35
南充市二〇二〇年初中学业水平考试
(满分:150分 考试时间:120分钟)
一、选择题(本大题共10个小题,每小题4分,共40分)
每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项,其中只有一个是正确的.
1
1.若 =-4,则x的值是 ( )
x
1 1
A.4 B. C.- D.-4
4 4
2.2020年南充市各级各类学校在校学生人数约为1 150 000人,将1 150 000用科学记数法表示为 ( )
A.1.15×106 B.1.15×107
C.11.5×105 D.0.115×107
3.如图,四个三角形拼成一个风车图形,若AB=2,当风车转动90°时,点B运动路径的长度为 ( )
A.π B.2π C.3π D.4π
4.下列运算正确的是 ( )
A.3a+2b=5ab B.3a·2a=6a2
C.a3+a4=a7 D.(a-b)2=a2-b2
5.八年级某学生在一次户外活动中进行射击比赛,七次射击成绩依次为(单位:环):4,5,6,6,6,7,8.则下列说法错误的是 ( )
A.该组成绩的众数是6环
B.该组成绩的中位数是6环
C.该组成绩的平均数是6环
D.该组成绩数据的方差是10
6.如图,在等腰△ABC中,BD为∠ABC的平分线,∠A=36°,AB=AC=a,BC=b,则CD= ( )
a+b a-b
A. B. C.a-b D.b-a
2 2
7.如图,面积为S的菱形ABCD中,点O为对角线的交点,点E是线段BC的中点,过点E作EF⊥BD于F,EG⊥AC于G,则四边形EFOG的面积为 ( )
1 1 1 1
A. S B. S C. S D. S
4 8 12 168.如图,点A,B,C在正方形网格的格点上,则sin∠BAC= ( )
√2 √26
A. B.
6 26
√26 √13
C. D.
13 13
9.如图,正方形四个顶点的坐标依次为(1,1),(3,1),(3,3),(1,3).若抛物线y=ax2与正方形有公共点,则实数a的取值范围是 ( )
1 1
A. ≤a≤3 B. ≤a≤1
9 9
1 1
C. ≤a≤3 D. ≤a≤1
3 3
4 4 5
10.关于二次函数y=ax2-4ax-5(a≠0)的三个结论:①对任意实数m,都有x=2+m与x=2-m对应的函数值相等;②若3≤x≤4,对应的y的整数值有4个,则- <a≤-1或1≤a< ;③若抛物线与x轴交于不同两点A,B,且AB≤6,则a<- 或a≥1.其中正确的结
1 2 3 3 4
论是 ( )
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
二、填空题(本大题共6个小题,每小题4分,共24分)
请将答案填在对应的横线上.
11.计算:|1- |+20= .
√2
12.如图,两直线交于点O,若∠1+∠2=76°,则∠1= 度.
13.从长分别为1,2,3,4的四条线段中,任意选取三条线段,能组成三角形的概率是 .
14.笔记本5元/本,钢笔7元/支,某同学购买笔记本和钢笔恰好用去100元,那么最多购买钢笔 支.
1
15.若x2+3x=-1,则x- = .
x+1
16.△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,将△ABC绕点C旋转到△EDC,点E在☉O上,已知AE=2,tan D=3,则AB= .
三、解答题(本大题共9个小题,共86分)
解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(8分)( 1 ) x2-x
先化简,再求值: -1 ÷ ,其中x=√2+1.
x+1 x+1
18.(8分)
如图,点C在线段BD上,且AB⊥BD,DE⊥BD,AC⊥CE,BC=DE.求证:AB=CD.
19.(8分)
今年,全球疫情大爆发,我国派遣医疗专家组对一些国家进行医疗援助.某批次派出20人组成的专家组,分别赴A、B、C、D四个国家开展援助工作,其人员分布情况如统计图(不完整)所示:
(1)计算赴B国女专家和D国男专家人数,并将条形统计图补充完整;
(2)根据需要,从赴A国的专家中,随机抽取两名专家对当地医疗团队进行培训,求所抽取的两名专家恰好是一男一女的概率.
20.(10分)
已知x,x 是一元二次方程x2-2x+k+2=0的两个实数根.
