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2015 年沈阳市中等学校招生统一考试
数学试题（含答案全解全析）
( b 4ac-b2 ) b
参考公式:抛物线y=ax2+bx+c的顶点是 - , ,对称轴是直线x=- .
2a 4a 2a
第Ⅰ卷(选择题,共24分)
一、选择题(下列各题的备选答案中,只有一个答案是正确的.每小题3分,共24分)
1.比0大的数是( )
3
A.-2 B.- C.-0.5 D.1
2
2.如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体,这个几何体的左视图是( )
3.下列事件为必然事件的是( )
A.经过有交通信号灯的路口,遇到红灯
B.明天一定会下雨
C.抛出的篮球会下落
D.任意买一张电影票,座位号是2的倍数
4. 如 图 , 在 △ ABC 中 , 点 D 是 边 AB 上 一 点 , 点 E 是 边 AC 上 一 点 , 且
DE∥BC,∠B=40°,∠AED=60°,则∠A的度数是( )
A.100° B.90° C.80° D.70°
5.下列计算结果正确的是( )
A.a4·a2=a8 B.(a5)2=a7 C.(a-b)2=a2-b2 D.(ab)2=a2b2
6.一组数据2、3、4、4、5、5、5的中位数和众数分别是( )
A.3.5,5 B.4,4 C.4,5 D.4.5,4
7.顺次连结对角线相等的四边形的各边中点,所形成的四边形是( )
A.平行四边形B.菱形 C.矩形 D.正方形
8.在平面直角坐标系中,二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象可能是( )
第Ⅱ卷(非选择题,共126分)
二、填空题(每小题4分,共32分)9.分解因式:ma2-mb2= .
{x-3<0,
10.不等式组 的解集是 .
2x+4≥0
11.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠B=30°,以点 A 为圆心,以 3 cm 为半径作☉A,当 AB=
cm时,BC与☉A相切.
12.某跳远队甲、乙两名运动员最近10次跳远成绩的平均数均为602 cm,若甲跳远成绩的方
差为s2 =65.84,乙跳远成绩的方差为s2
=285.21,则成绩比较稳定的是 .(填“甲”或
甲 乙
“乙”)
13.在一个不透明的袋中装有12个红球和若干个黑球,每个球除颜色外都相同,任意摸出一个
1
球是黑球的概率为 ,那么袋中的黑球有 个.
4
4
14.如图,△ABC 与△DEF 位似,位似中心为点 O,且△ABC 的面积等于△DEF 面积的 ,则
9
AB∶DE= .
15.如图1,在某个盛水容器内,有一个小水杯,小水杯内有部分水,现在匀速持续地向小水杯内
注水,注满小水杯后,继续注水.小水杯内水的高度y(cm)和注水时间x(s)之间的关系满足图2
中的图象,则至少需要 s能把小水杯注满水.
16.如图,正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG,EF与AD相交于点H,延
长DA交GF于点K,若正方形ABCD边长为√3,则AK= .
三、解答题(第17、18小题各8分,第19小题10分,共26分)
17.计算: +| -2|-(1) -2 +(tan 60°-1)0.
√327 √5
318.如图,点E为矩形ABCD外一点,AE=DE,连结EB、EC分别与AD相交于点F、G.
求证:(1)△EAB≌△EDC;
(2)∠EFG=∠EGF.
19.我国是世界上严重缺水的国家之一,全国总用水量逐年上升,全国总用水量可分为农业用
水量、工业用水量和生活用水量三部分.为了合理利用水资源,我国连续多年对水资源的利用
情况进行跟踪调查,将所得数据进行处理,绘制了2008年全国总用水量分布情况扇形统计图
和2004—2008年全国生活用水量折线统计图的一部分如下:(1)2007年全国生活用水量比2004年增加了16%,则2004年全国生活用水量为 亿
m3,2008年全国生活用水量比2004年增加了20%,则2008年全国生活用水量为 亿
m3;
(2)根据以上信息,请补全折线统计图;
(3)根据以上信息,2008年全国总用水量为 亿m3;
(4)我国2008年水资源总量约为2.75×104亿m3,根据国外的经验,一个国家当年的全国总用水
量超过这个国家年水资源总量的20%,就有可能发生“水危机”.依据这个标准,2008年我国
是否属于可能发生“水危机”的行列?并说明理由.
