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哈尔滨市2017年初中升学考试
(满分:120分 时间:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共30分)
一、选择题(每小题3分,共计30分)
1.-7的倒数是( )
1 1
A.7 B.-7 C. D.-
7 7
2.下列运算正确的是( )
A.a6÷a3=a2 B.2a3+3a3=5a6
C.(-a3)2=a6 D.(a+b)2=a2+b2
3.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
4.抛物线y=-3( 1) 2 -3的顶点坐标是( )
x+
5 2
A.(1 ) B.( 1 ) C.(1 ) D.( 1 )
,-3 - ,-3 ,3 - ,3
2 2 2 2
5.五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示,其左视图是( )
2 1
6.方程 = 的解为( )
x+3 x-1
A.x=3 B.x=4 C.x=5 D.x=-5
7.如图,☉O中,弦AB、CD相交于点P,∠A=42°,∠APD=77°,则∠B的大小是( )
A.43° B.35° C.34° D.44°8.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,AC=1,则cos B的值为( )
√15 1 √15 4√17
A. B. C. D.
4 4 15 17
9.如图,在△ABC中,D、E分别为AB、AC边上的点,DE∥BC,点F为BC边上一点,连接AF交DE于点G.则下列结论中一定正确的是( )
AD AE AG AE BD CE AG AC
A. = B. = C. = D. =
AB EC GF BD AD AE AF EC
10.周日,小涛从家沿着一条笔直的公路步行去报亭看报,看了一段时间后,他按原路返回家中.小涛离家的距离y(单位:m)与他所用的时间t(单位:min)之间的函数关系如图所示.下列说法中正确的是( )
A.小涛家离报亭的距离是900 m
B.小涛从家去报亭的平均速度是60 m/min
C.小涛从报亭返回家中的平均速度是80 m/min
D.小涛在报亭看报用了15 min
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题(每小题3分,共计30分)
11.将57 600 000用科学记数法表示为 .
2x+1
12.函数y= 中,自变量x的取值范围是 .
x-2
13.把多项式4ax2-9ay2分解因式的结果是 .
√1
14.计算√27-6 的结果是 .
3
3k-1
15.已知反比例函数y= 的图象经过点(1,2),则k的值为 .
x
{5-2x≤1,
16.不等式组 的解集是 .
x-3<0
17.一个不透明的袋子中装有17个小球,其中6个红球、11个绿球,这些小球除颜色外无其他差别,从袋子中随机摸出一个小球,则摸出的小球是红球的概率为 .
18.已知扇形的弧长为4π,半径为48,则此扇形的圆心角为 度.
19.四边形ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=6,对角线AC与BD相交于点O,点E在AC上,若OE=√3,则CE的长为 .
20.如图,在矩形ABCD中,M为BC边上一点,连接AM,过点D作DE⊥AM,垂足为E,若DE=DC=1,AE=2EM,则BM的长为 .
三、解答题(其中21~22题各7分,23~24题各8分,25~27题各10分,共计60分)21.(本题7分)
1 x+2 x
先化简,再求代数式 ÷ - 的值,其中x=4sin 60°-2.
x-1 x2-2x+1 x+2
22.(本题7分)
如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上.
(1)在图中画出以AB为底、面积为12的等腰△ABC,且点C在小正方形的顶点上;
3
(2)在图中画出平行四边形ABDE,且点D和点E均在小正方形的顶点上,tan∠EAB= .连接CD,请直接写出线段CD的长.
2
23.(本题8分)
随着社会经济的发展和城市周边交通状况的改善,旅游已成为人们的一种生活时尚.洪祥中学开展以“我最喜欢的风景区”为主题的调查活动,围绕“在松峰山、太阳岛、二龙山和凤凰山四个风景区中,你最喜欢哪一个(必选且只选一个)”的问题,在全
校范围内随机抽取了部分学生进行问卷调查,将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图.请你根据图中提供的信息回答下列问题:
(1)本次调查共抽取了多少名学生?
(2)通过计算补全条形统计图;
(3)若洪祥中学共有1 350名学生,请你估计最喜欢太阳岛风景区的学生有多少名.24.(本题8分)
已知:△ACB和△DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,连接AE、BD交于点O.AE与DC交于点M,BD与AC交于点N.
(1)如图1,求证:AE=BD;
(2)如图2,若AC=DC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四对全等的直角三角形.
图1
图2
25.(本题10分)
威丽商场销售A,B两种商品,售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元;售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1 100元.
