文档内容
2015 年绵阳市初中学业考试暨高中阶段学校招生考试
数学试题（含答案全解全析）
第Ⅰ卷(选择题,共36分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题3分,共36分.每个小题只有一个选项最符合题目要求.
1.±2是4的( )
A.平方根 B.相反数 C.绝对值 D.算术平方根
2.下列图案中,轴对称图形是( )
3.若√a+b+5+|2a-b+1|=0,则(b-a)2 015=( )
A.-1 B.1 C.52 015 D.-52 015
4.福布斯2015年全球富豪榜出炉,中国上榜人数仅次于美国,其中王健林以242亿美元的财富
雄踞中国内地富豪榜榜首,这一数据用科学记数法可表示为( )
A.0.242×1010美元 B.0.242×1011美元
C.2.42×1010美元 D.2.42×1011美元
5.如图,在△ABC中,∠B、∠C的平分线BE、CD相交于点F,∠ABC=42°,∠A=60°,则∠BFC=(
)
A.118° B.119° C.120° D.121°
6.要使代数式√2-3x有意义,则x的( )
2 2
A.最大值是 B.最小值是
3 3
3 3
C.最大值是 D.最小值是
2 2
7.如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点E,∠CBD=90°,BC=4,BE=ED=3,AC=10,
则四边形ABCD的面积为( )
A.6 B.12 C.20 D.24
8.由若干个棱长为1 cm的正方体堆积成一个几何体,它的三视图如图,则这个几何体的表面
积是( )A.15 cm2 B.18 cm2 C.21 cm2 D.24 cm2
9.要估计鱼塘中的鱼数,养鱼者首先从鱼塘中打捞了50条鱼,在每条鱼身上做好记号后把这
些鱼放归鱼塘,再从鱼塘中打捞出100条鱼,发现只有两条鱼是刚才做了记号的鱼,假设鱼在
鱼塘内均匀分布,那么估计这个鱼塘的鱼数约为( )
A.5 000条 B.2 500条 C.1 750条 D.1 250条
10.如图,要在宽为22米的九洲大道AB两边安装路灯,路灯的灯臂CD长2米,且与灯柱BC
成120°角,路灯采用圆锥形灯罩,灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直.当灯罩的轴线DO通过公路
路面的中心线时照明效果最佳.此时,路灯的灯柱BC高度应该设计为( )
A.(11-2√2)米 B.(11√3-2√2)米 C.(11-2√3)米 D.(11√3-4)米
11.将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放,观察每个“龟图”中的“○”的个数,若
第n个“龟图”中有245个“○”,则n=( )
A.14 B.15 C.16 D.17
12.如图,D是等边△ABC边AB上的一点,且AD∶DB=1∶2,现将△ABC折叠,使点C与D重合,折
痕为EF,点E、F分别在AC和BC上,则CE∶CF=( )
3 4 5 6
A. B. C. D.
4 5 6 7
第Ⅱ卷(非选择题,共104分)
二、填空题:本大题共6个小题,每小题3分,共18分.
13.计算:a(a2÷a)-a2= .
14.如图是轰炸机机群的一个飞行队形,如果最后两架轰炸机的平面坐标分别是 A(-2,1)和
B(-2,-3),那么第一架轰炸机C的平面坐标是 .15.在实数范围内因式分解:x2y-3y= .
16.如图,AB∥CD,∠CDE=119°,GF交∠DEB的平分线EF于点F,∠AGF=130°,则∠F= .
17.关于m的一元二次方程√7nm2-n2m-2=0的一个根为2,则n2+n-2= .
18.如图,在等边△ABC内有一点D,AD=5,BD=6,CD=4,将△ABD绕A点逆时针旋转,使AB与
AC重合,点D旋转至点E,则∠CDE的正切值为 .
三、解答题:本大题共7个小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19.(本题共2个小题,每小题8分,共16分)
(1)计算:|1- |+( 1) -2 - 1 + ;
√2 - √3 -8
2 cos45°
3 1
(2)解方程: =1- .
