2014 年南宁市初中毕业升学考试
数学试题（含答案全解全析）
第Ⅰ卷(选择题,共36分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分)每小题都给出代号为A、B、C、D四个
结论,其中只有一个是正确的.
1.如果水位升高3 m时水位变化记作+3 m,那么水位下降3 m时水位变化记作( )
A.-3 m B.3 m C.6 m D.-6 m
2.下列图形中,是轴对称图形的是( )
3.南宁东高铁火车站位于南宁市青秀区凤岭北路,火车站总建筑面积约为267 000平方米,其
中数据267 000用科学记数法表示为( )
A.26.7×104 B.2.67×104 C.2.67×105 D.0.267×106
4.要使二次根式√x+2在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是( )
A.x>2 B.x≥2 C.x>-2 D.x≥-2
5.下列运算正确的是( )
A.a2·a3=a6B.(x2)3=x6C.m6÷m2=m3 D.6a-4a=2
6.在直径为200 cm的圆柱形油槽内装入一些油以后,截面如图所示,若油面的宽AB=160 cm,
则油的最大深度为( )
A.40 cm B.60 cm C.80 cm D.100 cm
7.数据1,2,4,0,5,3,5的中位数和众数分别是( )
A.3和2 B.3和3 C.0和5 D.3和5
8.如图所示,把一张长方形纸片对折,折痕为AB,再以AB的中点O为顶点,把平角∠AOB三等
分,沿平角的三等分线折叠,将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的直角三角形,那么剪出的
直角三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是( )
A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形
9.“黄金1号”玉米种子的价格为5元/千克,如果一次购买2千克以上的种子,超过2千克部分
的种子的价格打6折,设购买种子数量为x千克,付款金额为y元,则y与x的函数关系的图象
大致是( )10.如图,已知二次函数y=-x2+2x,当-1<x<a时,y随x的增大而增大,则实数a的取值范围是(
)
A.a>1 B.-1<a≤1 C.a>0 D.-1<a<2
11.如图,在▱ABCD 中,点 E 是 AD 的中点,延长 BC 到点 F,使 CF∶BC=1∶2,连结 DF,EC.若
4
AB=5,AD=8,sin B= ,则DF的长等于( )
5
A.√10 B.√15 C.√17 D.2√5
2
12.已知点A在双曲线y=- 上,点B在直线y=x-4上,且A,B两点关于y轴对称,设点A的坐标
x
m n
为(m,n),则 + 的值是( )
n m
A.-10 B.-8C.6 D.4
第Ⅱ卷(非选择题,共84分)
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
13.比较大小:-5 3(填“>”“<”或“=”).
14.如图,已知直线a∥b,∠1=120°,则∠2的度数是 °.
15.因式分解:2a2-6a= .
16.第45届世界体操锦标赛将于2014年10月3日至12日在南宁市隆重举行,届时某校将从
小记者团内负责体育赛事报道的3名同学(2男1女)中任选2名前往采访,那么选出的2名同
学恰好是一男一女的概率是 .
17.如图,一渔船由西往东航行,在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向,前进20海里到达B
点,此时,测得海岛C位于北偏东30°的方向,则海岛C到航线AB的距离CD等于 海
里.
18.如图,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=a,以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC,BC
相切于点E,F,与AB分别交于点G,H,且EH的延长线和CB的延长线交于点D,则CD的长为
.考生注意:第三至第八大题为解答题,要求写出解答过程.如果运算结果含有根号,请保留根号.
三、(本大题共2小题,每小题满分6分,共12分)
19.计算:(-1)2-4sin 45°+|-3|+√8.
x 2
20.解方程: - =1.
x-2 x2-4
四、(本大题共2小题,每小题满分8分,共16分)
21.如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4).
(1)请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△AB C ;
1 1 1(2)请画出△ABC关于原点对称的△AB C ;
2 2 2
直接写出
(3)在x轴上求作一点P,使△PAB的周长最小,请画出△PAB,并 点P的坐标.
