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2014 年衡阳市初中毕业学业水平考试试卷
数 学
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分。在每小题给出的四个选项中只有
一项是符合题目要求的。）
01． 的倒数是【 】
A． B． C． D．
02．下列图案中不是轴对称图形的是【 】
A． B． C． D．
03．环境空气质量问题已经成为人们日常生活所关心的重要问题。我国新修订的《环境空气
质量标准》中增加了 监测指标，“ ”是指大气中危害健康的直径小于或
等于 微米的颗粒物。 微米即 米。用科学记数法表示 为【
】
A． B． C． D．
04．若一个多边形的内角和是 ，则这个多边形的边数为【 】
A． B． C． D．
05．小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会儿报后，
[来源:学科网]
继续散步了一段时间，然后回家。如图描述了小明在散步过程中
离家的距离 （米）与散步所用的时间 （分）之间的函数关系。
根据图象，下列信息错误的是【 】
A．小明看报用时 分钟
B．公共阅报栏距小明家 米
C．小明离家最远的距离为 米
D．小明从出发到回家共用时 分钟
06．下列运算结果正确的是【 】
A． B． C． D．
07．不等式组 的解集在数轴上表示为【 】
A． B． C． D．
08．下列因式分解中正确的个数为【 】
① ； ② ； ③
。
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
09．右图所示的图形是由七个完全相同的小正方体组成的立体图形，则下面四个
平面图形中不是这个立体图形的三视图的是【 】
A． B． C． D．
10．如图，一河坝的横断面为等腰梯形 ，坝顶宽 米，坝高 米，
斜坡 的坡度 ，则坝底 的长度为【 】
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米11．圆心角为 ，弧长为 的扇形半径为【 】
A． B． C． D．
12．下列命题是真命题的是【 】
A．四条边都相等的四边形是矩形 B．菱形的对角线相等
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．对角线相等的梯形是等腰
梯形
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分。）
13．函数 中自变量 的取值范围是 。
14．化简： 。
15．如图，在矩形 中， ， ，则 的长为 。
16．甲、乙两同学参加学校运动会铅球项目选拔赛，各投掷六次，记录成绩，计算平均数和方
差的结果为： ， ， ， ，则成绩较稳定的是 乙 。
（填“甲”或“乙”）
17．如图， 为 的直径， 为 的弦， ，则 的度数为 。
18．若点 和点 都在反比例函数 的图象上，
则 （填“ ”、“ ” 或“ ”号）
19．分式方程 的解为 。
20．如图，在平面直角坐标系 中，已知点 的坐标为 ，
将线段 绕原点 逆时针方向旋转 ，再将其延长至点 ，
使得 ，得到线段 ；又将线段 绕原点
逆时针方向旋转 ，再将其延长至点 ，使得 ，
得到线段 ；如此下去，得到线段 、 、 、…。
根据以上规律，请直接写出线段 的长度为 。
三、解答题（本大题共8个小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
21．（本小题满分6分）
先化简，再求值： ，其中 、 。
解 ： 原 式 ； 当 、 时 ， 原 式
。
22．（本小题满分6分）
为了了解我市的空气质量情况，某环保兴趣小组从环境监测网随机抽取了我市若干天
的空气质量情况作为样本进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分
信息未给出）。
我市若干天空气质量情况条形统计图 我市若干天空气质量情况扇形统计图请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
⑴请补全条形统计图；
⑵求扇形统计图中表示“优”的扇形的圆心角度数；
⑶请估计我市这一年（ 天）达到“优”和“良”的总天数。
解：⑴∵扇形统计图中空气质量情况为“优”占的比例为
条形统计图中空气质量情况为“优”的有 天
∴被抽取的总天数为 （天）
∴条形统计图中空气质量情况为“轻微污染”的有：
（天），如图所示：
⑵扇形统计图中表示“优”的扇形的圆心角度数为 。
⑶我市这一年（ 天）达到“优”和“良”的总天数 （天）
23．（本小题满分6分）
如图，在 中， ， ， 于点 ， 于点 。
求证： ≌ 。
证：∵ ， ，∴
∵ ，∴
∵在 和 中， ，∴ ≌ 。
24．（本小题满分6分）
已知某校去年年底的绿化面积为 平方米，预计到明年年底的绿化面积将会增加到
平方米，求这两年的年平均增长率。
解：设这两年的年平均增长率为 ，由题意得 ，即 ，
[来源:学科网ZXXK]
解得： ， （不合题意，舍去），∴
为所求。
答：这两年的年平均增长率为 。