1 2
(1)求k的取值范围;1 1
(2)是否存在实数k,使得等式 + =k-2成立?如果存在,请求出k的值;如果不存在,请说明理由.
x x
1 2
21.(10分)
k
如图,反比例函数y= (k≠0,x>0)的图象与y=2x的图象相交于点C,过直线上点A(a,8)作AB⊥y轴交于点B,交反比例函数图象于点D,且AB=4BD.
x
(1)求反比例函数的解析式;
(2)求四边形OCDB的面积.
22.(10分)
如图,点A,B,C是半径为2的☉O上三个点,AB为直径,∠BAC的平分线交圆于点D,过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E,延长ED交AB的延长线于点F.
(1)判断直线EF与☉O的位置关系,并证明;
(2)若DF=4√2,求tan∠EAD的值.23.(10分)
某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备,设备的生产成本为10万元/件.
(1)如图,设第x(0<x≤20)个生产周期设备售价为z万元/件,z与x之间的关系用图中的函数图象表示.求z关于x的函数解析式(写出x的范围);
(2)设第x个生产周期生产并销售的设备为y件,y与x满足关系式y=5x+40(0<x≤20).在(1)的条件下,工厂第几个生产周期创造的利润最大?最大为多少万元?(利润=收入-成本)
24.(10分)
如图,边长为1的正方形ABCD中,点K在AD上,连接BK,过点A,C作BK的垂线,垂足分别为M,N,点O是正方形ABCD的中心,连接OM,ON.
(1)求证:AM=BN;
(2)请判定△OMN的形状,并说明理由;
1
(3)若点K在线段AD上运动(不包括端点),设AK=x,△OMN的面积为y,求y关于x的函数关系式(写出x的范围);若点K在射线AD上运动,且△OMN的面积为 ,请直接写出AK的长.
10
25.(12分)
已知二次函数图象过点A(-2,0),B(4,0),C(0,4).
(1)求二次函数的解析式;(2)如图,当点P为AC的中点时,在线段PB上是否存在点M,使得∠BMC=90°?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由;
5
(3)点K在抛物线上,点D为AB的中点,直线KD与直线BC的夹角为锐角θ,且tan θ= ,求点K的坐标.
3
35南充市二〇二〇年初中学业水平考试
一、选择题
答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C A A B D C B B A D
1 1
1.C -4的倒数是- ,所以x=- ,故选C.
4 4
2.A 1 150 000=1.15×106,故选A.
90×π×2
3.A 已知AB=2,所以点B绕点A旋转90°时,点B运动路径的长= =π,故选A.
180
4.B A.3a和2b不是同类项,不能合并,故A错误;
B.3a·2a=6a2,故B正确;
C.a3和a4不是同类项,不能合并,故C错误;
D.(a-b)2=a2-2ab+b2,故D错误.故选B.
1 1
5.D 6出现的次数最多,所以该组成绩的众数是6环,A选项说法正确;该组数据共有7个,排序后第4个数是6,所以中位数是6环,B选项说法正确;平均数是 ×(4+5+6+6+6+7+8)=6(环),C选项说法正确;方差是 ×[(4-6)2+(5-6)2+3×(6-6)2+(7-
7 7
10
6)2+(8-6)2]= ,D选项说法错误.故选D.
7
6.C ∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°,
1
∵BD为∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠DBC= ∠ABC=36°,
2
∴∠BDC=72°=∠C,∠ABD=∠A,
∴BD=BC,BD=AD,∴AD=BC=b,
∴CD=AC-AD=a-b.故选C.
1
7.B ∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,S = S,
△OBC
4
∵EF⊥BD,EG⊥AC,∴四边形EFOG是矩形,∴EF∥OC,EG∥OB,
∵点E是线段BC的中点,∴EF、EG都是△OBC的中位线,
1 1
∴S = S = S.故选B.
四边形EFOG
2
△OBC
8
8.B 如图,作BD⊥AC于D,设正方形网格中每个小正方形的边长为1,
∴AB= = ,又∵BD=√12+12=√2,
√32+22 √13
2 2
√2
BD √26
∴sin∠BAC= = 2 = .
AB 26
√13
故选B.
1 1
9.A 当抛物线经过点(1,3)时,a=3;当抛物线经过点(3,1)时,a= ,由图象可知 ≤a≤3,故选A.
