文档内容
2016 年河南省普通高中招生考试
数学试题（含答案全解全析）
(满分:120分 时间:100分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共24分)
一、选择题(每小题3分,共24分)下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的,将正确答案的代
号字母填入题后括号内.
1
1.- 的相反数是( )
3
1 1
A.- B. C.-3 D.3
3 3
2.某种细胞的直径是0.000 000 95米,将0.000 000 95用科学记数法表示为( )
A.9.5×10-7 B.9.5×10-8 C.0.95×10-7 D.95×10-8
3.下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的,其中主视图和左视图相同的是( )
4.下列计算正确的是( )
A.√8-√2=√2 B.(-3)2=6 C.3a4-2a2=a2 D.(-a3)2=a5
k
5.如图,过反比例函数y= (x>0)的图象上一点A作AB⊥x轴于点B,连接AO,若S =2,则k的值为(
△AOB
x
)
A.2 B.3 C.4 D.5
6.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,AB=10.DE垂直平分AC交AB于点E,则DE的长为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
7.下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差:
甲 乙 丙 丁
平均数
185 180 185 180
(cm)
方差 3.6 3.6 7.4 8.1根据表中数据,要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛,应该选择( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
8.如图,已知菱形OABC的顶点O(0,0),B(2,2),若菱形绕点O逆时针旋转,每秒旋转45°,则第60秒时,菱
形的对角线交点D的坐标为( )
A.(1,-1) B.(-1,-1) C.(√2,0) D.(0,-√2)
第Ⅱ卷(非选择题,共96分)
二、填空题(每小题3分,共21分)
9.计算:(-2)0-√38= .
10.如图,在▱ABCD中,BE⊥AB交对角线AC于点E,若∠1=20°,则∠2的度数为 .
11.若关于x的一元二次方程x2+3x-k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 .
12.在“阳光体育”活动时间,班主任将全班同学随机分成了4组进行活动,该班小明和小亮同学被分
在同一组的概率是 .
13.已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点,该抛物线的顶点坐标是 .
14.如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,以点A为圆心,OA的长为半径作 ⏜ 交 ⏜ 于点C.若OA=2,则阴
OC AB
影部分的面积为 .
15.如图,已知AD∥BC,AB⊥BC,AB=3.点E为射线BC上一个动点,连接AE,将△ABE沿AE折叠,点B落
在点B'处,过点B'作AD的垂线,分别交AD,BC于点M,N.当点B'为线段MN的三等分点时,BE的长为
.
三、解答题(本大题共8个小题,满分75分)
16.(8分)先化简,再求值:( x
-1
)÷ x2-1 ,其中x的值从不等式组{-x≤1, 的整数解中选取.
x2+x x2+2x+1 2x-1<417.(9分)在一次社会调查活动中,小华收集到某“健步走运动”团队中20名成员一天行走的步数,记
录如下:
5 640 6 430 6 520 6 798 7 325
8 430 8 215 7 453 7 446 6 754
7 638 6 834 7 326 6 830 8 648
8 753 9 450 9 865 7 290 7 850
对这20个数据按组距1 000进行分组,并统计整理,绘制了如下尚不完整的统计图表:
步数分组统计表
组别 步数分组 频数
A 5 500≤x<6 500 2
B 6 500≤x<7 500 10
C 7 500≤x<8 500 m
D 8 500≤x<9 500 3
E 9 500≤x<10 500 n
请根据以上信息解答下列问题:
(1)填空:m= ,n= ;
(2)补全频数分布直方图;
(3)这20名“健步走运动”团队成员一天行走步数的中位数落在 组;
(4)若该团队共有120人,请估计其中一天行走步数不少于7 500步的人数.
18.(9分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点M是AC的中点,以AB为直径作☉O分别交AC,BM于点
D,E.
(1)求证:MD=ME;
(2)填空:①若AB=6,当AD=2DM时,DE= ;
②连接OD,OE,当∠A的度数为 时,四边形ODME是菱形.19.(9分)如图,小东在教学楼距地面9米高的窗口C处,测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°,旗杆底
部B点的俯角为45°.升旗时,国旗上端悬挂在距地面2.25米处.若国旗随国歌声冉冉升起,并在国歌播
放45秒结束时到达旗杆顶端,则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升?
(参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)
20.(9分)学校准备购进一批节能灯,已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元;3只A型节能
灯和2只B型节能灯共需29元.
(1)求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元;
(2)学校准备购进这两种型号的节能灯共50只,并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍,
请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.
21.(10分)某班“数学兴趣小组”对函数y=x2-2|x|的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完
整.
(1)自变量x的取值范围是全体实数,x与y的几组对应值列表如下:
5 5
x … -3 - -2 -1 0 1 2 3 …
2 2
5 5
y … 3 m -1 0 -1 0 3 …
4 4
其中,m= ;(2)根据上表数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出了函数图象的一部分,请画出该函数图
象的另一部分;
(3)观察函数图象,写出两条函数的性质;
(4)进一步探究函数图象发现:
①函数图象与x轴有 个交点,所以对应的方程x2-2|x|=0有 个实数根;
②方程x2-2|x|=2有 个实数根;
③关于x的方程x2-2|x|=a有4个实数根时,a的取值范围是 .