25．（本小题满分8分）
某班组织活动，班委会准备用 元钱全部用来购买笔记本和中性笔两种奖品。已知笔
记本 元/本，中性笔 元/支，且每种奖品至少买一件。
[来源:Z。xx。k.Com]
⑴若设购买笔记本 本，中性笔 支，写出 与 之间的关系式；
⑵有多少种购买方案？请列举所有可能的结果；
⑶从上述方案中任选一种方案购买，求买到的中性笔与笔记本数量相等的概率。
解：⑴∵由题意知 ，∴ 与 之间的关系式为 ；
⑵∵在 中， 为偶数， 为奇数，∴ 必为奇数，
∵每种奖品至少买一件，∴ ， ，∴奇数 只能取 这七个数
∴共有七种购买方案，如右图所示；
⑶∵买到的中性笔与笔记本数量相等的购买方案只有 种（上表所示的方案三），共有
种购买方案
∴买到的中性笔与笔记本数量相等的概率为 。
26．（本小题满分8分）
将一副三角尺如图①摆放（在 中， ， ；在 中，
， 。），点 为 的中点， 交 于点 ， 经过点 。
图① 图②
⑴求 的度数；
⑵如图②，将 绕点 顺时针方向旋转角 ，此时的等腰直角三角
尺记为 ， 交 于点 ， 交 于点 ，试判断 的值是否
随着 的变化而变化？如果不变，请求出 的值；反之，请说明理由。
解：⑴由题意知： 是 中斜边 上的中线，∴
∵ 在 中 ， 且 ， ∴ 有 等 边 ， ∴
∴ ；
⑵ 的值不会随着 的变化而变化，理由如下：
∵ 的 外 角 ， ∴
∵在 和 中， ，
∴ ∽ ， ∴ ， 又 ∵ 由 ⑴ 知 ， ∴∵在 中， ，∴在等腰 中，
∴ 。
27．（本小题满分10分）
如图，直线 与 轴相交于点 ，与 轴相交于点 ，
点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿直线 向点 移动。
同时，将直线 以每秒 个单位长度的速度向上平移，交
于点 ，交 于点 ，设运动时间为 秒。
⑴证明：在运动过程中，四边形 总是平行四边形；
⑵当 取何值时，四边形 为菱形？请指出此时以点 为圆心、 长为半径的
圆与直线 的位置关系并说明理由。
解：⑴∵直线 与 轴相交于点 ，与 轴相交于点
∴直线 的解析式为 ，即
∵将直线 以每秒 个单位长度的速度向上平移 秒得到直
线
∴ ，∴ ，∴直线 的解析式为
∵在直线 中，点 在 轴上，∴令 ，则 ，∴ ，
∴在 中，
∵点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿直线 向点 移动
秒
∴ ，∴ ，又∵ ，∴ ，
∵ ， ，∴在运动过程中，四边形 总是平行四边形；
⑵欲使四边形 为菱形，只需在 中满足条件 ，即
，解得
∴当 时，四边形 为菱形；
此时以点 为圆心、 长为半径的圆与直线 相切，理由如下：
∵ ，∴ ，∴
∵ ， ， ∴ ， ， ∴ 在 中 ，
过点 作 于点 ，则
∵在 和 中， 且 ，∴∽
∴ ，即 ，∴ ，∴点 到直线 的距离等于
的半径
∴以点 为圆心、 长为半径的圆与直线 相切。
另解：（在证明 与直线 相切时，也可利用等积法求得点 到直线 的
距离。）
设点 到直线 的距离为 ，则 ，连结 ，
∵ 且 、
∴ ，解得 ，∴点 到直线 的距离与 的半径相等，即
∴以点 为圆心、 长为半径的 与直线 相切。
再解：（巧用“菱形对角线的性质”和“角平分线性质定理”）
连结 ，则 是菱形 的对角线，∴ 平分
∵ ，∴ 是点 到直线 的距离，
∴点 到直线 的距离＝点 到直线 的距离
∴以点 为圆心、 长为半径的圆与直线 相切。
28．（本小题满分10分）
已知某二次函数的图象与 轴分别相交于点 和点 ，
与 轴相交于点 ，顶点为点 。
⑴求该二次函数的解析式（系数用含 的代数式表示）；
⑵如图①，当 时，点 为第三象限内抛物线上的一个动点，
设 的面积为 ，试求出 与点 的横坐标 之间的函数
关系式及 的最大值；
⑶如图②，当 取何值时，以 、 、 三点为顶点的三角形
与 相似？
图① 图②
解：⑴∵该二次函数的图象与 轴分别相交于点 和点 ，
∴设该二次函数的解析式为
∵该二次函数的图象与 轴相交于点 ，
∴ ，故
∴该二次函数的解析式为
⑵当 时，点 的坐标为 ，该二次函数的解析式为
∵点 的坐标为 ，点 的坐标为
∴直线 的解析式为 ，即
过点 作 轴于点 ，交 于点
∵点 为第三象限内抛物线上的一个动点且点 的横坐标为
[来源:学.科.网Z.X.X.K]
∴点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， 点 的坐标为∴
∴当 时， 有最大值 ；
另 解 ：
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ （其余略）
再 解 ：
[来源:Zxxk.Com]
⑶∵ ，∴点 的坐标
为
∴
∵ 是直角三角形，∴欲使以 、 、 三点为顶点的三角形与 相似，必
有
① 若 在 中 ， ， 则 ， 即化简整理得： ，∵ ，∴ （舍去负值）
此时， ， ，∴
∵ 且 ，∴ 与 相似，符合题意；
② 若 在 中 ， ， 则 ， 即
化简整理得： ，∵ ，∴ （舍去负值）
此时， ， ，∴
虽然 ，但是 ，∴ 与 不相似，应舍
去；
∴综上所述，只有当 时，以 、 、 三点为顶点的三角形与 相似。
