解得0<a<3；
当a<0时，
∵当0< x<3时对应的函数值y均为正数，∴当x=3时，y =9a−6a+3>0，
∴解得a>−1，
∴−1<a<0，
∴综上所述，
当当0< x<3时对应的函数值y均为正数，则a的取值范围为−1<a<0或0<a<3．
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是分两种情况讨论．
第Ⅱ卷（非选择题 共84分）
注意事项：用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上
作答无效．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）．
13.8的立方根为______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据立方根的意义即可完成．
【详解】∵23 =8
∴8的立方根为2
故答案为：2
【点睛】本题考查了立方根的意义，掌握立方根的意义是关键．
14.
在平面直角坐标系中，若点P(2,−1)与点Q (−2,m )关于原点对称，则m的值是
___________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据关于原点对称的两个点，横、纵坐标互为相反数，进行解答即可．
【详解】解：∵点P(2,−1)与点Q (−2,m ) 关于原点对称，
∴m=1．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的两个点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握关于原
点对称的两个点，横、纵坐标互为相反数．
2x+3y =3+a
15. 关于x，y的二元一次方程组 的解满足x+ y >2 2 ，写出a的一个整
 x+2y =6
数值___________．【答案】7（答案不唯一）
【解析】
【分析】先解关于x、y的二元一次方程组的解集，再将x+ y >2 2 代入，然后解关于a
的不等式的解集即可得出答案．
【详解】将两个方程相减得x+ y=a−3，
∵x+ y >2 2 ，
∴a−3>2 2，
∴a>3+2 2，
∵4<8<9，
∴2<2 2 <3，
∴5<2 2+3<6，
∴a的一个整数值可以是7．
故答案为：7（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，整体代入的思想方法是解
答本题的亮点．
16. 如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当
AP
PE+PF取得最小值时， 的值是___________．
PC
2
【答案】
7
【解析】
【分析】作点F关于AC的F′，连接EF′交AC于点P′，此时PE+PF取得最小值，过
点F′作AD的垂线段，交AC于点K，根据题意可知点F′落在AD上，设正方形的边长为
KP′
a，求得CK 的边长，证明△AEP′∽△KF′P′，可得 =2，即可解答．
AP′
【详解】解：作点F关于AC的F′，连接EF′交AC于点P′，过点F′作AD的垂线段，
交AC于点K，由题意得：此时F′落在AD上，且根据对称的性质，当P点与P′重合时PE+PF取得最
小值，
2
设正方形ABCD的边长为a，则AF′= AF = a，
3
四边形ABCD是正方形，
∴∠F′AK =45°，∠P′AE =45°，AC = 2a
F′K ⊥ AF′，
∴∠F′AK =∠F′KA=45°，
2 2
∴AK = a，
3
∠F′P′K =∠EP′A，
∴△E′KP′∽△EAP′，
F′K KP′
∴ = =2，
AE AP′
1 2
∴AP′= AK = 2a，
3 9
7
∴CP′= AC−AP′= 2a，
9
AP′ 2
∴ = ，
CP′ 7
AP 2
∴当PE+PF取得最小值时， 的值是为 ，
PC 7
2
故答案为： ．
7
【点睛】本题考查了四边形的最值问题，轴对称的性质，相似三角形的证明与性质，正方形
的性质，正确画出辅助线是解题的关键．
三、本大题共 3个小题，每小题6分，共 18分．
( )0  2
17. 计算：3−1+ 2−1 +2sin30°−  − ．
 3【答案】3
【解析】
【分析】根据负整数指数幂和零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，进行计算即可．
( )0  2
【详解】解：3−1+ 2−1 +2sin30°−

−

 3
1 1 2
= +1+2× +
3 2 3
1 2
= + +1+1
3 3
=3．
【点睛】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂和零指数幂运
算法则，特殊角的三角函数值，准确计算．
18. 如图，点B在线段AC上，BD∥CE，AB= EC，DB=BC．求证：AD= EB．
