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2016 年长沙市初中毕业学业水平考试
数学试题（含答案全解全析）
(满分:120分 时间:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共36分)
一、选择题(在下列各题的四个选项中,只有一项是符合题意的.本大题共12个小
题,每小题3分,共36分)
1.下列四个数中,最大的数是( )
1
A.-2 B. C.0 D.6
3
2.大家翘首以盼的长株潭城际铁路将于2016年年底通车,通车后,从长沙到株洲
只需24分钟,从长沙到湘潭只需25分钟,这条铁路线全长95 500米.则数据
95 500用科学记数法表示为( )
A.0.955×105 B.9.55×105
C.9.55×104 D.9.5×104
3.下列计算正确的是( )
A.√2×√5=√10 B.x8÷x2=x4
C.(2a)3=6a3 D.3a3·2a2=6a6
4.六边形的内角和是( )
A.540°B.720°C.900°D.360°
{2x-1≥5,
5.不等式组 的解集在数轴上表示为( )
8-4x<0
6.下图是由六个相同的小正方体搭成的几何体,这个几何体的主视图是( )7.若一个三角形的两边长分别为3和7,则第三边长可能是( )
A.6 B.3 C.2 D.11
8.若将点A(1,3)向左平移2个单位,再向下平移4个单位得到点B,则点B的坐标为
( )
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C.(-1,-1) D.(-2,0)
9.下列各图中,∠1与∠2互为余角的是( )
10.已知一组数据75,80,80,85,90,则它的众数和中位数分别为( )
A.75,80 B.80,85 C.80,90 D.80,80
11.如图,热气球的探测器显示,从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°,看这
栋楼底部C处的俯角为60°,热气球A处与楼的水平距离为120 m,则这栋楼的高
度为( )
A.160 m B.120 m C.300 m D.160 m
√3 √3 √2
12.已知抛物线y=ax2+bx+c(b>a>0)与x轴最多有一个交点.现有以下四个结论:
①该抛物线的对称轴在y轴左侧;②关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根;③a-
a+b+c
b+c≥0;④ 的最小值为3.
b-a
其中,正确结论的个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个第Ⅱ卷(非选择题,共84分)
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
13.分解因式:x2y-4y= .
14.若关于x的一元二次方程x2-4x-m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取
值范围是 .
15.如图,扇形OAB的圆心角为120°,半径为3,则该扇形的弧长为 .(结果
保留π)
16.如图,在☉O中,弦AB=6,圆心O到AB的距离OC=2,则☉O的半径长为
.
17.如图,△ABC中,AC=8,BC=5,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交边AC于点E,
则△BCE的周长为 .
18.若同时抛掷两枚质地均匀的骰子,则事件“两枚骰子朝上的点数互不相同”的
概率是 .三、解答题(本大题共8小题,第19、20题每小题6分,第21、22题每小题8分,
第23、24题每小题9分,第25、26题每小题10分.共66分,解答应写出必要的
文字说明,证明过程或计算步骤)
19.计算:4sin 60°-|-2|-√12+(-1)2 016.
20.先化简,再求值: a (1 1)+a-1.其中a=2,b=1.
-
a-b b a b 3
21.为积极响应市委市政府“加快建设天蓝·水净·地绿的美丽长沙”的号召,我市
某街道决定从备选的五种树中选购一种进行栽种,为了更好地了解社情民意,工作
人员在街道辖区范围内随机抽取了部分居民,进行“我最喜欢的一种树”的调查
活动(每人限选其中一种树),并将调查结果整理后,绘制成下面两个不完整的统计
图.
请根据所给信息解答以下问题:
(1)这次参与调查的居民人数为 ;
(2)请将条形统计图补充完整;
(3)请计算扇形统计图中“枫树”所在扇形的圆心角度数;(4)已知该街道辖区内现有居民8万人,请你估计这8万人中最喜欢玉兰树的有多
少人.
22.如图,AC是▱ABCD的对角线,∠BAC=∠DAC.
(1)求证:AB=BC;
(2)若AB=2,AC=2√3,求▱ABCD的面积.