四、解答题(每小题10分,共20分)
20.高速铁路列车已成为中国人出行的重要交通工具,其平均速度是普通铁路列车平均速度的
3倍,同样行驶690 km,高速铁路列车比普通铁路列车少运行了4.6 h,求高速铁路列车的平均
速度.21.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠ABC=2∠D,连结OA、OB、OC、AC,OB与AC
相交于点E.
(1)求∠OCA的度数;
(2)若∠COB=3∠AOB,OC=2√3,求图中阴影部分面积.(结果保留π和根号)
五、解答题(本题10分)
3 k
22.如图,已知一次函数y= x-3与反比例函数y= 的图象相交于点A(4,n),与x轴相交于点B.
2 x
(1)填空:n的值为 ,k的值为 ;
(2)以AB为边作菱形ABCD,使点C在x轴正半轴上,点D在第一象限,求点D的坐标;
k
(3)考察反比例函数y= 的图象,当y≥-2时,请直接写出自变量x的取值范围.
x六、解答题(本题12分)
23.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点O是坐标原点,点A在第一象限,点C在
第四象限,点B的坐标为(60,0),OA=AB,∠OAB=90°,OC=50.点P是线段OB上的一个动点(点
P不与点O、B重合),过点P与y轴平行的直线l交边OA或边AB于点Q,交边OC或边BC
于点R,设点P横坐标为t,线段QR的长度为m.已知t=40时,直线l恰好经过点C.
(1)求点A和点C的坐标;
(2)当00.故选D.
2
2.A 从几何体的左面看,得到四个正方形,其中三个横向排列,且在最左边的一个正方形上面
有一个正方形.故选A.
评析 几何体的三视图分别是从正面、左面、上面看几何体得到的平面图形,实质上就是从
某一方向看到的几何体的外轮廓与看不到的线(用虚线表示)组成的图形.
3.C A项,经过有交通信号灯的路口,有可能遇到红灯,也有可能遇到黄灯或绿灯,所以“经过
有交通信号灯的路口,遇到红灯”是随机事件;B项,明天可能下雨,也可能不下雨,所以“明天
一定会下雨”是随机事件;C项,抛出的篮球在地球引力的作用下一定会下落,所以“抛出的
篮球一定会下落”是必然事件;D项,任意买一张电影票,座位号可能是奇数,也可能是偶数,所
以“任意买一张电影票,座位号是2的倍数”是随机事件.故选C.
评析 一定发生的事件是必然事件;一定不会发生的事件是不可能事件;有可能发生,也有可
能不发生的事件为随机事件.
4.C ∵ DE∥BC,∴∠AED=∠C. 又 ∵ ∠ AED=60°,∴∠C=60°. 在 △ ABC 中 ,
∠A+∠B+∠C=180°,∵∠B=40°,∠C=60°,∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-40°-60°=80°.故选C.
5.D A项,根据同底数幂的乘法法则得a4·a2=a4+2=a6,故本选项错误;B项,根据幂的乘方法则得
(a5)2=a5×2=a10,故本选项错误;C项,根据完全平方公式得(a-b)2=a2-2ab+b2,故本选项错误;D项,根
据积的乘方法则得(ab)2=a2b2,故本选项正确.故选D.6.C 将这组数据按从小到大的顺序排列后,位于中间位置的是4,故这组数据的中位数为4.
在这组数据中5出现了3次,出现的次数最多,所以这组数据的众数为5.故选C.
1
7.B 如图,在△ABD 中,E,F 分别是 AB,AD 的中点,∴EF 是△ABD 的中位线,∴EF= BD,同
2
1 1 1
理,GH= BD,EH= AC,FG= AC,∵AC=BD,∴EF=FG=HG=HE,∴四边形EFGH是菱形.