【答案】见解析
【解析】
【分析】首先根据平行线的性质得到∠ABD=∠C，然后证明出ABD≌ECB ( SAS ) ，
最后根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】证明：∵BD∥CE，
∴∠ABD=∠C，
∴在△ABD和ECB中，
AB=CE

∠ABD=∠C，

DB= BC
∴ABD≌ECB ( SAS ) ，
∴AD= EB．
【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练的掌握全等三角
形的判定．4m+5  m+2
19. 化简： +m−1 ÷ ．
 m+1  m+1
【答案】m+2
【解析】
【分析】先计算括号内的，通分后利用同分母的分式运算法则求解，然后将除法变成乘法，
约分即可得到结果．
4m+5  m+2
【详解】解： +m−1 ÷
 m+1  m+1
4m+5 m2 −1 m+1
= + ⋅
 m+1 m+1  m+2
( m+2 )2 m+1
= ⋅
m+1 m+2
=m+2．
【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握相关运算法则和运算顺序是解决问题的关键．
四、本大题共 2个小题，每小题7分，共 14分．
20. 某校组织全校800名学生开展安全教育，为了解该校学生对安全知识的掌握程度，现随
机抽取40名学生进行安全知识测试，并将测试成绩（百分制）作为样本数据进行整理、描
述和分析，下面给出了部分信息．
①将样本数据分成5组：50≤ x<60，60≤ x<70，70≤ x<80，80≤ x<90，90≤ x<100，
并制作了如图所示的不完整的频数分布直方图；
②在80≤ x<90这一组的成绩分别是：80，81，83，83，84，85，86，86，86，87，88，89．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）抽取的40名学生成绩的中位数是___________；
（3）如果测试成绩达到80分及以上为优秀，试估计该校800名学生中对安全知识掌握程度
为优秀的学生约有多少人？
【答案】（1）见解析 （2）82
（3）估计该校800名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有440人．
【解析】【分析】（1）根据总人数减去其他组的人数求得70≤ x<80的人数，即可补全直方图；
（2）根据中位数为第20、21个数据的平均数，结合直方图或分布表可得；
（3）用样本估计总体即可得．
【小问1详解】
解：40−4−6−12−10=8(人)，
补全的频数分布直方图如下图所示，
；
【小问2详解】
解：∵4+6+8=18，
∴第20、21个数为81、83；
1
∴抽取的40名学生成绩的中位数是 ( 81+83 )=82；
2
故答案为：82；
【小问3详解】
12+10
解：由题意可得：800× =440（人），
40
答：估计该校800名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有440人．
【点睛】本题考查频数分布直方图、中位数，用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找
出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
21. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测 A粽
子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多 2元，节前用 240元购进 A粽
子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：
（1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
（2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照
节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得
利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）节后每千克A粽子的进价为 10元
（2）节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元
【解析】
【分析】（1）设节后每千克 A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为 ( x+2 ) 元，根据节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克，列出方程，
