2014 年哈尔滨市初中升学考试
数学试题（含答案全解全析）
第Ⅰ卷(选择题,共30分)
一、选择题(每小题3分,共计30分)
1.哈市某天的最高气温为28 ℃,最低气温为21 ℃,则这一天的最高气温与最低气温的差为(
)
A.5 ℃ B.6 ℃ C.7 ℃ D.8 ℃
2.用科学记数法表示927 000正确的是( )
A.9.27×106 B.9.27×105 C.9.27×104 D.927×103
3.下列计算正确的是( )
A.3a-2a=1 B.a2+a5=a7 C.a2·a4=a6 D.(ab)3=ab3
4.下列图形中,不是中心对称图形的是( )
k-1
5.在反比例函数y= 的图象的每一条曲线上,y都随x的增大而减小,则k的取值范围是(
x
)
A.k>1 B.k>0 C.k≥1 D.k<1
6.如图所示的几何体是由一些小正方体组合而成的,则这个几何体的俯视图是( )
7.如图,AB是☉O的直径,AC是☉O的切线,连结OC交☉O于点D,连结BD,∠C=40°,则∠ABD
的度数是( )
A.30° B.25° C.20° D.15°
8.将抛物线y=-2x2+1向右平移1个单位,再向上平移2个单位后所得到的抛物线为( )
A.y=-2(x+1)2-1 B.y=-2(x+1)2+3 C.y=-2(x-1)2+1 D.y=-2(x-1)2+3
9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,BC=2,△A'B'C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到,其中点A'与点A是对应点,点B'与点B是对应点,连结AB',且A、B'、A'在同一条直线上,
则AA'的长为( )
A.6 B.4√3 C.3√3 D.3
10.早晨,小刚沿着通往学校唯一的一条路(直路)上学,途中发现忘带饭盒,停下往家里打电话,
妈妈接到电话后带上饭盒马上赶往学校,同时小刚返回.两人相遇后,小刚立即赶往学校,妈妈
回家,15分钟妈妈到家,再经过3分钟小刚到达学校.小刚始终以100米/分的速度步行,小刚和
妈妈的距离y(单位:米)与小刚打完电话后的步行时间t(单位:分)之间的函数关系如图所示,下
列四种说法:
①打电话时,小刚和妈妈的距离为1 250米;
②打完电话后,经过23分钟小刚到达学校;
③小刚与妈妈相遇后,妈妈回家的速度为150米/分;
④小刚家与学校的距离为2 550米.
其中正确的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题(每小题3分,共计30分)
11.计算√12-√3= .
3x
12.在函数y= 中,自变量x的取值范围是 .
2x+4
13.把多项式3m2-6mn+3n2分解因式的结果是 .
{2x+1≤3,
14.不等式组 的解集是 .
x+2>1
15.若x=-1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1=0的一个解,则m的值为 .
16.在一个不透明的口袋中,有四个完全相同的小球,把它们分别标号为1、2、3、4,随机地摸
取一个小球记下标号后放回,再随机地摸取一个小球记下标号,则两次摸取的小球标号都是1
的概率为 .
17.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,若点P在AD边上,连结BP、PC,△BPC是以PB为腰
的等腰三角形,则PB的长为 .
18.一个底面直径为10 cm,母线长为15 cm的圆锥,它的侧面展开图圆心角是 度.
19.如图,在正方形 ABCD 中,AC 为对角线,点 E 在 AB 边上,EF⊥AC 于点 F,连结EC,AF=3,△EFC的周长为12,则EC的长为 .
20.如图,在△ABC中,4AB=5AC,AD为△ABC的角平分线,点E在BC的延长线上,EF⊥AD于点
AG
F,点G在AF上,FG=FD,连结EG交AC于点H,若点H是AC的中点,则 的值为 .
FD
三、解答题(其中21~24题各6分,25~26题各8分,27~28题各10分,共计60分)
21.(本题6分)
3x+2y 2x+ y
先化简,再求代数式 - 的值,其中x=2cos 45°+2,y=2.
x2- y2 x2- y2
22.(本题6分)
如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上,
点E在BC边上,且点E在小正方形的顶点上,连结AE.