9 9
-4a
10.D ∵抛物线y=ax2-4ax-5(a≠0)的对称轴为直线x=- =2,
2a
且x=2+m与x=2-m关于直线x=2对称,
1 2
∴对任意实数m,都有x=2+m与x=2-m对应的函数值相等.
1 2
故①正确.
当x=3时,y=-3a-5,当x=4时,y=-5.
若a>0,当3≤x≤4时,-3a-5≤y≤-5,
∵当3≤x≤4时,对应的y的整数值有4个,
4
∴-9<-3a-5≤-8,∴1≤a< .
3
若a<0,当3≤x≤4时,-5≤y≤-3a-5,
∵当3≤x≤4时,对应的y的整数值有4个,
4
∴-2≤-3a-5<-1,∴- <a≤-1.故②正确.
3
若a>0,由抛物线与x轴交于不同两点A,B,
得Δ=16a2+20a>0,即a(4a+5)>0,可得a>0.
∵AB≤6,抛物线对称轴为直线x=2,
∴当x=5时,y=25a-20a-5=5a-5≥0,∴a≥1.
若a<0,由抛物线与x轴交于不同两点A,B,
5
得Δ=16a2+20a>0,即a(4a+5)>0,可得a<- .
4
∵AB≤6,抛物线对称轴为直线x=2,
∴当x=5时,y=25a-20a-5=5a-5≤0,解得a≤1.
5
∴a<- .
4
5
综上所述,当a<- 或a≥1时,抛物线与x轴交于不同两点A,B,且AB≤6.故③正确.故选D.
4
二、填空题
11. 答案 √2
解析 |1-√2|+20=√2-1+1=√2.
12. 答案 38
1
解析 ∵∠1=∠2,∠1+∠2=76°,∴∠1= ×76°=38°.
21
13. 答案
4
解析 画树状图如下.
6 1
共有24种等可能的结果,能组成三角形的结果有6种,所以P(三条线段能组成三角形)= = .
24 4
14. 答案 10
解析 设该同学买了x支钢笔,买了y本笔记本,由题意得7x+5y=100,
100-7x 7
∴y= =20- x(x、y都是自然数),
5 5
∴x是5的整数倍,∴x的最大值为10.
15. 答案 -2
1 x(x+1)-1 x2+x-1
解析 x- = = ,
x+1 x+1 x+1
∵x2+3x=-1,
∴x2+x=-1-2x,
-2x-2 2(x+1)
∴原式= =- =-2.
x+1 x+1
10
16. 答案
3
解析 ∵AB为☉O的直径,∴∠AEB=∠ACB=90°,
CE
∴∠ECD=∠ACB=90°,∴tan D= =3,
CD
设CE=3x(x>0),CD=x,则DE=√10x,∴AB=DE=√10x.
AC CE
∵AC=CE,BC=CD,∠ACB=∠ECD,∴ = ,∠ACE=∠BCD,
BC CD
AE EC 2
∴△ACE∽△BCD,∴ = =3,∴BD= ,
BD CD 3
2
∴BE=DE-BD=√10x- .
3
∵AE2+BE2=AB2,∴22+( 2) 2 =( x)2,
√10x- √10
3
√10 10
∴x= ,∴AB= .