解方程即可；
（2）设该商场节前购进 m千克A粽子，则节后购进( 400−m )千克A粽子，获得的利润为
w元，根据利润=售价−进价列出关系式，根据总费用不超过 4600元，求出m的范围，根
据一次函数函数增减性，求出最大利润即可．
【小问1详解】
解：设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为 ( x+2 ) 元，根据题
意得：
240 240
−4= ，
x x+2
解得：x =10，x =−12，
1 2
经检验x =10，x =−12都是原方程的解，但x =−12不符合实际舍去，
1 2 2
答：节后每千克A粽子的进价为 10元．
【小问2详解】
解：设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进 ( 400−m ) 千克A 粽子，获得的利润为 w
元，根据题意得：
w=( 20−12 ) m+( 16−10 )( 400−m )=2m+2400，
12m+10 ( 400−m )≤4600
∵ ，
m>0
∴0<m≤300，
∵2>0，
∴w随 m的增大而增大，
∴当m=300时，w取最大值，且最大值为：w =2×300+2400=3000，
最大
答：节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为 3000元．
【点睛】本题主要考查了分式方程和一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程
和关系式．
五、本大题共 2个小题，每小题8分，共 16分．
22. 如图，某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端
D在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为i =2: 3的斜坡AB前进20 7m到达点B，
再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C．在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为
3 4
37°，底部D的俯角为60°，求古树DE的高度（参考数据：sin37°≈ ，cos37°≈ ，
5 53
tan37°≈ ，计算结果用根号表示，不取近似值）．
4
( )
【答案】古树DE的高度为 40−10 3 m
【解析】
【分析】延长 BC ，DE 交于点G，过点B 作BF ⊥ AD于点 F，根据斜面 AB 的坡度为
i =2: 3，设BF =2x，则AF = 3x，根据勾股定理得出( 2x )2 + ( 3x )2 = ( 20 7 )2 ，
求出BF =2×20=40 ( m )，证明四边形BFDG为矩形，得出DG = BF =40m，根据三
BG 40 40 40 3
角 函 数 求 出 CG = = = = ( m ) ，
tan∠DCG tan60° 3 3
40 3 40 3 3
EG =CG×tan∠ECG = ×tan37°= × =10 3 ( m )，最后求出结果即可．
3 3 4
【详解】解：延长BC，DE交于点G，过点B作BF ⊥ AD于点F，如图所示：
则∠AFB=∠BFD=90°，
∵斜面AB的坡度为i =2: 3，
∴设BF =2x，则AF = 3x，
在RtABF中，根据勾股定理得：BF2 + AF2 = AB2，
即( 2x )2 + ( 3x )2 = ( 20 7 )2 ，
解得：x= 20，负值舍去，
即BF =2×20=40 ( m )，
∵BC为水平方向，DE为竖直方向，
∴∠BGD=90°，
∵∠BFD=∠FDG =∠BGD=90°，∴四边形BFDG 为矩形，
∴DG = BF =40m，
∵∠BCG =60°，
BG 40 40 40 3
∴在Rt△DCG中，CG = = = = ( m )，
tan∠DCG tan60° 3 3
∵∠ECG =37°，
40 3 40 3 3
∴在RtECG中，EG =CG×tan∠ECG = ×tan37°= × =10 3 ( m )，
3 3 4
( )
∴DE = DG−EG = 40−10 3 m．
( )
答：古树DE的高度为 40−10 3 m．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练
掌握三角函数的定义．
23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l: y =kx+2与x，y轴分别相交于点A，B，
m
与反比例函数y = ( x>0 )的图象相交于点C，已知OA=1，点C的横坐标为 2．
x
（1）求k，m的值；
（2）平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点 D，E，若以B，D，E，O为
顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．
【答案】（1）k =2，m=12；
( ) ( )
（2）点D的坐标为 6，2 6+2 或 7−1，2 7
【解析】
【分析】（1）求得A (−1，0 ) ，利用待定系数法即可求得直线的式，再求得C ( 2，6 ) ，据此即
可求解；
 12 12
（2）设点D ( a，2a+2 ) ，则点Ea， ，利用平行四边形的性质得到 2a+2− =2，
 a  a
解方程即可求解．【小问1详解】
解：∵OA=1，
∴A (−1，0 )，
∵直线y = kx+2经过点A (−1，0 ) ，
∴0=−k+2，解得，k =2，
∴直线的解析式为y=2x+2，
∵点C的横坐标为2，
∴y =2×2+2=6，
∴C ( 2，6 ) ，
m
∵反比例函数y = ( x>0 )的图象经过点C，
x
∴m=2×6=12；
【小问2详解】
12
解：由（1）得反比例函数的解析式为y = ，
x
令x=0，则y =2×0+2=2，
∴点B ( 0，2 )，
 12
设点D ( a，2a+2 ) ，则点Ea， ，
 a 
∵以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，
∴DE =OB=2，
12 12 12
∴ 2a+2− =2，整理得2a+2− =2或2a+2− =−2，
a a a
12
由2a+2− =2得2a2 +2a−12=2a，
a
整理得a2 =6，
解得a=± 6，
∵a>0，
∴a= 6 ，
( )
∴点D 6，2 6+2 ；
12
由2a+2− =−2得2a2 +2a−12=−2a，
a整理得a2 +2a−6=0，
解得a=± 7−1，
∵a>0，
∴a= 7−1，
( )
∴点D 7−1，2 7 ；
( ) ( )
综上，点D的坐标为 6，2 6+2 或 7−1，2 7 ．
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，解一元二
次方程，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
六、本大题共 2个小题，每小题12分，共 24分．
24. 如图，AB是O的直径，AB=2 10，O 的弦CD⊥ AB于点E，CD=6．过点
C作O的切线交AB的延长线于点F，连接BC．
（1）求证：BC平分∠DCF ；
（2）G为
AD
上一点，连接CG交AB于点H ，若CH =3GH，求BH 的长．
【答案】（1）见解析 （2）BH =2+ 10．
【解析】
【分析】（1）利用切线的性质得到∠OCF =90°，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，利用
垂径定理推出 B  C = B  D ，据此可证明∠A=∠1=∠2=∠3，即可证明BC平分∠DCF ；
（2）连接OC，OG，作GM ⊥ AB于点M，利用垂径定理求得OE =1，证明
△GMH∽△CEH ，求得GM =1，设MH = x，则HE =3x，在Rt△OGM中，利用勾
股定理求得x=1，据此求解即可．
【小问1详解】
解：连接OC，∵CF 是O的切线，
∴∠OCF =∠OCB+∠3=90°，
∵AB是O的直径，
∴∠ACB=∠1+∠OCB=90°，
∴∠1=∠3，
∵AB是O的直径，且CD⊥ AB，
∴B  C = B  D，
∴∠A=∠2，
∵OA=OC，
∴∠A=∠1，
∴∠A=∠1=∠2=∠3，
∴BC平分∠DCF ；
【小问2详解】
解：连接OC，OG，过点G作GM ⊥ AB于点 M，
∵AB是O的直径，且CD⊥ AB，
1 1
∴CE = CD =3，OC =OG = AB= 10，
2 2
∴ OE = OC2 −CE2 =1 ，
∵GM ⊥ AB，CD⊥ AB，
∴CE∥GM ，∴△GMH∽△CEH ，
GH GM MH
∴ = = ，
CH CE HE
∵CH =3GH ，
1 GM MH
∴ = = ，
3 3 HE
∴GM =1，
设MH = x，则HE =3x，
∴HO=3x−1，OM =4x−1，
在Rt△OGM中，OM2 +GM2 =OG2，即( 4x−1 )2 +12 = ( 10 )2 ，
解得x=1(负值已舍去)，
∴BH =HO+OB=3×1−1+ 10 =2+ 10．
【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，垂径定理定理，
相似三角形的判定及性质，勾股定理，切线的性质是解题的关键．
25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y =ax2 +2x+c与坐标轴分别相交于点
