2015 年河北省初中毕业生升学文化课考试
数学试题（含答案全解全析）
第Ⅰ卷(选择题,共42分)
一、选择题(本大题共16个小题,1~10小题,每小题3分;11~16小题,每小题2分,共42分.在每
小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.计算:3-2×(-1)=( )
A.5 B.1 C.-1 D.6
2.下列说法正确的是( )
A.1的相反数是-1 B.1的倒数是-1
C.1的立方根是±1 D.-1是无理数
3.一张菱形纸片按图1、图2依次对折后,再按图3打出一个圆形小孔,则展开铺平后的图案
是( )
4.下列运算正确的是( )
A.(1) -1=-1 B.6×107=6 000 000
2 2
C.(2a)2=2a2 D.a3·a2=a5
5.图中的三视图所对应的几何体是( )
6.如图,AC,BE是☉O的直径,弦AD与BE交于点F,下列三角形中,外心不是点O的是 (
··)
A.△ABEB.△ACFC.△ABDD.△ADE
7.在数轴上标注了四段范围,如图,则表示√8的点落在( )
A.段① B.段② C.段③ D.段④
8.如图,AB∥EF,CD⊥EF,∠BAC=50°,则∠ACD=( )
A.120° B.130° C.140° D.150°
9.已知:岛P位于岛Q的正西方,由岛P,Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上.
符合条件的示意图是( )
10.一台印刷机每年可印刷的书本数量 y(万册)与它的使用时间x(年)成反比例关系,当x=2
时,y=20.则y与x的函数图象大致是( )
{2x+5 y=-10,①
11.利用加减消元法解方程组 下列做法正确的是( )
5x-3 y=6,②
A.要消去y,可以将①×5+②×2 B.要消去x,可以将①×3+②×(-5)C.要消去y,可以将①×5+②×3 D.要消去x,可以将①×(-5)+②×2
12.若关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根,则a的取值范围是( )
A.a<1 B.a>1 C.a≤1 D.a≥1
13.将一质地均匀的正方体骰子掷一次,观察向上一面的点数,与点数3相差2的概率是( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
2 3 5 6
2
14.如图,直线l:y=- x-3与直线y=a(a为常数)的交点在第四象限,则a可能在( )
3
A.1<a<2 B.-2<a<0C.-3≤a≤-2 D.-10<a<-4
15.如图,点A,B为定点,定直线l∥AB,P是l上一动点,点M,N分别为PA,PB的中点,对于下列
各值:
①线段MN的长;
②△PAB的周长;
③△PMN的面积;
④直线MN,AB之间的距离;
⑤∠APB的大小.
其中会随点P的移动而变化的是( )
A.②③ B.②⑤ C.①③④ D.④⑤
16.如图是甲、乙两张不同的矩形纸片,将它们分别沿着虚线剪开后,各自要拼一个与原来面
积相等的正方形,则( )
A.甲、乙都可以 B.甲、乙都不可以
C.甲不可以,乙可以 D.甲可以,乙不可以
第Ⅱ卷(非选择题,共78分)
二、填空题(本大题共4个小题,每小题3分,共12分.把答案写在题中横线上)
17.若|a|=2 0150,则a= .
18.若a=2b≠0,则a2-b2
的值为 .
a2-ab19.平面上,将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起,
如图,则∠3+∠1-∠2= °.
20.如图,∠BOC=9°,点A在OB上,且OA=1.按下列要求画图:
以A为圆心,1为半径向右画弧交OC于点A,得第1条线段AA ;
1 1
再以A 为圆心,1为半径向右画弧交OB于点A,得第2条线段AA;
1 2 1 2
再以A 为圆心,1为半径向右画弧交OC于点A,得第3条线段AA;
2 3 2 3
……
这样画下去,直到得第n条线段,之后就不能再画出符合要求的线段了,则n= .
三、解答题(本大题共6个小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
21.(本小题满分10分)
老师在黑板上书写了一个正确的演算过程,随后用手掌捂住了一个二次三项式,形式如下:
-3x=x2-5x+1.
(1)求所捂的二次三项式;
(2)若x=√6+1,求所捂二次三项式的值.
22.(本小题满分10分)
嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的,她先用尺规作
出了如图的四边形ABCD,并写出了如下不完整的已知和求证.