(1)在图中画出△AEF,使△AEF与△AEB关于直线AE对称,点F与点B是对称点;
(2)请直接写出△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积.23.(本题6分)
君畅中学计划购买一些文具送给学生,为此学校决定围绕“在笔袋、圆规、直尺、钢笔四种
文具中,你最需要的文具是什么?(必选且只选一种)”的问题,在全校范围内随机抽取部分学生
进行问卷调查,将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图,请你根据以上信息回答
下列问题:
(1)在这次调查中,最需要圆规的学生有多少名?并补全条形统计图;
(2)如果全校有970名学生,请你估计全校学生中最需要钢笔的学生有多少名.
24.(本题6分)
如图,AB、CD为两个建筑物,建筑物AB的高度为60米,从建筑物AB的顶部A点测得建筑
物CD的顶部C点的俯角∠EAC为30°,测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°.
(1)求两建筑物底部之间水平距离BD的长度;
(2)求建筑物CD的高度(结果保留根号).25.(本题8分)
如图,☉O是△ABC的外接圆,弦BD交AC于点E,连结CD,且AE=DE,BC=CE.
(1)求∠ACB的度数;
(2)过点O作OF⊥AC于点F,延长FO交BE于点G,DE=3,EG=2,求AB的长.
26.(本题8分)
荣庆公司计划从商店购买同一品牌的台灯和手电筒,已知购买一个台灯比购买一个手电筒多
用20元,若用400元购买台灯和用160元购买手电筒,则购买台灯的个数是购买手电筒个数
的一半.
(1)求购买该品牌一个台灯、一个手电筒各需要多少元;
(2)经商谈,商店给予荣庆公司购买一个该品牌台灯赠送一个该品牌手电筒的优惠,如果荣庆
公司需要手电筒的个数是台灯个数的2倍还多8个,且该公司购买台灯和手电筒的总费用不
超过670元,那么荣庆公司最多可购买多少个该品牌台灯?
27.(本题10分)
如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,直线y=-x+4与x轴交于点A,过点A的抛物线
y=ax2+bx与直线y=-x+4交于另一点B,且点B的横坐标为1.
(1)求a,b的值;
(2)点P是线段AB上一动点(点P不与点A、B重合),过点P作PM∥OB交第一象限内的抛物线于点M,过点M作MC⊥x轴于点C,交AB于点N,过点P作PF⊥MC于点F.设PF的长为
t,MN的长为d,求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围);
(3)在(2)的条件下,当S =S 时,连结ON,点Q在线段BP上,过点Q作QR∥MN交ON于
△ACN △PMN
点R,连结MQ、BR,当∠MQR-∠BRN=45°时,求点R的坐标.
28.(本题10分)
如 图 , 在 四 边 形 ABCD 中 , 对 角 线 AC 、 BD 相 交 于 点 E, 且
AC⊥BD,∠ADB=∠CAD+∠ABD,∠BAD=3∠CBD.
(1)求证:△ABC为等腰三角形;
(2)M是线段BD上一点,BM∶AB=3∶4,点F在BA的延长线上,连结FM,∠BFM的平分线FN交
BD于点N,交AD于点G,点H为BF中点,连结MH,当GN=GD时,探究线段CD、FM、MH
之间的数量关系,并证明你的结论.
答案全解全析：
一、选择题
1.C 哈市这一天的最高气温与最低气温的差是28-21=7(℃).故选C.2.B 927 000=9.27×105,故选B.
3.C ∵3a-2a=a,∴选项A错误;∵a2与a5不是同类项,∴不能合并,∴选项B错误;∵a2·a4=a6,∴选项
C正确;∵(ab)3=a3b3,∴选项D错误.故选C.
4.B 根据中心对称图形的定义可知,A、C、D都是中心对称图形,B不是中心对称图形,故选
B.
k-1
5.A ∵在反比例函数y= 的图象的每一条曲线上,y都随x的增大而减小,∴k-1>0,∴k>1.
x
故选A.
6.D 该几何体的俯视图是 ,故选D.
1
7.B ∵AB 是☉O 的直径,AC 是☉O 的切线,∴BA⊥AC,∵∠C=40°,∴∠AOC=50°,∴∠ABD=
2
∠AOD=25°,故选B.
