吉林省2017年初中毕业生学业水平考试
(满分:120分 时间:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共12分)
一、单项选择题(每小题2分,共12分)
1.计算(-1)2的正确结果是( )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
2.下图是一个正六棱柱的茶叶盒,其俯视图为( )
3.下列计算正确的是( )
A.a2+a3=a5 B.a2·a3=a6 C.(a2)3=a6 D.(ab)2=ab2
4.不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是( )
5.如图,在△ABC中,以点B为圆心,以BA长为半径画弧交边BC于点D,连接AD.若∠B=40°,∠C=36°,则∠DAC的度数是( )
A.70° B.44° C.34° D.24°
6.如图,直线l是☉O的切线,A为切点,B为直线l上一点,连接OB交☉O于点C.若AB=12,OA=5,则BC的长为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
第Ⅱ卷(非选择题,共108分)
二、填空题(每小题3分,共24分)
7.2016年我国资助各类家庭困难学生超过84 000 000人次.将84 000 000这个数用科学记数法表示为 .
8.苹果原价是每千克x元,按8折优惠出售,该苹果现价是每千克 元(用含x的代数式表示).
9.分解因式:a2+4a+4= .
10.我们学过用直尺和三角尺画平行线的方法,如图所示,直线a∥b的根据是 .
11.如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3.矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB'C'D'.若点B的对应点B'落在边CD上,则B'C的长为 .12.如图,数学活动小组为了测量学校旗杆AB的高度,使用长为2 m的竹竿CD作为测量工具.移动竹竿,使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O处重合,测得OD=4 m,BD=14 m,则旗杆AB的高为 m.
⏜ ⏜
13.如图,分别以正五边形ABCDE的顶点A,D为圆心,以AB长为半径画BE,CE.若AB=1,则阴影部分图形的周长和为 (结果保留π).
14.我们规定:当k,b为常数,k≠0,b≠0,k≠b时,一次函数y=kx+b与y=bx+k互为交换函数.例如:y=4x+3的交换函数为y=3x+4.一次函数y=kx+2与它的交换函数图象的交点横坐标为 .
三、解答题(每小题5分,共20分)
1 2
15.某学生化简 + 出现了错误,解答过程如下:
x+1 x2-1
1 2
原式= + (第一步)
(x+1)(x-1) (x+1)(x-1)
1+2
= (第二步)
(x+1)(x-1)
3
= .(第三步)
x2-1
(1)该学生解答过程是从第 步开始出错的,其错误原因是 ;
(2)请写出此题正确的解答过程.
16.被誉为“最美高铁”的长春至珲春城际铁路途经许多隧道和桥梁,其中隧道累计长度与桥梁累计长度之和为342 km,隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36 km.求隧道累计长度与桥梁累计长度.
17.在一个不透明的盒子中装有三张卡片,分别标有数字1,2,3,这些卡片除数字不同外其余均相同.小吉从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回,洗匀后再随机抽取一张卡片.用画树状图或列表的方法,求两次抽取的卡片上数字之和为奇数的概率.
18.如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C.求证:∠A=∠D.四、解答题(每小题7分,共28分)
19.某商场甲、乙、丙三名业务员5个月的销售额(单位:万元)如下表:
月份
销售额 第1月 第2月 第3月 第4月 第5月
人员
甲 7.2 9.6 9.6 7.8 9.3
乙 5.8 9.7 9.8 5.8 9.9
丙 4 6.2 8.5 9.9 9.9
(1)根据上表中的数据,将下表补充完整;
统计量
数值 平均数(万元) 中位数(万元) 众数(万元)
人员
甲 9.3 9.6
乙 8.2 5.8
丙 7.7 8.5
(2)甲、乙、丙三名业务员都说自己的销售业绩好,你赞同谁的说法?请说明理由.
20.图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格,每个小等边三角形的顶点称为格点.线段AB的端点在格点上.
(1)在图①、图②中,以AB为边各画一个等腰三角形,且第三个顶点在格点上;(所画图形不全等)
(2)在图③中,以AB为边画一个平行四边形,且另外两个顶点在格点上.
21.如图,一枚运载火箭从距雷达站C处5 km的地面O处发射,当火箭到达点A,B时,在雷达站C处测得点A,B的仰角分别为34°,45°,其中点O,A,B在同一条直线上.求A,B两点间的距离(结果精确到0.1 km).