A，B，C ( 0,6 )三点，其对称轴为x=2．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点F 是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线 AF 分别与y轴，直线BC交于点
D，E．
①当CD=CE时，求CD的长；
②若CAD，CDE，△CEF 的面积分别为S ，S ，S ，且满足S +S =2S ，求点F
1 2 3 1 3 2
的坐标．
1
【答案】（1）y =− x2 +2x+6
2
（2）①8−2 2；②F ( 4,6 )
【解析】【分析】（1）根据抛物线对称轴为x=2，可得− 2 =2，求得a =− 1 ，再将C ( 0,6 )代入
2a 2
抛物线，根据待定系数法求得c，即可解答；
（2）①求出点B，点A的坐标，即可得到直线BC的解析式为y =−x+6，设CD=a，
则D ( 0,6−a ) ，求得AD的解析式，列方程求出点E的坐标，最后根据CD=CE列方程，
即可求出CD的长；
②过E,F 分别作AB的垂线段，交AB于点G,H ，过点D作EG的垂线段，交EG于点 I，
DE 1
根据S +S =2S ，可得 AD+EF =2DE ，即 = ，证明△DEI∽△AFB ，设
1 3 2
AF 3
 1 
Fh,− h2 +2h+6，得到直线 AF 的解析式，求出点D的坐标，即可得到点E的坐标，
 2 
将点E的坐标代入y =−x+6解方程，即可解答．
【小问1详解】
解：根据抛物线的对称轴为x=2，
2 1
可得− =2，解得a =− ，
2a 2
将C ( 0,6 )代入抛物线可得6=c，
1
∴抛物线的解析式为y =− x2 +2x+6；
2
【小问2详解】
1
解：当y=0时，可得0=− x2 +2x+6，解得x =6，x =−2，
2 1 2
∴A (−2,0 ) ，B ( 6,0 ) ，
设CB的解析式为y=kx+b，将C ( 0,6 )，B ( 6,0 ) 代入y=kx+b，
 6=b k =−1
可得 ，解得 ，
0=6k+b  b=6
∴CB的解析式为y =−x+6，
设CD=a，则D ( 0,6−a )，
设AD的解析式为y =k x+b ，将D ( 0,6−a )，A (−2,0 ) 代入y =k x+b ，
1 1 1 1
 6−a
 6−a=b k =
可得 1 ，解得 1 2 ，
0=−2k
1
+b
1  b =6−a
16−a
∴AB的解析式为y = x+6−a，
2
 2a
 y =−x+6 x=

  8−a
联立方程 6−a ，解得 ，
y = x+6−a  48−8a
 2 y =
 8−a
 2a  2 48−8a  2
根据CD=CE，可得a =
 
+

−6 ，
8−a  8−a 
解得a =8−2 2，a =8+2 2 ，
1 2
经检验，a =8−2 2，a =8+2 2 是方程的解，
1 2
点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，
∴D在y轴正半轴，
∴a<6，
∴a=8−2 2
即CD的长为8−2 2；
②解：如图，过E,F 分别作AB的垂线段，交AB于点G,H ，过点D作EG的垂线段，交
EG于点I，
S +S =2S ，
1 3 2
∴AD+EF =2DE，
DE 1
∴ = ，
AF 3
 1 
设Fh,− h2 +2h+6，则AH =h+2，
 2 
EG ⊥ AB,FH ⊥ AB，
∴EG∥FH，
∴∠DEI =∠AFB，DI ⊥ EG，
∴∠DIE =90°，
∴△DEI∽△AFB，
1 1 2 1 2
∴DI = AB= h+ ，即点D的横坐标为 h+ ，
3 3 3 3 3
1 1 2
EI = FH =− h2 + h+2，
3 6 3
 1 
设 AF 的解析式为y =k x+b ，将A (−2,0 ) ，Fh,− h2 +2h+6，
2 2  2 
 0=−2k +b
 2 2
代入可得 1 ，

− h2 +2h+6=k h+b
 2 2 2
 1
k =− h+3
解得 2 2 ，
  b =−h+6
2
 1 
∴AF 的解析式为y =  − h+3x−h+6，
 2 
∴D ( 0,−h+6 )，即DO=−h+6，
∠DOG =90°，
∴四边形DOGI是矩形，
∴IG = DO=−h+6，
1 1 1 2 1 1 
∴EG = EI +IG =− h2 − h+8，即E h+ ,− h2 − h+8，
6 3 3 3 6 3 
1 2 1 1 
将E h+ ,− h2 − h+8代入y =−x+6，
3 3 6 3 
1 1 1 2
可得− h2 − h+8=− h− +6，
6 3 3 3
解得h =4，h =−4<0（舍去），
1 2
∴F ( 4,6 )．
【点睛】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数和一次函数，二次函数与一
元二次方程，两点之间的距离，相似三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是解题的关键．