2x+2 x+1
20.(本题满分11分)
阳泉同学参加周末社会实践活动,到“富乐花乡”蔬菜大棚中收集到20株西红柿秧上小西
红柿的个数:
32 39 45 55 60 54 60 28 56 41
51 36 44 46 40 53 37 47 45 46
(1)前10株西红柿秧上小西红柿个数的平均数是 ,中位数是 ,众数是
;
(2)若对这20个数按组距为8进行分组,请补全频数分布表及频数分布直方图:
个数分组 28≤x<36 36≤x<44 44≤x<52 52≤x<60 60≤x<68
频数 2 2(3)通过频数分布直方图试分析此大棚中西红柿的长势.
21.(本题满分11分)
k
如图,反比例函数y= (k>0)与正比例函数y=ax相交于A(1,k),B(-k,-1)两点.
x
(1)求反比例函数和正比例函数的解析式;
k
(2)将正比例函数y=ax的图象平移,得到一次函数y=ax+b的图象,与函数y= (k>0)的图象交
x
于C(x ,y)、D(x ,y),且|x-x|·|y-y|=5,求b的值.
1 1 2 2 1 2 1 2
22.(本题满分11分)
如图,O是△ABC的内心,BO的延长线和△ABC的外接圆相交于点D,连结DC、DA、OA、
OC,四边形OADC为平行四边形.
(1)求证:△BOC≌△CDA;(2)若AB=2,求阴影部分的面积.
23.(本题满分11分)
南海地质勘探队在南沙群岛的一小岛发现很有价值的A、B两种矿石,A矿石大约565吨、B
矿石大约500吨,上报公司,要一次性将两种矿石运往冶炼厂,需要不同型号的甲、乙两种货
船共30艘,甲货船每艘运费1 000元,乙货船每艘运费1 200 元.
(1)设运送这些矿石的总运费为y元,若使用甲货船x艘,请写出y和x之间的函数关系式;
(2)如果甲货船最多可装A矿石 20吨和B矿石15吨,乙货船最多可装A矿石15吨和B矿石
25吨,装矿石时按此要求安排甲、乙两种货船,共有几种安排方案?哪种安排方案运费最低并
求出最低运费.
24.(本题满分12分)
1
已知抛物线y=-x2-2x+a(a≠0)与y轴相交于A点,顶点为M,直线y= x-a分别与x轴、y轴相
2
交于B、C两点,并且与直线MA相交于N点.
(1)若直线BC和抛物线有两个不同交点,求a的取值范围,并用a表示交点M、A的坐标;
(2)将△NAC沿着y轴翻折,若点N的对称点P恰好落在抛物线上,AP与抛物线的对称轴相交
于点D,连结CD,求a的值及△PCD的面积;
(3)在抛物线y=-x2-2x+a(a>0)上是否存在点P,使得以Q、A、C、N为顶点的四边形是平行四
边形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.25.(本题满分14分)
如图,在边长为2的正方形ABCD中,G是AD延长线上的一点,且DG=AD,动点M从A点出
发,以每秒1个单位的速度沿着A→C→G的路线向G点匀速运动(M不与A、G重合),设运动
时间为t秒.连结BM并延长交AG于N.
(1)是否存在点M,使△ABM为等腰三角形?若存在,分析点M的位置;若不存在,请说明理由;
(2)当点N在AD边上时,若BN⊥HN,NH交∠CDG的平分线于H,求证:BN=NH;
(3)过点M分别作AB、AD的垂线,垂足分别为E、F,矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为
S,求S的最大值.答案全解全析：
一、选择题
1.A 因为(±2)2=4,所以±2是4的平方根.故选A.
2.D 选项D中的图案符合轴对称图形的特征.故选D.
{a+b+5=0, {a=-2,
3.A 由题意得 解得
2a-b+1=0, b=-3.
所以(b-a)2 015=-1.故选A.
