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2018 年上海市中考数学试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分。下列各题的四个选项中，有且只有一个选项
是正确的）
1. 下列计算 ﹣ 的结果是（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】先对二次根式进行化简，然后再合并同类二次根式即可得.
【详解】 ﹣
=3 -
=2 ，
故选C．
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的性质以及二次根式加减法的运算法
则是解题的关键.
2. 下列对一元二次方程x2+x﹣3=0根的情况的判断，正确的是（ ）
A. 有两个不相等实数根 B. 有两个相等实数根
C. 有且只有一个实数根 D. 没有实数根
【答案】A
【解析】
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出 =13＞0，进而即可得出方程x2+x﹣3=0有两个不相等的
实数根． △
【详解】∵a=1，b=1，c=﹣3，
∴△=b2﹣4ac=12﹣4×（1）×（﹣3）=13＞0，
∴方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根，
故选A．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式 的关系：（1） ＞0 方程有两个
不相等的实数根；（2） =0 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没△有实数⇔根．
3. 下列对二次函数y=x2﹣x的图象△的描⇔述，正确的是（ ） △ ⇔A. 开口向下 B. 对称轴是y轴
C. 经过原点 D. 在对称轴右侧部分是下降的
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴公式以及二次函数性质逐项进行判断即可得答案.
【详解】A、∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，选项A不正确；
B、∵﹣ ，∴抛物线的对称轴为直线x= ，选项B不正确；
C、当x=0时，y=x2﹣x=0，∴抛物线经过原点，选项C正确；
D、∵a＞0，抛物线的对称轴为直线x= ，
∴当x＞ 时，y随x值的增大而增大，选项D不正确，
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），对称轴直线x=- ，当a＞0时，
抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，c=0时抛物
线经过原点，熟练掌握相关知识是解题的关键.
4. 据统计，某住宅楼30户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数依次是：27，30，29，25，26，28，29，
那么这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A. 25和30 B. 25和29 C. 28和30 D. 28和29
【答案】D
【解析】
【分析】根据中位数和众数的定义进行求解即可得答案.
【详解】对这组数据重新排列顺序得，25，26，27，28，29，29，30，
处于最中间是数是28，
∴这组数据的中位数是28，
在这组数据中，29出现的次数最多，
∴这组数据的众数是29，
故选D．
【点睛】本题考查了中位数和众数的概念，熟练掌握众数和中位数的概念是解题的关键.一组数据中
出现次数最多的数据叫做众数，一组数据按从小到大（或从大到小）排序后，位于最中间的数（或中
间两数的平均数）是这组数据的中位数.5. 已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）
A. ∠A=∠B B. ∠A=∠C C. AC=BD D. AB⊥BC
【答案】B
【解析】
【分析】由矩形的判定方法即可得出答案．
【详解】A、∠A=∠B，∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；
B、∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；
C、AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；
D、AB⊥BC，所以∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确，
故选B．
【点睛】本题考查了矩形的判定，熟练掌握“有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平
行四边形是矩形、有三个角是直角的四边形是矩形”是解题的关键.
6. 如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，
半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（ ）
A. 5＜OB＜9 B. 4＜OB＜9 C. 3＜OB＜7 D. 2＜OB＜7
【答案】A
【解析】
【分析】作半径AD，根据直角三角形30度角的性质得：OA=4，再确认⊙B与⊙A相切时，OB的长，即可得结
论．
【详解】设⊙A与直线OP相切时切点为D，连接AD，
∴AD⊥OP，
∵∠O=30°，AD=2，
∴OA=4，
当⊙B与⊙A相内切时，设切点为C，如图1，
∵BC=3，
∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5；
当⊙A与⊙B相外切时，设切点为E，如图2，∴OB=OA+AB=4+2+3=9，
∴半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是：5＜OB＜9，
故选A．
【点睛】本题考查了两圆间的位置关系，分两圆内切与外切分别画出符合题意的图形进行讨论是解
题的关键.
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 的立方根是__________．
【答案】-2
【解析】
【分析】根据立方根的定义进行求解即可得.
【详解】∵（﹣2）3=﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2，
故答案为﹣2．
【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键.
8. 计算：（a+1）2﹣a2=_____．
【答案】2a+1
【解析】
【分析】原式利用完全平方公式展开，然后合并同类项即可得到结果．
【详解】（a+1）2﹣a2
=a2+2a+1﹣a2
=2a+1，
故答案为2a+1.
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式以及合并同类项的法则是解题的关键.
9. 方程组 解是_____．
的【答案】 ，
【解析】
【分析】方程组中的两个方程相加，即可得出一个一元二次方程，求出方程的解，再代入求出y即可．
【详解】 ，
②+①得：x2+x=2，
解得：x=﹣2或1，
把x=﹣2代入①得：y=﹣2，
把x=1代入①得：y=1，
所以原方程组的解为 ， ，
故答案为 ， ．
【点睛】本题考查了解二元二次方程组，根据方程组的结构特点灵活选取合适的方法求解是关键.这
里体现的消元与转化的数学思想.
