2014 年河南省普通高中招生考试
数学试题（含答案全解全析）
( b 4ac-b2 )
参考公式:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点坐标为 - , .
2a 4a
第Ⅰ卷(选择题,共24分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的,将正确答案的代号字母填入题后括号内.
1.下列各数中,最小的数是( )
1 1
A.0 B. C.- D.-3
3 3
2.据统计,2013年河南省旅游业总收入达到约3 875.5亿元.若将3 875.5亿用科学记数法表
示为3.875 5×10n,则n等于( )
A.10 B.11 C.12 D.13
3.如图,直线AB、CD相交于点O,射线OM平分∠AOC,ON⊥OM.若∠AOM=35°,则∠CON的
度数为( )
A.35° B.45° C.55° D.65°
4.下列各式计算正确的是( )
A.a+2a=3a2 B.(-a3)2=a6
C.a3·a2=a6 D.(a+b)2=a2+b2
5.下列说法中,正确的是( )
A.“打开电视,正在播放河南新闻节目”是必然事件
B.某种彩票中奖概率为10%是指买十张一定有一张中奖
C.神舟飞船发射前需要对零部件进行抽样检查
D.了解某种节能灯的使用寿命适合抽样调查
6.将两个长方体如图放置,则所构成的几何体的左视图可能是( )
7.如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB⊥AC.若AB=4,AC=6,则BD的长是( )A.8 B.9 C.10 D.11
8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1 cm,BC=2 cm,点P从点A出发,以1 cm/s的速度沿折
线AC→CB→BA运动,最终回到点A.设点P的运动时间为x(s),线段AP的长度为y(cm),则能
够反映y与x之间函数关系的图象大致是( )
第Ⅱ卷(非选择题,共96分)
二、填空题(每小题3分,共21分)
9.计算:√327-|-2|= .
{3x+6≥0,
10.不等式组 的所有整数解的和为 .
4-2x>0
1
11.如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以点B、C为圆心,以大于 BC的长为半径作弧,
2
两弧相交于M、N两点;②作直线MN交AB于点D,连结CD.若CD=AC,∠B=25°,则∠ACB
的度数为 .
12.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点,若点A的坐标为(-2,0),抛物线的对称
轴为直线x=2,则线段AB的长为 .
13.一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的2个红球和2个白球.两个人依次从袋子中随机摸
出一个小球不放回,则第一个人摸到红球且第二个人摸到白球的概率是 .
14.如图,在菱形ABCD中,AB=1,∠DAB=60°.把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形
⏜
AB'C'D',其中点C的运动路径为CC',则图中阴影部分的面积为 .
15.如图,矩形ABCD中,AD=5,AB=7.点E为DC上一个动点,把△ADE沿AE折叠,当点D的对
应点D'落在∠ABC的角平分线上时,DE的长为 .
三、解答题(本大题共8个小题,满分75分)16.(8分)先化简,再求值:
x2-1
(
x2+1)
÷ 2+ ,其中x=√2-1.
x2-x x
17.(9分)如图,CD是☉O的直径,且CD=2 cm,点P为CD的延长线上一点,过点P作☉O的切
线PA、PB,切点分别为点A、B.
(1)连结AC,若∠APO=30°,试证明△ACP是等腰三角形;
(2)填空:
①当DP= cm时,四边形AOBD是菱形;
②当DP= cm时,四边形AOBP是正方形.
18.(9分)某兴趣小组为了解本校男生参加课外体育锻炼情况,随机抽取本校300名男生进行
了问卷调查,统计整理并绘制了如下两幅尚不完整的统计图.请根据以上信息解答下列问题:
(1)课外体育锻炼情况扇形统计图中,“经常参加”所对应的圆心角的度数为 ;
(2)请补全条形统计图;
(3)该校共有1 200名男生,请估计全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项目是篮
球的人数;
(4)小明认为“全校所有男生中,课外最喜欢参加的运动项目是乒乓球的人数约为1 200×
27
=108”.请你判断这种说法是否正确,并说明理由.
300
19.(9分)在中俄“海上联合—2014”反潜演习中,我军舰A测得潜艇C的俯角为30°,位于军舰
A正上方1 000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°.试根据以上数据求出潜艇C离
开海平面的下潜深度.(结果保留整数.参考数据:sin 68°≈0.9,cos 68°≈0.4,tan 68°≈2.5,√3≈1.7)
20.(9分)如图,在直角梯形OABC中,BC∥AO,∠AOC=90°,点A、B的坐标分别为(5,0)、(2,6),k
点D为AB上一点,且BD=2AD.双曲线y= (x>0)经过点D,交BC于点E.
x
(1)求双曲线的解析式;
(2)求四边形ODBE的面积.
21.(10分)某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4 000元,销售20台A型和10台
B型电脑的利润为3 500元.
