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成都市二○一八年高中阶段教育学校统一招生考试
(满分:150分 时间:120分钟)
A卷(共100分)
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
1.实数a,b,c,d在数轴上对应的点的位置如图所示,这四个数中最大的是( )
A.a B.b C.c D.d
2.2018年5月21日,西昌卫星发射中心成功发射探月工程嫦娥四号任务“鹊桥号”中继星,卫星进入近地点高度为200千米、远地点高度为40万千米的预定轨道.将数据40万用科学记数法表示为( )
A.4×104B.4×105C.4×106D.0.4×106
3.如图所示的正六棱柱的主视图是( )
4.在平面直角坐标系中,点P(-3,-5)关于原点对称的点的坐标是( )
A.(3,-5)B.(-3,5)C.(3,5) D.(-3,-5)
5.下列计算正确的是( )
A.x2+x2=x4 B.(x-y)2=x2-y2
C.(x2y)3=x6y D.(-x)2·x3=x5
6.如图,已知∠ABC=∠DCB,添加以下条件,不能判定△ABC≌△DCB的是( )
A.∠A=∠D B.∠ACB=∠DBC
C.AC=DB D.AB=DC
7.如图是成都市某周内日最高气温的折线统计图,关于这7天的日最高气温的说法正确的是( )
A.极差是8 ℃ B.众数是28 ℃
C.中位数是24 ℃ D.平均数是26 ℃
x+1 1
8.分式方程 + =1的解是( )
x x-2
A.x=1 B.x=-1
C.x=3 D.x=-39.如图,在▱ABCD中,∠B=60°,☉C的半径为3,则图中阴影部分的面积是( )
A.π B.2π C.3π D.6π
10.关于二次函数y=2x2+4x-1,下列说法正确的是( )
A.图象与y轴的交点坐标为(0,1)
B.图象的对称轴在y轴的右侧
C.当x<0时,y的值随x值的增大而减小
D.y的最小值为-3
二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分)
11.等腰三角形的一个底角为50°,则它的顶角的度数为 .
3
12.在一个不透明的盒子中,装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个,从中随机摸出一个乒乓球,若摸到黄色乒乓球的概率为 ,则该盒子中装有黄色乒乓球的个数是 .
8
a b c
13.已知 = = ,且a+b-2c=6,则a的值为 .
6 5 4
1
14.如图,在矩形ABCD中,按以下步骤作图:①分别以点A和C为圆心,以大于 AC的长为半径作弧,两弧相交于点M和N;②作直线MN交CD于点E.若DE=2,CE=3,则矩形的对角线AC的长为 .
2
三、解答题(本大题共6个小题,共54分)
15.(本小题满分12分,每题6分)
(1)计算:2-2+√38-2sin 60°+|-√3|.
(2)化简:( 1 )÷ x .
1-
x+1 x2-1
16.(本小题满分6分)
若关于x的一元二次方程x2-(2a+1)x+a2=0有两个不相等的实数根,求a的取值范围.17.(本小题满分8分)
为了给游客提供更好的服务,某景区随机对部分游客进行了关于“景区服务工作满意度”的调查,并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表.
满意度 人数 所占百分比
非常满意 12 10%
满意 54 m
比较满意 n 40%
不满意 6 5%
根据图表信息,解答下列问题:
(1)本次调查的总人数为 ,表中m的值为 ;
(2)请补全条形统计图;
(3)据统计,该景区平均每天接待游客约3 600人,若将“非常满意”和“满意”作为游客对景区服务工作的肯定,请你估计该景区服务工作平均每天得到多少名游客的肯定.
18.(本小题满分8分)
由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如图,航母由西向东航行,到达A处时,测得小岛C位于它的北偏东70°方向,且与航母相距80海里,再航行一段时间后到达B处,测得小岛C位于它的北偏东
37°方向.如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处,求还需航行的距离BD的长.
(参考数据:sin 70°≈0.94,cos 70°≈0.34,tan 70°≈2.75,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)
19.(本小题满分10分)
k
如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=x+b的图象经过点A(-2,0),与反比例函数y= (x>0)的图象交于B(a,4).
x
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
k
(2)设M是直线AB上一点,过M作MN∥x轴,交反比例函数y= (x>0)的图象于点N,若以A,O,M,N为顶点的四边形为平行四边形,求点M的坐标.
x20.(本小题满分10分)
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,O为AB上一点,经过点A,D的☉O分别交AB,AC于点E,F,连接OF交AD于点G.
(1)求证:BC是☉O的切线;
(2)设AB=x,AF=y,试用含x,y的代数式表示线段AD的长;
5
(3)若BE=8,sin B= ,求DG的长.
13
B卷(共50分)
一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
21.已知x+y=0.2,x+3y=1,则代数式x2+4xy+4y2的值为 .
22.汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中,四个直角三角形都是全等的,它们的两直角边之比均为2∶3.现随机向该图形内掷一枚小针,则针尖落在阴影区域的概率为 .