10. 某商品原价为a元，如果按原价的八折销售，那么售价是_____元．（用含字母a的代数式表示）．
【答案】0.8a
【解析】
【分析】根据实际售价=原价× 即可得．
【详解】实际售价=原价× ，
的
某商品原价为a元，按原价 八折销售则售价为0.8a元，
故答案为0.8a．
【点睛】本题考查了销售问题、列代数式，弄清题意，列出符合题意的代数式是解题的关键.
11. 已知反比例函数y= （k是常数，k≠1）的图象有一支在第二象限，那么k的取值范围是_____．
【答案】k＜1【解析】
【分析】由于在反比例函数y= 的图象有一支在第二象限，故k﹣1＜0，求出k的取值范围即可．
【详解】∵反比例函数y= 的图象有一支在第二象限，
∴k﹣1＜0，
解得k＜1，
故答案为k＜1．
【点睛】本题考查了反比例函数y= (k≠0，k为常数)的图象与性质，反比例函数的图象是双曲线，
k>0时，图象位于一、三象限，k<0时，图象位于二、四象限，熟知这些相关知识是解题的关键.
12. 某校学生自主建立了一个学习用品义卖平台，已知九年级200名学生义卖所得金额的频数分布直方图如
图所示，那么20﹣30元这个小组的组频率是_____．
【答案】0.25
【解析】
【分析】根据“频率=频数÷总数”即可求得答案．
【详解】一共有200个学生，20﹣30这个小组的频数为50，
所以，20﹣30元这个小组的组频率是50÷200=0.25，
故答案为0.25．
【点睛】本题考查了频率，属于简单题，熟记“频率=频数÷总数”是解题的关键.
13. 从 ，π， 这三个数中选一个数，选出的这个数是无理数的概率为_____．
【答案】
【解析】【分析】由题意可得共有3种等可能的结果，其中无理数有π、 共2种情况，利用概率公式进行求解即可．
【详解】∵在 ，π， 这三个数中，无理数有π， 这2个，
∴选出的这个数是无理数的概率为 ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了简单的概率计算，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14. 如果一次函数y=kx+3（k是常数，k≠0）的图象经过点（1，0），那么y的值随x的增大而_____．（填“增大”
或“减小”）
【答案】减小
【解析】
【分析】根据点的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出k值，再利用一次函数的性质即可得出结论．
【详解】∵一次函数y=kx+3（k是常数，k≠0）的图象经过点（1，0），
∴0=k+3，
∴k=﹣3，
∴y的值随x的增大而减小，
故答案为减小．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法以及一次函数的增减性与一次函
数的比例系数k之间的关系是解题的关键.
15. 如图，已知平行四边形ABCD，E是边BC的中点，联结DE并延长，与AB的延长线交于点F．设 = ，
= 那么向量 用向量 、 表示为_____．
【答案】
【解析】【分析】根据平行四边形的判定与性质得到四边形DBFC是平行四边形，则DC=BF，故AF=2AB=2DC，结合
三角形法则进行解答．
【详解】如图，连接BD，FC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC=AB，
∴△DCE∽△FBE，
又E是边BC的中点，
∴ ，
∴EC=BE，即点E是DF的中点，
∴四边形DBFC是平行四边形，
∴DC=BF，故AF=2AB=2DC，
∴ ，
故答案是： .
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，向量运算等，熟练掌握相
关判定与性质定理是解题的关键.
16. 通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一
个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是_____度．
【答案】540
【解析】
【分析】利根据题意得到2条对角线将多边形分割为3个三角形，然后根据三角形内角和可计算出该多边形
的内角和．
【详解】从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，则将多边形分割为3个三角形．
所以该多边形的内角和是3×180°=540°，
故答案为540．【点睛】本题考查了多边形的内角和与对角线，熟知n边形从一个顶点出发的对角线将n边形分成
（n-2）个三角形是关键.这里体现了转化的数学思想.
17. 如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在 ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，
ABC的面积是6，那么这个正方形的边长△是_____．
△
【答案】
【解析】
【分析】
作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，先利用三角形面积公式计算出AH=3，设正方形DEFG的边长为x，则
GF=x，MH=x，AM=3﹣x，再证明 AGF∽△ABC，则根据相似三角形的性质得 ，然后解关于x的
△
方程即可．
【详解】作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，
∵△ABC的面积是6，
∴ BC•AH=6，
∴AH= =3，
设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3﹣x，
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴ ，即 ，解得x= ，
即正方形DEFG的边长为 ，故答案为 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线求出BC边上的高是解题的关键.