(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润;
(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台,其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的
2倍.设购进A型电脑x台,这100台电脑的销售总利润为y元.
①求y关于x的函数关系式;
②该商店购进A型、B型电脑各多少台,才能使销售总利润最大?
(3)实际进货时,厂家对A型电脑出厂价下调m(0<m<100)元,且限定商店最多购进A型电脑
70台.若商店保持两种电脑的售价不变,请你根据以上信息及(2)中条件,设计出使这100台电
脑销售总利润最大的进货方案.22.(10分)(1)问题发现
如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A、D、E在同一直线上,连结BE.
填空:
①∠AEB的度数为 ;
②线段AD、BE之间的数量关系为 .
(2)拓展探究
如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A、D、E在同一直线
上,CM为△DCE中DE边上的高,连结BE.请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的
数量关系,并说明理由.
图1 图2
(3)解决问题如图3,在正方形ABCD中,CD= .若点P满足PD=1,且∠BPD=90°,请直接写出点A到BP的
√2
距离.
图3
3
23.(11分)如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点,直线y=- x+3与y轴交于
4
点C,与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点,过点P作PF⊥x轴于点F,交直线CD
于点E.设点P的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若PE=5EF,求m的值;
(3)若点E'是点E关于直线PC的对称点,是否存在点P,使点E'落在y轴上?若存在,请直接写出
相应的点P的坐标;若不存在,请说明理由.答案全解全析：
一、选择题
1 1
1.D 正数大于0,负数小于0,两个负数绝对值大的反而小,所以-3<- <0< ,故选D.
3 3
2.B 科学记数法是将一个数改写成a×10n=(1≤|a|<10,n为整数)的形式,因为3 875.5亿=387
550 000 000=3.875×1011,故选B.
3.C ∵OM平分∠AOC,∴∠COM=∠AOM=35°,
∵ON⊥OM,∴∠MON=90°,
∴∠CON=90°-∠COM=90°-35°=55°,故选C.
4.B 因为a+2a=3a,所以A错;因为(-a3)2=(-1)2×a3×2=a6,所以B正确;因为a3·a2=a5,所以C错;因
为(a+b)2=a2+2ab+b2,所以D错,故选B.
5.D 选项A是随机事件;选项B中中奖概率为10%仅指事件发生的可能性,不一定中奖;选项
C中神舟飞船发射前对零部件检查必须是全面检查,A、B、C均错,故选D.
6.C 根据原几何体的特征及放置位置,可以判断选项C符合左视图特征,故选C.
7.C 在▱ABCD中,AO=CO,BO=DO,
∵AC=6,∴AO=3,
∵AB⊥AC,∴在Rt△ABO中,BO= = =5,
√AB2+AO2 √42+32
∴BD=2BO=10,故选C.
8.A 当点 P 在 AC 上时,y=x,0≤x<1;当点 P 在 BC 上时,AP 为 Rt△ACP 的斜边,AP=
= = ,即y= ,1≤x<3;此段函数图象一定不是
√AC2+PC2 √12+(x-1)2 √x2-2x+2 √x2-2x+2
直线,各选项中,选项A符合,故选A.
评析 本题考查函数的图象,理解函数图象的特征,根据动点位置确定解析式是关键.
二、填空题
9.答案 1
解析 原式=3-2=1.
10.答案 -2
解析 解不等式3x+6≥0,得x≥-2,
解不等式4-2x>0,得x<2,所以原不等式组的解集为-2≤x<2,其整数解为-2,-1,0,1,所以所有整数
解的和为-2-1+0+1=-2.
11.答案 105°
解析 由题意知MN垂直平分BC,∴CD=BD,
又CD=AC,∴AC=CD=BD,∴∠DCB=∠B=25°,
∴∠A=∠CDA=50°,
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=105°.
12.答案 8
解析 因为抛物线的对称轴为直线x=2,所以点A、B关于直线x=2对称,所以B(6,0),所以线段AB长为AB=6-(-2)=8.
1
13.答案
3
解析 分别用红1,红2,白1,白2表示两个红球和两个白球.画树状图.
1
所有结果有12个,符合条件的结果有4个,所以所求概率P= .
3
π 3
14.答案 + -√3
4 2
解析 由题意知,点A,B,C'三点共线,点A,D',C三点共线,
∴延长AD'过点C,延长AB过点C',设BC与C'D'交于点O,则∠BOD'=360°-∠BAD'-∠ABO-
∠AD'O=90°,
∴∠BOC'=90°,在△AD'C'中,AD'=C'D',∠AD'C'=∠ADC=120°,∴∠BC'O=30°,
∵BC'=AC'-AB=√3-1,
1 1 1 √3 √3 √3 3
∴S = BC'·h= BC'· BC'· = BC'2= - (h为△BOC'的边BC'上的高),同理,S =
△BOC'
2 2 2 2 8 2 4
△D'OC
√3 3
- ,
2 4
所以S =S -S -S =30π×3-2(√3 3)=π- +3.
