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2014 年沈阳市中等学校招生统一考试
数学试题（含答案全解全析）
参考公式:抛物线y=ax2+bx+c的顶点是( b 4ac-b2 ),对称轴是直线x=- b .
- ,
2a 4a 2a
第Ⅰ卷(选择题,共24分)
一、选择题(下列各题的备选答案中,只有一个答案是正确的.每小题3分,共24分)
1.0这个数是( )
A.正数 B.负数 C.整数 D.无理数
2.2014年端午节小长假期间,沈阳某景区接待游客约为85 000人,将数据85 000用科学记数
法表示为( )
A.85×103 B.8.5×104 C.0.85×105 D.8.5×105
3.某几何体的三视图如图所示,这个几何体是( )
A.圆柱 B.三棱柱 C.长方体 D.圆锥
4.已知一组数据:1,2,6,3,3,下列说法正确的是( )
A.众数是3 B.中位数是6 C.平均数是4 D.方差是5
5.一元一次不等式x-1≥0的解集在数轴上表示正确的是( )
6.正方形是轴对称图形,它的对称轴有( )
A.2条 B.4条 C.6条 D.8条
7.下列运算正确的是( )
A.(-x3)2=-x6 B.x4+x4=x8
C.x2·x3=x6 D.xy4÷(-xy)=-y3
8.如图,在△ABC中,点D在边AB上,BD=2AD,DE∥BC交AC于点E,若线段DE=5,则线段BC
的长为( )
A.7.5 B.10 C.15 D.20
第Ⅱ卷(非选择题,共126分)二、填空题(每小题4分,共32分)
9.计算:√9= .
10.分解因式:2m2+10m= .
11.如图,直线a∥b,直线l与a相交于点P,与直线b相交于点Q,PM⊥l于点P,若∠1=50°,则∠2=
°.
12.化简:( 1 )·1= .
1+
x-1 x
k
13.已知一次函数y=x+1的图象与反比例函数y= 的图象相交,其中有一个交点的横坐标是
x
2,则k的值为 .
14.如图,△ABC三边的中点D,E,F组成△DEF,△DEF三边的中点M,N,P组成△MNP,将△FPM
与△ECD涂成阴影.假设可以随意在△ABC中取点,那么这个点取在阴影部分的概率为
.
15.某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出
售,可卖出(30-x)件.若使利润最大,每件的售价应为 元.
16.如图,▱ABCD 中,AB>AD,AE,BE,CM,DM 分别为∠DAB,∠ABC,∠BCD,∠CDA 的平分
线,AE与DM相交于点F,BE与CM相交于点H,连结EM,若▱ABCD的周长为42 cm,FM=3
cm,EF=4 cm,则EM= cm,AB= cm.
三、解答题(第17、18小题各8分,第19小题10分,共26分)
17.先化简,再求值:[(a+b)2-(a-b)2]·a,其中a=-1,b=5.
18.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在边AD,BC上,且DE=CF,连
结OE,OF.
求证:OE=OF.19.在一个不透明的盒子里有红球、白球、黑球各一个,它们除了颜色外其余都相同.小明从
盒子里随机摸出一球,记录下颜色后放回盒子里,充分摇匀后,再随机摸出一球,并记录下颜色.
请用列表法或画树状图(树形图)法求小明两次摸出的球颜色不同的概率.
四、(每小题10分,共20分)
20.2014年世界杯足球赛于北京时间6月13日2时在巴西开幕,某媒体足球栏目从参加世界
杯球队中选出五支传统强队:意大利队、德国队、西班牙队、巴西队、阿根廷队,对哪支球队
最有可能获得冠军进行了问卷调查.为了使调查结果有效,每位被调查者只能填写一份问卷,
在问卷中必须选择这五支球队中的一队作为调查结果,这样的问卷才能成为有效问卷.从收集
到的4 800份有效问卷中随机抽取部分问卷进行了统计,绘制了统计图表的一部分如下:
预测最有可能获得世界杯冠军球队的统计表
球队名称 百分比
意大利 17%
德国 a
西班牙 10%
巴西 38%
阿根廷 b
预测最有可能获得世界杯冠军球队的条形统计图
根据统计图表提供的信息,解答下列问题:
(1)a= ,b= ;(2)根据以上信息,请补全条形统计图;
(3)根据抽样调查结果,请你估计在提供有效问卷的这4 800人中有多少人预测德国队最有可
能获得冠军.