已知:如图,在四边形ABCD中,
BC=AD,
AB= .
求证:四边形ABCD是 四边形.(1)在方框中填空,以补全已知和求证;
(2)按嘉淇的想法写出证明;
证明:
(3)用文字叙述所证命题的逆命题为 .
23.(本小题满分10分)
水平放置的容器内原有210毫米高的水,如图.将若干个球逐一放入该容器中,每放入一个大
球水面就上升4毫米,每放入一个小球水面就上升3毫米,假定放入容器中的所有球完全浸没
水中且水不溢出.设水面高为y毫米.
(1)只放入大球,且个数为x ,求y与x 的函数关系式(不必写出x 的范围);
大 大 大
(2)仅放入6个大球后,开始放入小球,且小球个数为x .
小
①求y与x 的函数关系式(不必写出x 的范围);
小 小
②限定水面高不超过260毫米,最多能放入几个小球?
24.(本小题满分11分)
某厂生产A,B两种产品,其单价随市场变化而做相应调整.营销人员根据前三次单价变化的情
况,绘制了如下统计表及不完整的折线图:
A,B产品单价变化统计表
第一次 第二次 第三次
A产品单价(元/件) 6 5.2 6.5
B产品单价(元/件) 3.5 4 3并求得了A产品三次单价的平均数和方差:
1 43
x =5.9;s2= [(6-5.9)2+(5.2-5.9)2+(6.5-5.9)2]= .
A A 3 150
(1)补全图中 B 产品单价变化的折线图.B 产品第三次的单价比上一次的单价降低了
%;
(2)求B产品三次单价的方差,并比较哪种产品的单价波动小;
(3)该厂决定第四次调价,A产品的单价仍为6.5元/件,B产品的单价比3元/件上调m%(m>0),
使得A产品这四次单价的中位数是B产品四次单价中位数的2倍少1,求m的值.
25.(本小题满分11分)
如图,已知点O(0,0),A(-5,0),B(2,1),抛物线l:y=-(x-h)2+1(h为常数)与y轴的交点为C.
(1)l经过点B,求它的解析式,并写出此时l的对称轴及顶点坐标;
(2)设点C的纵坐标为y ,求y 的最大值,此时l上有两点(x,y),(x ,y),其中x>x≥0,比较y 与
C C 1 1 2 2 1 2 1
y 的大小;
2
(3)当线段OA被l只分为两部分,且这两部分的比是1∶4时,求h的值.
26.(本小题满分14分)
平面上,矩形ABCD与直径为 QP的半圆K如图1摆放,分别延长DA和QP交于点O,且
∠DOQ=60°,OQ=OD=3,OP=2,OA=AB=1.让线段OD及矩形ABCD位置固定,将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转,设旋转角为α(0°≤α≤60°).
图1
发现
(1)当α=0°,即初始位置时,点P 直线AB上.(填“在”或“不在”)
求当α是多少时,OQ经过点B;
(2)在OQ旋转过程中,简要说明α是多少时,点P,A间的距离最小,并指出这个最小值;
(3)如图2,当点P恰好落在BC边上时,求α及S .
阴影
图2
拓展
如图3,当线段OQ与CB边交于点M,与BA边交于点N时,设BM=x(x>0),用含x的代数式表
示BN的长,并求x的取值范围.
图3
探究
当半圆K与矩形ABCD的边相切时,求sin α的值.
备用图答案全解全析：
一、选择题
1.A 原式=3-(-2)=3+2=5,故选A.
2.A 根据在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数,知1的相反数是-1,故选A.
3.C 可以动手操作,也可根据对折的顺序及菱形的对称性来判断.选C.
4.D A.(1) -1 =2,本选项错误;
2
B.6×107=60 000 000,本选项错误;
C.(2a)2=4a2,本选项错误;
D.a3·a2=a3+2=a5,本选项正确,故选D.
5.B 根据主视图排除选项A,C,D,故选B.
6.B 外心即为三角形外接圆的圆心,∵△ACF的顶点F不在圆O上,∴圆O不是△ACF的外接
圆,∴点O不是△ACF的外心,故选B.
7.C ∵2.82=7.84,2.92=8.41,∴ < < ,故选C.
