2015 年天津市初中毕业生学业考试
数学试题（含答案全解全析）
第Ⅰ卷(选择题,共36分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的)
1.计算(-18)÷6的结果等于( )
1 1
A.-3 B.3 C.- D.
3 3
2.cos 45°的值等于( )
1 √2 √3
A. B. C. D.√3
2 2 2
3.在一些美术字中,有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中,可以看作是轴对称图形的是(
)
4.据2015年5月4日《天津日报》报道,“五一”三天假期,全市共接待海内外游客约2 270
000人次.将2 270 000用科学记数法表示应为( )
A.0.227×107 B.2.27×106 C.22.7×105 D.227×104
5.如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形,它的主视图是( )
6.估计√11的值在( )
A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间
7.在平面直角坐标系中,把点P(-3,2)绕原点O顺时针旋转180°,所得到的对应点P'的坐标为(
)
A.(3,2) B.(2,-3) C.(-3,-2) D.(3,-2)
2 3
8.分式方程 = 的解为( )
x-3 x
A.x=0 B.x=3 C.x=5 D.x=9
6
9.已知反比例函数y= ,当1<x<3时,y的取值范围是( )
x
A.0<y<1 B.1<y<2 C.2<y<6 D.y>6
10.已知一个表面积为12 dm2的正方体,则这个正方体的棱长为( )
A.1 dm B.√2 dm C.√6 dm D.3 dm
11.如图,已知▱ABCD中,AE⊥BC于点E,以点B为中心,取旋转角等于∠ABC,把△BAE顺时针
旋转,得到△BA'E',连结DA'.若∠ADC=60°,∠ADA'=50°,则∠DA'E'的大小为( )A.130° B.150° C.160° D.170°
1 3
12.已知抛物线y=- x2+ x+6与x轴交于点A,点B,与y轴交于点C,若D为AB的中点,则CD
6 2
的长为( )
15 9 13 15
A. B. C. D.
4 2 2 2
第Ⅱ卷(非选择题,共84分)
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
13.计算x2·x5的结果等于 .
14.若一次函数y=2x+b(b为常数)的图象经过点(1,5),则b的值为 .
15.不透明袋子中装有9个球,其中有2个红球、3个绿球和4个蓝球,这些球除颜色外无其他
差别.从袋子中随机取出1个球,则它是红球的概率是 .
16.如图,在△ABC中,DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E.若AD=3,DB=2,BC=6,则DE的长为
.
17.如图,在正六边形ABCDEF中,连结对角线AC,BD,CE,DF,EA,FB,可以得到一个六角星.记
这些对角线的交点分别为H,I,J,K,L,M,则图中等边三角形共有 个.
18.在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,B,C,D均在格点上,点E,F分别为线段BC,DB
上的动点,且BE=DF.
5
(Ⅰ)如图①,当BE= 时,计算AE+AF的值等于 ;
2
(Ⅱ)当AE+AF取得最小值时,请在如图②所示的网格中,用无刻度的直尺,画出线段AE,AF,并
简 要 说 明 点 E 和 点 F 的 位 置 是 如 何 找 到 的 ( 不 要 求 证 明 )
.三、解答题(本大题共7小题,共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
19.(本小题8分)
{ x+3≥6,①
解不等式组
2x-1≤9.②
请结合题意填空,完成本题的解答.
(Ⅰ)解不等式①,得 ;
(Ⅱ)解不等式②,得 ;
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来:
(Ⅳ)原不等式组的解集为 .
20.(本小题8分)
某商场服装部为了解服装的销售情况,统计了每位营业员在某月的销售额(单位:万元),并根据
统计的这组销售额数据,绘制出如下的统计图①和图②.请根据相关信息,解答下列问题:
(Ⅰ)该商场服装部营业员的人数为 ,图①中m的值为 ;
(Ⅱ)求统计的这组销售额数据的平均数、众数和中位数.21.(本小题10分)
已知A,B,C是☉O上的三个点,四边形OABC是平行四边形,过点C作☉O的切线,交AB的延
长线于点D.
(Ⅰ)如图①,求∠ADC的大小;
(Ⅱ)如图②,经过点O作CD的平行线,与AB交于点E,与 ⏜ 交于点F,连结AF,求∠FAB的大
AB
小.22.(本小题10分)
如图,某建筑物BC顶部有一旗杆AB,且点A,B,C在同一条直线上.小红在D处观测旗杆顶部
A的仰角为47°,观测旗杆底部B的仰角为42°.已知点D到地面的距离DE为1.56 m,EC=21
m,求旗杆AB的高度和建筑物BC的高度(结果保留小数点后一位).