22.(10分)
(1)发现
如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b.
填空:当点A位于 时,线段AC的长取得最大值,且最大值为 (用含a,b的
式子表示).
图1
(2)应用
点A为线段BC外一动点,且BC=3,AB=1.如图2所示,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等边
三角形ACE,连接CD,BE.
①请找出图中与BE相等的线段,并说明理由;
②直接写出线段BE长的最大值.
图2
(3)拓展
如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(5,0),点P为线段AB外一动点,且
PA=2,PM=PB,∠BPM=90°.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标.4 2
23.(11分)如图1,直线y=- x+n交x轴于点A,交y轴于点C(0,4),抛物线y= x2+bx+c经过点A,交y
3 3
轴于点B(0,-2).点P为抛物线上一个动点,过点P作x轴的垂线PD,过点B作BD⊥PD于点D,连接PB,
设点P的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当△BDP为等腰直角三角形时,求线段PD的长;
(3)如图2,将△BDP绕点B逆时针旋转,得到△BD'P',且旋转角∠PBP'=∠OAC,当点P的对应点P'落在坐
标轴上时,请直接写出点P的坐标.
····
图1
答案全解全析：
一、选择题
1.B 绝对值相同,符号不同的两个数互为相反数.故选B.
2.A 原数用科学记数法表示为9.5×10-7.故选A.
3.C 选项C中几何体的主视图和左视图均为 .故选C.
4.A A项,√8-√2=2√2-√2=√2;B项,(-3)2=9;C项,3a4与2a2不是同类项,不能合并;D项,(-a3)2=a6.故选
A.1
5.C 由题意得k>0,S = k=2,所以k=4.故选C.
△AOB
2
1
6.D 在△ABC中,∠ACB=90°,∵DE垂直平分AC,∴AD=DC,DE∥BC,∴E为AB的中点,∴DE= BC,
2
1
∵BC=√AB2-AC2=6,∴DE= BC=3.故选D.
2
7.A 甲和丙的成绩好,甲的方差小于丙的方差,因为方差越小,发挥越稳定,所以应选择甲.故选A.
8.B 由题意知菱形每8秒旋转一周,60秒旋转7周余4秒,4秒旋转180°,即旋转60秒后得到的图形
与原图形关于原点成中心对称,因为B(2,2),所以D(1,1),D关于原点对称的点的坐标为(-1,-1).故选B.
评析 本题考查旋转的概念,菱形的性质,中心对称的坐标变换,属中等难度题.
二、填空题
9.答案 -1
解析 原式=1-2=-1.
10.答案 110°(或110)
解析 在▱ABCD中,AB∥CD,所以∠BAC=∠1=20°.又因为BE⊥AB,所以∠ABE=90°,故∠2=∠BAC+
∠ABE=20°+90°=110°.
9
11.答案 k>-
4
9
解析 根据题意得Δ=b2-4ac=9+4k>0,所以k>- .
4
1
12.答案
4
解析 设4个组分别是1,2,3,4,画树状图如下.
共有16种等可能的结果,其中小明和小亮同学被分在同一组的情况有4种,所以小明和小亮同学被分
4 1
在同一组的概率P= = .
16 4
13.答案 (1,4)
解析 把A(0,3),B(2,3)分别代入y=-x2+bx+c中,
{ 3=c, {c=3,
得 解得 ∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.
3=-4+2b+c, b=2,
∴y=-(x2-2x+1)+4=-(x-1)2+4,∴该抛物线的顶点坐标为(1,4).
π
14.答案 √3-
3
解析 连接OC,AC,则OC=OA=AC,所以△OAC为等边三角形,所以∠COA=∠CAO=60°,因为
∠AOB=90°,所以∠BOC=30°,
30π×4 √3×22 60π×4 1 2π π
所以S =S +S -S = + - = π+√3- =√3- .
阴影 扇形BOC △OAC 扇形OAC 360 4 360 3 3 3
评析 本题考查扇形、等边三角形面积的计算,分割法是求阴影部分面积的常见方法.3√2 3√5
15.答案 或
2 5
解析 ∵AD∥BC,AB⊥BC,MN⊥AD,∴四边形ABNM为矩形,
∴MN=AB=3,∵B'为线段MN的三等分点,∴B'M=1或2,
∵∠AB'E=∠ABC=90°,∴∠AB'M+∠EB'N=90°.
∵∠EB'N+∠B'EN=90°,∴∠AB'M=∠B'EN.
又∵∠AMB'=∠ENB'=90°,
AB' B'E
∴△AMB'∽△B'NE,∴ = ,
AM B'N
设B'E=BE=x.
3 x 3√2
①当B'M=1时,B'N=2,在Rt△AMB'中,AM=√B'A2-B'M2=√32-12=2√2,所以 = ,即x=
2√2 2 2
;
3 x 3√5
②当B'M=2时,B'N=1,在Rt△AMB'中,AM=√B'A2-B'M2=√32-22=√5,所以 = ,即x= .