(1)求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元;
(2)由于需求量大,A、B两种商品很快售完,威丽商场决定再一次购进A、B两种商品共34件,如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4 000元,那么威丽商场至少需购进多少件A种商品?26.(本题10分)
已知:AB是☉O的弦,点C是 ⏜ 的中点,连接OB、OC,OC交AB于点D.
AB
(1)如图1,求证:AD=BD;
(2)如图2,过点B作☉O的切线交OC的延长线于点M,点P是 ⏜ 上一点,连接AP、BP,求证:∠APB-∠OMB=90°;
AC
3 MP
(3)如图3,在(2)的条件下,连接DP、MP,延长MP交☉O于点Q,若MQ=6DP,sin∠ABO= ,求 的值.
5 MQ
图1
图2
图3
27.(本题10分)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=x2+bx+c交x轴于A、B两点,交y轴于点C,直线y=x-3经过B、C两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点C作直线CD⊥y轴交抛物线于另一点D,点P是直线CD下方抛物线上的一个动点,且在抛物线对称轴的右侧,过点P作PE⊥x轴于点E,PE交CD于点F,交BC于点M,连接AC,过点M作MN⊥AC于点N,设点P的横坐标为t,线段MN的长为d,求
d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围);
(3)在(2)的条件下,连接PC,过点B作BQ⊥PC于点Q(点Q在线段PC上),BQ交CD于点T,连接OQ交CD于点S,当ST=TD时,求线段MN的长.
备用图
哈尔滨市2017年初中升学考试
一、选择题
答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D C D B C C B A C D
1.D 因为-7×( 1)=1,所以-7的倒数为-1,故选D.
-
7 7
2.C a6÷a3=a6-3=a3,选项A错误;
2a3+3a3=5a3,选项B错误;
(-a3)2=a6,选项C正确;
(a+b)2=a2+2ab+b2,选项D错误,故选C.
3.D 选项A、B中的图形是轴对称图形,不是中心对称图形;
选项C中的图形是中心对称图形,不是轴对称图形;
选项D中的图形既是轴对称图形又是中心对称图形,故选D.
4.B ∵抛物线y=a(x-h)2+k的顶点坐标为(h,k),∴抛物线y=-3( 1) 2 -3的顶点坐标为( 1 ).故选B.
x+ - ,-3
5 2 2
5.C 由左视图的定义知选C.
6.C 方程两边同时乘(x+3)(x-1),得2(x-1)=x+3,解得x=5,经检验,x=5是原分式方程的解.故选C.
7.B 由三角形外角的性质可得∠C=∠APD-∠A=77°-42°=35°,
∵∠B与∠C所对的弧均为 ⏜ ,
AD
∴∠B=∠C=35°.故选B.
BC √15
8.A 由勾股定理可得BC=√15,所以cos B= = .故选A.
AB 4
AD AE AG AE BD CE AG AE
9.C 根据平行线分线段成比例定理可知 = , = , = , = ,所以选项A、B、D错误,选项C正确.故选C.
AB AC GF EC AD AE AF AC
10.D 从题图可以看出0~15 min小涛与家的距离随着时间的增大而增大,且在15 min时达到最大值1 200,所以小涛家离报亭的距离是1 200 m,选项A错误.在0~15 min内小涛的速度是1 200÷15=80(m/min),选项B错误.
15 min后的一段时间内,小涛与家的距离没有变,说明小涛在看报.之后的某一时间点后,小涛与家的距离变小,说明小涛开始返回家,该时间点未知.但已知35~50 min内小涛步行了900 m,所以小涛返回家的速度是900÷15=60(m/min),选项C错误.
报亭与家的距离是1 200 m,返回家的速度是60 m/min,所以看完报纸后小涛需1 200÷60=20 min到家,从题图可知小涛50 min时到家,所以小涛在离家30 min后开始返回家,在报亭看报用了30-15=15(min),选项D正确.故选D.
二、填空题
11. 答案 5.76×107
解析 科学记数法是把一个数记作a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.57 600 000=5.76×107.
12. 答案 x≠2
解析 由题意知x-2≠0,解得x≠2.
13. 答案 a(2x+3y)(2x-3y)
解析 原式=a(4x2-9y2)=a[(2x)2-(3y)2]=a(2x+3y)·(2x-3y).
14. 答案 √3
√1 √3
解析 √27-6 =3√3-6× =3√3-2√3=√3.
3 3
15. 答案 1
解析 ∵图象过点(1,2),∴3k-1=xy=2,∴k=1.
16. 答案 2≤x<3
解析 两个不等式的解集分别是x≥2,x<3,所以不等式组的解集为2≤x<3.
