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吉林省2019年初中毕业生学业水平考试
(满分:120分 考试时间:120分钟)
一、单项选择题(每小题2分,共12分)
1.如图,数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为( )
A.3 B.2 C.1 D.-1
2.如图,由6个相同的小正方体组合成一个立体图形,它的俯视图为( )
3.若a为实数,则下列各式的运算结果比a小的是( )
A.a+1 B.a-1 C.a×1 D.a÷1
4.把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合,则这个旋转角度至少为( )
A.30° B.90° C.120° D.180°
5.如图,在☉O中, ⏜ 所对的圆周角∠ACB=50°,若P为 ⏜ 上一点,∠AOP=55°,则∠POB的度数为( )
AB AB
A.30° B.45° C.55° D.60°
6.曲桥是我国古代经典建筑之一,它的修建增加了游人在桥上行走的路程,有利于游人更好地观赏风光.如图,A,B两地间修建曲桥与修建直的桥相比,增加了桥的长度,其中蕴含的数学道理是( )
A.两点之间,线段最短
B.平行于同一条直线的两条直线平行
C.垂线段最短
D.两点确定一条直线
二、填空题(每小题3分,共24分)
7.分解因式:a2-1= .
8.不等式3x-2>1的解集是 .
y x
9.计算: · = .
2x2 y
10.若关于x的一元二次方程(x+3)2=c有实数根,则c的值可以为 (写出一个即可).
11.如图,E为△ABC边CA延长线上一点.过点E作ED∥BC.若∠BAC=70°,∠CED=50°,则∠B= °.12.如图,在四边形ABCD中,AB=10,BD⊥AD.若将△BCD沿BD折叠,点C与边AB的中点E恰好重合,则四边形BCDE的周长为 .
13.在某一时刻,测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为3 m,同时同地测得一栋楼的影长为90 m,则这栋楼的高度为 m.
⏜
14.如图,在扇形OAB中,∠AOB=90°.D,E分别是半径OA,OB上的点,以OD,OE为邻边的▱ODCE的顶点C在AB上.若OD=8,OE=6,则阴影部分图形的面积是 (结果保留π).
三、解答题(每小题5分,共20分)
15.先化简,再求值:(a-1)2+a(a+2),其中a= .
√2
16.甲口袋中装有红色、绿色两把扇子,这两把扇子除颜色外无其他差别;乙口袋中装有红色、绿色两条手绢,这两条手绢除颜色外无其他差别.从甲口袋中随机取出一把扇子,从乙口袋中随机取出一条手绢.用画树状图或列表的方法,求取出的扇子和手绢
都是红色的概率.
17.已知y是x的反比例函数,并且当x=2时,y=6.
(1)求y关于x的函数解析式;
(2)当x=4时,求y的值.
18.如图,在▱ABCD中,点E在边AD上,以C为圆心,AE长为半径画弧,交边BC于点F.连接BE,DF.求证:△ABE≌△CDF.四、解答题(每小题7分,共28分)
19.图①,图②均为4×4的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点.在图①中已画出线段AB,在图②中已画出线段CD,其中A,B,C,D均为格点.按下列要求画图:
(1)在图①中,以AB为对角线画一个菱形AEBF,且E,F为格点;
(2)在图②中,以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH,且G,H为格点,∠CGD=∠CHD=90°.
20.问题解决
糖葫芦一般是用竹签串上山楂,再蘸以冰糖制作而成.现将一些山楂分别串在若干根竹签上.如果每根竹签串5个山楂,还剩余4个山楂;如果每根竹签串8个山楂,还剩余7根竹签.这些竹签有多少根?山楂有多少个?
反思归纳
现有a根竹签,b个山楂.若每根竹签串c个山楂,还剩余d个山楂,则下列等式成立的是 (填写序号).
(1)bc+d=a;(2)ac+d=b;(3)ac-d=b.
21.墙壁及淋浴花洒截面如图所示.已知花洒底座A与地面的距离AB为170 cm,花洒AC的长为30 cm,与墙壁的夹角∠CAD为43°,求花洒顶端C到地面的距离CE(结果精确到1 cm).
(参考数据:sin 43°=0.68,cos 43°=0.73,tan 43°=0.93)22.某地区有城区居民和农村居民共80万人.某机构准备采用抽取样本的方法调查该地区居民“获取信息的最主要途径”.