8.D 将抛物线 y=-2x2+1向右平移 1个单位,再向上平移 2个单位后所得到的抛物线为
y=-2(x-1)2+1+2,即y=-2(x-1)2+3,故选D.
BC 2
9.A 在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠B=60°,BC=2,∴AB= = =4.∵△A'B'C 是由
cosB cos60°
△ABC旋转得到的,∴A'B'=AB=4,CA'=CA,∠A'=∠BAC=30°,则当A、B'、A'在同一条直线上时,
∠CAA'=∠A'=30°,∠AB'C=120°,∴∠ACB'=30°,
∴∠B'AC=∠B'CA,∴AB'=B'C=BC=2,∴AA'=AB'+B'A'=2+4=6.故选A.
10.C 由题图知,打电话时,小刚和妈妈的距离是1 250米;经过5分钟两人相遇,则打完电话
2 250
后,小刚经过 5+15+3=23(分钟)到达学校;小刚与妈妈相遇后,妈妈回家的速度为
15
-100=50(米/分);小刚家与学校的距离为2 250+3×100=2 550(米).综上所述,说法正确的是
①②④,共3个,故选C.
评析 本题是图象信息题,读懂图象、理解题意是解决本题的关键,属中等难度题.
二、填空题
11.答案 √3
解析 √12-√3=2√3-√3=√3.
12.答案 x≠-2
解析 依题意,有2x+4≠0,∴x≠-2.
13.答案 3(m-n)2
解析 3m2-6mn+3n2=3(m2-2mn+n2)=3(m-n)2.
14.答案 -1<x≤1
解析 解不等式2x+1≤3得x≤1,解不等式x+2>1得x>-1,所以原不等式组的解集是-1<x≤1.
15.答案 1
解析 依题意,有(-1)2+3×(-1)+m+1=0,∴m=1.
1
16.答案
16
解析 用表格列出所有等可能的结果:
第二
次 1 2 3 4
第一次
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4)4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4)
1
∴P(两次摸取的小球标号都是1)= .
16
17.答案 5或6
解析 分两种情况讨论:
①当PB=PC时,点P在BC的垂直平分线上,∴PA=3,
∵AB=4,∴PB= =5;②当BP=BC时,PB=6.
√42+32
综上所述,PB的长为5或6.
评析 本题主要考查矩形、等腰三角形的性质,运用分类讨论的思想是解决本题的关键.
18.答案 120
nπ·15
解析 设圆锥侧面展开图(扇形)的圆心角为n°,依题意得10π= ,∴n=120,故应填120.
180
19.答案 5
解 析 设 正 方 形 ABCD 的 边 长 为 x,∵AC 是 正 方 形 ABCD 的 对 角 线 ,
∴∠BAC=45°.∵EF⊥AC,∴EF=AF=3,∴AE=3√2.∵△EFC 的周长为 12,∴EC=12-√2x.∵BE=AB-
AE=x-3√2,
∴EC= ,
√(x-3√2)2+x2
7√2 7√2
∴√(x-3√2)2+x2=12-√2x,解得x= .∴EC=12-√2× =5.
2 2
4
20.答案
3
解析 ∵EF⊥AD,FG=FD,∴EF 垂直平分 GD,∴EG=ED,∴∠EGD=∠EDG,∴∠AGH=∠ADB,又
∵∠BAD=∠HAG,
AB AD 1 AB 5 AD 5 AG 2 AG 4
∴△ABD∽△AHG,∴ = .∵4AB=5AC,AH= AC,∴ = ,∴ = ,∴ = .∴ =
AH AG 2 AH 2 AG 2 GD 3 FD 3
.
评析 本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形相似的判定等
知识,综合运用这些知识就能较好地解决本题,属中等偏难题.
三、解答题
3x+2y-2x- y
21.解析 原式=
x2- y2
x+ y 1
= = .(2分)
(x+ y)(x- y) x- y
√2
∵x=2× +2=√2+2,y=2,(4分)
2
1 1 √2
∴原式= = = .(6分)
√2+2-2 √2 2
22.解析 (1)如图所示.(3分)
(2)6.(6分)23.解析 (1)18÷30%=60(名),(1分)
60-21-18-6=15(名).