23.2016年5月6日,中国第一条具有自主知识产权的长沙磁悬浮线正式开通运
营,该线路连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽,沿线生态绿化带走
廊的建设尚在进行中,届时将会给乘客带来美的享受.星城渣土运输公司承包了某
标段的土方运输任务,拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方.已知2辆大
型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨,5辆大型渣土运输车
与6辆小型渣土运输车一次共运输土方70吨.
(1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨?
(2)该渣土运输公司决定派出大、小两种型号渣土运输车共20辆参与运输土方.
若每次运输土方总量不小于148吨,且小型渣土运输车至少派出2辆,则有哪几种
派车方案?24.如图,四边形ABCD内接于☉O,对角线AC为☉O的直径,过点C作AC的垂线交
AD的延长线于点E,点F为CE的中点,连接DB、DC、DF.
(1)求∠CDE的度数;
(2)求证:DF是☉O的切线;
(3)若AC=2√5DE,求tan∠ABD的值.
25.若抛物线L:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,abc≠0)与直线l都经过y轴上的一点P,
且抛物线L的顶点Q在直线l上,则称此直线l与该抛物线L具有“一带一路”关
系,此时,直线l叫做抛物线L的“带线”,抛物线L叫做直线l的“路线”.
(1)若直线y=mx+1与抛物线y=x2-2x+n具有“一带一路”关系,求m,n的值;
6
(2)若某“路线”L的顶点在反比例函数y= 的图象上,它的“带线”l的解析式为
x
y=2x-4,求此“路线”L的解析式;
1
(3)当常数k满足 ≤k≤2时,求抛物线L:y=ax2+(3k2-2k+1)x+k的“带线”l与x轴,
2
y轴所围成的三角形面积的取值范围.26.如图,直线l:y=-x+1与x轴,y轴分别交于A,B两点,点P,Q是直线l上的两个动
点,且点P在第二象限,点Q在第四象限,∠POQ=135°.
(1)求△AOB的周长;
(2)设AQ=t>0,试用含t的代数式表示点P的坐标;
(3)当动点P,Q在直线l上运动到使得△AOQ与△BPO的周长相等时,记
tan∠AOQ=m.若过点A的二次函数y=ax2+bx+c同时满足以下两个条件:
①6a+3b+2c=0;
2
②当m≤x≤m+2时,函数y的最大值等于 .
m
求二次项系数a的值.
答案全解全析：
一、选择题
1
1.D ∵-2<0< <6,∴最大的数是6.故选D.
3
评析 本题考查了有理数的大小比较,属容易题.
2.C 将95 500用科学记数法表示为9.55×104.故选C.评析 本题考查了科学记数法.科学记数法的表示形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数,解
题的关键是确定a的值以及n的值.
3.A √2×√5=√10,故A正确;x8÷x2=x8-2=x6,故B错误;(2a)3=23a3=8a3,故C错
误;3a3·2a2=6a3+2=6a5,故D错误.故选A.
4.B ∵n边形的内角和是(n-2)·180°,∴六边形的内角和为(6-2)×180°=720°,故选B.
5.C 由2x-1≥5,得x≥3,
由8-4x<0,得x>2,
把解集在数轴上表示为
故选C.
评析 本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式组的解集,属容易题.
6.B 根据主视图的定义,可知选B.
7.A 设第三边长为x,根据三角形的三边关系,可得7-3a>0,∴- <0,∴①正确;
2a
∵抛物线与x轴最多有一个交点,
∴b2-4ac≤0,
∴关于x的方程ax2+bx+c+2=0的判别式
Δ=b2-4a(c+2)=b2-4ac-8a<0,∴②正确;
∵a>0,且抛物线与x轴最多有一个交点,
∴y≥0,∴当x=-1时,a-b+c≥0,∴③正确;
∵y≥0,∴当x=-2时,4a-2b+c≥0,即a+b+c≥3b-3a,
即a+b+c≥3(b-a),
∵b>a,∴b-a>0,
a+b+c
∴ ≥3,∴④正确.故选D.
b-a
二、填空题13.答案 y(x+2)(x-2)
解析 x2y-4y=y(x2-4)=y(x+2)(x-2).
