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2018年北京市高级中等学校招生考试
(满分:100分 时间:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共16分)
一、选择题(本题共16分,每小题2分)
第1—8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个.
1.下列几何体中,是圆柱的为( )
2.实数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示,则正确的结论是( )
A.|a|>4 B.c-b>0 C.ac>0 D.a+c>0
3.方程组 的解为( )
A. B. C. D.
4.被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准
足球场的总面积.已知每个标准足球场的面积为7 140 m2,则FAST的反射面总面积约为( )
A.7.14×103 m2B.7.14×104 m2
C.2.5×105 m2 D.2.5×106 m2
5.若正多边形的一个外角是60°,则该正多边形的内角和为( )
A.360° B.540° C.720° D.900°
6.如果a-b=2 ,那么代数式 · 的值为( )
A. B.2 C.3 D.4
7.跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一.运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分,运动
员起跳后的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a≠0).下图记录
了某运动员起跳后的x与y的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出该运动员起跳后飞行到
最高点时,水平距离为( )A.10 m B.15 m
C.20 m D.22.5 m
8.下图是老北京城一些地点的分布示意图.在图中,分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平
面直角坐标系,
有如下四个结论:
①当表示天安门的点的坐标为(0,0),表示广安门的点的坐标为(-6,-3)时,表示左安门的点的坐标为(5,-
6);
②当表示天安门的点的坐标为(0,0),表示广安门的点的坐标为(-12,-6)时,表示左安门的点的坐标为
(10,-12);
③当表示天安门的点的坐标为(1,1),表示广安门的点的坐标为(-11,-5)时,表示左安门的点的坐标为
(11,-11);
④当表示天安门的点的坐标为(1.5,1.5),表示广安门的点的坐标为(-16.5,-7.5)时,表示左安门的点的坐
标为(16.5,-16.5).
上述结论中,所有正确结论的序号是( )
A.①②③ B.②③④ C.①④ D.①②③④
第Ⅱ卷(非选择题,共84分)
二、填空题(本题共16分,每小题2分)
9.如图所示的网格是正方形网格,∠BAC ∠DAE.(填“>”“=”或“<”)
10.若 在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是 .
11.用一组a,b,c的值说明命题“若a0)的图象G经过点A(4,1),直线l:y= x+b与图象G交于点B,
与y轴交于点C.
(1)求k的值;
(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象G在点A,B之间的部分与线段OA,OC,BC围成的区域
(不含边界)为W.
①当b=-1时,直接写出区域W内的整点个数;
②若区域W内恰有4个整点,结合函数图象,求b的取值范围.24.如图,Q是 与弦AB所围成的图形的内部的一定点,P是弦AB上一动点,连接PQ并延长交 于
点C,连接AC.已知AB=6 cm,设A,P两点间的距离为x cm,P,C两点间的距离为y cm,A,C两点间的距
1
离为y cm.
2
小腾根据学习函数的经验,分别对函数y,y 随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.
1 2
下面是小腾的探究过程,请补充完整:
(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量,分别得到了y,y 与x的几组对应值;
1 2
x/cm 0 1 2 3 4 5 6
y/cm 5.62 4.67 3.76 2.65 3.18 4.37
1
y/cm 5.62 5.59 5.53 5.42 5.19 4.73 4.11
2
(2)在同一平面直角坐标系xOy中,描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y ),(x,y ),并画出函数
1 2
y,y 的图象;
1 2
(3)结合函数图象,解决问题:当△APC为等腰三角形时,AP的长度约为 cm.
