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2014 年成都市高中阶段教育学校统一招生考试
数学试题（含答案全解全析）
A卷(共100分)
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符
合题目要求)
1.在-2,-1,0,2这四个数中,最大的数是( )
A.-2 B.-1 C.0 D.2
2.下列几何体的主视图是三角形的是( )
3.正在建设的成都第二绕城高速全长超过 220公里,串起我市二、三圈层以及周边的广汉、
简阳等地,总投资达到290亿元.用科学记数法表示290亿元应为( )
A.290×108元 B.290×109元 C.2.90×1010元 D.2.90×1011元
4.下列计算正确的是( )
A.x+x2=x3 B.2x+3x=5x C.(x2)3=x5 D.x6÷x3=x2
5.下列图形中,不是轴对称图形的是( )
6.函数y=√x-5中,自变量x的取值范围是( )
A.x≥-5 B.x≤-5 C.x≥5 D.x≤5
7.如图,把三角板的直角顶点放在直尺的一边上,若∠1=30°,则∠2的度数为( )
A.60° B.50° C.40° D.30°
8.近年来,我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点.为进一步普及环保和健康
知识,我市某校举行了“建设宜居四川成都,关注环境保护”的知识竞赛,某班学生的成绩统
计如下:
成绩(分) 60 70 80 90 100
人数 4 8 12 11 5
则该班学生成绩的众数和中位数分别是( )
A.70分,80分 B.80分,80分 C.90分,80分 D.80分,90分
9.将二次函数y=x2-2x+3化为y=(x-h)2+k的形式,结果为( )
A.y=(x+1)2+4 B.y=(x+1)2+2 C.y=(x-1)2+4 D.y=(x-1)2+2
10.在圆心角为120°的扇形AOB中,半径OA=6 cm,则扇形AOB的面积是( )
A.6π cm2 B.8π cm2 C.12π cm2 D.24π cm2二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分)
11.计算:|-√2|= .
12.如图,为估计池塘岸边A,B两点间的距离,在池塘的一侧选取点O,分别取OA,OB的中点
M,N,测得MN=32 m,则A,B两点间的距离是 m.
13.在平面直角坐标系中,已知一次函数y=2x+1的图象经过P(x,y),P (x,y)两点,若x”“<”或“=”)
1 2
14.如图,AB是☉O的直径,点C在AB的延长线上,CD切☉O于点D,连结AD.若∠A=25°,则
∠C= 度.
三、解答题(本大题共6个小题,共54分)
15.(本小题满分12分,每题6分)
(1)计算:√9-4sin 30°+(2 014-π)0-22;
{3x-1>5, ①
(2)解不等式组:
2(x+2)0)个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点,
求m的值.
20.(本小题满分10分)
1
如图,矩形ABCD中,AD=2AB,E是AD边上一点,DE= AD(n为大于2的整数),连结BE,作
n
BE的垂直平分线分别交AD,BC于点F,G,FG与BE的交点为O,连结BF和EG.
(1)试判断四边形BFEG的形状,并说明理由;
(2)当AB=a(a为常数),n=3时,求FG的长;
S 17
1
(3)记四边形BFEG的面积为S,矩形ABCD的面积为S,当 = 时,求n的值.(直接写出结
1 2 S 30
2
果,不必写出解答过程)
B卷(共50分)
一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
21.在开展“国学诵读”活动中,某校为了解全校1 300名学生课外阅读的情况,随机调查了
50名学生一周的课外阅读时间,并绘制成如图所示的条形统计图.根据图中数据,估计该校1
300名学生一周的课外阅读时间不少于7小时的人数是 .x+k k
22.已知关于x的分式方程 - =1的解为负数,则k的取值范围是 .
x+1 x-1
23.在边长为1的小正方形组成的方格纸中,称小正方形的顶点为“格点”,顶点全在格点上
的多边形为“格点多边形”.格点多边形的面积记为S,其内部的格点数记为N,边界上的格点
数记为L.例如,图中三角形ABC是格点三角形,其中S=2,N=0,L=6;图中格点多边形DEFGHI
所对应的S,N,L分别是 .经探究发现,任意格点多边形的面积S可表示为
S=aN+bL+c,其中a,b,c为常数,则当N=5,L=14时,S= .(用数值作答)
24.如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD边的中点,N是AB边上一动点,将
△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN,连结A'C,则A'C长度的最小值是 .