√5 1 5
3√2 3√5
综上所述,BE的长为 或 .
2 5
评析 本题考查轴对称,矩形的判定和性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理等知识,题目的计算量
略大,属中档题.
三、解答题
-x2 (x+1)(x-1)
16.解析 原式= ÷ (3分)
x(x+1) (x+1)2
-x x+1 x
= · =- .(5分)
x+1 x-1 x-1
{-x≤1, 5
解 得-1≤x< ,∴不等式组的整数解为-1,0,1,2.(7分)
2x-1<4 2
2
若使分式有意义,只能取x=2,∴原式=- =-2.(8分)
2-1
17.解析 (1)4;1.(2分)
(2)按人数为4和1正确补全直方图(图略).(4分)
(3)B.(6分)
4+3+1
(4)120× =48(人).
20
所以该团队一天行走步数不少于7 500步的人数约为48人.(9分)
18.解析 (1)证明:在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点M是AC的中点,
∴MA=MB.∴∠A=∠MBA.(2分)
∵四边形ABED是圆内接四边形,
∴∠ADE+∠ABE=180°.
又∵∠ADE+∠MDE=180°,
∴∠MDE=∠MBA.
同理可证:∠MED=∠A.(4分)
∴∠MDE=∠MED,∴MD=ME.(5分)(2)①2.(7分)
②60°(或60).(9分)
19.解析 过点C作CD⊥AB,垂足为D,则DB=9.(1分)
在Rt△CBD中,∠BCD=45°,
DB
∴CD= =9.(3分)
tan45°
在Rt△ACD中,∠ACD=37°,
∴AD=CD·tan 37°≈9×0.75=6.75.(6分)
∴AB=AD+DB=6.75+9=15.75.(7分)
(15.75-2.25)÷45=0.3(米/秒).
∴国旗应以约0.3米/秒的速度匀速上升.(9分)
20.解析 (1)设一只A型节能灯的售价是x元,一只B型节能灯的售价是y元.(1分)
{ x+3 y=26, {x=5,
依题意得 解得 (3分)
3x+2y=29. y=7.
所以一只A型节能灯的售价是5元,一只B型节能灯的售价是7元.(4分)
(2)设购进A型节能灯m只,总费用为w元.
依题意得w=5m+7(50-m)=-2m+350.(5分)
∵-2<0,∴当m取最大值时,w有最小值.(6分)
又∵m≤3(50-m),∴m≤37.5.
而m为正整数,∴当m=37时,w =-2×37+350=276.(8分)
最小
此时50-m=50-37=13.
所以最省钱的购买方案是购进37只A型节能灯,13只B型节能灯.(9分)
评析 本题考查二元一次方程组的应用,一次函数在方案设计中的应用,属中档题.
21.解析 (1)0.
(2)正确补全图象(图略).
(3)可从函数的最值,增减性,图象的对称性等方面阐述.答案不唯一,合理即可.
(4)①3;3.②2.③-10,BD=m,
2 4 7
∴ m2- m=m,∴m =0(舍去),m = .(6分)
3 3 3 4 2
2 4
②当点P在直线BD下方时,m>0,BD=m,PD=- m2+ m.
3 3
2 4 1
∴- m2+ m=m,∴m =0(舍去),m = .(7分)
5 6
3 3 2
7 1
综上,m= 或 .
2 2
7 1
即当△BDP为等腰直角三角形时,PD的长为 或 .(8分)
2 2(3)P
1
(
-√5,
4√5+4),P
2
(
√5,
-4√5+4 ),P 3(25
,
11).(11分)
3 3 8 32
【提示】∵∠PBP'=∠OAC,OA=3,OC=4,∴AC=5,
4 3
sin∠PBP'= ,cos∠PBP'= .
5 5
①当点P'落在x轴上时,过点D'作D'N⊥x轴,垂足为N,交BD于点M,∠DBD'=∠ND'P'=∠PBP'.
如图a,ND'-MD'=2,即3(2
m2-
4
m
)-(
-
4
m
)=2.
5 3 3 5
图a
如图b,ND'+MD'=2,即3(2
m2-
4
m
)+4m=2.
5 3 3 5
解得m=±√5.
∴P ( 4√5+4),P ( -4√5+4 );
1 -√5, 2 √5,
3 3
图b
②当点P'落在y轴上时,如图c,过点D'作D'M⊥x轴,交BD于点M,过点P'作P'N⊥y轴,交MD'的延长
线于点N,∠DBD'=∠ND'P'=∠PBP'.
∵P'N=BM,∴4(2
m2-
4
m
)=3m,解得m=0(舍去)或m=25.
5 3 3 5 8
∴P (25 11).
3 ,
8 32图c
评析 本题考查了用待定系数法求二次函数解析式,用点的坐标差值表示线段的长度,动点与定点所
构成的不定三角形的旋转等知识.分类讨论在本题中连续应用,而题目结论较多,容易丢解,造成丢分.
本题为二次函数的综合题,属难题.
