2018年兰州市初中学业水平考试(A卷)
(满分:150分 时间:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共48分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.-2 018的绝对值是( )
1
A. B.-2 018
2 018
1
C.2 018D.-
2 018
2.如图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体,则该几何体的主视图是( )
3.据中国电子商务研究中心(100EC.CN)发布的《2017年度中国共享经济发展报告》显示,截至2017年12月,共有190家共享经济平台获得1 159.56亿元投资.数据1 159.56亿元用科学记数法可表示为( )
A.1 159.56×108元 B.11.595 6×1010元
C.1.159 56×1011元 D.1.159 56×108元
4.下列二次根式中,是最简二次根式的是( )
A.√18 B.√13 C.√27 D.√12
5.如图,AB∥CD,AD=CD,∠1=65°,则∠2的度数是( )
A.50° B.60° C.65° D.70°
6.下列计算正确的是( )
A.2a·3b=5ab B.a3·a4=a12
C.(-3a2b)2=6a4b2 D.a5÷a3+a2=2a2
7.如图,边长为4的等边△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,则△ADE的面积是( )
√3 3√3
A.√3 B. C. D.2√3
2 4
8.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,BE∥DF且BE与DF之间的距离为3,则AE的长是( )
3 7 5
A.√7 B. C. D.
8 8 89.如图,将▱ABCD沿对角线BD折叠,使点A落在点E处,交BC于点F.若∠ABD=48°,∠CFD=40°,则∠E为( )
A.102° B.112° C.122° D.92°
2x+a
10.关于x的分式方程 =1的解为负数,则a的取值范围为( )
x+1
A.a>1 B.a<1
C.a<1且a≠-2 D.a>1且a≠2
11.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列5个结论:
①abc>0;②b-a>c;③4a+2b+c>0;④3a>-c;⑤a+b>m(am+b)(m是不等于1的实数).
其中正确的结论有( )
A.①②③ B.②③⑤ C.②③④ D.③④⑤
1 45 1
12.如图,抛物线y= x2-7x+ 与x轴交于点A、B,把抛物线在x轴及其下方的部分记作C ,将C 向左平移得C ,C 与x轴交于点B,D.若直线y= x+m与C 、C 共有3个不同的交点,则m的取值范围是( )
2 2 1 1 2 2 2 1 2
45 5 29 1
A.- <m<- B.- <m<-
8 2 8 2
29 5 45 1
C.- <m<- D.- <m<-
8 2 8 2
第Ⅱ卷(非选择题,共102分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.
13.因式分解:x2y-y3= .
{2(x+1)>5x-7,
14.不等式组 4 2 的解集为 .
x+3>1- x
3 3
⏜
15.如图,△ABC的外接圆O的半径为3,∠C=55°,则劣弧AB的长是 .(结果保留π)
16.如图,M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点,满足AM=BN,连接AC交BN于点E,连接DE交AM于点F,连接CF,若正方形的边长为6,则线段CF的最小值是 .三、解答题:本大题共12小题,共86分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或计算步骤.
( 1) -2
17.(5分)计算: - +(π-3)0+|1-√2|+tan 45°.
2
18.(5分)解方程:3x2-2x-2=0.
( 3x-4) x-2 1
19.(5分)先化简,再求值: x- ÷ ,其中x= .
x-1 x-1 2
20.(6分)如图,在Rt△ABC中.
(1)利用尺规作图,在BC边上求作一点P,使得点P到AB的距离(PD的长)等于PC的长;
(2)利用尺规作图,作出(1)中的线段PD.
(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹,并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)21.(7分)学校开展“书香校园”活动以来,受到同学们的广泛关注.学校为了解全校学生课外阅读的情况,随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数,并制成如图不完整的统计图表.
学生借阅图书的次数统计表
借阅图书的次数 0次 1次 2次 3次 4次及以上
人数 7 13 a 10 3
学生借阅图书的次数统计图
请你根据统计图表中的信息,解答下列问题:
(1)a= ,b= ;
(2)该调查统计数据的中位数是 ,众数是 ;
(3)请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数;
(4)若该校共有2 000名学生,根据调查结果,估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数.