4.C 把数242亿写成a×10n的形式,其中a=2.42,n是比整数位数少1的数,即n=10,所以242
亿美元用科学记数法表示为2.42×1010美元.故选C.
5.C 在△ABC中,∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-60°-42°=78°.
1 1
∵BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB,∴∠FBC= ∠ABC=21°,∠FCB= ∠ACB=39°,
2 2
∴∠BFC=180°-∠FBC-∠FCB=180°-21°-39°=120°.故选C.
评析 本题主要考查三角形的内角和定理,角平分线的概念,属容易题.
2 2
6.A 要使√2-3x有意义,应满足2-3x≥0,∴x≤ ,∴x的最大值为 .故选A.
3 3
7.D 在Rt△CBE中,CE= =5,∴AE=AC-CE=5,
√BE2+BC2
∴AE=CE=5,又BE=DE=3,∴四边形ABCD为平行四边形.
1
∴S =2S =2× ·BD·BC=6×4=24.故选D.
▱ABCD △CBD
2
8.B 由三视图可知该几何体如图,∵各个小正方体的棱长为1 cm,∴这个几何体的表面积是
3×6×1×1=18(cm2).
2
9.B 由题意可估计这个鱼塘的鱼数约为100÷ =2 500(条),故选B.
50
1
10.D 延长BC、OD交于点E,∵CD⊥OD,∠DCB=120°,∴∠E=30°,∵∠B=90°,OB=22× =11米,
2∴EB=11√3 米,在Rt△DCE中,CE=2DC=4米.∴BC=EB-CE=(11√3-4)米,故选D.
11.C 根据每个“龟图”中的“○”的个数,得第n个“龟图”中的“○”的个数可表示为
5+n(n-1),当5+n(n-1)=245时,解得n=16,n=-15(舍去),所以n=16.故选C.
1 2
12.B 设 等 边 △ ABC 的 边 长 为 3, 则 AD=1,BD=2, 由 折 叠 的 性 质 可 知
∠C=∠EDF=60°,∴∠EDA+∠FDB=120°,
在 △ AED 中 ,∵∠A=60°,∴∠AED+∠ADE=120°,∴∠AED=∠BDF, 又
AE AD ED 3-CE CE 1
∵∠A=∠B,∴△AED∽△BDF,∴ = = ,又∵CE=DE,CF=DF,∴ = , =
BD BF DF 2 CF 3-CF
CE CE 4
,可得2CE=3CF-CE·CF,CF=3CE-CE·CF,∴2CE-3CF=CF-3CE,∴ = .故选B.
CF CF 5
二、填空题
13.答案 0
解析 原式=a·a-a2=a2-a2=0.
14.答案 (2,-1)
解析 本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标表示,根据A与B两点的坐标容易确定坐标
原点的位置,从而确定C(2,-1).
15.答案 y(x-√3)(x+√3)
解析 原式=y(x2-3)=y(x-√3)(x+√3).
16.答案 9.5°(或9°30')
解析 ∵AB∥CD,∠CDE=119°,∴∠BED=∠D=119°.
1 119°
∵EF平分∠DEB,∴∠BEF= ∠DEB= ,
2 2
241°
∴∠AEF= .
2
241°
∴∠F=∠AGF-∠AEF=130°- =9.5°(或9°30').
2
17.答案 26
解析 把2代入原方程得,4√7n-2n2-2=0,显然n≠0,
4√7n-2n2-2 2 1
∴ =4√7-2n- =0,∴n+ =2√7,
n n n
∴( 1) 2=n2+ 1 +2=28,∴n2+ 1 =26,即n2+n-2=26.
n+
n n2 n2
18.答案 3√7
解 析 ∵ △ ABC 为 等 边 三 角 形 ,∴∠BAD+∠DAC=60°, 由 旋 转 的 性 质 可 得
△ABD≌△ACE.∴∠BAD=∠CAE,AE=AD=5,∴∠CAE+∠DAC=∠DAE=60°,∴△ADE 为等边三角
形,
∴DE=AD=5,作 EF⊥CD 于点 F,设 DF=x,在 Rt△EFD 与 Rt△EFC 中,由勾股定理得 DE2-DF2=EC2-CF2, 即 52-x2=62-(4-x)2,∴x=5,∴EF=
√DE2-DF2
=√
52-
(5) 2 =15√7,∴tan∠CDE=
8 8 8
EF
=3√7.