6
17. 答案
17
6
解析 摸到球的情况一共有17种,摸到红球的情况有6种,所以P(摸出的小球是红球)= .
17
18. 答案 15
nπr nπ×48
解析 根据弧长= 得4π= ,解得n=15.
180 180
19. 答案 2√3或4√3
解析 根据菱形的性质可得∠BAO=30°,AC⊥BD,OA=OC.由AB=6可得OA=OC =3√3,当E在OA上时,CE=OC+OE=3√3+√3=4√3,当E在OC上时,CE=OC-OE=3√3-√3=2√3.
综上,CE的长为4√3或2√3.
2√5
20. 答案
5
解析 ∵∠BAM+∠EAD=90°,∠EAD+∠EDA=90°,
∴∠BAM=∠EDA.又∵∠B=∠AED=90°,
AE DE AE 1
∴△ADE∽△MAB.∴ = ,即 = .
BM AB BM 1
∴AE=BM.由AE=2EM可设AE=2x,EM=x(x>0),则BM=2x,
在Rt△ABM中,由勾股定理可知(2x+x)2=12+(2x)2,
√5 2√5
解得x= (舍负),∴BM=2x= .
5 5
三、解答题
1 x+2 x
21. 解析 原式= ÷ -
x-1 (x-1)2 x+2
1 (x-1)2 x
= · -
x-1 x+2 x+2
x-1 x 1
= - =- .
x+2 x+2 x+2
√3
∵x=4sin 60°-2=4× -2=2√3-2,
2
1 1 √3
∴原式=- =- =- .
2√3-2+2 2√3 6
22. 解析 (1)正确画图.
(2)正确画图.
CD=√26.23. 解析 (1)10÷20%=50(名).
∴本次调查共抽取了50名学生.
(2)50-10-20-12=8(名).
∴最喜欢二龙山风景区的学生有8名.
补全条形统计图,如图所示.
20
(3)1 350× =540(名).
50
∴估计最喜欢太阳岛风景区的学生有540名.
24. 解析 (1)证明:∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形,
∠ACB=∠DCE=90°,∴AC=BC,DC=EC,
∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,
即∠BCD=∠ACE,
∴△ACE≌△BCD,
∴AE=BD.
(2)△ACB≌△DCE,△AON≌△DOM,
△AOB≌△DOE,△NCB≌△MCE.
25. 解析 (1)设每件A种商品售出后所得利润为x元,每件B种商品售出后所得利润为y元.
{ x+4 y=600, {x=200,
根据题意,得 解得
3x+5 y=1 100, y=100.
∴每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为200元和100元.
(2)设威丽商场需购进a件A种商品,则购进B种商品(34-a)件.
根据题意,得200a+100(34-a)≥4 000,
解得a≥6.
∴威丽商场至少需购进6件A种商品.
26. 解析 (1)证明:如图,连接OA,∵C是 ⏜ 的中点,
AB
∴ ⏜ = ⏜ ,
AC BC
∴∠AOC=∠BOC,
∵OA=OB,∴OD⊥AB,AD=BD.
(2)证明:如图,延长BO交☉O于点T,连接PT,∵BT是☉O的直径,∴∠BPT=90°,
∴∠APT=∠APB-∠BPT=∠APB-90°,
∵BM是☉O的切线,∴OB⊥BM,∴∠ABO+∠MBA=90°,
又由(1)得,∠OMB+∠MBA=90°,∴∠ABO=∠OMB,
又∠ABO=∠APT,∴∠OMB=∠APT,∴∠APB-90°=∠OMB,
即∠APB-∠OMB=90°.
(3)解法一:如图,连接MA,∵MO垂直平分AB,
∴MA=MB,∴∠MAB=∠MBA,
作∠PMG=∠AMB,在射线MG上截取MN=MP,连接PN、BN.
则∠AMP=∠BMN,∴△APM≌△BNM,
∴MP=MN,AP=BN,∠MAP=∠MBN,
延长PD至点K,使DK=DP,连接AK、BK.
则四边形APBK是平行四边形,
∴AP=BK,AP∥BK,
∴∠PAB=∠ABK,∠APB+∠PBK=180°,
由(2)得∠APB-(90°-∠MBA)=90°,
∴∠APB+∠MBA=180°,∴∠PBK=∠MBA,
∴∠MBP=∠ABK=∠PAB,
∵∠MAP+∠PAB=∠MBP+∠PBA,
∴∠MAP=∠PBA=∠MBN,
∴∠NBP=∠KBP,又PB=PB,BN=AP=BK,
∴△PBN≌△PBK,
∴PN=PK=2DP,
过点M作MH⊥PN于点H,
∴PN=2PH,∴PH=DP,∠PMH=∠OMB=∠ABO,
PH 3 PH 3
∵sin∠PMH= ,sin∠ABO= ,∴ = .