22.(7分)在一个不透明的布袋里装有4个标有1,2,3,4的小球,它们的形状、大小完全相同.李强从布袋里随机取出一个小球,记下数字为x,王芳在剩下的3个小球中随机取出一个小球,记下数字为y,这样确定了点M的坐标(x,y).
(1)画树状图或列表,写出点M所有可能的坐标;
(2)求点M(x,y)在函数y=x+1的图象上的概率.
23.(7分)如图,斜坡BE,坡顶B到水平地面的距离AB为3米,坡底AE为18米,在B处,E处分别测得CD顶部点D的仰角为30°,60°,求CD的高度.(结果保留根号)
24.(7分)某商家销售一款商品,进价每件80元,售价每件145元,每天销售40件,每销售一件需支付给商场管理费5元.未来一个月(按30天计算),这款商品将开展“每天降价1元”的促销活动,即从第一天起每天的单价均比前一天降1元,通过市场调查发
现,该商品单价每降1元,每天销售量增加2件,设第x天(1≤x≤30且x为整数)的销量为y件.
(1)直接写出y与x的函数关系式;
(2)设第x天的利润为w元,试求出w与x之间的函数关系式,并求出哪一天的利润最大,最大利润是多少元?k
25.(8分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y= 的图象交于点A(1,2)和B(-2,m).
1 2
x
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)请直接写出y>y 时,x的取值范围;
1 2
(3)过点B作BE∥x轴,AD⊥BE于点D,点C是直线BE上一点,若AC=2CD,求点C的坐标.
26.(8分)如图,过点C作CD∥AB,E是AC的中点,连接DE并延长,交AB于点F,交CB的延长线于点G.连接AD,CF.
(1)求证:四边形AFCD是平行四边形;
3
(2)若GB=3,BC=6,BF= ,求AB的长.
2
27.(9分)如图,AB为☉O的直径,C为☉O上一点,D为BA延长线上一点,∠ACD=∠B.
(1)求证:DC为☉O的切线;
3
(2)线段DF分别交AC,BC于点E,F,且∠CEF=45°,☉O的半径为5,sin B= ,求CF的长.
528.(12分)如图,抛物线y=ax2+bx-4经过A(-3,0),B(5,-4)两点,与y轴交于点C,连接AB,AC,BC.
(1)求抛物线的表达式;
(2)求证:AB平分∠CAO;
(3)抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△ABM是以AB为直角边的直角三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
2018年兰州市初中学业水平考试
一、选择题
答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C A C B A D A C B D B C
1.C 根据负数的绝对值等于它的相反数得|-2 018|=2 018.故选C.
2.A 从正面看第一层有三个小正方形,第二层左边有一个小正方形,故选A.
3.C 1 159.56亿=115 956 000 000,将1 159.56亿元用科学记数法表示为1.159 56×1011元.故选C.
4.B √18=3√2,选项A不符合题意;√13是最简二次根式,选项B符合题意;√27=3√3,选项C不符合题意;√12=2√3,选项D不符合题意,故选B.
5.A ∵AD=CD,∴∠ACD=∠CAD,∵AB∥CD,∴∠ACD=∠1=65°,∴∠2=180°-∠ACD-∠CAD=180°-65°-65°=50°,故选A.
6.D 2a·3b=6ab,选项A错误;a3·a4=a7,选项B错误;(-3a2b)2=9a4b2,选项C错误;a5÷a3+a2=a2+a2=2a2,选项D正确,故选D.
7.A ∵D,E分别是AB,AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,
DE 1
∴DE∥BC, = ,∴△ADE∽△ABC,
S
△ADE (
B1C
)
2 2
∴ = ,又∵等边三角形ABC的边长为4,
S 1 2 1
∴S △AB=C ×4×2√3=4√3.∴S = ×4√3=√3,故选A.
ABC 2 ADE 4
△ △8.C ∵BE∥DF,AD∥BC,∴四边形BEDF为平行四边形.∵BE与DF之间的距离为3,∴S =3·BE=DE·AB,
7 平行四边形BEDF
又∵AB=3,∴BE=DE.在Rt ABE中,BE2=AE2+AB2,则(4-AE)2=AE2+32,解得AE= ,故选C.
8
9.B ∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBF,由折叠可得∠ADB=∠BDF,
△
∴∠DBF=∠BDF,
又∵∠CFD=∠BDF+∠DBF=40°,∴∠ADB=∠BDF=20°,
又∵∠ABD=∠EBD=48°,∴∠A=∠E=180°-48°-20°=112°,故选B.