参考数据:tan 47°≈1.07,tan 42°≈0.90.23.(本小题10分)
1号探测气球从海拔5 m处出发,以1 m/min的速度上升.与此同时,2号探测气球从海拔15
m处出发,以0.5 m/min的速度上升.两个气球都匀速上升了50 min.设气球上升时间为x
min(0≤x≤50).
(Ⅰ)根据题意,填写下表:
上升时间/min 10 30 … x
1号探测气球所在位置的海拔/m 15 …
2号探测气球所在位置的海拔/m 30 …
(Ⅱ)在某时刻两个气球能否位于同一高度?如果能,这时气球上升了多长时间?位于什么高度?
如果不能,请说明理由;
(Ⅲ)当30≤x≤50时,两个气球所在位置的海拔最多相差多少米?
24.(本小题10分)
将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中,点A(√3,0),点B(0,1),点O(0,0).过边
OA上的动点M(点M不与点O,A重合)作MN⊥AB于点N,沿着MN折叠该纸片,得顶点A的
对应点A'.设OM=m,折叠后的△A'MN与四边形OMNB重叠部分的面积为S.
(Ⅰ)如图①,当点A'与顶点B重合时,求点M的坐标;
(Ⅱ)如图②,当点A'落在第二象限时,A'M与OB相交于点C,试用含m的式子表示S;√3
(Ⅲ)当S= 时,求点M的坐标(直接写出结果即可).
24
25.(本小题10分)
已知二次函数y=x2+bx+c(b,c为常数).
(Ⅰ)当b=2,c=-3时,求二次函数的最小值;
(Ⅱ)当c=5时,若在函数值y=1的情况下,只有一个自变量x的值与其对应,求此时二次函数的
解析式;
(Ⅲ)当c=b2时,若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为21,
求此时二次函数的解析式.答案全解全析：
一、选择题
1.A 两个不等于0的数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除,所以(-18)÷6=-3.故选A.
√2
2.B 本题考查特殊角的三角函数值.cos 45°= .
2
3.A 轴对称图形的定义:如果一个图形沿某一条直线对折,对折后的两部分是完全重合的,那
么就称这样的图形为轴对称图形,据此可判断B、C、D都不符合轴对称图形的定义.故选A.
4.B 科学记数法的表示形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数,故选B.
评析 确定n的值是解题的关键.
5.A 主视图是从一个物体的正面观察时所看到的图形.从正面观察所给图形,可看到大小一
样的四个正方形.故选A.
6.C ∵9<11<16,∴3<√11<4.故选C.
7.D 在平面直角坐标系中,任意一点A(x,y)绕原点O顺时针旋转180°,所得到的对称点是
A'(-x,-y),故点P(-3,2)关于原点的对称点是P'(3,-2).故选D.
8.D 去分母得2x=3x-9,移项、合并同类项得x=9,经检验,x=9是分式方程的解.故选D.
9.C 由反比例函数的性质可得,当1<x<3时,y随x的增大而减小,故2<y<6.故选C.10.B 设这个正方体的棱长为x dm,由已知得,6x2=12,解得x=√2(负值舍去),故这个正方体的
棱长是 √2 dm.故选B.
11.C 在▱ABCD中,因为∠ADC=60°,所以∠CBA=60°.
在△AEB 中,因为∠EBA=60°,∠AEB=90°,所以∠EAB=30°.又因为 AD∥BC,∠ADA'=50°,所以
∠BA'D=180°-50°=130°.由旋转的性质知,∠E'A'B=∠EAB=30°,所以∠DA'E'=130°+30°=160°.故
选C.
评析 根据旋转的性质和平行线的性质即可求解.
12.D 由题意知,点D是抛物线的对称轴与x轴的交点,所以点D的坐标为(9 ).对于y=-
,0
2
1x2+3x+6,令x=0,得y=6,所以C(0,6).所以CD=√ (9 -0 ) 2 +(0-6)2 =√225=15.故选D.
6 2 2 4 2
二、填空题
13.答案 x7
解析 根据同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加,可得x2·x5=x2+5=x7.