21.某公司今年销售一种产品,1月份获得利润20万元,由于产品畅销,利润逐月增加,3月份的
利润比2月份的利润增加4.8万元,假设该产品利润每月的增长率相同,求这个增长率.
五、(本题10分)
22.如图,☉O 是△ABC 的外接圆,AB 为直径,OD∥BC 交☉O 于点 D,交 AC 于点 E,连结
AD,BD,CD.
(1)求证:AD=CD;3
(2)若AB=10,cos∠ABC= ,求tan∠DBC的值.
5
六、(本题12分)
23.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点O为坐标原点,点C在x轴的正半轴上,且
BC⊥OC于点C,点A的坐标为(2,2√3),AB=4√3,∠B=60°,点D是线段OC上一点,且OD=4,连
结AD.
(1)求证:△AOD是等边三角形;
(2)求点B的坐标;
(3)平行于AD的直线l从原点O出发,沿x轴正方向平移.设直线l被四边形OABC截得的线
段长为m,直线l与x轴交点的横坐标为t.
①当直线l与x轴的交点在线段CD上(交点不与点C,D重合)时,请直接写出m与t的函数关
··
系式(不必写出自变量t的取值范围);
②若m=2,请直接写出此时直线l与x轴的交点坐标.
··七、(本题12分)
24.如图1,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AB=13,BD=24,在菱形ABCD的外
部以AB为边作等边三角形ABE.点F是对角线BD上一动点(点F不与点B重合),将线段AF
绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM,连结FM.
(1)求AO的长;
(2)如图2,当点F在线段BO上,且点M,F,C三点在同一条直线上时,求证:AC=√3AM;
(3)连结EM,若△AEM的面积为40,请直接写出△AFM的周长.
··
温馨提示:考生可以根据题意,在备用图中补充图形,以便作答.
图1 图2 备用图
八、(本题14分)
4
25.如图1,在平面直角坐标系中,二次函数y=- x2+12的图象与y轴交于点A,与x轴交于
27
B,C两点(点B在点C的左侧),连结AB,AC.
(1)点B的坐标为 ,点C的坐标为 ;
(2)过点C作射线CD∥AB,点M是线段AB上的动点,点P是线段AC上的动点,且始终满足
BM=AP(点M不与点A,点B重合),过点M作MN∥BC分别交AC于点Q,交射线CD于点
N(点Q不与点P重合),连结PM,PN,设线段AP的长为n.
1
①如图2,当n< AC时,求证:△PAM≌△NCP;
2
②直接用含n的代数式表示线段PQ的长;
4
直接
③若PM的长为√97,当二次函数y=- x2+12的图象经过平移同时过点P和点N时,请
27 ··
写出此时的二次函数表达式.
温馨提示:考生可以根据题意,在备用图中补充图形,以便作答.图1 图2 备用图
答案全解全析：
一、选择题
1.C 0不是正数,也不是负数,是有理数,是整数,故选C.
2.B 85 000=8.5×104,故选B.
3.C 由于三视图都为长方形,所以此几何体为长方体,故选C.
评析 本题考查由三视图来判断几何体形状、学生的空间想象能力,属容易题.
1+2+3+3+6
4.A 1、2、3、3、6这一组数据的众数是3,中位数是3,平均数= =3,
5
1 14
方差= [(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(3-3)2+(6-3)2]= ,只有A是正确的,故选A.
5 5
5.A 解不等式x-1≥0得x≥1,故选A.