(1)该机构设计了以下三种调查方案:
方案一:随机抽取部分城区居民进行调查;
方案二:随机抽取部分农村居民进行调查;
方案三:随机抽取部分城区居民和部分农村居民进行调查.
其中最具有代表性的一个方案是 ;
(2)该机构采用了最具有代表性的调查方案进行调查,供选择的选项有:电脑、手机、电视、广播、其他,共五个选项.每位被调查居民只选择一个选项,现根据调查结果绘制如下统计图,请根据统计图回答下列问题:
①这次接受调查的居民人数为 人;
②统计图中人数最多的选项为 ;
③请你估计该地区城区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数.
五、解答题(每小题8分,共16分)
23.甲、乙两车分别从A,B两地同时出发,沿同一条公路相向行驶.相遇后,甲车继续以原速行驶到B地,乙车立即以原速原路返回到B地.甲、乙两车距B地的路程y(km)与各自行驶的时间x(h)之间的关系如图所示.
(1)m= ,n= ;
(2)求乙车距B地的路程y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(3)当甲车到达B地时,求乙车距B地的路程.24.性质探究
如图①,在等腰三角形ABC中,∠ACB=120°,则底边AB与腰AC的长度之比为 .
理解运用
(1)若顶角为120°的等腰三角形的周长为8+4√3,则它的面积为 ;
(2)如图②,在四边形EFGH中,EF=EG=EH.
①求证:∠EFG+∠EHG=∠FGH;
②在边FG,GH上分别取中点M,N,连接MN.若∠FGH=120°,EF=10,直接写出线段MN的长.
类比拓展
顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为 (用含α的式子表示).
六、解答题(每小题10分,共20分)
25.如图,在矩形ABCD中,AD=4 cm,AB=3 cm,E为边BC上一点,BE=AB,连接AE.动点P,Q从点A同时出发,点P以√2 cm/s的速度沿AE向终点E运动;点Q以2 cm/s的速度沿折线AD-DC向终点C运动.设点Q运动的时间为x(s),在运动过程中,点P,点
Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为y(cm2).
(1)AE= cm,∠EAD= °;
(2)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
5
(3)当PQ= cm时,直接写出x的值.
4
26.如图,抛物线y=(x-1)2+k与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C(0,-3),P为抛物线上一点,横坐标为m,且m>0.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)当点P位于x轴下方时,求△ABP面积的最大值;
(3)设此抛物线在点C与点P之间部分(含点C和点P)最高点与最低点的纵坐标之差为h.①求h关于m的函数解析式,并写出自变量m的取值范围;
②当h=9时,直接写出△BCP的面积.
14吉林省2019年初中毕业生学业水平考试
一、单项选择题
1.D 观察数轴,蝴蝶在0的左侧,所以蝴蝶所在点表示的数为负数.故选D.
2.D 从上面看这个立体图形,应该是一排并列的4个正方形.故选D.
3.B 一个数减去一个正数的结果总小于这个数.故选B.
4.C 图形中有三个箭头,所以与自身重合的旋转角度至少为360°÷3=120°.故选C.
5.B 由题意可得∠AOB=2∠ACB=100°.∴∠POB=100°-55°=45°.故选B.
6.A 由题意可知,曲桥增加的长度是相对于两点之间直接连线而言的,因为两点之间线段最短,所以曲桥增加了桥的长度.故选A.
二、填空题
7. 答案 (a+1)(a-1)
解析 a2-1=(a+1)(a-1).
8. 答案 x>1
解析 由题意得3x>1+2,即3x>3,∴x>1.
1
9. 答案
2x
y x 1
解析 · = .
2x2 y 2x
10. 答案 0(任意一个非负数皆可)
解析 因为一个数的平方为非负数,所以只要c≥0,一元二次方程就有实数根,答案不唯一,例如c=0.
11. 答案 60
解析 ∵ED∥BC,∴∠C=∠CED=50°.
∴∠B=180°-∠BAC-∠C=60°.
12. 答案 20
解析 根据折叠的性质和E为AB的中点可知,BC=BE=5,CD=DE.∵BD⊥AD,∴CD=DE=5.∴四边形BCDE的周长为20.