评析 本题考查了利用提公因式法、公式法分解因式,注意分解要彻底.
14.答案 m>-4
解析 ∵一元二次方程x2-4x-m=0有两个不相等的实数根,
∴Δ>0,即 b2-4ac=(-4)2-4×1·(-m)=16+4m>0,解得m>-4.
15.答案 2π
nπr 120×3π
解析 扇形的弧长= = =2π.
180 180
评析 本题考查了弧长的计算,解题的关键是牢记计算公式.
16.答案 √13
1
解析 由题意得OC⊥AB,∴AC=BC= AB=3,在Rt△OCA中,OA=√OC2+AC2=√22+32=
2
√13.∴☉O的半径长为√13.
评析 本题考查了垂径定理、勾股定理,属容易题.
17.答案 13
解析 ∵DE垂直平分AB,∴AE=BE,
∴△BCE的周长为BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=8+5=13.
评析 本题考查了线段垂直平分线的性质定理,即线段垂直平分线上的点到这条线段两个端
点的距离相等.
5
18.答案
6
解析 用表格列出所有等可能的结果:
1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
由上表可知,共有36种等可能的结果,其中两枚骰子朝上的点数互不相同的有30种,则“两
30 5
枚骰子朝上的点数互不相同”的概率是 = .
36 6
三、解答题
√3
19.解析 原式=4× -2-2√3+1=2√3-2-2√3+1=-2+1=-1.
2
评析 本题考查了实数的运算、特殊角的三角函数值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
a a-b a-1 1 a-1 a
20.解析 原式= · + = + = ,
a-b ab b b b b
2
1
当a=2,b= 时,原式=1=6.
3
3
21.解析 (1)1 000人.
(2)1 000-250-375-125-100=150(人).补全条形统计图如下.
100
(3)扇形统计图中“枫树”所在扇形的圆心角度数为 ×100%×360°=36°.
1 000
250
(4) ×100%=25%,8×25%=2(万人).
1 000
答:这8万人中最喜欢玉兰树的约有2万人.
22.解析 (1)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,∴∠DAC=∠BCA,又
∵∠BAC=∠DAC,∴∠BAC=∠BCA,∴AB=BC.
(2)连接BD交AC于O,∵AB=BC,且四边形ABCD为平行四边形,
∴四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,∴BO2+OA2=AB2,
即BO2+(1 ) 2 =22,∴BO=1,∴BD=2BO=2,
×2√3
2
1 1
∴S = BD·AC= ×2×2√3=2√3.
▱ABCD
2 2
23.解析 (1)设一辆大型渣土运输车一次运输土方x吨,一辆小型渣土运输车一次运输土方y
吨,
{2x+3 y=31,①
则
5x+6 y=70,②
①×2得4x+6y=62,③
②-③得x=8,
将x=8代入①得2×8+3y=31,3y=15,y=5.
答:一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方8吨和5吨.
(2)设派出大型渣土运输车a辆,则派出小型渣土运输车(20-a)辆,由题意得
{8a+5(20-a)≥148,① {a≥16,
解得 ∴16≤a≤18.
20-a≥2,② a≤18,
∴a可取16,17,18,相应的20-a可取4,3,2,∴有三种派车方案.
方案一:派大型渣土运输车16辆,小型渣土运输车4辆;
方案二:派大型渣土运输车17辆,小型渣土运输车3辆;
方案三:派大型渣土运输车18辆,小型渣土运输车2辆.
24.解析 (1)∵AC为☉O的直径,
∴∠ADC=90°,
∴∠CDE=90°.
(2)证明:连接OD,∵∠CDE=90°,F为CE的中点,
1
∴DF= CE=CF,
2
∴∠FDC=∠FCD,又∵OD=OC,
∴∠ODC=∠OCD,∴∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠FCD,
即∠ODF=∠OCF,
∵EC⊥AC,
∴∠OCF=90°,
∴∠ODF=90°,即DF为☉O的切线.