····
22.考试前,同学们总会采用各种方式缓解考试压力,以最佳状态迎接考试.某校对该校九年级
的部分同学做了一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动,学校将减压方式分
为五类,同学们可根据自己的情况必选且只选其中一类.学校收集整理数据后,绘制了图1和
图2两幅不完整的统计图,请根据统计图中的信息解答下列问题:
(1)这次抽样调查中,一共抽查了多少名学生?
(2)请补全条形统计图;
(3)请计算扇形统计图中“享受美食”所对应扇形的圆心角的度数;
(4)根据调查结果,估计该校九年级500名学生中采用“听音乐”的减压方式的人数.A:交流谈心
B:体育活动
C:享受美食
D:听音乐
E:其他
五、(本大题满分 8分)
23.如图,AB∥FC,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,分别延长FD和CB交于点G.
(1)求证:△ADE≌△CFE;
(2)若GB=2,BC=4,BD=1,求AB的长.六、(本大题满分10分)
24.“保护好环境,拒绝冒黑烟”.某市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交
车,计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆.若购买A型公交车1辆,B型公交车2
辆,共需400万元;若购买A型公交车2辆,B型公交车1辆,共需350万元.
(1)求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元;
(2)预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次.若该
公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1 200万元,且确保这10辆公交车在该线路的
年均载客量总和不少于680万人次,则该公司有哪几种购车方案?哪种购车方案的总费用最
少?最少总费用是多少?
七、(本大题满分10分)
25.如图 1,四边形 ABCD 是正方形,点 E 是边 BC 上一点,点 F 在射线 CM 上,
∠AEF=90°,AE=EF,过点F作射线BC的垂线,垂足为H,连结AC.
(1)试判断BE与FH的数量关系,并说明理由;
(2)求证:∠ACF=90°;
⏜
(3)连结AF,过A,E,F三点作圆,如图2.若EC=4,∠CEF=15°,求
AE
的长.八、(本大题满分10分)
26.在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+(k-1)x-k与直线y=kx+1交于A,B两点,点A在点B的
左侧.
直接写出
(1)如图1,当k=1时, A,B两点的坐标;
····
(2)在(1)的条件下,点P为抛物线上的一个动点,且在直线AB下方,试求出△ABP面积的最大值
及此时点P的坐标;
(3)如图 2,抛物线 y=x2+(k-1)x-k(k>0)与 x 轴交于 C,D 两点(点 C 在点 D 的左侧).在直线
y=kx+1上是否存在唯一一点Q,使得∠OQC=90°?若存在,请求出此时k的值;若不存在,请说明
理由.答案全解全析：
一、选择题
1.A 根据相反意义的量可知,水位下降3 m时水位变化应记为-3 m.故选A.
2.D 根据轴对称图形的概念,“如果把一个图形沿某直线折叠,直线两旁的部分能够重合,那
么这个图形是轴对称图形”,可知选项A、B、C中的图形均不是轴对称图形,只有选项D中
的图形是轴对称图形,故选D.
3.C 科学记数法的表示形式为a×10n(其中1≤|a|<10,n为整数),∴267 000=2.67×105.故选C.
评析 本题考查用科学记数法表示一个较大的数,熟记科学记数法的表示形式是解答此类题
的关键,属容易题.
4.D ∵二次根式的被开方数大于或等于0时才有意义,∴x+2≥0,解得x≥-2.故选D.
评析 本题考查二次根式的概念、不等式的解法的简单应用,通常学生易忽略“等于0”的情
况,属容易题.
5.B a2·a3=a2+3=a5,(x2)3=x2×3=x6,m6÷m2=m6-2=m4,6a-4a=(6-4)a=2a,显然选项A、C、D都不正确,
只有B正确,故选B.
评析 本题考查同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法、合并同类项的简单应用,属
容易题.
6.A 过点O作OC⊥AB于C,连结OB,则在Rt△OCB中,CB=80 cm,OB=100 cm,由勾股定理
得OC=60 cm,所以油的最大深度为100-60=40 cm,故选A.