3 3
三、解答题
17. 解析 原式=( 1 x+1)÷x(x-1) (2分)
-
x+1 x+1 x+1
-x x+1
= · (4分)
x+1 x(x-1)
1
=- .(6分)
x-1
√2
当x=√2+1时,原式=- . (8分)
2
18. 证明 ∵AB⊥BD,DE⊥BD,AC⊥CE,∴∠ABC=∠CDE=∠ACE=90°. (2分)
∴∠ACB+∠ECD=90°, (3分)
∠ECD+∠CED=90°. (4分)
∴∠ACB=∠CED.(5分)
{∠ACB=∠CED,
在△ABC和△CDE中, BC=DE,
∠ABC=∠CDE,
∴△ABC≌△CDE.(7分)
∴AB=CD. (8分)
19. 解析 (1)赴B国女专家为20×40%-5=3(人); (1分)
赴D国男专家为20×(1-25%-40%-20%)-2=1(人). (3分)
(注:补全条形图如图所示)
(4分)
(2)从5名专家中,随机抽取两名专家的所有可能结果如下:
男1 男2 女1 女2 女3
男1 (男1,男2) (男1,女1) (男1,女2) (男1,女3)
男2 (男2,男1) (男2,女1) (男2,女2) (男2,女3)
女1 (女1,男1) (女1,男2) (女1,女2) (女1,女3)
女2 (女2,男1) (女2,男2) (女2,女1) (女2,女3)
女3 (女3,男1) (女3,男2) (女3,女1) (女3,女2)
(6分)
12 3
由上表可知,随机抽取两名专家的所有可能情况有20种,并且出现的可能性相等,其中恰好抽取一男一女的情况有12种,则所抽取的两名专家恰好是一男一女的概率P= = .(8分)
20 5
20. 解析 (1)∵一元二次方程x2-2x+k+2=0有两个实数根,
∴Δ=(-2)2-4(k+2)≥0. (3分)
解得k≤-1. (5分)
(2)由一元二次方程根与系数的关系得,x+x=2,xx=k+2. (7分)
1 2 1 2
∵ 1 + 1 =k-2,∴ x 1 +x 2 = 2 =k-2. (8分)
x x x x k+2
1 2 1 2
即(k+2)(k-2)=2,解得k=±√6. (9分)
又由(1)知k≤-1,∴k=-√6. (10分)
21. 解析 (1)由点A(a,8)在y=2x的图象上,得a=4,∴A(4,8). (1分)
∵AB⊥y轴,与反比例函数图象交于点D,且AB=4BD,
∴BD=1,即D(1,8). (3分)
8
∴k=8,反比例函数的解析式为y= . (5分)
x
8
(2)∵C是直线y=2x与反比例函数y= (x>0)图象的交点,
x
8
∴2x= ,又∵x>0,∴x=2,则C(2,4). (7分)
x
1
∵S = ×4×8=16, (8分)
△ABO
21
S = ×3×4=6, (9分)
△ADC
2
∴S =S -S =10. (10分)
四边形OCDB △ABO △ADC
22. 解析 (1)直线EF与☉O相切. (1分)
理由如下:连接OD. (2分)
∵AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠OAD.
∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD=∠EAD, (3分)
∴OD∥AE. (4分)
由AE⊥EF,得OD⊥EF.
又∵点D在☉O上,∴EF是☉O的切线. (5分)
(2)在Rt△ODF中,∵OD=2,DF=4√2,
∴由勾股定理得OF=6. (6分)
OD OF DF
∵OD∥AE,∴ = = , (7分)
AE AF EF
2 6 4√2 8 4√2
即 = = ,得AE= ,ED= . (9分)
AE 8 ED+4√2 3 3
DE √2
∴在Rt△AED中,tan∠EAD= = . (10分)
AE 2
23. 解析 (1)由题图可知,当0<x≤12时,z=16. (2分)
当12≤x≤20时,z是关于x的一次函数,设z=kx+b(k≠0),
{ 1
则{12k+b=16,解得 k=- ,即z=-1x+19,
4
20k+b=14, 4
b=19,
{
16(0<x≤12),
∴z关于x的函数解析式为z= (5分)
1
- x+19(12<x≤20).
4
(2)设第x个生产周期工厂创造的利润为W万元.
①当0<x≤12时,W=(16-10)×(5x+40)=30x+240,(6分)
当x=12时,W =30×12+240=600. (7分)
最大值
②当12<x≤20时,W=( 1 )×(5x+40)=-5x2+35x+360=-5(x-14)2+605, (9分)
- x+19-10
4 4 4
当x=14时,W =605.
最大值
综上所述,工厂在第14个生产周期创造的利润最大,最大是605万元.(10分)
24. 解析 (1)证明:∵AM⊥BM,CN⊥BN,∴∠AMB=∠BNC=90°.