14.答案 3
解析 ∵一次函数y=2x+b(b为常数)的图象经过点(1,5),∴2+b=5,∴b=3.
2
15.答案
9
解析 ∵不透明袋子中装有9个球,其中有2个红球,∴从袋子中随机取出1个球,它是红球的
2
概率为 .
9
18
16.答案
5
AD DE AD DE 3 DE 18
解析 ∵DE∥BC,∴ = ,∴ = ,∴ = ,∴DE= .
AB BC AD+BD BC 3+2 6 5
AD DE
评析 本题考查平行线分线段成比例定理.由DE∥BC可得 = ,从而可计算出DE的长.
AB BC
17.答案 8
解析 题图中的等边三角形可分为两大类:第一类:分别以B,A,F,E,D,C为顶点的小等边三角
形,有△BHM,△AML,△FLK,△EKJ,△DJI,△CIH,共6个;
第二类:分别以B,F,D和A,C,E为顶点的大等边三角形,有△BFD和△ACE,共2个.
故题图中等边三角形共有6+2=8(个).
5+√61
18.答案 (Ⅰ) ;
2
(Ⅱ)如图,取格点H,K,连结BH,CK,相交于点P.连结AP,与BC相交于点E.取格点M,N,连结
DM,CN,相交于点G.连结AG,与BD相交于点F.线段AE,AF即为所求.5 5
解析 (Ⅰ)由题图①可知,AD=4,AB=3,则DB=√32+42=5,因为BE= ,BE=DF,所以DF= ,所
2 2
以 F 是 Rt△ABD 斜边 BD 的中点,所以 AF=1BD=5.因为 AE=√
32+
(5) 2 =√61,所以
2 2 2 2
5+√61
AE+AF= .
2
(Ⅱ)如图,取格点H,K,连结BH,CK,相交于点P.连结AP,与BC相交于点E.取格点M,N,连结
DM,CN,相交于点G.连结AG,与BD相交于点F.线段AE,AF即为所求.
三、解答题
19.解析 (Ⅰ)x≥3.
(Ⅱ)x≤5.
(Ⅲ)
(Ⅳ)3≤x≤5.
20.解析 (Ⅰ)25,28.
12×2+15×5+18×7+21×8+24×3
(Ⅱ)观察条形统计图,∵x= =18.6,∴这组数据的平均数
25
是18.6.
∵在这组数据中,21出现了8次,出现的次数最多,
∴这组数据的众数是21.
∵将这组数据按照由小到大的顺序排列,其中处于中间位置的数是18,∴这组数据的中位数是
18.
评析 本题考查利用扇形统计图和条形统计图计算样本容量以及平均数、众数和中位数.
21.解析 (Ⅰ)∵CD是☉O的切线,C为切点,
∴OC⊥CD,即∠OCD=90°.
∵四边形OABC是平行四边形,
∴AB∥OC,即AD∥OC.
有∠ADC+∠OCD=180°.
∴∠ADC=180°-∠OCD=90°.(Ⅱ)如图,连结OB,则OB=OA=OC.
∵四边形OABC是平行四边形,
∴OC=AB.∴OA=OB=AB.
即△AOB是等边三角形,于是,∠AOB=60°.
由OF∥CD,又∠ADC=90°,
得∠AEO=∠ADC=90°.
∴OF⊥AB.有 ⏜ = ⏜ .
BF AF
1
∴∠FOB=∠FOA= ∠AOB=30°.
2
1
∴∠FAB= ∠FOB=15°.
2
评析 本题考查平行四边形的性质和圆中角度的计算.
22.解析 如图,根据题意,DE=1.56,EC=21,∠ACE=90°,∠DEC=90°.
过点D作DF⊥AC,垂足为F,则∠DFC=90°,∠ADF=47°,∠BDF=42°,
可得四边形DECF为矩形,
∴DF=EC=21,FC=DE=1.56.
AF
在Rt△DFA中,tan∠ADF= ,
DF
∴AF=DF·tan 47°≈21×1.07=22.47.
BF
在Rt△DFB中,tan∠BDF= ,
DF
∴BF=DF·tan 42°≈21×0.90=18.90.
于是,AB=AF-BF=22.47-18.90=3.57≈3.6,
BC=BF+FC=18.90+1.56=20.46≈20.5.
答:旗杆AB的高度约为3.6 m,建筑物BC的高度约为20.5 m.