(3)在△ACD与△ACE中,∠ADC=∠ACE=90°,∠EAC=∠CAD,
∴△ACD∽△AEC,
AC AD
∴ = ,∴AC2=AD·AE,
AE AC
又∵AC=2√5DE,
∴20DE2=(AE-DE)·AE,
∴(AE-5DE)(AE+4DE)=0,
∴AE=5DE,∴AD=4DE.
在Rt△ACD中,AC2=AD2+CD2,∴CD=2DE.
又∵∠ABD=∠ACD,
AD
∴tan∠ABD=tan∠ACD= =2.
CD
25.解析 (1)由题意知n=1,∴抛物线为y=x2-2x+1,其顶点为(1,0),
将(1,0)代入y=mx+1,得m=-1,∴m=-1,n=1.
(2)由题意设“路线”L的解析式为y=a(x-h)2+b,
{ 6
∴ b= , 解得{h=-1,或{h=3,
h
b=-6 b=2,
b=2h-4,
∴y=a(x+1)2-6或y=a(x-3)2+2,
2
又∵“路线”L过点(0,-4),∴a=2或a=- ,
3
2
∴y=- x2+4x-4或y=2x2+4x-4.
3
(3)抛物线的顶点坐标为(
3k2-2k+1 4ak-(3k2-2k+1)2
),
- ,
2a 4a
4ak-(3k2-2k+1)2 3k2-2k+1 3k2-2k+1
设“带线”l:y=px+k(p≠0),则 =- ·p+k,∴p= ,
4a 2a 2
3k2-2k+1
∴y= x+k,
2
∴“带线”l交x轴于点(
-2k
,0
),交y轴于点(0,k),
3k2-2k+1
∵k≥1>0,3k2-2k+1=3( 1) 2 +2>0,
k-
2 3 3
∴“带线”l与x轴,y轴所围成的三角形的面积为1
1 2k k2
S= · ·k= = 1 1 ,
2 3k2-2k+1 3k2-2k+1 -2· +3
k2 k
1 1
令t= ,则 ≤t≤2,
k 2
1
∴S= ,
t2-2t+3
1
∴ =t2-2t+3=(t-1)2+2,
S
当1≤t≤2时,(1) =3,(1) =2,
2 S S
max min
1
∴2≤ ≤3,
S
1 1
∴ ≤S≤ .
3 2
26.解析 (1)对函数y=-x+1,令x=0,则y=1,
∴B(0,1),令y=0,则x=1,
∴A(1,0),则OA=1,OB=1,AB=√2,
∴△AOB的周长为1+1+√2=2+√2.
(2)因为OA=OB,故∠ABO=∠BAO=45°,
∴∠PBO=∠QAO=135°,
设∠POB=x,则∠OPB=45°-x,∠AOQ=45°-x,
∴∠OPB=∠AOQ,
PB OB
∴△PBO∽△OAQ,故 = ,
OA QA
OA·OB 1
∴PB= = .
QA t
过P作PH⊥OB于点H,易知△PHB为等腰直角三角形,
则PH=HB=√2,∴P( √2 √2).
- ,1+
2t 2t 2t
(3)由(2)知△PBO∽△OAQ,若它们周长相等,则相似比为1,则PB=OA=1,AQ=OB=1,∴t=1,
易得Q( √2 √2),
1+ ,-
2t 2t√2
2t
∴m= =√2-1.
√2
1+
2t
∵抛物线过A点,
∴a+b+c=0,而6a+3b+2c=0,
∴b=-4a,c=3a.
∴抛物线的对称轴为x=2.
2
①若a>0,则当x=√2-1时,y取最大值,最大值为 =2√2+2,即(√2-1)2a+(√2-1)b+c=2√2+2,
m
11+8√2
解得a= .
7
②若a<0,则当x=2时,y取最大值,最大值为2√2+2,
即4a+2b+c=2√2+2,解得a=-2√2-2.
11+8√2
综上,所求a的值为 或-2√2-2.
7