18. 对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形的每
条边都至少有一个公共点（如图1），那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽，铅锤方向的边长称为该
矩形的高．如图2，菱形ABCD的边长为1，边AB水平放置．如果该菱形的高是宽的 ，那么它的宽的值是
_____．
【答案】
【解析】
【分析】先根据要求画图，设矩形的宽AF=x，则CF= x，根据勾股定理列方程即可得结论．
【详解】在菱形上建立如图所示的矩形EAFC，
设AF=x，则CF= x，
在Rt CBF中，CB=1，BF=x﹣1，
由勾股△定理得：BC2=BF2+CF2，
即：12=（x-1）2+（ x）2，解得：x= 或0（舍），
即它的宽的值是 ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了新定义题，矩形的性质、勾股定理等，根据题意正确画出图形，熟练应用相关的
知识进行解答是关键.
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19. 解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】则不等式组的解集是﹣1＜x≤3，不等式组的解集在数轴上表示见解析.
【解析】
【分析】
先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．
【详解】
解不等式①得：x＞﹣1，
解不等式②得：x≤3，
则不等式组的解集是：﹣1＜x≤3，
不等式组 的解集在数轴上表示为：.
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟知确定解集的方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大
小小无处找”是解题的关键.也考查了在数轴上表示不等式组的解集.
20. 先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中a= ．
【答案】原式=
【解析】
【分析】括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的乘除运算，最后代入数值进行计算即可得.
【详解】原式=
=
= ，
当a= 时，原式= ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式化简求值的步骤是解题的关键.
21. 如图，已知 ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC= ．
△
（1）求边AC的长；
（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求 的值．【答案】（1）AC= ；（2） ．
【解析】
【分析】（1）过A作AE⊥BC，在直角三角形ABE中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可；
（2）由DF垂直平分BC，求出BF的长，利用锐角三角函数定义求出DF的长，利用勾股定理求出
BD的长，进而求出AD的长，即可求出所求．
【详解】（1）如图，过点A作AE⊥BC，
在Rt ABE中，tan∠ABC= ，AB=5，
△
∴AE=3，BE=4，
∴CE=BC﹣BE=5﹣4=1，
在Rt AEC中，根据勾股定理得：AC= = ；
△
（2）∵DF垂直平分BC，
∴BD=CD，BF=CF= ，
∵tan∠DBF= ，
∴DF= ，
在Rt BFD中，根据勾股定理得：BD= = ，
△
∴AD=5﹣ = ，
则 ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线、根据边角关系熟练应用三角函数进行解
答是解题的关键.
22. 一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分
图象如图所示．
（1）求y关于x的函数关系式；（不需要写定义域）
（2）已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司
机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的
路程是多少千米？
【答案】（1）该一次函数解析式为y=﹣ x+60．（2）在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油
站的路程是10千米．
【解析】
【分析】（1）根据函数图象中点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出剩余油量为8升时行驶的路程，即可求得答案.
【详解】（1）设该一次函数解析式为y=kx+b，
将（150，45）、（0，60）代入y=kx+b中，得
，解得： ，
∴该一次函数解析式为y=﹣ x+60；
（2）当y=﹣ x+60=8时，
解得x=520，
即行驶520千米时，油箱中的剩余油量为8升．
530﹣520=10千米，油箱中的剩余油量为8升时，距离加油站10千米，
∴在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法，弄清题意是解题的关键.
23. 已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．
（1）求证：EF=AE﹣BE；
（2）连接BF，如果 = ．求证：EF=EP．
.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，则可判断
ABE≌△DAF，则BE=AF，然后利用等线段代换可得到结论；
△
（2）利用 和AF=BE得到 ，则可判定Rt BEF∽Rt DFA，所以∠4=∠3，再
△ △
证明∠4=∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP．
【详解】（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵BE⊥AP，DF⊥AP，
∴∠BEA=∠AFD=90°，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在 ABE和 DAF中
△ △
，
∴△ABE≌△DAF，
∴BE=AF，∴EF=AE﹣AF=AE﹣BE；
（2）如图，∵ ，
而AF=BE，
∴ ，
∴ ，
∴Rt BEF∽Rt DFA，
∴∠△4=∠3， △
而∠1=∠3，
∴∠4=∠1，
∵∠5=∠1，
∴∠4=∠5，
即BE平分∠FBP，
而BE⊥EP，
∴EF=EP．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握
相关的性质与定理、正确添加辅助线是解题的关键.