10.D 去分母得2x+a=x+1,解得x=1-a,
∵分式的分母不为0,∴x+1=1-a+1≠0,解得a≠2.
∵方程的解为负数,∴1-a<0,∴a>1.
∴a的取值范围是a>1且a≠2.故选D.
11.B ①由题图可知a<0,b>0,c>0,则abc<0,故①错误;
②当x=-1时,y=a-b+c<0,即b-a>c,故②正确;
③由抛物线的对称性可知,当x=2时,函数值大于0,即y=4a+2b+c>0,故③正确;
b
④对称轴x=- =1,解得b=-2a,当x=-1时,y=a-b+c<0,即3a+c<0,3a<-c,故④错误;
2a
⑤当x=1时,y的值最大.此时,y=a+b+c,而当x=m(m≠1)时,y=am2+bm+c,所以a+b+c>am2+bm+c,
故a+b>am2+bm,即a+b>m(am+b),故⑤正确.故选B.
1 45 1
12.C y= x2-7x+ = (x-7)2-2,
21 2 2
令y=0,即 (x-7)2-2=0,解得x=5或9,
2
则点A(9,0),B(5,0),
由题意知将C 向左平移4个单位长度得C ,
1 1 2
则C 的解析式为y= (x-3)2-2(1≤x≤5),
21 2 1 5
当y= x+m 过点B时,0= ×5+m ,m=- ,
12 1 2 1 1 11 2
当y= x+m 与C 相切时,令 x+m= (x-3)2-2,
2 2 2 2 2 2
即x2-7x+5-2m=0,Δ=(-7)2-4(5-2m )=8m+29=0,
29 2 2 2
解得m=- ,
29 2 85 1
当- <m<- 时,直线y= x+m与C 、C 共有3个不同的交点,故选C.
8 2 2 1 2
二、填空题
13. 答案 y(x+y)(x-y)
解析 x2y-y3=y(x2-y2)=y(x+y)(x-y).
14. 答案 -1<x<3
4 2
解析 解不等式2(x+1)>5x-7,得x<3;解不等式 x+3>1- x,得x>-1,所以不等式组的解集为-1<x<3.
11π 3 3
15. 答案
6
解析 根据圆周角定理可得∠AOB=2∠C,
110×π×3 11π
⏜
∵∠C=55°,∴∠AOB=110°,所以劣弧AB的长为 = .
180 6
16. 答案 3√5-3
解析 在正方形ABCD中,AD=BC=CD,∠ADC=∠BCD,∠DCE=∠BCE,在Rt ADM和Rt BCN中,
{AD=BC,
∴Rt ADM≌Rt BCN(HL),∴∠1=∠2,
AM=BN, △ △
{在△DCCED和=△CBBC,E中,
△ △
∠DCE=∠BCE,∴△DCE≌△BCE(SAS),
CE=CE,
∴∠2=∠3,∴∠1=∠3,
∵∠ADF+∠3=∠ADC=90°,
∴∠1+∠ADF=90°,
∴∠AFD=180°-90°=90°,
取AD的中点O,连接OF、OC,
1
则OF=DO= AD=3,
2
在Rt ODC中,OC=√DO2+DC2=√32+62=3√5,
根据三角形的三边关系,OF+CF>OC,
△∴当O、F、C三点共线时,CF的长度最小,
最小值为OC-OF=3√5-3.
三、解答题
17. 解析 原式=4+1+√2-1+1=5+√2.
18. 解析 a=3,b=-2,c=-2,
Δ=b2-4ac=(-2)2-4×3×(-2)=28>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
-b±√b2-4ac 2±√28
∴x= = ,
1+√72a 1-√7 2×3
∴x= ,x= .
1 3 ( 2 3x3-4) x-2 (x2-x 3x-4) x-1
19. 解析 x- ÷ = - ·
x2-4x+4 x-1x-(1x-2x)-2 1x-1x-1 x-1 x-2
= · = · =x-2.
x1-1 x-12 3x-1 x-2
当x= 时,原式= -2=- .
2 2 2
20. 解析 (1)(2)如图.
21. 解析 (1)17;20.