(参考数据:sin 34°=0.56,cos 34°=0.83,tan 34°=0.67)k 1
22.如图,在平面直角坐标系中,直线AB与函数y= (x>0)的图象交于点A(m,2),B(2,n).过点A作AC平行于x轴交y轴于点C,在y轴负半轴上取一点D,使OD= OC,且△ACD的面积是6,连接BC.
x 2
(1)求m,k,n的值;
(2)求△ABC的面积.
五、解答题(每小题8分,共16分)
23.如图①,BD是矩形ABCD的对角线,∠ABD=30°,AD=1.将△BCD沿射线BD方向平移到△B'C'D'的位置,使B'为BD中点,连接AB',C'D,AD',BC',如图②.
(1)求证:四边形AB'C'D是菱形;
(2)四边形ABC'D'的周长为 ;
(3)将四边形ABC'D'沿它的两条对角线剪开,用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形,直接写出所有可能拼成的矩形周长.24.如图①,一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内,现以一定的速度往水槽中注水,28 s时注满水槽.水槽内水面的高度y(cm)与注水时间x(s)之间的函数图象如图②所示.
(1)正方体铁块的棱长为 cm;
(2)求线段AB对应的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(3)如果将正方体铁块取出,又经过t(s)恰好将此水槽注满,直接写出t的值.
六、解答题(每小题10分,共20分)
25.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=45°,AB=4 cm.点P从点A出发,以2 cm/s的速度沿边AB向终点B运动.过点P作PQ⊥AB交折线ACB于点Q,D为PQ中点,以DQ为边向右侧作正方形DEFQ.设正方形DEFQ与△ABC重叠部分图形的面积是
y(cm2),点P的运动时间为x(s).
(1)当点Q在边AC上时,正方形DEFQ的边长为 cm(用含x的代数式表示);
(2)当点P不与点B重合时,求点F落在边BC上时x的值;
(3)当0<x<2时,求y关于x的函数解析式;
(4)直接写出边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围.
26.《函数的图象与性质》拓展学习片段展示:
4
【问题】 如图①,在平面直角坐标系中,抛物线y=a(x-2)2- 经过原点O,与x轴的另一个交点为A,则a= .
3
【操作】 将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方,将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G,如图②.直接写出图象G对应的函数解析式.
【探究】 在图②中,过点B(0,1)作直线l平行于x轴,与图象G的交点从左至右依次为点C,D,E,F,如图③.求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时x的取值范围.
【应用】 P是图③中图象G上一点,其横坐标为m,连接PD,PE.直接写出△PDE的面积不小于1时m的取值范围.吉林省2017年初中毕业生学业水平考试
一、单项选择题
答案速查
1 2 3 4 5 6
A B C A C D
1.A 根据乘方的意义可得结果为1,故选A.
2.B 正六棱柱的俯视图为正六边形,故选B.
3.C a2与a3不是同类项,不能合并,故A错误;a2·a3=a2+3=a5,故B错误;(a2)3=a2×3=a6,故C正确;(ab)2=a2b2,故D错误.故选C.
4.A 解不等式x+1≥2,可得x≥1,故选A.
5.C 由作图知BA=BD,∴∠BAD=∠BDA=70°,∵∠BDA=∠C+∠DAC,∴∠DAC=∠BDA-∠C=34°,故选C.
6.D 因为AB是圆O的切线,所以OA⊥AB,由勾股定理可得,OB=13,又因为OC=5,所以BC=OB-OC=13-5=8,故选D.
二、填空题
7. 答案 8.4×107
解析 科学记数法就是把一个数表示成a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,所以84 000 000用科学记数法表示为8.4×107.
8. 答案 0.8x
解析 8折优惠相当于是原价的80%,故该苹果现价是每千克0.8x元.
9. 答案 (a+2)2
解析 由完全平方公式,可得a2+4a+4=(a+2)2.
10. 答案 同位角相等,两直线平行
解析 由题图可知,同位角相等,故a∥b的根据是同位角相等,两直线平行.
11. 答案 1
解析 由题意可知,AB=AB'=5,在Rt△ADB'中,利用勾股定理可得DB'=4,所以B'C=1.
12. 答案 9
解析 ∵OD=4 m,BD=14 m,∴OB=18 m.
OD CD 4 2
由题意知△ODC∽△OBA,∴ = ,即 = ,得AB=9 m.
OB AB 18 AB
6
13. 答案 π+1
5
108×π×1 6
解析 正五边形的每个内角都为108°,故可得阴影部分图形的周长和为2× +1= π+1.