24. 在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣ x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0， ），顶点为
C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P
处．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求线段CD的长；
（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣ x2+2x+ ；（2）线段CD的长为2；（3）M点的坐标为（0， ）或（0，﹣
）．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）利用配方法得到y=﹣ （x﹣2）2+ ，则根据二次函数的性质得到C点坐标和抛物线的对称轴
为直线x=2，如图，设CD=t，则D（2， ﹣t），根据旋转性质得∠PDC=90°，DP=DC=t，则P（2+t，
﹣t），然后把P（2+t， ﹣t）代入y=﹣ x2+2x+ 得到关于t的方程，从而解方程可得到CD的长；
（3）P点坐标为（4， ），D点坐标为（2， ），利用抛物线的平移规律确定E点坐标为（2，﹣2），设
M（0，m），当m＞0时，利用梯形面积公式得到 •（m+ +2）•2=8当m＜0时，利用梯形面积公式
得到 •（﹣m+ +2）•2=8，然后分别解方程求出m即可得到对应的M点坐标．
【详解】（1）把A（﹣1，0）和点B（0， ）代入y=﹣ x2+bx+c得，解得 ，
∴抛物线解析式为y=﹣ x2+2x+ ；
（2）∵y=﹣ （x﹣2）2+ ，
∴C（2， ），抛物线的对称轴为直线x=2，
如图，设CD=t，则D（2， ﹣t），
∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，
∴∠PDC=90°，DP=DC=t，
∴P（2+t， ﹣t），
把P（2+t， ﹣t）代入y=﹣ x2+2x+ 得﹣ （2+t）2+2（2+t）+ = ﹣t，
整理得t2﹣2t=0，解得t=0（舍去），t=2，
1 2
∴线段CD的长为2；
（3）P点坐标为（4， ），D点坐标为（2， ），
∵抛物线平移，使其顶点C（2， ）移到原点O的位置，
∴抛物线向左平移2个单位，向下平移 个单位，
而P点（4， ）向左平移2个单位，向下平移 个单位得到点E，
∴E点坐标为（2，﹣2），设M（0，m），
当m＞0时， •（m+ +2）•2=8，解得m= ，此时M点坐标为（0， ）；
当m＜0时， •（﹣m+ +2）•2=8，解得m=﹣ ，此时M点坐标为（0，﹣ ）；
综上所述，M点的坐标为（0， ）或（0，﹣ ）．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、抛物线上点的坐标、旋转的性质、抛物
线的平移等知识，综合性较强，正确添加辅助线、运用数形结合思想熟练相关知识是解题的关键.
25. 已知⊙O的直径AB=2，弦AC与弦BD交于点E．且OD⊥AC，垂足为点F．
（1）如图1，如果AC=BD，求弦AC的长；
（2）如图2，如果E为弦BD的中点，求∠ABD的余切值；
（3）联结BC、CD、DA，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，求
ACD的面积．
△
【答案】（1）AC= ；（2）cot∠ABD= ；（3）S = ．
ACD
△
【解析】
【分析】（1）由AC=BD知 ，得 ，根据OD⊥AC知 ，从而得
，即可知∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，利用AF=AOsin∠AOF可得答案；（2）连接BC，设OF=t，证OF为 ABC中位线及 DEF≌△BEC得BC=DF=2t，由DF=1﹣t可得t=
△ △
，即可知BC=DF= ，继而求得EF= AC= ，由余切函数定义可得答案；
（3）先求出BC、CD、AD所对圆心角度数，从而求得BC=AD= 、OF= ，从而根据三角形面积
公式计算可得．
【详解】（1）∵OD⊥AC，
∴ ，∠AFO=90°，
又∵AC=BD，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，
∵AB=2，
∴AO=BO=1，
∴AF=AOsin∠AOF=1× = ，
则AC=2AF= ；
（2）如图1，连接BC，
∵AB为直径，OD⊥AC，
∴∠AFO=∠C=90°，
∴OD∥BC，
∴∠D=∠EBC，∵DE=BE、∠DEF=∠BEC，
∴△DEF≌△BEC（ASA），
∴BC=DF、EC=EF，
又∵AO=OB，
∴OF是 ABC的中位线，
设OF=t，△则BC=DF=2t，
∵DF=DO﹣OF=1﹣t，
∴1﹣t=2t，
解得：t= ，
则DF=BC= 、AC= = ，
∴EF= FC= AC= ，
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠D，
则cot∠ABD=cot∠D= ；
（3）如图2，
∵BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，
∴∠BOC= 、∠AOD=∠COD= ，
则 +2× =180，解得：n=4，
∴∠BOC=90°、∠AOD=∠COD=45°，
∴BC=AC= ，
∵∠AFO=90°，
∴OF=AOcos∠AOF= ，
则DF=OD﹣OF=1﹣ ，
∴S = AC•DF= × ×（1﹣ ）= ．
△ACD
【点睛】本题考查了圆的综合题、解直角三角形的应用等，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握和
灵活应用垂径定理、正弦三角函数、余弦三角函数、余切三角函数、全等三角形的判定与性质、正多
边形与圆等知识是解题的关键.