评析 本题主要考查垂径定理和勾股定理的综合应用,属容易题.
7.D 将数据从小到大排列为:0,1,2,3,4,5,5,共7个数,位于最中间的一个数为3,所以中位数为
3,而数据5出现的次数最多,所以众数是5,故选D.
评析 本题考查中位数与众数的概念,正确理解概念是解题的关键,属容易题.
8.A 解法一:按照题中给出的操作步骤对矩形纸片进行折叠、剪切,展开后将图形的形状与
所给的选项进行对照,可确定正确选项为A.解法二:根据题中给出的操作步骤,联系实物与图
形的变化关系,充分发挥空间想象力,也可得到选项A.故选A.
评析 本题考查学生的动手操作能力及空间想象能力,属中等难度题.
9.B 一次购买2千克以内,每千克5元,在图象上为从原点出发的一条线段;超过2千克部分
的种子的价格打6折,为每千克3元,与前一段比较变化幅度变小,即比前一段图象的倾斜程度
小,显然符合条件的图象只有B.故选B.
评析 本题主要考查分段函数在实际问题中的应用和数形结合思想,属中等难度题.
10.B 因为二次函数y=-x2+2x的图象开口向下,对称轴是x=1,且在对称轴左侧y随x的增大
而增大,在对称轴右侧y随x的增大而减小,所以由图象及解析式可知-1<a≤1,故选B.
评析 本题是对二次函数的增减性、数形结合思想以及学生的观察能力和推理能力的综合
考查.熟练掌握二次函数的性质、善于运用数形结合思想是解答此类题的关键,属中等难度题.
11.C ∵CF∶BC=1∶2,AD=BC=8,∴BF=8+4=12.
过D作DG⊥BF,交BF于点G.
∵AB∥CD,∴∠B=∠DCF,4
∴sin B=sin∠DCF= .
5
在Rt△DCG中,∴ CDDG==54,,∵CG=3,
∴FG=BF-BG=12-(8+3)=1,
∴DF=√DG2+GF2=√42+12=√17.
评析 本题主要考查了平行四边形、勾股定理、锐角三角函数等相关知识的综合应用,解题
关键是通过作平行四边形的高构造直角三角形,巧妙利用已知条件进行转化,属较难题.
2
12.A 因为点A(m,n)在双曲线y=- 上,所以mn=-2;由于A,B关于y轴对称,所以点B的坐标
x
m n (m+n)2-2mn
为(-m,n),因为点 B 在直线 y=x-4 上,所以-m-4=n,即 m+n=-4.∴ + = =
n m mn
(-4)2-2×(-2)
=-10,故选A.
-2
评析 本题主要考查点的坐标、解析式与函数图象之间的关系、关于 y轴对称的点的坐标
特征和利用整体代入的思想求值的综合运用,解题关键是熟练掌握关于y轴对称的点的坐标
特征,得到m、n之间的关系,属较难题.
二、填空题
13.答案 <
解析 因为负数小于一切正数,所以填“<”.
14.答案 60
解析 根据平行线的性质、对顶角相等或邻补角定义,可求得∠2=60°,故填60.
15.答案 2a(a-3)
解析 2a2-6a=2a(a-3).
2
16.答案
3
解析 2名男同学分别用A、A 表示,1名女同学用B表示.列表如下:
1 2
A A B
1 2
A (A ,A ) (A ,B)
1 1 2 1
A (A ,A ) (A ,B)
2 2 1 2
B (B,A ) (B,A )
1 2
由上表可以看出从中任选2名同学,共有6种结果,其中恰好是一男一女的结果有4种,
4 2 2
∴P= = .故答案为 .
6 3 3
17.答案 10√3
√3 √3
解析 设 CD 的长为 x 海里,由题意知∠CBD=60°,∠CAB=30°,则 AD=√3x,BD= x,∴
3 3
x+20=√3x,解得x=10√3.∴CD的长为10√3海里.