阴影 扇形ACC' △D'OC △BOC' - √3
360 2 4 4 2
评析 本题是以旋转为背景的不规则图形的阴影部分面积的计算问题,考查菱形的性质,扇形
面积公式,四边形的内角和,直角三角形的面积计算,综合性强,难度较大.
5 5
15.答案 或
3 2
解析 作BF平分∠ABC交CD于点F,
7√2
作AG⊥BF于点G,由题意知AG=AB·sin 45°= ,
2
7√2
∵ <5,
2
∴D'为以A为圆心,AD为半径的圆弧与BF的交点,易知有两种情况,
第一种情况:如图①,
图①
√2
在Rt△AGD'中,D'G=√D'A2-AG2= ,
2
7√2 √2
∴BD'= + =4√2,
2 2∴D'F=BF-D'B=5√2-4√2=√2,
作D'H⊥CD,垂足为H.
在Rt△D'FH中,易求得FH=HD'=1,
∴DH=DF+FH=3,设DE=x,则D'E=x,EH=3-x,
在Rt△EHD'中,
EH2+D'H2=D'E2,
5 5
即(3-x)2+12=x2,解得x= ,即D'E= ,
3 3
第二种情况:如图②,
图②
作D'H⊥CD,垂足为H,
5
同理求得D'E= .
2
5 5
综上所述, DE的长为 或 .
3 2
评析 本题是以矩形为载体,以折叠为背景的求线段长问题,主要考查矩形的性质,轴对称的
性质,角平分线,勾股定理的运用,依据题意构造直角三角形是关键,本题属难题.
三、解答题
(x+1)(x-1) 2x+x2+1
16.解析 原式= ÷ (4分)
x(x-1) x
x+1 x
= ·
x (x+1)2
1
= .(6分)
x+1
1 1 √2
当x=√2-1时,原式= = = .(8分)
√2-1+1 √2 2
17.解析 (1)证明:连结OA.∵PA为☉O的切线,
∴OA⊥PA.(1分)
在Rt△AOP中,∠AOP=90°-∠APO=90°-30°=60°.
1 1
∴∠ACP= ∠AOP= ×60°=30°.(4分)
2 2
∴∠ACP=∠APO.
∴AC=AP.
∴△ACP是等腰三角形.(5分)
(2)①1;(7分)
②√2-1.(9分)
18.解析 (1)144°.(2分)
(2)(4分)
40
(3)全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项目是篮球的人数约为 1 200×
300
=160(人).(7分)
(4)这种说法不正确.理由如下:
小明得到的108人是经常参加课外体育锻炼的男生中最喜欢的项目是乒乓球的人数,而全校
偶尔参加课外体育锻炼的男生中也会有最喜欢乒乓球的,因此应多于108人.(9分)
(注:只要解释合理即可)
19.解析 过点C作CD⊥AB,交BA的延长线于点D,则AD即为潜艇C的下潜深度,
根据题意得∠ACD=30°,∠BCD=68°.
设AD=x米,则BD=BA+AD=(1 000+x)米.
AD x
在Rt△ACD中,CD= = =√3x米.(4分)
tan∠ACD tan30°
在Rt△BCD中,BD=CD·tan 68°(米).
∴1 000+x=√3x·tan 68°.(7分)
1 000 1 000
∴x= ≈ ≈308.
√3tan68°-1 1.7×2.5-1
∴潜艇C离开海平面的下潜深度约为308米.(9分)
20.解析 (1)过点B、D作x轴的垂线,垂足分别为点M、N.
∵A(5,0)、B(2,6),
∴OM=BC=2,BM=OC=6,AM=3.
∵DN∥BM,∴△ADN∽△ABM.
DN AN AD 1
∴ = = = .
BM AM AB 3
∴DN=2,AN=1,∴ON=4.
∴点D的坐标为(4,2).(3分)
k
又∵双曲线y= (x>0)经过点D,
x
k
∴2= ,即k=8.
4
8
∴双曲线的解析式为y= .(5分)
x
(2)∵点E在BC上,
∴点E的纵坐标为6.
8
又∵点E在双曲线y= 上,
x
∴点E的坐标为(4 ).
,6
34
∴CE= .(7分)
3
∴S =S -S -S
四边形ODBE 梯形OABC △OCE △AOD
1 1 1
= ×(BC+OA)×OC- ×OC×CE- ×OA×DN
2 2 2
1 1 4 1
= ×(2+5)×6- ×6× - ×5×2
2 2 3 2
=12.