180 5
14. 答案 1
解析 y=kx+2的交换函数为y=2x+k,令kx+2=2x+k,则(k-2)x=k-2,由题意得k-2≠0,所以x=1,所以交点横坐标是1.
三、解答题
15. 解析 (1)一.(1分)
分式的基本性质用错.(2分)
x-1 2
(2)原式= +
(x+1)(x-1) (x+1)(x-1)
x+1
=
(x+1)(x-1)
1
= .(5分)
x-1评分说明:第(1)题第2空写成“第一个分式的分子没有乘(x-1)”或者“通分错误”均给分,意思表达正确,可以给分.
16. 解析 解法一:设隧道累计长度为x km,桥梁累计长度为y km.(1分)
{x+ y=342,
由题意,得 (3分)
2x= y+36.
{x=126,
解得
y=216.
答:隧道累计长度为126 km,桥梁累计长度为216 km.(5分)
解法二:设隧道累计长度为x km,则桥梁累计长度为(2x-36)km.(1分)
由题意,得x+(2x-36)=342.(3分)
解得x=126.
所以2x-36=216.
答:隧道累计长度为126 km,桥梁累计长度为216 km.(5分)
17. 解析 解法一:根据题意,可以画出如下树状图:
(3分)
从树状图可以看出,所有可能出现的结果共有9个,且每个结果出现的可能性相同,其中两次抽取的卡片上数字之和为奇数的结果有4个,
4
所以P(两次抽取的卡片上数字之和为奇数)= .(5分)
9
解法二:根据题意,列表如下:
第
一次
1 2 3
和
第二次
1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
(3分)
从表中可以看出,所有可能出现的结果共有9个,且每个结果出现的可能性相同,其中两次抽取的卡片上数字之和为奇数的结果有4个,
4
所以P(两次抽取的卡片上数字之和为奇数)= .(5分)
9
18. 证明 ∵BE=CF,
∴BE+EF=CF+EF.
∴BF=CE.(2分)
又∠B=∠C,AB=DC,
∴△ABF≌△DCE.(4分)
∴∠A=∠D.(5分)
四、解答题
19. 解析 (1)如下表:
统计量
数值 平均数(万元) 中位数(万元) 众数(万元)
人员
甲 8.7 9.3 9.6
乙 8.2 9.7 5.8
丙 7.7 8.5 9.9
(5分)
(2)赞同甲业务员的说法,理由是甲业务员销售额的平均数最高.(7分)
赞同乙业务员的说法,理由是乙业务员销售额的中位数最高.(7分)
赞同丙业务员的说法,理由是丙业务员销售额的众数最高.(7分)
评分说明:(1)第(1)题平均数和中位数各2分,众数1分;
(2)第(2)题写出一种情况即可.
20. 解析 (1)每画对一个得2分.答案不唯一,以下答案供参考.(4分)
(2)画对一个即可.答案不唯一,以下答案供参考.
(7分)
21. 解析 由题意,得∠AOC=90°,OC=5 km.
在Rt△AOC中,
OA
∵tan 34°= ,
OC
∴OA=OC·tan 34°=5×0.67=3.35(km).(3分)
在Rt△BOC中,∠BCO=45°,
∴OB=OC=5 km.(5分)
∴AB=5-3.35=1.65≈1.7(km).
答:A,B两点间的距离约为1.7 km.(7分)
评分说明:(1)计算过程中写“=”或“≈”均不扣分;
(2)计算过程不加单位不扣分.
22. 解析 (1)∵点A的坐标为(m,2),AC平行于x轴,
∴OC=2,AC⊥y轴,
1
∵OD= OC,∴OD=1.∴CD=3.
2
1
∵△ACD的面积是6,∴ CD·AC=6.
2
∴AC=4.(2分)
∴m=4.(3分)
k
∵点A(4,2)在y= 的图象上,
x
∴k=4×2=8.(4分)
8
∵点B(2,n)在y= 的图象上,
x
∴n=4.(5分)
(2)如图,过点B作BE⊥AC于点E,则BE=2.(6分)
1 1
∴S = AC·BE= ×4×2=4.
△ABC
2 2
∴△ABC的面积为4.(7分)
五、解答题
23. 解析 (1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AD=BC.
易知AD∥B'C',AD=B'C'.
∴四边形AB'C'D为平行四边形.(2分)
1
∵∠DAB=90°,∠ABD=30°,∴AD= BD.