√2.82 √8 √2.92
8.C 延长AC 交直线 EF 于点 G,∵AB∥EF,∴∠BAC=∠CGD=50°,∵∠ACD 是△CDG 的外角,
∴∠ACD=∠CGD+∠CDG=50°+90°=140°,故选C.
9.D 本题考查方向角的简单识别,选D.
k
10.C 由题意设y= (k>0,x>0),因为当x=2时,y=20,所以k=40,故选C.
x
11.D 解二元一次方程组时,在消去一个未知数之前应先计算方程组的各个方程中这个未知
数的系数的最小公倍数,然后进行消元,选项D正确.
12.B 由题意知Δ=4-4a<0,∴a>1,故选B.
13.B ∵任意抛掷一枚质地均匀的正方体骰子一次,向上一面的点数有6种情况,与点数3相
差2的点数为1或5,
2 1
∴任意抛掷一枚质地均匀的正方体骰子一次,向上一面的点数与点数3相差2的概率为 = .
6 3
故选B.
2 2
14.D 直线y=- x-3与y轴的交点坐标为(0,-3),若直线y=a与直线y=- x-3的交点在第四象
3 3
限,则a<-3,故选D.1
15.B ∵点M,N分别为PA,PB的中点,∴无论点P怎样移动,总有MN= AB,直线l与直线
2
MN的距离及直线MN,AB之间的距离不变,所以选项①③④中的值不变.随着点P的移动,点
P与点A,B的距离及∠APB的大小发生变化,故选B.
16.A 将甲纸片拼成如图1所示的正方形,其面积与原来矩形的面积相等,将乙纸片拼成如图
2所示的正方形,其面积与原来矩形的面积相等,故选A.
图1 图2
二、填空题
17.答案 ±1
解析 ∵|a|=2 0150=1,∴a=±1.
3
18.答案
2
(a+b)(a-b) a+b 2b+b 3
解析 ∵a=2b≠0,∴原式= = = = .
a(a-b) a 2b 2
19.答案 24
解析 正三角形、正方形、正五边形、正六边形的每个内角的度数分别为 60°、90°、
108°、120°,由题图可知∠3=90°-60°=30°,∠1=120°-108°=12°,∠2=108°-90°=18°,所以∠3+∠1-
∠2=30°+12°-18°=24°.
20.答案 9
解析 由题意可知:AO=AA,AA=AA,……,
1 1 2 1
则∠AOA=∠OA A,∠AAA =∠AAA,……,
1 1 1 2 1 2
∵∠BOC=9°,∴∠AAB=2×9°=18°,∠AAC=27°,∠AAB=36°,∠AAC=45°,……,
1 2 1 3 2 4 3
∴9°(n+1)=90°,解得n=9.
三、解答题
21.解析 (1)设所捂的二次三项式为A,则A=x2-5x+1+3x(2分)
=x2-2x+1.(4分)
(2)若x=√6+1,则A=(x-1)2(6分)
=(√6+1-1)2(7分)
=6.(10分)
22.解析 (1)CD.(1分)
平行.(2分)
(2)证明:连结BD.(3分)
在△ABD和△CDB中,
∵AB=CD,AD=CB,BD=DB,∴△ABD≌△CDB.(5分)
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∴AB∥CD,AD∥CB.(7分)
∴四边形ABCD是平行四边形.(8分)
(3)平行四边形的对边相等.(10分)
23.解析 (1)y=4x +210.(3分)
大
(2)①当x =6时,
大
y=4×6+210=234.∴y=3x +234;(7分)
小
②依题意,得3x +234≤260,
小
2
解得x ≤8 ,(9分)
小 3
∵x 为自然数,
小
∴x 最大为8,即最多能放入8个小球.(10分)
小
评析 一次函数的应用问题大多数以生活情境为背景命题,解答此类试题,应在弄懂题意的前
提下,建立函数模型,然后结合函数性质以及方程(组),不等式知识作答.
24.解析 (1)如图所示.(2分)
25.(4分)
1
(2)x = (3.5+4+3)=3.5,
B 3
(3.5-3.5)2+(4-3.5)2+(3-3.5)2
s2=
B 3
1
= .(7分)
6
1 43
∵ < ,
6 150
∴B产品的单价波动小.(8分)
(3)第四次调价后,
6+6.5 25
对于A产品,这四次单价的中位数为 = ;(9分)
2 4
对于B产品,∵m>0,
∴第四次单价大于3.