√2+1
18.答案 a
2
解析 连结OE、OF,设☉O的半径为r,
1
由题意易知OE⊥AC,OF⊥BC,OE=OF=AE=BF=CE=CF=OH=r= a.
2√2 √2 √2 1
在Rt△AOE和Rt△BOF中,由勾股定理得OA=OB=√2r= a.∴BH=OB-OH= a-r= a-
2 2 2 2
√2-1
a= a.
2
又∠C=90°,∴BC⊥AC.
又OE⊥AC,∴OE∥BC.∴△BDH∽△OEH.
BD BH BD BH
∴ = ,即 = .
OE OH r r
√2-1 √2-1 √2+1
∴BD=BH= a.∴CD=BC+BD=a+ a= a.
2 2 2
(也可利用平行线性质、对顶角相等和等腰三角形的性质与判定证明BD=BH)
评析 本题是一道综合性较强的几何计算题,主要考查了圆的切线的性质、切线长定理、等
腰三角形的性质与判定、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识的综
合应用,其解题关键是通过三角形相似,得到BD=BH,从而求出线段CD的长,属较难题.
三、
√2
19.解析 原式=1-4× +3+2√2(4分)
2
=1-2√2+3+2√2(5分)
=4.(6分)
x 2
20.解析 - =1,
x-2 x2-4
x 2
- =1,(1分)
x-2 (x+2)(x-2)
x(x+2)-2=(x+2)(x-2),(2分)
x2+2x-2=x2-4,(3分)
2x=-2,(4分)
x=-1.(5分)
检验:当x=-1时,(x+2)(x-2)≠0,
∴x=-1是原分式方程的解.(6分)
四、
21.解析 (1)平移后的图形如图所示.
(每画对一个点给1分)
(3分)
(2)关于原点对称的图形如图所示.(6分)
(每画对一个点给1分)(3)如图,点P(2,0)为所求.(8分)
((3)详解:由图可以看出A(1,1)、B(4,2),点A关于x轴对称的点A'(1,-1),连结A'B交x轴于点
P,则P点的坐标为(2,0),也可利用待定系数法求直线A'B的解析式,然后令y=0,解得x=2,从而
得到P点的坐标为(2,0))
22.解析 (1)抽查的学生人数为5÷10%=50(名).(2分)
(2)“体育活动”的人数为50×30%=15(名),
补全条形统计图如图所示:
(4分)
10
(3)“享受美食”所对应扇形的圆心角的度数为360°× =72°.(6分)
50
12
(4)估计该校九年级500名学生中采用“听音乐”的减压方式的人数为500× =120(名).(8
50
分)
评析 本题综合考查条形统计图和扇形统计图的识别、利用统计图获取信息以及用样本估
计总体的统计思想.熟练掌握各类统计图的具体特征,并能认真观察、分析、研究统计图,能
准确从中获取相关信息是解决此类题的关键,属容易题.
五、
23.解析 (1)证明:∵AB∥FC,∴∠A=∠ECF.(1分)
又∵∠AED=∠CEF,(2分)
且DE=FE,∴△ADE≌△CFE.(4分)
(2)解法一:∵AB∥FC,
∴△GBD∽△GCF,(5分)
GB BD
∴ = .(6分)
GC CF
2 1
∴ = ,∴CF=3.(7分)
2+4 CF
由(1)得△ADE≌△CFE,∴AD=CF=3,
∴AB=AD+DB=3+1=4.(8分)
解法二:如图,取BC的中点H,连结EH,
∵△ADE≌△CFE,∴AE=CE,
∴EH是△ABC的中位线,(5分)
1
∴EH∥AB,且EH= AB,
2
∴△GBD∽△GHE,(6分)
DB GB
∴ = ,(7分)
EH GH1 2
∴ = ,∴EH=2,
EH 2+2
∴AB=2EH=4.(8分)
六、
{x+2y=400,
24.解析 (1)设A型公交车每辆x万元,B型公交车每辆y万元,则 (2分)
2x+ y=350.
{x=100,
解得 (3分)
y=150.