MP 5 MP 5
DP 3
∴ = ,设DP=3a,则MP=5a,
MP 5
MP 5
∴MQ=6DP=18a,∴ = .
MQ 18
解法二:如图,连接OP,
∵MB是☉O的切线,
∴∠OBM=90°,
由(1)得OD⊥AB,∴∠OMB+∠DBM=90°,
又∠DBO+∠DBM=90°,∴∠DBO=∠OMB.3
∴sin∠OMB=sin∠ABO= ,
5
OB OD 3
即 = = ,
OM OB 5
∵P、B是☉O上的点,∴OP=OB,
OP OD 3
∴ = = .
OM OP 5
OP OD
在△ODP和△OPM中, = ,∠DOP=∠POM,
OM OP
DP OD 3
∴△ODP∽△OPM,∴ = = ,
MP OP 5
MP 5
设DP=3a,则MP=5a,MQ=6DP=18a,∴ = .
MQ 18
27. 解析 (1)由题意得B(3,0),C(0,-3),
∵抛物线y=x2+bx+c经过B(3,0),C(0,-3),
{0=9+3b+c, {b=-2,
∴ 解得
-3=c, c=-3,
∴y=x2-2x-3.
(2)如图,y=x2-2x-3,当y=0时,x2-2x-3=0,
∴x=-1,x=3,∴A(-1,0),∴OA=1,OB=OC=3,
1 2
∴∠ABC=45°,AC=√10,AB=4,
∵PE⊥x轴,
∴∠EMB=∠EBM=45°,∵点P的横坐标为t,
∴EM=EB=3-t,连接AM,∵S =S +S ,
△ABC △AMC △AMB
1 1 1
∴ AB·OC= AC·MN+ AB·EM.
2 2 2
1 1 1
∴ ×4×3= ×√10d+ ×4(3-t),
2 2 2
2√10
∴d= t.
5
(3)如图,∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴抛物线的对称轴为x=1,由抛物线的对称性可得D(2,-3).
∴CD=2,过点B作BK⊥CD交直线CD于点K,
∴四边形OCKB为正方形,
∴∠OBK=90°,CK=OB=BK=3,∴DK=1,
∵BQ⊥CP,∴∠CQB=90°,
过点O作OH⊥PC交PC的延长线于点H,作OR⊥BQ交BQ于点I,交BK于点R.
∴∠OHC=∠OIQ=∠CQB=90°,∴四边形OHQI为矩形,
∵∠OCQ+∠OBQ=180°,∠OCH+∠OCQ=180°,
∴∠OBQ=∠OCH,
∴△OHC≌△OIB,∴OH=OI.
∴四边形OHQI为正方形,∴∠QOI=45°,
延长KB至点G使BG=CS,连接OG、SR,
∴△OBG≌△OCS,∴OG=OS,∠GOB=∠SOC,
∴∠SOG=90°,∴∠GOR=45°,又OR=OR,
∴△OSR≌△OGR,∴SR=GR.
∴SR=CS+BR,∵∠BOR+∠OBI=90°,
∠OBI+∠TBK=90°,∴∠BOR=∠TBK,
BR TK
∴tan∠BOR=tan∠TBK,∴ = ,
OB BK
∴BR=TK,∵∠CTQ=∠BTK,∴∠QCT=∠TBK,
∴tan∠QCT=tan∠TBK,设ST=TD=m,
∴SK=2m+1,CS=2-2m,TK=m+1=BR,
SR=GR=3-m,RK=2-m,
在Rt△SKR中,∵SK2+RK2=SR2,
∴(2m+1)2+(2-m)2=(3-m)2,
1
∴m=-2(舍去),m = ,
1 2
2
1 3
∴ST=TD= ,TK= .
2 2
TK 3 1
∴tan∠TBK= = ÷3= ,
BK 2 2
1
∴tan∠PCD= ,
2
∵CF=OE=t,
1 1
∴PF= t,∴PE= t+3,
2 2
∴P( 1 ),
t,- t-3
2
1
∴- t-3=t2-2t-3,
2
3
∴t=0(舍去),t = ,
1 2
2
2√10 2√10 3 3√10
∴MN=d= t= × = .
5 5 2 5