3 6
25.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y= x与双曲线y= 相交于A,B两点,C是第一象限
2 x
内双曲线上一点,连结CA并延长交y轴于点P,连结BP,BC.若△PBC的面积是20,则点C的坐
标为 .
二、解答题(本大题共3个小题,共30分)
26.(本小题满分8分)
在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用28 m长的篱
笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),设AB=x m.
(1)若花园的面积为192 m2,求x的值;
(2)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15 m和6 m,要将这棵树围在花园内(含边
界,不考虑树的粗细),求花园面积S的最大值.27.(本小题满分10分)
如图,在☉O的内接△ABC中,∠ACB=90°,AC=2BC,过C作AB的垂线l交☉O于另一点D,垂足
⏜
为E.设P是
AC
上异于A,C的一个动点,射线AP交l于点F,连结PC与PD,PD交AB于点G.
(1)求证:△PAC∽△PDF;
⏜ ⏜
(2)若AB=5,AP=BP,求PD的长;
AG
(3)在点P运动过程中,设 =x,tan∠AFD=y,求y与x之间的函数关系式.(不要求写出x的取
BG
值范围)
28.(本小题满分12分)
k
如图,已知抛物线y= (x+2)(x-4)(k为常数,且k>0)与x轴从左至右依次交于A,B两点,与y轴
8
√3
交于点C,经过点B的直线y=- x+b与抛物线的另一交点为D.
3
(1)若点D的横坐标为-5,求抛物线的函数表达式;
(2)若在第一象限内的抛物线上有点P,使得以A,B,P为顶点的三角形与△ABC相似,求k的值;
(3)在(1)的条件下,设F为线段BD上一点(不含端点),连结AF.一动点M从点A出发,沿线段
AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止.当
点F的坐标是多少时,点M在整个运动过程中用时最少?答案全解全析：
A卷
一、选择题
1.D 根据“正数大于 0,0 大于负数,正数大于负数,两负数绝对值大的反而小”可
知-2<-1<0<2.故选D.
2.B 从正面看该几何体得到的平面图形就是其主视图,结合各选项,显然主视图是三角形的
几何体只有圆锥,故选B.
3.C 科学记数法的表示形式为a×10n(其中1≤|a|<10,n为整数),∴290亿元=2.90×1010元.故选
C.
评析 本题考查用科学记数法表示一个较大的数,熟记科学记数法的表示形式,即a×10n(其中
1≤|a|<10,n为整数)是解答此类题的关键,属容易题,但要注意:①a的取值要求;②题干中的数与
选项中的数的单位的变化.
4.B 选项A中,x与x2不是同类项,无法合并,所以选项A不正确;选项B中,2x与3x是同类项,
所以 2x+3x=(2+3)x=5x,故选项 B 正确;选项 C 中,(x2)3=x2×3=x6,显然选项 C 不正确;选项 D
中,x6÷x3=x6-3=x3,显然选项D也不正确.综上,只有选项B正确,故选B.
评析 本题考查积的乘方、同底数幂的除法、合并同类项,属容易题.
5.A 根据轴对称图形的概念可知,选项B、C、D中的图形均为轴对称图形,只有选项A中的
图形不是轴对称图形.故选A.
6.C 根据“二次根式的被开方数大于或等于0”知x-5≥0.解得x≥5.故选C.
评析 本题考查二次根式的概念、不等式的解法的简单应用,通常学生易忽略“等于0”的情
况,属容易题.
7.A 由题图可知∠1的余角是60°,根据“两直线平行,同位角相等”知∠2与∠1的余角相等,
即∠2=60°.故选A.