∴在这次调查中,最需要圆规的学生有15名.(2分)
补全条形统计图如图所示.
(3分)
6
(2)970× =97(名).(5分)
60
∴估计全校学生中最需要钢笔的学生有97名.(6分)
24.解析 (1)根据题意,得BD∥AE,
∴∠ADB=∠EAD=45°.(1分)
∵∠ABD=90°,∴∠BAD=∠ADB=45°,(2分)
∴BD=AB=60米.
∴两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60米.(3分)
(2)延长AE、DC交于点F,根据题意得四边形ABDF为正方形,
∴AF=BD=DF=60米,(4分)
在Rt△AFC中,∠FAC=30°,
√3
∴CF=AF·tan∠FAC=60×tan 30°=60× =20√3米.(5分)
3
又∵DF=60米,∴CD=(60-20√3)米.
∴建筑物CD的高度为(60-20√3)米.(6分)
25.解析 (1)在☉O中,∠A=∠D,(1分)
∵∠AEB=∠DEC,AE=DE,
∴△AEB≌△DEC.(2分)
∴EB=EC.(3分)
又∵BC=CE,∴BE=CE=BC,
∴△EBC为等边三角形,∴∠ACB=60°.(4分)
(2)∵OF⊥AC,∴AF=CF.(5分)
∵△EBC为等边三角形,
∴∠GEF=60°,∴∠EGF=30°,∵EG=2,∴EF=1.(6分)又∵AE=ED=3,∴CF=AF=4,∴AC=8,CE=5,
∴BC=5.(7分)
作BM⊥AC于点M,∵∠BCM=60°,∴∠MBC=30°,
5 5√3
∴CM= ,BM=√BC2-CM2= ,
2 2
11
∴AM=AC-CM= ,∴AB=√AM2+BM2=7.(8分)
2
评析 本题主要考查了垂径定理,三角形全等的判定,锐角三角函数,勾股定理,等边三角形的
性质等知识.属中等偏难题.
26.解析 (1)设购买一个手电筒需要x元,则购买一个台灯需要(x+20)元,
400 160 1
根据题意,得 = × ,(2分)
x+20 x 2
解得x=5,经检验,x=5是原方程的解,(3分)
∴x+20=25.
∴购买一个台灯需要25元,购买一个手电筒需要5元.(4分)
(2)设购买台灯a个,则还需购买手电筒(2a+8-a)个,
由题意得25a+5(2a+8-a)≤670,(6分)
解得a≤21.(7分)
∴荣庆公司最多可购买21个该品牌台灯.(8分)
27.解析 (1)∵y=-x+4与x轴交于点A,∴A(4,0),
∵点B的横坐标为1且直线y=-x+4经过点B,∴B(1,3).(1分)
∵抛物线y=ax2+bx经过A(4,0),B(1,3),
{16a+4b=0, {a=-1,
∴ 解得
a+b=3. b=4,
∴a,b的值分别为-1,4.(2分)
(2)如图1,作BD⊥x轴于点D,延长MP交x轴于点E,
图1
∵B(1,3),A(4,0),∴OD=1,BD=3,OA=4,
∴AD=3,(3分)
∴AD=BD,
∵∠BDA=90°,∴∠BAD=∠ABD=45°,
∵MC⊥x轴,∴∠ANC=∠BAD=45°,
∴∠PNF=∠ANC=45°,
∵PF⊥MC,∴∠FPN=∠PNF=45°,
∴NF=PF=t,(4分)
∵∠PFM=∠ECM=90°,∴PF∥EC,∴∠MPF=∠MEC,
∵ME∥OB,∴∠MEC=∠BOD,∴∠MPF=∠BOD,
BD MF
∴tan∠BOD=tan∠MPF,∴ = =3,
OD PF
∴MF=3PF=3t,(5分)
∵MN=MF+FN,∴d=3t+t=4t.(6分)(3)如图2,由(2)知,PF=t,MN=4t,
图2
1 1
∴S = MN·PF= ×4t×t=2t2,
△PMN
2 2
∵∠CAN=∠ANC,∴CN=AC,
1
∴S = AC2,
△ACN
2
1
∵S =S ,∴ AC2=2t2,
△ACN △PMN
2
∴AC=2t,∴CN=2t,∴MC=MN+CN=6t,
∴OC=OA-AC=4-2t,∴M(4-2t,6t).(7分)
由(1)知抛物线的解析式为y=-x2+4x,
将M(4-2t,6t)代入y=-x2+4x,
1
得-(4-2t)2+4(4-2t)=6t,解得t=0(舍),t = .(8分)
1 2
2
1 3
∴PF=NF= ,AC=CN=1,OC=3,MF= ,
2 2
√2 √10
∴PN= ,PM= ,AN=√2,
2 2
∵AB=3√2,∴BN=2√2,
作NH⊥RQ于点H,则NH∥OC.