DF
三、解答题
1 1
19.解析 (1)原式=-(1-√2)+( 1) 2 -√2+√3(-2)3(4分)
-
2 2
1
2
=√2-1+1- +(-2)(6分)
√2
4
=√2-1+4-√2-2=4-1-2=1.(8分)
3 x+1-1 3 x
(2)原方程可变形为 = ,即 = .(2分)
2x+2 x+1 2x+2 x+1
可得(2x+2)x=3x+3,整理得2x2-x-3=0.
3
解得x=-1,x= .(6分)
1 2
2
3
检验:x=-1时,原方程无意义.∴x= 是原方程的解.(8分)
2
20.解析 (1)47;49.5;60.(3分)
(2)
个数分组 28≤x<36 36≤x<44 44≤x<52 52≤x<60 60≤x<68
频数 2 5 7 4 2
(6分)
(9分)
(3)①此大棚中的西红柿长势普遍较好,最少都有28个;
②西红柿个数最集中的株数在第三组,共有7株;
③西红柿的个数分布合理,中间多,两端少.
(11分)
(3条信息任答一条,给满分2分)
{ a=k,
21.解析 (1)由题意得 即k2=1,又k>0,所以k=a=1,(2分)
-1=-ak,
1
故函数解析式分别为y= 、y=x.(4分)
x
(2)如图,过点C作CE垂直于x轴,过点D作y轴的垂线,交CE于点E.设直线y=x+b与x、y
轴分别交于点G、F,显然OF=OG,易知△FGO∽△CDE,∴△CDE为等腰直角三角形,∴CE=DE,
∴|y-y|=|x-x|,(6分)
1 2 1 2
∵|y-y|·|x-x|=5,
1 2 1 2
∴|x-x|=√5.(8分)
1 2
{y=x+b,
由 得x2+bx-1=0,
1
y=
x
解得x=-b+√b2+4,x=-b-√b2+4,
1 2
2 2
∴|x-x|=|-b+√b2+4 -b-√b2+4|=| |= ,(10分)
1 2 - √b2+4 √5
2 2
解得b=±1.(11分)
(此题也可用代数方法得出|x- x|=√5,再利用韦达定理求解)
1 2
22.解析 (1)证明:∵O为△ABC的内心,
∴∠2=∠3,∠5=∠6,
∵∠1=∠2,∴∠1=∠3,(3分)
∵四边形OADC为平行四边形,
∴ADCO,∴∠4=∠5,∴∠4=∠6,
∴△BOC≌△CDA(AAS).(6分)
(2)由(1)得BC=AC,∠3=∠4=∠6,
∴∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,
∴△ABC为等边三角形,(8分)
∴△ABC的内心O也是外心,∴OA=OB=OC.
设E为BD与AC的交点,则BE垂直平分AC.
1 1
在Rt△OCE中,CE= AC= AB=1,∠OCE=30°,
2 22
∴OA=OB=OC= √3,∵∠AOB=120°,
3
∴S 阴影 =S 扇形AOB -S △AOB =120π×(2 √3 ) 2 -1×2×√3=4π-3√3.(11分)
360 3 2 3 9
23.解析 (1)y=1 000x+1 200(30-x).(3分)
{20x+15(30-x)≥565,
(2)由题意可得 (5分)
15x+25(30-x)≥500,
{x≥23,
解得 ∴23≤x≤25.