23.已知a>0,S=1,S =-S -1,S = 1 ,S =-S -1,S = 1 ,…… 即当n为大于1的奇数时,S = 1 ;当n为大于1的偶数时,S =-S -1 ,按此规律,S = .(用含a的代数式表示)
1 2 1 3 4 3 5 n n n-1 2 018
a S S S
2 4 n-1
4 BN
24.如图,在菱形ABCD中,tan A= ,M,N分别在边AD,BC上,将四边形AMNB沿MN翻折,使AB的对应线段EF经过顶点D,当EF⊥AD时, 的值为 .
3 CN
k
25.设双曲线y= (k>0)与直线y=x交于A,B两点(点A在第三象限),将双曲线在第一象限的一支沿射线BA的方向平移,使其经过点A,将双曲线在第三象限的一支沿射线AB的方向平移,使其经过点B,平移后的两条曲线相交于P,Q两点,此时我们称平移
x
k
后的两条曲线所围部分(如图中阴影部分)为双曲线的“眸”,PQ为双曲线的“眸径”,当双曲线y= (k>0)的眸径为6时,k的值为 .
x二、解答题(本大题共3个小题,共30分)
26.(本小题满分8分)
为了美化环境,建设宜居成都,我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉.经市场调查,甲种花卉的种植费用y(元)与种植面积x(m2)之间的函数关系如图所示,乙种花卉的种植费用为每平方米100元.
(1)直接写出当0≤x≤300和x>300时,y与x的函数关系式;
(2)广场上甲、乙两种花卉的种植面积共1 200 m2,若甲种花卉的种植面积不少于200 m2,且不超过乙种花卉种植面积的2倍,那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植总费用最少?最少总费用为多少元?
27.(本小题满分10分)
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=√7,AC=2,过点B作直线m∥AC,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C(点A,B的对应点分别为A',B'),射线CA',CB'分别交直线m于点P,Q.
(1)如图1,当P与A'重合时,求∠ACA'的度数;
(2)如图2,设A'B'与BC的交点为M,当M为A'B'的中点时,求线段PQ的长;
(3)在旋转过程中,当点P,Q分别在CA',CB'的延长线上时,试探究四边形PA'B'Q的面积是否存在最小值.若存在,求出四边形PA'B'Q的最小面积;若不存在,请说明理由.
28.(本小题满分12分)
5
如图,在平面直角坐标系xOy中,以直线x= 为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c 与直线l:y=kx+m(k>0)交于A(1,1),B两点,与y轴交于点C(0,5),直线l与y轴交于点D.
2(1)求抛物线的函数表达式;
AF 3
(2)设直线l与抛物线的对称轴的交点为F,G是抛物线上位于对称轴右侧的一点,若 = ,且△BCG与△BCD的面积相等,求点G的坐标;
FB 4
(3)若在x轴上有且只有一点P,使∠APB=90°,求k的值.
成都市二○一八年高中阶段教育学校统一招生考试
A卷
一、选择题
答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D B A C D C B A C D
1.D 根据实数a,b,c,d在数轴上对应的点的位置可得a0,∴a>- .
4
17. 解析 (1)120;45%.
(2)n=120×40%=48,补全条形图如下:
12+54
(3)3 600× =1 980(名).
120
答:估计该景区服务工作平均每天得到1 980名游客的肯定.
18. 解析 由题可知∠ACD=70°,∠BCD=37°,AC=80.
CD CD
在Rt ACD中,cos∠ACD= ,∴0.34≈ ,∴CD≈27.2,
BADC 8B0D
在Rt BCD中,tan∠BCD= ,∴0.75≈ ,∴BD≈20.4.
△ CD 27.2
答:还需要航行的距离BD的长为20.4海里.
△
19. 解析 (1)∵一次函数y=x+b的图象经过点A(-2,0),
∴-2+b=0,∴b=2,∴一次函数的表达式为y=x+2,
k 8
∵一次函数的图象与反比例函数y= (x>0)的图象交于B(a,4),∴a+2=4,∴a=2,∴B(2,4),∴反比例函数的表达式为y= .
(8 ) x x
(2)设M(m-2,m),N ,m ,m>0.
m
当MN∥AO且MN=AO时,以A、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形.
|8 |
故 -(m-2) =2且m>0,解得m=2√2或m=2√3+2,
m
∴M的坐标为(2√2-2,2√2)或(2√3,2√3+2).
20. 解析 (1)如图,连接OD.
∵AD为∠BAC的平分线,∴∠BAD=∠CAD,
∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD,∴∠ODA=∠CAD,∴OD∥AC.
又∵∠C=90°,∴∠ODC=90°,∴OD⊥BC,∴BC是☉O的切线.
(2)连接DF.由(1)可知,BC为☉O的切线.
∴∠FDC=∠DAF,∴∠CDA=∠CFD,∴∠AFD=∠ADB,
AB AD
又∵∠BAD=∠DAF,∴△ABD∽△ADF,∴ = ,∴AD2=AB·AF,∴AD2=xy,∴AD=√xy.
AD AF
(3)连接EF.
OD 5
在Rt BOD中,sin B= = ,
r OB5 13
设圆的半径为r,∴ = ,∴r=5,∴AE=10,AB=18.