8.B 由题中表格的数据可以看出:①数据80出现的次数最多,所以众数是80分;②全班40
人,按成绩从低到高的顺序排列,中位数应该为第 20 和 21 位学生的成绩的平均数,即
(80+80)÷2=80(分),所以众数是80分,中位数是80分,故选B.
9.D y=x2-2x+3=(x2-2x+1)+2=(x-1)2+2.故选D.
nπR2 120×π×62
10.C 扇形AOB的面积S= = =12π(cm2),故选C.
360 360
二、填空题
11.答案 √2
解析 因为负数的绝对值等于它的相反数,所以|-√2|=√2,故答案为√2.
12.答案 64
解析 由题意易 知 MN 为△OAB 的中位线 ,根据 三角形中位线的 性质可 得
AB=2MN=2×32=64 m,故答案为64.13.答案 <
解析 在y=2x+1中,∵k=2>0,∴y随x的增大而增大,又x2;(2分)
解不等式②得x<3.(4分)
∴不等式组的解集为2 ,且k≠1
2
解 析 解 分 式 方 程 得 x=1-2k, 又 由 题 意 知 x<0, 且 (x+1)·(x-1)≠0, 所 以
{ 1-2k<0, 1 1
解得k> ,且k≠1.故填k> ,且k≠1.
(1-2k+1)(1-2k-1)≠0, 2 2
评析 本题主要考查分式方程的解法、不等式组的解法以及转化思想.属中等难度题.
23.答案 7,3,10;11
解析 根据S,N,L分别表示的意义,仔细观察格点多边形DEFGHI可知S=7,N=3,L=10.
任意取一个边长为2的格点正方形,观察其面积S=4,内部格点数N=1,边界格点数L=8.由题{3a+10b+c=7,
意得 a+8b+c=4,
6b+c=2,
a=1,
{
解得 1
b= ,
2
c=-1,
1
∴S=N+ L-1.
2
1
∴当N=5,L=14时,S=5+ ×14-1=11.
2
评析 本题是一道以格点多边形为背景的阅读理解题,主要考查学生的观察、阅读、理解、
转化等多种综合能力.解决此类题目的关键是读懂题意,借助图形观察分析,但第二个填空题
设置有一定难度,需再借助图形另取任意格点多边形求出S、N、L,然后结合前两组数列出
方程组,确定关系式中的a、b、c的值.属中等难度题.
24.答案 √7-1
解析 过点M作MF⊥CD交CD的延长线于F.
由题意可知MA、MA'是定值,A'C的长度最小时,A'在MC上(如图).
∵菱形ABCD的边长为2,∠A=60°,M是AD的中点,
∴MD=MA=1,∠MDF=60°.
√3 1
∴MF=MDsin 60°= ,DF=MDcos 60°= .
2 2
5
∴CF=CD+DF= .
2
在Rt△MFC中,由勾股定理得MC= = .
√M F2+CF2 √7
∵△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN,∴MA'=MA=1.
∴A'C=MC-MA'=√7-1.故答案为√7-1.
评析 本题是一道以菱形为依托的动点探究问题,主要考查菱形、轴对称(翻折)、锐角三角
函数、勾股定理等知识的综合应用.根据已知分析确定点A'的位置是本题的解题关键.
25.答案 (14 9)
,
3 7
解析 由题意可设C( 6),BC交y轴于D,
a,
a3
{y= x,
解方程组 2 得{x=2,或{x=-2,
6 y=3 y=-3,
y=
x
∴A点坐标为(2,3),B点坐标为(-2,-3).
设直线BC的解析式为y=kx+b,
把B(-2,-3),C( 6)代入,
a,
a
{
-2k+b=-3,
得
6
ak+b= ,
a
3
{ k= ,
解得 a
6
b= -3,
a
3 6
∴直线BC的解析式为y= x+ -3,
a a
6
当x=0时,y= -3,
a
∴D点坐标为( 6 ).