∴四边形ODBE的面积为12.(9分)
21.解析 (1)设每台A型电脑的销售利润为 a元,每台B型电脑的销售利润为 b元,则有
{10a+20b=4 000,
20a+10b=3 500.
{a=100,
解得
b=150.
即每台A型电脑的销售利润为100元,每台B型电脑的销售利润为150元.(4分)
(2)①根据题意得y=100x+150(100-x),即y=-50x+15 000.(5分)
1
②根据题意得100-x≤2x,解得x≥33 .
3
∵在y=-50x+15 000中,-50<0,
∴y随x的增大而减小.
∵x为正整数,
∴当x=34时,y取得最大值,此时100-x=66.
即该商店购进A型电脑34台,B型电脑66台,才能使销售总利润最大.(7分)
(3)根据题意得y=(100+m)x+150(100-x),即y=(m-50)x+15 000,
1
33 ≤x≤70且x为正整数.
3
①当0<m<50时,m-50<0,y随x的增大而减小.
∴当x=34时,y取得最大值.
即该商店购进34台A型电脑和66台B型电脑,销售总利润最大;(8分)
②当m=50时,m-50=0,y=15 000.
1
即该商店购进A型电脑的数量满足33 ≤x≤70且x为正整数时,均使销售总利润最大;(9分)
3
③当50<m<100时,m-50>0,y随x的增大而增大.
∴x=70时,y取得最大值.
即该商店购进70台A型电脑和30台B型电脑,销售总利润最大.(10分)
22.解析 (1)①60°;②AD=BE.(2分)
(2)∠AEB=90°;AE=2CM+BE.(4分)
(注:若未给出本判断结果,但后续理由说明完全正确,不扣分)
理由:∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB,即
∠ACD=∠BCE.
∴△ACD≌△BCE.(6分)
∴AD=BE,∠BEC=∠ADC=135°.
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°.(7分)
在等腰直角三角形DCE中,CM为斜边DE上的高,
∴CM=DM=ME.
∴DE=2CM.∴AE=DE+AD=2CM+BE.(8分)
√3-1 √3+1
(3) 或 .(10分)
2 2
【提示】∵PD=1,∠BPD=90°,
∴BP是以点D为圆心、1为半径的☉D的切线,点P为切点.
第一种情况:如图①,连结BD,AP,过点A作AP的垂线,交BP于点P',
可证△APD≌△AP'B,PD=P'B=1.
∵CD=√2,
∴BD=2,BP=√3,
作AM⊥PP',交PP'于点M,
1 1 √3-1
∴AM= PP'= (PB-BP')= .
2 2 2
1 1 √3+1
第二种情况:如图②,由上同理可得AM= PP'= (PB+BP')= .
2 2 2
23.解析 (1)∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点,
∴{0=-(-1)2-b+c,
0=-52+5b+c.
{b=4,
∴
c=5.
∴抛物线的解析式为y=-x2+4x+5.(3分)
(2)∵点P的横坐标为m,∴P(m,-m2+4m+5),
E( 3 ),F(m,0).
m,- m+3
4
∵点P在x轴上方,要使PE=5EF,点P应在y轴右侧,
∴0<m<5.
∴PE=-m2+4m+5-( 3 )=-m2+19m+2.(4分)
- m+3
4 4
分两种情况讨论:
3
①当点E在点F上方时,EF=- m+3.
4
∵PE=5EF,∴-m2+19m+2=5( 3 ).
- m+3
4 4
13
即2m2-17m+26=0,解得m=2,m = (舍去);(6分)
1 2
23
②当点E在点F下方时,EF= m-3.
4
∵PE=5EF,∴-m2+19m+2=5(3 ).
m-3
4 4
1+√69 1-√69
即m2-m-17=0,解得m= ,m= (舍去);
3 4
2 2
1+√69
∴m的值为2或 .(8分)
2
(3)点P的坐标为P 1( - 1 , 11),P 2 (4,5),P 3 (3- √11 ,2 √11 -3).(11分)
2 4
【提示】∵E和E'关于直线PC对称,
∴∠E'CP=∠ECP.
又∵PE∥y轴,∴∠EPC=∠E'CP=∠PCE.
∴PE=EC.
又∵CE=CE',∴四边形PECE'为菱形.
过点E作EM⊥y轴于点M,
∴△CME∽△COD.
∴CE=|5 |.
m
4
19 5 19 5
∵PE=CE,∴-m2+ m+2= m或-m2+ m+2=- m.
4 4 4 4
1
解得m=- ,m=4,m =3-√11,m=3+√11(舍去).
1 2 3 4
2
可求得点P的坐标为P 1( - 1 , 11),P 2 (4,5),P 3 (3- √11 ,2 √11 -3).
2 4
评析 本题考查了用待定系数法求二次函数解析式,二次函数的图象及性质,以及图形的相似
等知识.