2 2 2
评析 顺次连结四边形各边中点所得的四边形是中点四边形.中点四边形一定是平行四边形,
它的其他特征取决于原四边形对角线的特点:①若原四边形的对角线互相垂直,则中点四边
形的各角为直角;②若原四边形的对角线相等,则中点四边形的各边相等.
8.D 二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象的顶点坐标为(h,0),由于该点的纵坐标为0,所以该点在x
轴上,符合这一条件的图象只有D.故选D.
二、填空题
9.答案 m(a+b)(a-b)
解析 先用提公因式法提取公因式m,再用平方差公式分解:ma2-mb2=m(a2-b2)=m(a+b)(a-b).
10.答案 -2≤x<3
解析 解不等式x-3<0,得x<3;解不等式2x+4≥0,得x≥-2.所以原不等式组的解集为-2≤x<3.
11.答案 6
解析 作AD⊥BC于点D.当BC与☉A相切时,AD=3 cm.
AD
在Rt△ABD中,AD=3 cm,∠B=30°,∴AB= =6 cm.
sin30°
∴当AB=6 cm时,BC与☉A相切.
12.答案 甲
解析 ∵甲、乙两名运动员最近10次跳远成绩的平均数相等,且 < ,∴甲的成绩比较稳
s2 s2
甲 乙
定.
评析 当两组数据的平均数相等时,方差小的一组数据比较稳定.
13.答案 4
x 1
解析 设这个不透明的袋中的黑球有x个,则P(摸到黑球)= = ,所以x=4.故黑球有4
12+x 4
个.
14.答案 2∶3
解析 ∵△ABC与△DEF位似,∴△ABC∽△DEF,∴S △ABC =( AB) 2 .∵S △ABC =4S △DEF ,∴S △ABC =
S DE 9 S
△DEF △DEF
4.∴( AB) 2=4,
9 DE 9
AB 2
∴ = (舍负),即AB∶DE=2∶3.
DE 315.答案 5
解析 设t s时恰好注满小水杯.在向小水杯内注水的过程中,当0≤x≤t时,小水杯内水的高度
y(cm)与注水时间x(s)的图象是一条线段,这条线段所在直线过(0,1),(2,5),(t,11)三点.设这条直
{1=k×0+b, {k=2,
线的解析式为y=kx+b(k≠0),则 解这个方程组,得 ∴这条直线的解析式
5=2k+b, b=1.
为y=2x+1.当y=11时,有11=2t+1,∴t=5.∴至少需要5 s能把小水杯注满水.
评析 由函数图象的形状确定函数的类型是用函数模型解决实际问题最常用的方法.当函数
图象为直线(或其一部分)时,该函数为一次函数;当函数图象为双曲线(或其一部分)时,该函数
为反比例函数;当函数图象为抛物线(或其一部分)时,该函数为二次函数.
16.答案 2√3-3
解析 如图,延长 BA 交 GF 于点 N.由旋转的性质得∠GBN=∠EBC=30°,GB=AB=√3.在
GB √3
Rt△GBN 中 ,∵GB=√3,∠GBN=30°,∴BN= = =2,∴AN=BN-AB=2-√3
cos∠GBN cos30°
.∵∠NAK=∠G=90°,∴∠KNA+∠NKA=90°,∠KNA+∠GBN=90°,∴∠NKA=∠GBN=30°(同角的余
NA 2-√3
角相等).在Rt△KAN中,∵AN=2-√3,∠NKA=30°,∴AK= = =2√3-3.
tan∠NKA tan30°
评析 本题考查正方形的性质、旋转的性质和解直角三角形的有关知识,综合性较强.
三、解答题
17.解析 +| -2|-(1) -2 +(tan 60°-1)0
√327 √5
3
=3+√5-2-9+1=√5-7.
18.证明 (1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC,∠BAD=∠CDA=90°.
∵EA=ED,
∴∠EAD=∠EDA,
∴∠EAB=∠EDC,
∴△EAB≌△EDC.
(2)∵△EAB≌△EDC,
∴∠AEF=∠DEG.