25.某年级共有300名学生.为了解该年级学生A,B两门课程的学习情况,从中随机抽取60名学生进行
测试,获得了他们的成绩(百分制),并对数据(成绩)进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
a.A 课 程 成 绩 的 频 数 分 布 直 方 图 如 下 ( 数 据 分 成 6
组:40≤x<50,50≤x<60,60≤x<70,70≤x<80,80≤x<90,90≤x≤100):
b.A课程成绩在70≤x<80这一组的是:
70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5
c.A,B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下:
课程 平均数 中位数 众数
A 75.8 m 84.5
B 72.2 70 83
根据以上信息,回答下列问题:
(1)写出表中m的值;
(2)在此次测试中,某学生的A课程成绩为76分,B课程成绩为71分,这名学生成绩排名更靠前的课程
是 (填“A”或“B”),理由是 ;
(3)假设该年级学生都参加此次测试,估计A课程成绩超过75.8分的人数.26.在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,
将点B向右平移5个单位长度,得到点C.
(1)求点C的坐标;
(2)求抛物线的对称轴;
(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.
27.如图,在正方形ABCD中,E是边AB上的一动点(不与点A,B重合),连接DE,点A关于直线DE的对
称点为F,连接EF并延长交BC于点G,连接DG,过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H,连接BH.
(1)求证:GF=GC;
(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系,并证明.
28.对于平面直角坐标系xOy中的图形M,N,给出如下定义:P为图形M上任意一点,Q为图形N上任
意一点,如果P,Q两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形M,N间的“闭距离”,记作d(M,N).
已知点A(-2,6),B(-2,-2),C(6,-2).
(1)求d(点O,△ABC);
(2)记函数y=kx(-1≤x≤1,k≠0)的图象为图形G.若d(G,△ABC)=1,直接写出k的取值范围;
(3)☉T的圆心为T(t,0),半径为1.若d(☉T,△ABC)=1,直接写出t的取值范围.2018年北京市高级中等学校招生考试
一、选择题
答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8
A B D C C A B D
1.A 选项A是圆柱,选项B是圆锥,选项C是四棱柱,选项D是四棱锥.故选A.
2.B 观察数轴可以发现,a<0且3<|a|<4,b<0且-10,ac<0,a+c<0,所以选项A、
C、D错误,选项B正确.故选B.
3.D ①×3-②得5y=-5,解得y=-1,把y=-1代入①得x=2,所以方程组的解为 故选D.
4.C 由题意可得FAST的反射面总面积为7 140×35=249 900=2.499×105≈2.5×105 m2.故选C.
5.C 由多边形外角和为360°,可知这个正多边形的边数为360°÷60°=6,由多边形内角和公式可知内角
和为180°×(6-2)=720°.故选C.
6.A · = · = · = .当a-b=2 时,原式= = .故选A.
7.B 由题图中给出的点可知,抛物线的最高点的横坐标在0到20之间.若最高点的横坐标为10,由对
称性可知,(0,54.0)关于对称轴的对称点为(20,54.0),而54.0<57.9,所以最高点的横坐标大于10.故选B.
8.D 当表示天安门的点的坐标为(0,0),表示广安门的点的坐标为(-6,-3)时,说明一个方格的边长为一
个单位长度,所以表示左安门的点的坐标为(5,-6),①正确;
当表示天安门的点的坐标为(0,0),表示广安门的点的坐标为(-12,-6)时,说明一个方格的边长为两个单
位长度,所以表示左安门的点的坐标为(10,-12),②正确;
当表示天安门的点的坐标为(1,1),表示广安门的点的坐标为(-11,-5)时,说明一个方格的边长为两个单
位长度,所以表示左安门的点的坐标为(11,-11),③正确;
当表示天安门的点的坐标为(1.5,1.5),表示广安门的点的坐标为(-16.5,-7.5)时,说明一个方格的边长为
三个单位长度,所以表示左安门的点的坐标为(16.5,-16.5),④正确.
①②③④都正确,故选D.
二、填空题
9. 答案 >
解析 如图.设网格小正方形的边长为1,可得AC=BC=2,
MN=AN= ,AM= ,∵∠ACB=90°,
∴∠BAC=45°,∵AM2=AN2+MN2,
∴∠MNA=90°,∴∠MAD=45°.
显然,∠DAE<∠MAD,∴∠BAC>∠DAE.