又∵∠ABC=90°,
∴∠MAB+∠MBA=90°,∠NBC+∠MBA=90°,
∴∠MAB=∠NBC. (1分)
又AB=BC,∴△AMB≌△BNC,∴AM=BN. (2分)
(2)△OMN是等腰直角三角形. (3分)
理由如下:连接OB,∵O为正方形ABCD的中心,∴∠MAB-∠OAB=∠NBC-∠OBC,即∠MAO=∠OBN.(4分)
∵OA=OB,AM=BN,∴△AMO≌△BNO,
∴OM=ON,∠AOM=∠BON. (5分)
∵∠AOB=∠AON+∠BON=90°,∴∠MON=90°.
∴△OMN是等腰直角三角形. (6分)
(3)在Rt△ABK中,BK= = .
√AK2+AB2 √x2+1
由BK·AM=AB·AK,得BN=AM=AB·AK= x . (7分)
BK √x2+1
由AK2=KM·BK,得KM=AK2 = x2 .(8分)
BK √x2+1
∴MN=BK-BN-KM= - x - x2 = 1-x .
√x2+1
√x2+1 √x2+1 √x2+1
∴S
=1MN2=(1-x)2
.
△OMN
4 4x2+4
即y=x2-2x+1(0<x<1). (9分)
4x2+4
1 1
若点K在射线AD上运动,S = ,则AK的长为 或3. (10分)
△OMN
10 3
25. 解析 (1)二次函数的图象过点A(-2,0),B(4,0),
设二次函数的解析式为y=a(x+2)(x-4)(a≠0). (2分)
1
又二次函数的图象过点C(0,4),∴-8a=4,∴a=- .
2
1
故二次函数的解析式为y=- x2+x+4. (3分)
2
(2)线段上存在M( 24 56),使得∠BMC=90°.理由如下:
- ,
29 29
设BC中点为Q,连接MQ,由题意,易知Q的坐标为(2,2),BC=4√2.
1
若∠BMC=90°,则MQ= BC=2√2. (4分)
2
∵A(-2,0),C(0,4),∴AC的中点P的坐标为(-1,2).
2
{k=- ,
设PB所在的直线为y=kx+b(k≠0),则{-k+b=2,解得 5
4k+b=0, 8
b= ,
5
2 8
∴PB所在的直线为y=- x+ . (5分)
5 5M在线段PB上,设M的坐标为( 2 8),其中-1≤n≤4.
n,- n+
5 5
如图1,分别过M,Q作y轴与x轴的垂线l,l,设l,l 相交于点T,
1 2 1 2
图1
∴QT=| 2 8 |=|2 2|,MT=|n-2|. (6分)
- n+ -2 n+
5 5 5 5
∵MQ2=QT2+MT2,∴(2 2) 2 +(n-2)2=8.
n+
5 5
24
整理得29n2-92n-96=0,解得n=- 或n=4.
29
当n=4时,B,M重合,不合题意(舍去),
∴n=-24,则M的坐标为( 24 56),此时∠BMC=90°. (7分)
- ,
29 29 29
(3)如图2,过点D作DE⊥BC于点E,设直线DK与BC交于点N.
图2
∵D(1,0),B(4,0),∠EBD=45°,
∴DB=3,DE=3√2,E(5 3). (8分)
,
2 2 2
∵C(0,4),∴直线BC的解析式为y=-x+4.
3√2
DE 2 9√2
在Rt△DNE中,NE= = = . (9分)
tanθ 5 10
3
①若DK与射线EC交于点N(m,4-m),
则NE= (5 )=9√2,
√2 -m
2 10
∴m=8,∴N(8 12). (10分)
,
5 5 5
∴直线DK的解析式为y=4x-4.{
y=4x-4,
联立 解得{x=2,或{ x=-8, (11分)
1
y=- x2+x+4, y=4 y=-36.
2
②若DK与射线EB交于点N(m,4-m),
则NE= ( 5)=9√2,
√2 m-
2 10
∴m=17,∴N(17 3).
,
5 5 5
1 1
∴直线DK的解析式为y= x- .
4 4
{ y= 1 x- 1 , { x= 3+√145 , { x= 3-√145 ,
联立 4 4 解得 4 或 4
1 -1+√145 -1-√145
y=- x2+x+4, y= y= .
2 16 16
综上所述,抛物线上符合条件的点K的坐标为(2,4)或(-8,-36)或(3+√145 -1+√145)或(3-√145 -1-√145). (12分)
, ,
4 16 4 16