0, -3
a
设直线AC的解析式为y=mx+n,
3
{2m+n=3, {m=- ,
把A(2,3),C( 6)代入,得 解得 a
a, 6
a am+n= , 6
a n= +3,
a
3 6
∴直线AC的解析式为y=- x+ +3,
a a
6
当x=0时,y= +3,
a
∴P点坐标为( 6 ).
0, +3
a
∴PD=6.
∵S =S +S ,
△PBC △PBD △CPD
1 1 14
∴ ×2×6+ ×a×6=20,解得a= ,
2 2 3∴C点坐标为(14 9).
,
3 7
故答案为(14 9).
,
3 7
评析 本题主要考查函数图象的交点与方程组的解的关系、方程组的解法、待定系数法确
定函数的解析式以及用割补法解决有关面积问题等知识的综合应用,运算量稍大,属较难题.
二、解答题
26.解析 (1)由题意得x(28-x)=192,(1分)
解这个方程得x=12,x=16.(3分)
1 2
(2)花园面积S=x(28-x)=-(x-14)2+196.(4分)
{ x≥6,
由题意知 解得6≤x≤13.(6分)
28-x≥15,
在6≤x≤13范围内,S随x的增大而增大.
∴当x=13时,S =-(13-14)2+196=195.
最大值
故花园面积最大为195 m2.(8分)
评析 这是一道综合一元二次方程、不等式组和二次函数知识的实际应用题,主要考查学生
的转化思想和建模思想.能根据题意找出等量关系列出方程和函数关系式是本题的解题关键,
尤其第(2)小题中,根据题目隐含条件列出不等式组确定自变量取值范围更是重要环节.属中
等难度题.
27.解析 (1)证明:连结PB.
∵∠ACB=90°,∴AB是☉O的直径.
∴∠APB=90°,∴∠PAB+∠PBA=90°.
∵l⊥AB于E,∴∠AFE+∠FAE=90°.
∵∠PAB=∠FAE,
∴∠PBA=∠AFE.
∵∠ABP=∠ACP,∴∠AFE=∠ACP.
又∵∠PAC=∠PDC,
∴△PAC∽△PDF.(3分)
(2)在Rt△ABC中,AC=2BC,AB=5,
由勾股定理得
AC=2√5,BC=√5.
1 1
∵S = AB·CE= AC·BC,
△ABC
2 2
∴CE=2,可得AE=4.(4分)
∵ ⏜ = ⏜ ,∴PA=PB,则△ABP为等腰直角三角形.
AP BP
√2 5√2
∴∠PAB=45°,AP= AB= .
2 2
∵EF⊥AB,∠PAB=45°.∴EF=AE=4.
由垂径定理得DE=CE=2,则DF=DE+EF=6.
PD DF
由(1)知△PAC∽△PDF,∴ = .
PA AC
5
DF·PA 6× √2 3√10
故PD= = 2 = .(7分)
AC 2
2√5
(3)解法一:过点G作GH∥BP交AP于点H.
AH AG
则GH⊥AP,∠AGH=∠ABP=∠AFD, = =x.
PH BG
∵l⊥AB,∴ ⏜ = ⏜ ,∴∠ABC=∠APD.
AC AD
GH AC
∴ =tan∠APD=tan∠ABC= =2,即GH=2PH.
PH BC
AH AH 1
∴y=tan∠AFD=tan∠AGH= = = x.
GH 2PH 2
1
即y与x之间的函数关系式为y= x.(10分)
2
解法二:连结AD,BD,则AD=AC,BD=BC.
∵∠APG=∠DBG,∠AGP=∠DGB,
AP AG
∴△APG∽△DBG,则 = . ①
DB DG
PB BG
同理,由△PBG∽△ADG,得 = . ②
AD DG
AP AD AG
由①÷②,得 · = ,
PB DB BG
AP AG BD AG BC 1
即 = · = · = x.
PB BG AD BG AC 2
AP 1
∴y=tan∠AFD=tan∠ABP= = x.