6.B 如图所示,正方形有4条对称轴,故选B.
7.D (-x3)2=x6,x4+x4=2x4,x2·x3=x2+3=x5,故A、B、C选项都是错误的,故选D.
1
8.C 由题意可得△ADE∽△ABC,相似比为 ,所以BC=3DE=15,故选C.
3
评析 本题考查相似三角形的判定与性质,属容易题.
二、填空题
9.答案 3
解析 = =3.
√9 √32
10.答案 2m(m+5)
解析 2m2+10m=2m(m+5).
11.答案 40
解析 如图,因为a∥b,所以∠1=∠3=50°,又PM⊥l,所以∠4=90°,所以∠2=180°-90°-∠3=40°.1
12.答案
x-1
解析 ( 1 )·1=x-1+1·1= 1 .
1+
x-1 x x-1 x x-1
13.答案 6
k
解析 由题意可得该交点为(2,3),将(2,3)代入y= ,得k=6.
x
5
14.答案
16
1 1 1
解析 题图中的三角形都是相似三角形,S = S ,S = S = S ,所以S =
△EDC 4 △ABC △FMP 4 △FED 16 △ABC 阴影
5 S
△ABC
,点取在阴影部分的概率为P= S
阴影
= 5 .
16 S 16
△ABC
评析 本题综合考查了相似三角形的性质、随机事件的概率计算,属中等难度题.
15.答案 25
解析 设利润为y元,则y=(x-20)(30-x)=-x2+50x-600=-(x-25)2+25,所以当每件的售价为25元
时,利润最大.
16.答案 5;13
解析 由题意可得四边形EFMH是矩形,所以EM= =5 cm.如图,延长CM交
√EF2+FM2
AB于点I,延长AE交CD于点J,连结FH,易证△BHI≌△BHC,所以BC=BI,CH=HI,则H为IC的
中点.同理,AD=DJ,F为AJ的中点.所以AI=FH=EM=5 cm.因为▱ABCD的周长为42 cm,所
以AB+BC=21 cm,所以2BC+AI=21 cm,所以BC=8 cm,AB=13 cm.
评析 本题考查平行四边形的性质,直角三角形的性质,属较难题.
三、解答题
17.解析 [(a+b)2-(a-b)2]·a
=(a2+2ab+b2-a2+2ab-b2)·a
=4ab·a
=4a2b.
当a=-1,b=5时,原式=4×(-1)2×5=20.
18.证明 ∵四边形ABCD为矩形,
∴∠ADC=∠BCD=90°,
1 1
AC=BD,OD= BD,OC= AC.
2 2
∴OD=OC.
∴∠ODC=∠OCD.∴∠ADC-∠ODC=∠BCD-∠OCD,
即∠EDO=∠FCO.又∵DE=CF,∴△ODE≌△OCF,∴OE=OF.
19.解析 列表如下:
第二次
红球 白球 黑球
第一次
红球 (红球,红球) (红球,白球) (红球,黑球)
白球 (白球,红球) (白球,白球) (白球,黑球)
黑球 (黑球,红球) (黑球,白球) (黑球,黑球)
或画树状(形)图:
由表格(或树状图/树形图)可知,共有9种可能出现的结果,每种结果出现的可能性相同,其中
小明两次摸出的球颜色不同的结果有6种:(红球,白球),(红球,黑球),(白球,红球),(白球,黑球),
6 2
(黑球,红球),(黑球,白球),所以P(小明两次摸出的球颜色不同)= = .
9 3
四、
20.解析 (1)30%;5%.
(2)补全的条形统计图如图所示.
预测最有可能获得世界杯冠军球队的条形统计图
(3)4 800×30%=1 440(人).
答:大约有1 440人预测德国队最有可能获得冠军.
评析 本题考查分析数据,用样本估计总体,属容易题.21.解析 设这个增长率为x.
依题意得20(1+x)2-20(1+x)=4.8,
解得x=0.2,x =-1.2(不合题意,舍去).0.2=20%.