∵∠EFG=∠EAF+∠AEF,∠EGF=∠EDG+∠DEG,
∴∠EFG=∠EGF.19.解析 (1)设2004年全国生活用水量为x亿m3.
则x(1+16%)=725,解得x=625,
则2008年全国生活用水量为625×(1+20%)=750(亿m3).
故填625;750.
(2)
(3)750÷15%=5 000(亿m3),故填5 000.
(4)不属于.
理由:2.75×104×20%=5 500>5 000,
因此,2008年我国不属于可能发生“水危机”的行列.
四、解答题
20.解析 设高速铁路列车的平均速度为x km/h,
690
690
根据题意,得 1 = +4.6.
x x
3
解这个方程,得x=300.
经检验,x=300是所列方程的根.
答:高速铁路列车的平均速度为300 km/h.
21.解析 (1)∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,
∴∠ABC+∠D=180°.
∵∠ABC=2∠D,∴2∠D+∠D=180°,
∴∠D=60°,∴∠AOC=2∠D=120°.
∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC=30°.
(2)∵∠COB=3∠AOB,
∴∠AOC=∠AOB+3∠AOB=120°,∴∠AOB=30°,
∴∠COB=∠AOC-∠AOB=90°.
在Rt△OCE中,OC=2√3,
√3
∴OE=OC·tan∠OCE=2√3·tan 30°=2√3× =2,
31 1
∴S = OE·OC= ×2×2√3=2√3,
△OEC
2 2
90π×(2√3)2
∵S = =3π,
扇形OBC
360
∴S =S -S =3π-2√3.
阴影 扇形OBC △OEC
五、解答题
3
22.解析 (1)由题可知A(4,n)在y= x-3的图象上,
2
3
∴n= ×4-3=3,∴A(4,3).
2
k
又∵A在y= 的图象上,
x
∴k=xy=4×3=12.故填3;12.
3
(2)直线y= x-3与x轴相交于点B,
2
3
令 x-3=0,
2
得x=2,∴B点坐标为(2,0).
过点A作AE⊥x轴,垂足为E,过点D作DF⊥x轴,垂足为F.
∵A(4,3),B(2,0),
∴OE=4,AE=3,OB=2,
∴BE=OE-OB=4-2=2.
在Rt△ABE中,
AB= = = .
√AE2+BE2 √32+22 √13
∵四边形ABCD是菱形,∴AB=DC=BC=√13,AB∥CD,
∴∠ABE=∠DCF.
又∵AE⊥x轴,DF⊥x轴,∴∠AEB=∠DFC=90°,
∴△ABE≌△DCF,∴CF=BE=2,DF=AE=3,
∴OF=OB+BC+CF=2+√13+2=4+√13,
∴点D的坐标为(4+√13,3).
(3)x≤-6或x>0.六、解答题
23.解析 (1)如图,过点A作AD⊥OB,垂足为D,过点C作CE⊥OB,垂足为E.
1
∵OA=AB,∴OD=DB= OB.
2
1
∵∠OAB=90°,∴AD= OB,
2
∴OD=AD.
∵点B的坐标为(60,0),∴OB=60,
1 1
∴OD= OB= ×60=30,
2 2
∴点A的坐标为(30,30).
∵直线l平行于y轴且当t=40时,直线l恰好过点C,
∴OE=40.
在Rt△OCE中,OC=50,由勾股定理得CE= = =30.
√OC2-OE2 √502-402
∴点C的坐标为(40,-30).
(2)如图,∵∠OAB=90°,OA=AB,∴∠AOB=45°.
∵直线l平行于y轴,∴∠OPQ=90°,
∴∠OQP=45°,∴OP=QP.
∵点P的横坐标为t,∴OP=QP=t.
在Rt△OCE中,OE=40,CE=30,
3
∴tan∠EOC= .
4
PR 3 3
∴tan∠POR= = ,∴PR=OP·tan∠POR= t,
OP 4 4
3 7
∴QR=QP+PR=t+ t= t,
4 4
7
∴当0