PB 2
1
即y与x之间的函数关系式为y= x.(10分)
2
评析 本题是一道较复杂的以圆为载体的动点几何综合题,涉及了圆、三角形、锐角三角函
数等重要知识,难度较大,体现对学生思维能力的考查.
k
28.解析 (1)由抛物线y= (x+2)(x-4)与x轴从左至右依次交于A,B两点,得A(-2,0),B(4,0).
8
√3 4√3
∵直线y=- x+b经过点B(4,0),∴b= .(1分)
3 3
√3 4√3
∵点D的横坐标为-5,且在直线y=- x+ 上,
3 3
∴点D的坐标为(-5,3√3).
k 8
把D(-5,3√3)代入y= (x+2)(x-4),解得k= √3.
8 9
√3 2√3 8√3
∴抛物线的函数表达式为y= x2- x- .(3分)
9 9 9(2)易得C(0,-k),OA=2,OB=4,OC=k.
由勾股定理得AC= ,BC= .
√k2+4 √k2+16
显然∠ABP为钝角,∠CAB与∠ABC是锐角,
∴只有如下两种情况:
PA AB
i)当△PAB∽△ABC时,有 = ,∠PAB=∠ABC,
AB BC
则PA=AB2
=
62 =36√k2+16.
BC √k2+16 k2+16
过P作PH⊥x轴于H,则△PAH∽△CBO.
AH PH PA 36 144 36k
有 = = = ,∴AH= ,PH= .
BO CO CB k2+16 k2+16 k2+16
可得点P坐标为( 144 36k ),
-2,
k2+16 k2+16
k
代入y= (x+2)(x-4),得
8
36k =k· 144 ·( 144
-6
).
k2+16 8 k2+16 k2+16
144
化简得 -6=2,即k2=2.
k2+16
又k>0,∴k=√2.(6分)
AP AB
ii)当△APB∽△ABC时,有 = ,∠PAB=∠BAC.
AB AC
则AP=AB2
=
62 =36√k2+4.
AC √k2+4 k2+4
过P作PH⊥x轴于H,则△PAH∽△CAO.
AH PH AP 36 72 36k
有 = = = ,∴AH= ,PH= .
AO CO AC k2+4 k2+4 k2+4
可得点P坐标为( 72 36k ),
-2,
k2+4 k2+4
k
代入y= (x+2)(x-4),得
836k =k· 72 ·( 72
-6
).
k2+4 8 k2+4 k2+4
72 16 4√5
化简得 -6=4,即k2= .又k>0,∴k= .
k2+4 5 5
4√5
综上,k=√2或k= .(8分)
5
(3)过D作DG⊥y轴于G,过A作AQ⊥DG于Q,过F作FQ'⊥DG于Q'.
设直线BD交y轴于E,则E( 4√3).
0,
3
EO √3
在Rt△BOE中,tan∠EBO= = ,则∠EBO=30°.
OB 3
由DG∥AB,得∠EDG=30°,∴DF=2FQ'.
动点M在整个运动过程中所用时间为
AF FD AF 2FQ'
t= + = + =(AF+FQ')秒.
1 2 1 2
根据“垂线段最短”,知AF+FQ'≥AQ.
∴当点F为AQ与BD的交点时,点M在整个运动过程中用时最少.(11分)
此时,由DG⊥y轴,AQ⊥DG,得x =x =-2.
F A
又点F在直线BD上,∴y =2√3.
F
∴点F的坐标是(-2,2√3).(12分)
评析 本题是以二次函数为载体,综合一次函数、相似三角形、勾股定理、锐角三角函数等
知识的动点探究题,主要考查利用待定系数法确定函数的解析式、二次函数的最值、“动中
取静”的解题策略以及分类、转化、方程等数学思想的妙用.题目设置具有梯度性,第(1)问
较容易,第(2)问有一定难度,尤其注意“相似”的文字表述与数学符号“∽”的区别,前者必
须分类讨论求解,不可忽略.第(3)问难度较大,将动点运动时间最少问题转化为线段长度最短
问题,利用垂线段最短这一性质是解答关键.