评析 本题考查解直角三角形,属容易题.
23.解析 (Ⅰ)题表中第二行从左至右依次填入35;x+5.第三行从左至右依次填入20;0.5x+15.
(Ⅱ)两个气球能位于同一高度.
根据题意,x+5=0.5x+15,解得x=20,
有x+5=25.
答:此时,气球上升了20 min,都位于海拔25 m的高度.
(Ⅲ)当30≤x≤50时,由题意,可知1号气球所在位置的海拔始终高于2号气球,
设两个气球在同一时刻所在位置的海拔相差y m,
则y=(x+5)-(0.5x+15)=0.5x-10.
∵0.5>0,
∴y随x的增大而增大.
∴当x=50时,y取得最大值15.
答:两个气球所在位置的海拔最多相差15 m.
24.解析 (Ⅰ)在Rt△ABO中,点A(√3,0),点B(0,1),
点O(0,0),∴OA=√3,OB=1.
由OM=m,得AM=OA-OM=√3-m.
根据题意,由折叠可知△BMN≌△AMN,
有BM=AM=√3-m.
在Rt△MOB中,由勾股定理得,BM2=OB2+OM2,
√3
得(√3-m)2=1+m2,解得m= .
3
∴点M的坐标为(√3 ).
,0
3
OB 1 √3
(Ⅱ)在Rt△ABO中,tan∠OAB= = = ,
OA √3 3
∴∠OAB=30°.
由MN⊥AB,得∠MNA=90°.
1
∴在Rt△AMN中,得MN=AM·sin∠OAB= (√3-m),
2
√3
AN=AM·cos∠OAB= (√3-m).
2
1 √3
∴S = MN·AN= (√3-m)2.
△AMN
2 8
由折叠可知△A'MN≌△AMN,有∠A'=∠OAB=30°,
∴∠A'MO=∠A'+∠OAB=60°.
∴在Rt△COM中,CO=OM·tan∠A'MO=√3m.
1 √3
∴S = OM·CO= m2.
△COM
2 2
1 √3
又S = OA·OB= ,
△ABO 2 2
√3 √3 √3
于是,S=S -S -S = - (√3-m)2- m2,
△ABO △AMN △COM
2 8 2即S=-5√3m2+3m+√3( √3).
0<m<
8 4 8 3
(Ⅲ)(2√3 ).
,0
3
评析 本题考查图形的折叠与解直角三角形,有一定难度.
25.解析 (Ⅰ)当b=2,c=-3时,二次函数的解析式为y=x2+2x-3,即y=(x+1)2-4.
∴当x=-1时,二次函数取得最小值-4.
(Ⅱ)当c=5时,二次函数的解析式为y=x2+bx+5.
由题意,得方程x2+bx+5=1,即x2+bx+4=0有两个相等的实数根.
有Δ=b2-16=0,解得b=4,b=-4.
1 2
∴此时二次函数的解析式为y=x2+4x+5或y=x2-4x+5.
(Ⅲ)当c=b2时,二次函数的解析式为y=x2+bx+b2.
b
它的图象是开口向上,对称轴为x=- 的抛物线.
2
b
①若- <b,即b>0,
2
在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下,与其对应的函数值y随x的增大而增大,
故当x=b时,y=b2+b·b+b2=3b2为最小值.
∴3b2=21,解得b=-√7(舍),b =√7.
1 2
b
②若b≤- ≤b+3,即-2≤b≤0,
2
当x=-b时,y=(
-
b) 2 +b·(
-
b)+b2=3b2为最小值.∴3b2=21,解得b
1
=-2
√7
(舍),b
2
=2
√7
(舍).
2 2 2 4 4
b
③若- >b+3,即b<-2,
2
则在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下,与其对应的函数值y随x的增大而减小,
故当x=b+3时,y=(b+3)2+b(b+3)+b2=3b2+9b+9为最小值.
∴3b2+9b+9=21,即b2+3b-4=0.解得b=1(舍),b =-4.
1 2
综上所述,b=√7或b=-4.
∴此时二次函数的解析式为y=x2+√7x+7或y=x2-4x+16.
评析 本题考查二次函数的相关知识,第(Ⅰ)问考查最值问题,将第(Ⅱ)问转化为方程有两个
相等的实数根问题即可解决,第(Ⅲ)问考查分类讨论的思想方法.属中等难度题.