∴A型公交车每辆100万元,B型公交车每辆150万元.(4分)
(2)设购买A型公交车a辆,则购买B型公交车(10-a)辆,
{100a+150(10-a)≤1 200,
依题意得 (6分)
60a+100(10-a)≥680,
解得6≤a≤8.(7分)
∵a为整数,∴a=6,7,8,
∴该公司有三种购车方案:
方案一:购买A型公交车6辆,B型公交车4辆;
方案二:购买A型公交车7辆,B型公交车3辆;
方案三:购买A型公交车8辆,B型公交车2辆.(8分)
解法一:设购车总费用为W万元,则W=100a+150(10-a),
即W=-50a+1 500(6≤a≤8,且a是整数),
此时,W随着a的增大而减小,
∴当a=8时,方案三的购车总费用最少,(9分)
即W =-50×8+1 500=1 100(万元).(10分)
最小
解法二:方案一的总费用为6×100+4×150=1 200(万元),
方案二的总费用为7×100+3×150=1 150(万元),
方案三的总费用为8×100+2×150=1 100(万元).
因为1 100<1 150<1 200,
所以方案三的购车总费用最少,(9分)
最少总费用是1 100万元.(10分)
注:第(2)问用完全列举法求出三种方案,并求出最小总费用的同样给满分6分.
评析 本题是方程组、不等式组与函数综合应用的方案设计问题,解题关键是认真审题,找出
题目所包含的等量关系和不等关系,列出方程组和不等式组以及函数关系式,再综合考虑自变
量范围以及函数的性质,从而确定所有设计方案以及最优方案.属较难题.
七、
25.解析 (1)BE=FH.(1分)
理由:在正方形ABCD中,∠B=90°,
∴∠BAE+∠AEB=90°.
∵∠AEF=90°,∴∠FEC+∠AEB=90°,
∴∠BAE=∠FEC.(2分)
∵FH⊥BC,∴∠B=∠FHE=90°,
又AE=EF,∴△ABE≌△EHF,(3分)
∴BE=FH.(4分)
(2)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ACB=45°,AB=BC.
∵△ABE≌△EHF,∴AB=EH=BC,
∴BC-EC=EH-EC,∴BE=CH.(5分)
∴ BFHE==FCHH,.∵
∵∠FHB=90°,∴∠FCH=45°,(6分)∴∠ACF=180°-∠ACB-∠FCH=180°-45°-45°=90°.(7分)
(3)解法一:∵∠AEF=90°,
∴AF是☉O的直径,
∴AF的中点即为圆心O.
连结OE,则OE⊥AF,
EO平分∠AEF,
∴∠AOE=90°,∠OEF=45°,
∴∠OEC=∠OEF+∠FEH=45°+15°=60°.(8分)
连结OC,由(2)知,∠ACF=90°,
1
∴OC= AF=OF=OE,∴△OEC是等边三角形,
2
∴OE=EC=4,即☉O的半径为4,(9分)
90π·4
⏜
∴
AE
的长为 =2π.(10分)
180
解法二:∵∠AEF=90°,∴AF是☉O的直径,
∴AF的中点即为圆心O.
连结OE,OC,∴∠AOE=∠FOE=90°.
1
∵∠ACF=90°,∴OC= AF=OF=OE,∴点C在☉O上.(8分)
2
∵∠FEC=15°,∴∠COF=30°,
∴∠EOC=180°-∠AOE-∠COF=180°-90°-30°=60°,
∴△OEC是等边三角形,
∴OE=EC=4,即☉O的半径为4,(9分)
90π·4
⏜
∴
AE
的长为 =2π.(10分)
180
评析 本题是一道以正方形为载体,集全等三角形、圆、等边三角形等知识为一体的证明与
计算综合题.本题有3个小题,第(1)小题较容易,第(2)小题属中等难度题,第(3)小题属中等偏难
题,其解题关键是巧妙添加辅助线.
八、
26.解析 (1)A(-1,0),B(2,3).(2分)
(2)过点P作PE⊥x轴,交直线AB于点E,交x轴于点F.