10. 答案 x≥0
解析 被开方数为非负数,所以x≥0.
11. 答案 1;2;-1(答案不唯一)
解析 由不等式的性质2可知,当c>0时,命题才是真命题,所以当c≤0时,命题为假命题,答案不唯一,
例如:1;2;-1.
12. 答案 70解析 ∵ = ,∴∠BAC=∠CAD=30°.又∵∠BDC=∠BAC=30°,∠ACD=50°,∴∠ADB=180°-30°-30°-
50°=70°.
13. 答案
解 析 ∵ 四 边 形 ABCD 是 矩 形 ,∴AB∥CD,CD=AB=4,BC=AD=3,∴∠DCA=∠CAB, 又
∠ DFC=∠AFE,∴△CDF∽△AEF,∴ = .∵E 是 边 AB 的 中
点,AB=4,∴AE=2.∵BC=3,AB=4,∠ABC=90°,∴AC=5.
∴ = ,∴CF= .
14. 答案 C
解析 由表格可知,A、B、C三条线路不超过45分钟的频数分别为376、222、477.因为222<376<477,
所以从甲地到乙地“用时不超过45分钟”可能性最大的是乘坐C线路上的公交车.
15. 答案 380
解析 两人船每人每小时的费用为45元,四人船每人每小时的费用为25元,六人船每人每小时的费
用为21 元,八人船每人每小时的费用为18.75元,所以多乘坐载人数多的船更省钱,同时最好不浪费位
置.若租用2条八人船、1条两人船,则总费用为150×2+90=390元;若租用八人船、六人船、四人船各1
条,则总费用为150+130+100=380元;若租用3条六人船,则总费用为130×3=390元.所以总费用最低为
380元.
16. 答案 3
解析 观察题中第一个图,由中国创新综合排名为全球第22,可以发现创新产出排名为全球第11,再
观察题中第二个图,创新产出排名为全球第11时,创新效率排名为全球第3.
三、解答题
17. 解析 (1)补全图形,如图所示:
(2)AP;CQ;三角形的中位线平行于三角形的第三边.
18. 解析 原式=4× +1-3 +1=2- .
19. 解析
由①得2x>-4,解得x>-2,由②得-3x>-9,解得x<3.
所以不等式组的解集为-20.
故方程有两个不相等的实数根.
(2)由题意可知,a≠0,Δ=b2-4a=0.
答案不唯一,如:当b=2,a=1时,方程为x2+2x+1=0,
∴(x+1)2=0,∴x =x=-1.
1 2
21. 解析 (1)证明:∵AB∥CD,∴∠OAB=∠DCA.
∵AC平分∠BAD,∴∠OAB=∠DAC,∴∠DCA=∠DAC,∴CD=AD.
又∵AB=AD,∴AB=CD,∴四边形ABCD为平行四边形.
又∵CD=AD=AB,∴四边形ABCD为菱形.
(2)∵四边形ABCD为菱形,∴OA=OC,BD⊥AC.
∵CE⊥AE,∴OE=AO=OC.∵BD=2,∴OB= BD=1.
在Rt△AOB中,AB= ,OB=1,
∴OA= =2,∴OE=2.
22. 解析 (1)证明:∵PC,PD是☉O的两条切线,
∴PD=PC,∠OPD=∠OPC,∴OP⊥CD.
(2)设OP与CD交于点Q,连接OD.
∵OD=OA,∴∠ODA=∠OAD=50°,
∵∠CBA=70°,∴∠ADC=110°,∴∠ODC=60°.
又∵OP⊥CD,∴∠OQD=90°,
∴OQ=OD·sin 60°=2× = ,DQ=OD·cos 60°=1.
∵PD是切线,∴∠PDO=90°,∴∠PDC=30°,
∴PQ=DQ·tan 30°=1× = .∴OP=PQ+QO= .
23. 解析 (1)由函数y= (x>0)的图象过点A(4,1),得k=1×4=4.