总人数为13÷26%=50,
a=50-7-13-10-3=17,
∵借阅图书的次数是3次的人数的百分比为10÷50=20%,
∴b=20.
(2)2次;2次.
数据的总数为50,所以数据的中位数是排序后第25个数据及第26个数据的平均数,所以数据的中位数为2次;借阅图书的次数是2的有17人,人数最多,所以数据的众数为2次.
(3)“3次”所对应扇形的圆心角的度数为360°×20%=72°.
3
(4)估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数为2 000× =120.
50
22. 解析 (1)列表得:
(x,y) 1 2 3 4
1 (1,2) (1,3) (1,4)
2 (2,1) (2,3) (2,4)
3 (3,1) (3,2) (3,4)
4 (4,1) (4,2) (4,3)
点M所有可能的坐标有(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),共12种.
(2)∵共有12种等可能的结果,其中在函数y=x+1图象上的有3种,即(1,2),(2,3),(3,4),
3 1
∴点M(x,y)在函数y=x+1的图象上的概率为 = .
12 4
23. 解析 过点B作BF⊥CD,垂足为点F.
∵AB⊥AC,CD⊥AC,∴四边形ABFC为矩形,
∴AB=CF=3,AC=BF.
CD CD CD
在Rt CDE中,tan 60°= ,∴CCED= -3,∴BF=AC=18+ .
DCEF √3 √3 √3
在Rt BDF中,tan 30°= ,∴ CD = ,
△ 9 BF 18+ 3
解得CD=9√3+ . √3
△ 2 ( 9)
答:CD的高度为 9√3+ 米.
2
24. 解析 (1)由题意可知y=2x+40(1≤x≤30且x为整数).
(2)根据题意可得w=(145-x-80-5)(2x+40)
=-2x2+80x+2 400=-2(x-20)2+3 200,
∵a=-2<0,∴函数有最大值,
∴当x=20时,w有最大值,最大值为3 200,
∴第20天的利润最大,最大利润是3 200元.
k
25. 解析 (1)把A(1,2)代入y= 得k=2.
22 x
∴反比例函数的表达式为y= .
2 x2
把B(-2,m)代入y= 得-2m=2,m=-1.
2 x
把A(1,2),B(-2,-1)代入y=ax+b得
{ a+b=2, {a1=1,
解得
-2a+b=-1, b=1.
∴一次函数的表达式为y=x+1.
1
(2)x的取值范围为-2<x<0或x>1.
(3)∵A(1,2),B(-2,-1),BE∥x轴,AD⊥BE,
∴D(1,-1),∴AD=3.当点C在点D的右侧时,
∵AD⊥BE,AC=2CD,∴∠DAC=30°,
√3
∴CD=AD·tan 30°=3× =√3.
3
∴点C的坐标为(1+√3,-1).
当点C在点D的左侧时,点C的坐标为(1-√3,-1).
26. 解析 (1)证明:∵E是AC的中点,∴AE=CE.
∵CD∥AB,∴∠EAF=∠ECD,∠AFE=∠CDE.
∴△AFE≌△CDE,∴AF=CD.又AF∥CD,
∴四边形AFCD是平行四边形.
(2)∵AB∥CD,∴△GBF∽△GCD,
GB BF 3
∴ = 3.∵GB=3,BC=6,BF= ,
G3C CD 9 2
∴ = 2 ,∴CD= .
3+6 2 9
∵四边形CADFCD是平行四边形,∴AF=CD= ,
9 3 2
∴AB=AF+BF= + =6.
2 2
27. 解析 (1)证明:连接OC,∵OB=OC,∴∠B=∠BCO.
∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=∠BCO+∠ACO=90°.
∵∠ACD=∠B,∴∠ACD=∠BCO,
∴∠ACD+∠ACO=90°,即OC⊥CD,∴DC为☉O的切线.
(2)∵∠ACB=90°,∠CEF=45°,∴∠CFE=∠CEF=45°,
∴CF=CE.∵∠CFE=∠B+∠ADE,∠CEF=∠ACD+∠CDE,
AD AE
∴∠ADE=∠CDE,∴ = .
CD CE
∵∠ACD=∠B,∠ADC为公共角,
AD AC
∴△ACD∽△CBD,∴ = .