13. 答案 54
1.8 x
解析 因为时刻相同,所以光线是平行的.设这栋楼的高度为x m,则 = ,解得x=54.
3 90
14. 答案 25π-48
90π×102
解析 连接OC.∵∠AOB=90°,∴▱ODCE为矩形.∴∠ODC=90°,CD=OE=6.∵OD=8,∴在Rt△ODC中,OC=√OD2+CD2=10,∴阴影部分图形的面积为 -6×8=25π-48.
360
三、解答题
15. 解析 原式=a2-2a+1+a2+2a(2分)
=2a2+1.(3分)
当a=√2时,原式=2×(√2)2+1=5.(5分)
16. 解析 解法一:根据题意,画树状图如下:
(3分)
1
由树状图可以看出,所有等可能出现的结果共有4种,且取出的扇子和手绢都是红色的结果有1种,所以P(扇子和手绢都是红色)= .(5分)
4
解法二:根据题意,列表如下:
乙结果甲 红扇子 绿扇子
(红扇子,红手 (绿扇子,红手
红手绢
绢) 绢)
(红扇子,绿手 (绿扇子,绿手
绿手绢
绢) 绢)
(3分)
1
由表可以看出,所有等可能出现的结果共有4种,且取出的扇子和手绢都是红色的结果有1种,所以P(扇子和手绢都是红色)= .(5分)
4
k
17. 解析 (1)设y= (k≠0).(1分)
x
k
因为x=2时,y=6,所以6= ,(2分)
2
解得k=12.
12
因此y= .(3分)
x
12
(2)把x=4代入y= ,得
x
12
y= =3.(5分)
4
18. 证明 ∵四边形 ABCD为平行四边形,
∴AB=CD,∠A=∠C.(2分)
由作图,得AE=CF,(3分)
∴△ABE≌△CDF.(5分)
四、解答题
19. 解析 答案不唯一,以下答案供参考.
(1)
(3分)
(2)
(7分)
评分说明:(1)点E,点F标注的位置互换不扣分;(2)点G,点H标注的位置互换不扣分.
20. 解析 问题解决
解法一:设竹签有x根,山楂有y个.(1分)
{ 5x+4= y,
根据题意,得 (3分)
8(x-7)= y,
{ x=20,
解得
y=104.
答:竹签有20根,山楂有104个.(5分)解法二:设竹签有x根.(1分)
根据题意,得5x+4=8(x-7),(3分)
解得x=20.
5x+4=5×20+4=104.
答:竹签有20根,山楂有104个.(5分)
反思归纳 (2)(7分)
详解:每一根竹签上有c个山楂,共有a根竹签,所以此时有ac个山楂,还剩余d个山楂,所以共有(ac+d)个山楂,所以ac+d=b.(2)正确.
21. 解析 如图,过点C作CF⊥AB于点F,则∠AFC=90°.(1分)
在Rt△ACF中,AC=30 cm,∠CAF=43°,
AF
∵cos∠CAF= ,
AC
∴AF=AC·cos∠CAF=30×cos 43°
=30×0.73=21.9(cm).(5分)
∴CE=BF=AB+AF
=170+21.9=191.9≈192(cm).
因此,花洒顶端C到地面的距离CE约为192 cm.(7分)
评分说明:(1)计算过程与结果中,写“=”或“≈”均不扣分;(2)计算过程不加单位不扣分.
22. 解析 (1)方案三.(2分)
(2)①1 000.(4分)
②手机.(5分)
260+400
③80× =52.8(万人).
1 000
所以该地区城区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数约为52.8万人.(7分)
五、解答题
23. 解析 (1)4;120.(2分)
(2)当乙车与甲车相向行驶时,设y关于x的函数解析式为y=kx(0≤x≤2).
因为函数图象过(2,120),
所以2k=120,
解得k=60,
所以y关于x的函数解析式为y=60x(0≤x≤2).(4分)
当乙车和甲车同向行驶时,设y关于x的函数解析式为y=kx+b(2≤x≤4).
1
因为函数图象过(2,120),(4,0)两点,
所以{2k
1
+b=120, 解得{k
1
=-60,
4k +b=0, b=240.
1
所以y关于x的函数解析式为y=-60x+240(2≤x≤4).(6分)
(3)当x=3.5时,y=-60×3.5+240=30.