3.5+4 13 25
又∵ ×2-1= > ,
2 2 4
∴第四次单价小于4.
3(1+m%)+3.5 25
∴ ×2-1= ,(10分)
2 4
∴m=25.(11分)
25.解析 (1)把x=2,y=1代入y=-(x-h)2+1,得h=2.∴解析式为y=-(x-2)2+1(或y=-x2+4x-3).(2分)
对称轴为直线x=2,顶点为B(2,1).(4分)
(2)点C的横坐标为0,则y =-h2+1,
C
∴当h=0时,y 有最大值,为1.(5分)
C
此时,l为y=-x2+1,对称轴为y轴,当x≥0时,y随着x的增大而减小,
∴x>x≥0时,y<y.(7分)
1 2 1 2
(3)把线段OA分成1∶4两部分的点为(-1,0)或(-4,0).
把x=-1,y=0代入y=-(x-h)2+1,得h=0或h=-2.
但h=-2时,线段OA被分为三部分,不合题意,舍去.
同样,把x=-4,y=0代入y=-(x-h)2+1,得h=-5或h=-3(舍去).
∴h的值为0或-5.(11分)
26.解析 发现 (1)在.(1分)
当OQ过点B时,在Rt△OAB中,AO=AB,得∠DOQ=∠ABO=45°,
∴α=60°-45°=15°.(3分)
(2)如图1,连结AP,有OA+AP≥OP,当OP过点A,即α=60°时等号成立.
∴AP≥OP-OA=2-1=1.
∴当α=60°时,P,A间的距离最小.(5分)
PA的最小值为1.(6分)
图1
(3)如图1,设半圆K与PC交点为R,连结RK,过点P作PH⊥AD于点H,过点R作RE⊥KQ于
点E.
在Rt△OPH中,PH=AB=1,OP=2,∴∠POH=30°,
∴α=60°-30°=30°.(7分)
由AD∥BC知,∠RPQ=∠POH=30°.
∴∠RKQ=2×30°=60°.
(1) 2
60π π
∴S = 2 = .
扇形RKQ 24
360
√3
在Rt△RKE中,RE=RK·sin 60°= ,
4
1 √3
∴S = PK·RE= .
△RKP
2 16
π √3
∴S = + .(8分)
阴影 24 16
拓展 如图3,∠OAN=∠MBN=90°,∠ANO=∠BNM,
∴△AON∽△BMN,AN AO 1-BN 1
∴ = ,即 = ,
BN BM BN x
x
∴BN= .(10分)
x+1
如图2,当点Q落在BC上时,x取最大值,作QF⊥AD于点F.
图2
BQ=AF= -AO= -1=2 -1.
√OQ2-QF2 √32-12 √2
∴x的取值范围是0<x≤2√2-1.(11分)
[注:如果考生答“x≤2√2-1或x<2√2-1”均不扣分]
探究 半圆与矩形相切,分三种情况:
①如图3,半圆K与BC切于点T,设直线KT与AD和OQ的初始位置所在直线分别交于点
S,O',则∠KSO=∠KTB=90°,作KG⊥OO'于点G.
图3
Rt△OSK中,OS=
√OK2-SK2
=√ (5) 2
-
(3) 2 =2.
2 2
3
Rt△OSO'中,SO'=OS·tan 60°=2√3,KO'=2√3- .
2
1 3
Rt△KGO'中,∠O'=30°,∴KG= KO'=√3- .
2 4
3
√3-
KG 4 4√3-3
∴Rt△OGK中,sin α= = = .
OK 5 10
2
②半圆K与AD切于点T,如图4,图4
1 1
O'K (O'T-KT)
KG 2 2
同理可得sin α= = =
OK 5 5
2 2
√ (5) 2 (1) 2 1
= - ×√3- =6√2-1.
2 2 2
10
5
③当半圆K与CD相切时,点Q与点D重合,且为切点.
√3
∴α=60°,∴sin α=sin 60°= .
2
4√3-3 6√2-1 √3
综上所述,sin α的值为 或 或 .(14分)
10 10 2