x≤25,
因为x为正整数,所以x=23、24、25.(7分)
方案一:甲货船23艘、乙货船7艘,
运费y=1 000×23+1 200×7=31 400元;(8分)
方案二:甲货船24艘、乙货船6艘,
运费y=1 000×24+1 200×6=31 200元;(9分)
方案三:甲货船25艘、乙货船5艘,
运费y=1 000×25+1 200×5=31 000元.(10分)
经分析得方案三运费最低,为31 000元.(11分)
{y=-x2-2x+a,
24.解析 (1)由题意联立
1
y= x-a,
2
整理得2x2+5x-4a=0,(1分)
25 25
由Δ=25+32a>0,解得a>- .∵a≠0,∴a>- 且a≠0.(2分)
32 32
令x=0,得y=a,∴A(0,a).(3分)
由y=-(x+1)2+1+a,得M(-1,1+a).(4分)
(2)设直线MA为y=kx+b,代入A(0,a)、M(-1,1+a),
{ a=b, {k=-1,
得 解得 故直线MA为y=-x+a.
1+a=-k+b, b=a.
4a
{y=-x+a, {x= ,
联立 解得 3 ∴N(4a a).(5分)
1 ,-
y= x-a, a 3 3
2 y=- .
3
由于P点是N点关于y轴的对称点,∴P( 4a a),
- ,-
3 3
a 16 8
代入y=-x2-2x+a,得- =- a2+ a+a,
3 9 3
9
解得a= 或a=0(舍去).(6分)
4∴A( 9)、C( 9)、M( 13),∴|AC|=9.
0, 0,- -1,
4 4 4 2
1 1
∴S =S -S = |AC||x |- |AC||x |
△PCD △PAC △DAC
2
P
2
D
1 9 9
= × ×(3-1)= .(8分)
2 2 2
(3)①当点Q在y轴左侧时,由四边形AQCN为平行四边形,得AC与QN相互平分,则点Q与
N关于原点(0,0)中心对称,
而N(4a a),故Q( 4a a).(9分)
,- - ,
3 3 3 3
a 16 8 15
代入y=-x2-2x+a,得 =- a2+ a+a,解得a= ,
3 9 3 8
∴Q( 5 5).(10分)
- ,
2 8
②当点 Q 在 y 轴右侧时,由四边形 ACQN 为平行四边形,得 NQ∥AC 且 NQ=AC,而 N
(4a a)、A(0,a)、C(0,-a),
,-
3 3
故Q(4a 7a).(11分)
,-
3 3
7a 16 8 3
代入y=-x2-2x+a,得- =- a2- a+a,解得a= ,
3 9 3 8
∴Q(1 7),∴当点Q的坐标为( 5 5)或(1 7)时,A、C、Q、N能构成平行四边形.
,- - , ,-
2 8 2 8 2 8
(12分)
25.解析 (1)当点M为AC的中点时,有AM=BM,则△ABM为等腰三角形;(1分)
当点M与点C重合时,AB=BM,则△ABM为等腰三角形;(2分)
当点M在AC上且AM=2时,AM=AB,则△ABM为等腰三角形;(3分)
当点M为CG的中点时,AM=BM,则△ABM为等腰三角形.(4分)
(2)证明:在AB上取点K,使AK=AN,连结KN.∵AB=AD,BK=AB-AK,ND=AD-AN,∴BK=DN.
又 DH 平 分 直 角 ∠ CDG,∴∠CDH=45°,∴∠NDH=90°+45°=135°,∴∠BKN=180°-
∠AKN=135°,∴∠BKN=∠NDH.(6分)
∵在 Rt△ABN 中,∠ABN+∠ANB=90°, 又 BN⊥NH,即∠BNH=90°,∴∠ANB+∠DNH=180°-
∠BNH=180°-90°=90°.
∴∠ABN=∠DNH,∴△BNK≌△NHD(ASA),∴BN=NH.(8分)
√2
(3)① 当 M 在 AC 上,即 02,∴当t= √2 时,S的最大值为 .(14分)
3 3 3