过点B作BG⊥PE于点G.
由(1)可知:当k=1时,抛物线的解析式为y=x2-1,
直线的解析式为y=x+1,
设点P(x,x2-1),则E(x,x+1),(3分)
∴PE=x+1-x2+1=-x2+x+2.
由(1)可知AF+BG=3.1 1
S =S +S = AF·PE+ BG·PE(4分)
△ABP △PAE △PBE 2 2
1 1
= (AF+BG)·PE= ×3×(-x2+x+2)
2 2
3
=- (x2-x-2)(5分)
2
3( 1) 2 27
=- x- + (-1<x<2),
2 2 8
1 27
∴当x= 时,△ABP的面积取得最大值,为 ,(6分)
2 8
(1 3)
此时,点P的坐标是 ,- .(7分)
2 4
(3)解法一:假设在直线y=kx+1上存在唯一一点Q,使得∠OQC=90°.
过点Q作QH⊥x轴于点H,设H(x,0),已知点Q为直线AB上一动点,则Q(x,kx+1),
令x2+(k-1)x-k=0,可得x=1,x=-k,
1 2
∴ kC>(-0k,∵,0),(8分)
∴CQ2=HC2+QH2=(x+k)2+(kx+1)2,
OQ2=HO2+QH2=x2+(kx+1)2.
∵∠OQC=90°,则CQ2+OQ2=OC2,
∴(x+k)2+(kx+1)2+x2+(kx+1)2=(-k)2,
化简得(k2+1)x2+3kx+1=0.(9分)
∵存在唯一一点Q,∴该方程有唯一解,
2√5
即Δ=(3k)2-4(k2+1)×1=0.解得k=± ,
5
2√5
∴ kk>=0,∵ .(10分)
5
解法二:假设在直线y=kx+1上存在唯一一点Q,使得∠OQC=90°.
过点Q作QH⊥x轴于点H,设H(x,0),已知点Q为直线AB上一动点,则Q(x,kx+1).
令x2+(k-1)x-k=0,可得x=1,x=-k,
1 2
∴ kC>(-0k,∵,0),(8分)
∴CH=x+k,QH=kx+1.
∵∠OQC=90°,∴∠CQH+∠HQO=90°,
又∠QOH+∠HQO=90°,∴∠CQH=∠QOH,
∵∠CHQ=∠QHO=90°,∴△QHC∽△OHQ,
CH QH
∴ = ,∴QH2=CH·HO,
QH HO
∴(kx+1)2=(x+k)·(-x),化简得(k2+1)x2+3kx+1=0.(9分)
(下同解法一)(10分)解法三:假设在直线y=kx+1上存在唯一一点Q,使得∠OQC=90°.
已知点Q为直线AB上一动点,则可设Q(x,kx+1).
令x2+(k-1)x-k=0,可得x=1,x=-k,
1 2
∴ kC>(-0k,∵,0).(8分)
( k )
设OC的中点为M,连结MQ,则M - ,0 ,
2
1
∵∠OQC=90°,∴QM= OC,
2
又∵QM= √ ( x+ k) 2 +(kx+1)2,OC=|-k|,
2
( k) 2 1
∴ x+ +(kx+1)2= (-k)2,
2 4
化简得(k2+1)x2+3kx+1=0.(9分)
(下同解法一)(10分)
评析 本题是较典型的以一次函数、二次函数为载体的压轴题,属较难题.题目设计具有梯度
性,第(1)小题虽然综合考查了一次函数、二次函数、一元二次方程与二次函数之间关系以及
用函数的观点解方程组等知识的应用,但解法易于思考,不要求写出解题过程,属容易题;第(2)
小题是一道利用二次函数最大值求三角形面积最大值的几何动点的探究问题,属中等偏难题,
解题关键是“动中取静”,选定某一位置,画出图形探究,列出函数关系式;第(3)小题属存在性
综合探究题,综合性较强,属较难题,通常也是借助图形,灵活应用相关的知识和数形结合、转
化、方程等数学思想,寻找解题切入点.