3 CD BC
∵sin B= ,AB=10,∴AC=6,∴BC=8,
AD A5C 3 AE 3
∴ = = ,∴ = ,
6C-DCEBC3 4 CE 244 24
即 = ,解得CE= ,故CF=CE= .
CE 4 7 1 7
28. 解析 (1)把A(-3,0),B { (5a,-4=)代,入y=ax2+bx-4得
{ 9a-3b-4=0, 6
解得
25a+5b-4=-4, 1 5 5
∴抛物线的表达式为y= x2b - = x - -4. .
6 6 6
(2)由(1)知,点C的坐标为(0,-4),∵点A(-3,0),∴AC=√32+42=5.
∵点B(5,-4),点C(0,-4),∴BC∥x轴,BC=5,
∴AC=BC,∴∠CAB=∠ABC.
∵BC∥x轴,∴∠ABC=∠BAO,
∴∠CAB=∠BAO,即AB平分∠CAO.
(3)存在, (5 ,-9 ) , (5 ,11 ) . {k=- 1 ,
2 2 {-3k+b=0, 2
解法一:设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0),把A(-3,0),B(5,-4)代入y=kx+b得 解得
1 3 5k+b=-4, 3
∴直线AB的解析式为y=- x- .
b=- .
2 2 2
①当∠BAM=90°时,如图所示.
5
-
b 6 5
抛物线的对称轴为x=- =- = .
5 12a5 3 111 2 11
∴x =x =x = ,∴y =- × -2=×- ,∴GH= .
H G M 2 G 2 2 2 64 4∵∠GHA=∠GAM=90°,∴∠MAH=90°-∠GAH=∠AGM.
∵∠AHG=∠MHA=90°,∠MAH=∠AGM,∴△AHG∽△MHA,
GH11AH
∴ = .5
AH4 MH -(-3)
∴ =2 ,解得MH=11,
∴点 5 - M (- 的 3 坐 ) 标为M (5 H,11 ) .
2 2
②当∠ABM=90°时,如图所示.
5 5 5
∵B(5,-4),x =x =x = ,∴BD=5- = .
5 D G1 M5 23 11 2 211 11 5
∵x = ,∴y =- × - =- ,∴GH= ,DG=4- = .
∵∠ G B 2 DG=9 G 0°,∴ 2 B 2 G= 2 √BD 4 2+DG2= 4√ (5) 2 + ( 45) 24 = 5√5 .同理可得AG= 11√5 .
11 2 4 4 4
∵∠AGH=∠MG1B1,∠√5AHG=∠MBG=90°,∴△AGH∽△MGB,
AG GH 4 25
∴ = ,∴ 4 = ,解得MG= .
MG GB 25 115√5 4 (5 )
∴MH=MG+GH=MG+ =9,∴点M的坐标为 ,-9 .
4 4 4 (5 )( 25 ) 5
综上所述,符合要求的点M的坐标为 ,-9 , ,11 . -
2 2 b 6 5 5
解法二:①当∠BAM=90°时,如图所示.抛物线的对称轴为x=- =- = ,∴x = .
2a 1 2 M 2
过点A作HG⊥x轴,过点M作MG⊥HG,过点B作BH⊥HG. 2×
6
∵∠BAM=90°,∴∠MAG+∠BAH=90°.∵∠MAG+∠AMG=90°,
∴∠AMG=∠BA5H.∵∠G=∠H=90°,∴△AMG∽△BAH,
GM AG -(-3) AG
∴ = ,∴2 = ,解得AG=11,∵y =y ,
AH BH (5 ) 5-(-3) G M
∴点M的坐标为 4,11 .
2
5
②当∠ABM=90°时,如图所示-.
b 6 5
抛物线的对称轴为x=- =- = ,
5 2a 1 2
∴x = . 2×
M 2 6
过点B作HG⊥x轴,
过点M作MG⊥HG.
∵∠ABM=90°,
∴∠ABH+∠MBG=90°.
∵∠MBG+∠BMG=90°,
∴∠ABH=∠BMG.
∵∠G=∠AHB=90°,
∴△ABH∽△BMG,
BH AH
∴ 4 = ,
MG B5G-(-3)
∴ 5= ,
5- BG
解得B2G=5,
∵y =y ,
G M (5 )
∴点M的坐标为 ,-9 .
2