2
1
∵B'为BD中点,∴AB'= BD.
2
∴AD=AB'.(3分)
∴四边形AB'C'D为菱形.(4分)
(2)∵∠DAB=90°,∠ABD=30°,∴BD=2,∴AB=√3.
易证ABC'D'是菱形.
∴四边形ABC'D'的周长是4√3.(6分)
(3)如图.周长为2×( √3)=6+ .
3+ √3
2
如图.
周长为2×(3 )=3+2 .(8分)
+√3 √3
2
24. 解析 (1)12秒时,水面高度为10 cm,之后水面上升速度变慢,说明正方体铁块的棱长为10 cm.(2分)
(2)设直线AB对应的函数解析式为y=kx+b,k≠0.
∵图象过A(12,10),B(28,20),
5
{k= ,
∴{12k+b=10,解得 8 (4分)
28k+b=20. 5
b= .
2
5 5
∴线段AB对应的函数解析式为y= x+ (12≤x≤28).(6分)
8 2
5
(3)t=20÷ -28=32-28=4(s).(8分)
8
评分说明:第(2)题解析式和自变量取值范围各1分.
六、解答题
25. 解析 (1)x.(2分)
(2)如图①,延长FE交AB于点G.
图①
由题意,得AP=QP=2x cm.
∵D为PQ中点,∴DQ=x cm.∴GP=x cm,BG=2x cm.
4
∴2x+x+2x=4.∴x= .(4分)
5
4
(3)如图②,当0<x≤ 时,y=S =DQ2=x2 cm2.
5
正方形DEFQ
∴y=x2.
图②
4
如图③,当 <x≤1时,过点C作CH⊥AB于点H,交FQ于点K,则CH=2 cm.
5图③
∵PQ=AP=2x cm,∴CK=(2-2x)cm.∴MQ=2CK=(4-4x)cm.
∴FM=x-(4-4x)=(5x-4)cm.
∴重叠部分图形的面积=S
正方形DEFQ
-S
△MNF
=(
-
23
x2+20x-8
)cm2.
2
23
∴y=- x2+20x-8.
2
如图④,当1<x<2时,PQ=BP=(4-2x)cm.
∴DQ=(2-x)cm.
图④
1 1
重叠部分图形的面积=S = DQ2= (x-2)2cm2.
△DEQ
2 2
1
∴y= x2-2x+2.(8分)
2
(4)1<x<3. 详解:设BC中点为M,
2
当Q与C重合时,E恰好与M重合,此时x=1.
3
当Q与M重合时,x= .
2
3
所以BC中点落在正方形DEFQ的内部时,1<x< (10分)
2
评分说明:第(3)题结果正确,不画图不扣分;3段取值范围共1分,每个解析式1分.
4 4 1
26. 解析 【问题】 把(0,0)代入y=a(x-2)2- ,得4a- =0,∴a= .(1分)
3 3 3
1 4
【操作】 当x≤0或x≥4时,y= (x-2)2- ;(2分)
3 3
1 4
当0<x<4时,y=- (x-2)2+ .(3分)
3 3
【探究】 由题意得,当x≤0或x≥4时,
1 4
令y=1,则 (x-2)2- =1.
3 3
解得x=2+√7,x=2-√7.(4分)
1 2
∴点C,F的坐标分别为(2-√7,1),(2+√7,1).
1 4
当0<x<4时,令y=1,则- (x-2)2+ =1.
3 3
解得x=3,x=1.(5分)
1 2
∴点D,E的坐标分别为(1,1),(3,1).
∴当1<x<2或x>2+√7时,y随x的增大而增大.(7分)
【应用】 △PDE的面积不小于1时,m的取值范围是m=0或m=4或m≤2-√10或m≥2+√10.
(详解:设点P的纵坐标为y,则P(m,y),
1
·2·|y-1|=1,解得y=0或y=2.
2
当y=0时,m=0或m=4;
1 4
当y=2时, (m-2)2- =2,解得m=2±√10.
3 3
所以△PDE的面积不小于1时,m的取值范围是m=0或m=4或m≤2-√10或m≥2+√10)(10分)
评分说明:(1)在“操作”和“探究”中,写自变量取值范围时,用“<”或“≤”均得分;(2)在“操作”中,解析式正确即可得分;
(3)在“应用”中,写对一个得1分,写对两个或三个得2分,写对四个得3分.