1 2
答:这个增长率为20%.
五、
22.解析 (1)证明:∵AB为☉O直径,∴∠ACB=90°.
又∵OD∥BC,∴∠AEO=∠ACB=90°.
∴OD⊥AC.∴ ⏜ = ⏜ .∴AD=CD.
AD CD
(2)∵AB=10,
1
∴OA=OD= AB=5.
2
∵OD∥BC,
∴∠AOE=∠ABC.
在Rt△AEO中,
3
OE=OAcos∠AOE=OAcos∠ABC=5× =3.
5
∴DE=OD-OE=5-3=2.
由勾股定理得,AE= = =4.
√AO2-OE2 √52-32
DE 2 1
在Rt△AED中,tan∠DAE= = = .
AE 4 2
1
又∵∠DBC=∠DAE,∴tan∠DBC= .
2
评析 本题综合考查了圆的知识,解直角三角形,属中等难度题.
六、
23.解析 (1)证明:过点A作AM⊥x轴于点M,
∵点A的坐标为(2,2√3),∴OM=2,AM=2√3.
AM 2√3
∴在Rt△AOM中,tan∠AOM= = =√3,
OM 2
∴∠AOM=60°.
由勾股定理得,OA= = =4.
√OM2+AM2 √22+(2√3)2
∵OD=4,∴OA=OD.
∴△AOD是等边三角形.
(2)过点A作AN⊥BC于点N,
∵BC⊥OC,AM⊥x轴,
∴∠BCM=∠CMA=∠ANC=90°.
∴四边形ANCM为矩形.∴AN=MC,AM=NC.
∵∠B=60°,AB=4√3,∴在Rt△ABN中,
√3
AN=AB·sin B=4√3× =6,
21
BN=AB·cos B=4√3× =2√3.
2
∴AN=MC=6,CN=AM=2√3.
∴OC=OM+MC=2+6=8,
BC=BN+CN=2√3+2√3=4√3.
∴点B的坐标为(8,4√3).
1
(3)①m= t+2.
2
②(2,0),(32 ).
,0
3
评析 本题考查在直角坐标系中探究图形的形状,根据图形的性质求某个点的坐标,综合性较
强,属中等难度题.
七、
24.解析 (1)∵四边形ABCD为菱形,
1
∴AC⊥BD,OB=OD= BD.
2
∵BD=24,∴OB=12.在Rt△OAB中,∵AB=13,
∴OA= = =5.
√AB2-OB2 √132-122
(2)证明:∵四边形ABCD为菱形,∴BD垂直平分AC.
∴FA=FC.∴∠FAC=∠FCA.
∵AF=AM,∠MAF=60°,
∴△AMF为等边三角形.
∴∠M=∠AFM=60°.
∵点M,F,C三点在同一条直线上,
∴∠FAC+∠FCA=∠AFM=60°.∴∠FAC=∠FCA=30°.
∴∠MAC=∠MAF+∠FAC=60°+30°=90°.
AC AC
在Rt△ACM中,tan M= ,即tan 60°= ,
AM AM
∴AC=√3AM.
(3)△AFM的周长为3√41.
评析 本题考查了菱形、等边三角形的性质,通过旋转图形,考查学生的发散思维能力,属难
题.
八、
25.解析 (1)(-9,0);(9,0).
(2)①证明:∵AB∥CD,MN∥BC,
∴四边形BMNC为平行四边形.
∴BM=CN.∵BM=AP,∴AP=CN.
∵OC=OB=9,AO⊥BC,
∴AB=AC,∴AB-BM=AC-AP.
∴AM=PC.∵AB∥CD,∴∠MAP=∠PCN.
∴△PAM≌△NCP.
②15-2n或2n-15.
4 16 4 32
③y=- x2+ x+4或y=- x2+ x-12.
27 9 27 9
评析 本题综合考查了平行四边形、二次函数的性质,综合性较强,属难题.