△ r+8 13
∵AE是直径,∴∠AFE=90°,又∠C=90°,
AF 5
∴EF∥BC,∴∠AEF=∠B,∴sin∠AEF= = ,
5 50 AE 13
∴AF=AE·sin∠AEF=10× 50= ,
AG AF 13 1130 13
∵AF∥OD,∴ = =13= ,∴DG= AD,
DG O√D 50 1330√13 23
∵AD=√AB·AF= 18×5 = ,
13 30√13 30√1313 13
∴DG= × = .
23 13 23
B卷
一、填空题
21. 答案 0.36
解析 ∵x+y=0.2①,x+3y=1②,∴①+②得2x+4y=1.2,即x+2y=0.6.又∵x2+4xy+4y2=(x+2y)2,∴原式=(0.6)2=0.36.
12
22. 答案
13 12x2 12
解析 设直角三角形的两直角边长分别是2x,3x(x>0),则题图中大正方形边长是√13x,小正方形边长为x,∴S =13x2,S =x2,则S =12x2,∴P(针尖落在阴影区域)= = .
a+1 大正方形 小正方形 阴影 13x2 13
23. 答案 -
1 a 1 a+1 a 1 1 a+1
解析 S= ,S =- -1=- ,S =- ,S =- ,S =-(a+1),S =a,S= ,……,∴S =S =- .
1 2a 2 a a 3 a+1 4 a+1 5 6 7 a 2 018 2 a
24. 答案
7
解析 延长NF与DC交于点H,
∵∠ADF=90°,∴∠A+∠FDH=90°,∵∠DFN+∠DFH=180°,∠A+∠B=180°,∠B=∠DFN,
∴∠A=∠DFH,
∴∠FDH+∠DFH=90°,∴NH⊥DC.
4
在Rt EDM中,tan E=tan A= ,
3
设DM=4k(k>0),则DE=3k,EM=5k,
△
∴AD=9k=DC,DF=6k.
4 4
∵tan A=tan∠DFH= ,则sin∠DFH= ,
4 24 3 24 215
∴DH= DF= k,∴CH=9k- k= k,
5 5CH 3 5 5
∵cos C=cos A= = ,
5 NC 5 BN 2
∴CN= CH=7k,∴BN=2k,∴ = .
3 CN 7
3
25. 答案 { k
2 y= ,
解析 如图所示,以PQ为边,作矩形PQQ'P'交双曲线在第一象限的一支于点P',点Q',联立得 x 得x2=k,
∴x=±√k,∴B点坐标为(√k,√k),A点坐标为(-√k,-√k). y=x,
∵PQ=6,∴OP=3,
( 3√2 3√2)
由双曲线的对称性,得P的坐标为 - , .
2 2 ( 3√2 3√2 )
∵A点平移到B点与P点平移到P'的距离相同,A点向右平移2√k个单位,向上平移2√k个单位得到B,∴P'的坐标为 - +2√k, +2√k ,
2 2
k ( 3√2 )(3√2 ) 3
∵点P'在反比例函数y= 的图象上,∴xy=k,代入得 - +2√k +2√k =k,解得k= .
x 2 2 2
二、解答题
26. 解析 (1)当0≤x≤300时,y=130x;
当x>300时,y=80x+15 000.
(2)甲种花卉的种植面积为x m2,则乙种花卉的种植面积为(1 200-x)m2,
{ x≥200,
∴ ∴200≤x≤800.
x≤2(1 200-x),
设甲、乙两种花卉的种植总费用为w元.
当200≤x≤300时,w=130x+100(1 200-x)=30x+120 000.
当x=200时,w =126 000;
min
当300 ,∴x=3,∴G(3,-1).
2 1
②G在BC上方时,直线GG 与DG 关于BC对称.
2 31 191
∴直线GG 的解析式为y=- x+ ,
1 192 3 2 2
∴- x+ =x2-5x+5,∴2x2-9x-9=0.
2 9+23√17 9-3√17
∴x= ,x= ,
1 5 4 9+3 2 √17 4 (9+3√17 67-3√17)
∵x> ,∴x= ,∴G , .
2 4 2 (49+3√17 687-3√17)
综上所述,点G的坐标为(3,-1)或 , .
4 8
(3)由题意可知,k+m=1.
∴m=1-k,∴y=kx+1-k,
∴kx+1-k=x2-5x+5,
即x2-(k+5)x+k+4=0,
∴x=1,x=k+4,
1 2
∴B(k+4,k2+3k+1).
取AB的中点O',
∵P点有且只有一个,∴以AB为直径的圆与x轴只有一个交点,
即该圆与x轴相切,且P为切点,
连接O'P,AP,BP.
(k+5
)
∴O'P⊥x轴,∴P为MN的中点,∴P ,0 .
2
作AM⊥x轴,BN⊥x轴,垂足分别为M,N,
AM PN
∵△AMP∽△PNB,∴ = ,∴AM·BN=PN·PM,
( PMk+B5N )(k+5 ) -6+4√6 2√6
∴1×(k2+3k+1)= k+4- -1 ,即3k2+6k-5=0,Δ=96>0,∵k>0,∴k= =-1+ .
2 2 6 3