RH CN 1
∴∠HNR=∠NOC,∴tan∠HNR=tan∠NOC,∴ = = ,
HN OC 3
设RH=n,则HN=3n,∴RN=√10n,QN=3√2n,
√2
∴PQ=QN-PN=3√2n- ,
2
∵ON= = ,
√CN2+OC2 √10
OB= = ,
√OD2+BD2 √10
∴OB=ON,∴∠OBN=∠BNO,
∵PM∥OB,∴∠OBN=∠MPB,∴∠MPB=∠BNO,
∵∠MQR-∠BRN=45°,∠MQR=∠MQP+∠RQN=∠MQP+45°,
∴∠BRN=∠MQP,∴△PMQ∽△NBR.(9分)
√2 √10
PQ PM 3√2n-
∴ = ,∴ 2 = 2 ,
RN BN
√10n 2√22 2 6
∴n= ,即RH= ,∴HN= .
7 7 7
6 15
延长QR交x轴于点G,则OG=OC-HN=3- = ,
7 7
2 5
RG=HG-HR=NC-HR=1- = ,
7 7
∴R(15 5).(10分)
,
7 7
28.解析
图1
(1)证明:如图1,作∠BAP=∠DAE,AP交BD于P,
设∠CBD=α,∠CAD=β,
∵∠ADB=∠CAD+∠ABD,∠APE=∠BAP+∠ABD,
∴∠APE=∠ADB,∴AP=AD,(1分)
∵AC⊥BD,∴∠PAE=∠DAE=β,(2分)
∴∠PAD=2β,∠BAD=3β,
∵∠BAD=3∠CBD,
∴3β=3α,∴β=α,(3分)
∵AC⊥BD,∴∠ACB=90°-α=90°-β,
∵∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=90°-β,
∴∠ACB=∠ABC,(4分)
∴AB=AC,
∴△ABC为等腰三角形.(5分)
3
(2)2MH=FM+ CD.(6分)
4
证明:如图2,由(1)知,AP=AD,AB=AC,∠BAP=∠CAD=β,
∴△ABP≌△ACD,∴∠ABE=∠ACD,(7分)
∵AC⊥BD,∴∠GDN=90°-β,
∵GN=GD,
∴∠GND=∠GDN=90°-β,∴∠AGF=∠NGD=2β,
∴∠AFG=∠BAD-∠AGF=3β-2β=β,
∵FN平分∠BFM,∴∠NFM=β,∴∠FMN=90°,(8分)
∵H为BF中点,∴BF=2MH,
在FB上截取FR=FM,连结RM,图2
∴∠FRM=∠FMR=90°-β,
∵∠ABC=90°-β,
∴∠FRM=∠ABC,∴RM∥BC,
∴∠CBD=∠RMB,
∵∠CAD=∠CBD=β,
∴∠RMB=∠CAD.(9分)
又∠RBM=∠ACD,∴△RMB∽△DAC,
BR BM BM 3 3
∴ = = = ,∴FB-FM=BR= CD.
CD AC AB 4 4
3
∴2MH=FM+ CD.(10分)
4
(以上各解答题如有不同解法并且正确,请按相应步骤给分)
评析 本题是一道综合题,主要考查了等腰三角形的判定,三角形全等的判定及三角形相似的
判定等知识,所探究的线段之间的数量关系较复杂,综合性较强,属难题.