所以当甲车到达B地时,乙车距B地的路程为30 km.(8分)
24. 解析 性质探究
√3.(2分)
理解运用
(1)4√3.(3分)
(2)①证明:∵EF=EG=EH,
∴∠EFG=∠EGF,∠EGH=∠EHG.(5分)
∴∠EFG+∠EHG=∠EGF+∠EGH=∠FGH.(6分)
②5√3.(7分)
提示:由①可知∠EFG+∠EHG=∠FGH.
∵∠FGH=120°,∴∠EFG+∠EHG=120°.
∵∠FEH+∠EFG+∠EHG+∠FGH=360°,∴∠FEH=120°.
连接FH.
∵EF=EH,∴△EFH是顶角为120°的等腰三角形,由性质探究可知FH=√3EF.
又∵EF=10,∴FH=10√3.
∵M,N为FG和GH的中点,∴MN为△FHG的中位线,
1
∴MN= FH=5√3.
2类比拓展
2sin α.(8分)
提示:如图,作AD⊥BC于点D,∴∠BAD=α,∴BD=ABsin α,
∴BC=2ABsin α,∴底边BC与腰AB的长度之比为2sin α.
评分说明:结果写成√3∶1,2sin α∶1不扣分.
六、解答题
25. 解析 (1)3√2;45.(2分)
(2)当0<x≤2时,如图①.
图①
过点P作PF⊥AD于点F.
∵AP=√2x cm,AQ=2x cm,∴PF=AP·sin 45°=x cm.
1 1
∴y= AQ·PF= ×2x·x=x2,
2 2
即y=x2.(4分)
当2<x≤3时,如图②.连接PD,过点P作PF⊥AD于点F.
图②
∵DQ=(2x-4)cm,DF=(4-x)cm,
∴y=S +S
△DAP △DPQ
1 1
= AD·PF+ DQ·DF
2 2
1 1
= ×4x+ (2x-4)(4-x)
2 2
=-x2+8x-8,即y=-x2+8x-8.(6分)
7
当3<x≤ 时,如图③.
2
图③
∵CQ=(7-2x)cm,EC=1 cm,
∴y=S -S
四边形AECD △PCQ
1 1
= ×(1+4)×3- ×1×(7-2x)
2 2
=x+4,
即y=x+4.(8分)
5√2 25
(3) 或 .(10分)
8 8
提示:根据图①,可列方程 x=5,∴x=5√2.根据图②,可列方程 (4-x)=5,∴x=4-5√2,不符合题意,舍去.根据图③,可列方程(7-2x)2+12=(5) 2 ,∴x=25.
√2 √2
4 8 4 8 4 87
评分说明:自变量取值含0或不含 均不扣分.
2
26. 解析 (1)把(0,-3)代入y=(x-1)2+k,得
-3=(0-1)2+k,
解得k=-4.
所以此抛物线的解析式为y=(x-1)2-4,
即y=x2-2x-3.(2分)
(2)令y=0,得(x-1)2-4=0,
解得x=-1,x=3.
1 2
所以A(-1,0),B(3,0),
所以AB=4.
解法一:由(1)知,抛物线顶点坐标为(1,-4).
由题意知,当点P位于抛物线顶点时,△ABP的面积取得最大值,
1
最大值为 ×4×4=8.(5分)
2
解法二:由题意,得P(m,m2-2m-3),
1
所以S = ×4×(-m2+2m+3)
△ABP
2
=-2m2+4m+6
=-2(m-1)2+8.
所以当m=1时,S 有最大值8.(5分)
△ABP
(3)①当0<m≤1时,h=-3-(m2-2m-3)=-m2+2m;
当1<m≤2时,h=-3-(-4)=1;
当m>2时,h=m2-2m-3-(-4)=m2-2m+1.(9分)
②△BCP的面积为6.(10分)
提示:当h=9时,即m2-2m+1=9,
解得m=4,m =-2(舍).
1 2
所以点P的坐标为(4,5),可求得△BCP的面积为6.
评分说明:(1)抛物线的解析式写为y=(x-1)2-4不扣分;(2)三段取值范围共1分,m=1,m=2写在哪一段皆可,每个解析式1分.