(2)①整点个数为3.
②如图,
若b>0,当直线过点(1,2)时,b= ,当直线过点(1,3)时,b= ,
∴ 70,A课程成绩比中位数低,B课程成绩比中位数高,故B课程名次更靠前.
(3)抽取的学生中A课程成绩超过75.8分的共有36人,所以估计A课程成绩超过75.8分的人数为
×300=180.
26. 解析 (1)将x=0代入y=4x+4得y=4,
∴B(0,4).
∵点B向右平移5个单位长度得到点C,
∴C(5,4).
(2)将y=0代入y=4x+4得x=-1,
∴A(-1,0).
将点A(-1,0)代入抛物线解析式y=ax2+bx-3a得0=a-b-3a,
即b=-2a,
∴抛物线的对称轴为直线x=- =- =1.
(3)抛物线始终过点A(-1,0),
且对称轴为直线x=1,
由抛物线的对称性可知抛物线也过点A关于直线x=1的对称点(3,0).
①a>0时,如图1.图1
将x=5代入抛物线的解析式得y=12a,∴12a≥4,∴a≥ .
②a<0,且抛物线顶点不在线段BC上时,如图2.
图2
将x=0代入抛物线得y=-3a,
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点,∴-3a>4,∴a<- .
若抛物线的顶点在线段BC上,则顶点为(1,4),如图3.
图3
将点(1,4)代入抛物线的解析式得4=a-2a-3a,∴a=-1.
综上所述,a≥ 或a<- 或a=-1.
27. 解析 (1)证明:如图,连接DF.
∵四边形ABCD为正方形,∴DA=DC=AB,∠A=∠C=∠ADC=90°.
又∵点A关于直线DE的对称点为F,∴△ADE≌△FDE,
∴DA=DF=DC,∠DFE=∠A=90°,∴∠DFG=90°.
在Rt△DFG和Rt△DCG中,∴Rt△DFG≌Rt△DCG(HL),∴GF=GC.
(2)线段BH与AE的数量关系:BH= AE.
证明:在线段AD上截取AM,使AM=AE,连接ME.
∵AD=AB,∴DM=BE.
由(1)得∠1=∠2,∠3=∠4,∵∠ADC=90°,
∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°,∴2∠2+2∠3=90°,
∴∠2+∠3=45°,∴∠EDH=45°.
∵EH⊥DE,∴DE=EH,∵∠DEH=90°,∠A=90°,
∴∠1+∠AED=90°,∠5+∠AED=90°,∴∠1=∠5.
在△DME和△EBH中,
∴△DME≌△EBH(SAS),∴ME=BH.
∵∠A=90°,AM=AE,∴ME= AE,∴BH= AE.
28. 解析 (1)如图1,点O到△ABC上的点的距离的最小值为2,即d(点O,△ABC)=2.
图1
(2)k的取值范围为-1≤k≤1且k≠0.提示:
如图1,y=kx(k≠0)的图象经过原点,在-1≤x≤1范围内,函数图象为线段.
当y=kx(-1≤x≤1,k≠0)的图象经过(1,-1)时,k=-1,
此时d(G,△ABC)=1;
当y=kx(-1≤x≤1,k≠0)的图象经过(-1,-1)时,k=1,
此时d(G,△ABC)=1.∴-1≤k≤1.∵k≠0,∴-1≤k≤1且k≠0.
(3)t的取值范围为t=4或0≤t≤4-2 或t=4+2 .
提示:
☉T与△ABC的位置关系分三种情况,如图2.
①☉T在△ABC的左侧时,d(☉T,△ABC)=1,此时t=-4;
②☉T在△ABC的内部时,d(☉T,△ABC)=1,
此时0≤t≤4-2 ;
③☉T在△ABC的右侧时,d(☉T,△ABC)=1,此时t=4+2 .
综上所述,t=-4或0≤t≤4-2 或t=4+2 .图2
