山西省2017年高中阶段教育学校招生统一考试
(满分:120分 时间:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共30分)
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.计算-1+2的结果是( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
2.如图,直线a,b被直线c所截,下列条件不能判定直线a与b平行的是( )
··
A.∠1=∠3 B.∠2+∠4=180° C.∠1=∠4 D.∠3=∠4
3.在体育课上,甲,乙两名同学分别进行了5次跳远测试,经计算他们的平均成绩相同.若要比较这两名同学的成绩哪一个更为稳定,通常需要比较他们成绩的( )
A.众数 B.平均数 C.中位数 D.方差
{2x-6≤0,
4.将不等式组 的解集表示在数轴上,下面表示正确的是( )
x+4>0
5.下列运算错误的是( )
··
9 1
A.(√3-1)0=1 B.(-3)2÷ =
4 4
C.5x2-6x2=-x2 D.(2m3)2÷(2m)2=m4
6.如图,将矩形纸片ABCD沿BD折叠,得到△BC'D,C'D与AB交于点E.若∠1=35°,则∠2的度数为( )
A.20° B.30° C.35° D.55°
4x x
7.化简 - 的结果是( )
x2-4 x-2
x x
A.-x2+2x B.-x2+6x C.- D.
x+2 x-2
8.2017年5月18日,我国宣布在南海神狐海域成功试采可燃冰,成为世界上首个在海域连续稳定产气的国家.据粗略估计,仅南海北部陆坡的可燃冰资源就达到186亿吨油当量,达到我国陆上石油资源总量的50%.数据186亿吨用科学记数法可表示为(
)
A.186×108吨 B.18.6×109吨
C.1.86×1010吨 D.0.186×1011吨9.公元前5世纪,毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数√2,导致了第一次数学危机.√2是无理数的证明如下:
假设 是有理数,那么它可以表示成q(p与q是互质的两个正整数).于是(q) 2 =( )2=2,所以,q2=2p2.于是q2是偶数,进而q是偶数.从而可设q=2m,所以(2m)2=2p2,p2=2m2,于是可得p也是偶数.这与“p与q是互质的两个正整数”矛盾,从而可知“ 是有
√2 √2 √2
p p
理数”的假设不成立,所以,√2是无理数.
这种证明“√2是无理数”的方法是( )
A.综合法 B.反证法
C.举反例法 D.数学归纳法
10.如图是某商品的标志图案.AC与BD是☉O的两条直径,首尾顺次连接点A,B,C,D,得到四边形ABCD.若AC=10 cm,∠BAC=36°,则图中阴影部分的面积为( )
A.5π cm2 B.10π cm2 C.15π cm2 D.20π cm2
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题(本大题共5个小题,每小题3分,共15分)
11.计算:4√18-9√2= .
12.某商店经销一种品牌的洗衣机,其中某一型号的洗衣机每台进价为a元,商店将进价提高20%后作为零售价进行销售,一段时间后,商店又以9折优惠价促销,这时该型号洗衣机的零售价为 元.
13.如图,已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,4),B(-1,1),C(-2,2).将△ABC向右平移4个单位,得到△A'B'C',点A,B,C的对应点分别为A',B',C',再将△A'B'C'绕点B'顺时针旋转90°,得到△A″B″C″,点A',B',C'的对应点分别为A″,B″,C″,则点A″的坐标为
.
14.如图,创新小组要测量公园内一棵树的高度AB,其中一名小组成员站在距离树10米的点E处,测得树顶A的仰角为54°.已知测角仪的架高CE=1.5米,则这棵树的高度为 米(结果保留一位小数.参考数据:sin 54°=0.809 0,cos 54°=0.587 8,tan
54°=1.376 4).
15.一副三角板按如图方式摆放,得到△ABD和△BCD,其中∠ADB=∠BCD=90°,∠A=60°,∠CBD=45°.E为AB的中点,过点E作EF⊥CD于点F.若AD=4 cm,则EF的长为 cm.
三、解答题(本大题共8个小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
16.(本题共2个小题,每小题5分,共10分)(1) -2
(1)计算:(-2)3+ -√8sin 45°;
3
(2)分解因式:(y+2x)2-(x+2y)2.
17.(本题6分)已知:如图,在▱ABCD中,延长AB至点E,延长CD至点F,使得BE=DF.连接EF,与对角线AC交于点O.
求证:OE=OF.
k
18.(本题7分)如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点O与坐标原点重合,其边长为2,点A,点C分别在x轴,y轴的正半轴上.函数y=2x的图象与CB交于点D,函数y= (k为常数,k≠0)的图象经过点D,与AB交于点E,与函数y=2x的图象在第三
x
象限内交于点F,连接AF,EF.
k
(1)求函数y= 的表达式,并直接写出E,F两点的坐标;
x
(2)求△AEF的面积.
19.(本题7分)“春种一粒粟,秋收万颗子”,唐代诗人李绅这句诗中的“粟”即谷子(去皮后则称为“小米”),被誉为中华民族的哺育作物.我省有着“小杂粮王国”的美誉,谷子作为我省杂粮谷物中的大类,其种植面积已连续三年全国第一.2016年全国谷
子种植面积为2 000万亩,年总产量为150万吨,我省谷子平均亩产量为160 kg,国内其他地区谷子的平均亩产量为60 kg.请解答下列问题:(1)求我省2016年谷子的种植面积是多少万亩;
(2)2017年,若我省谷子的平均亩产量仍保持160 kg不变,要使我省谷子的年总产量不低于52万吨,那么,今年我省至少应再多种植多少万亩的谷子?
20.(本题12分)从共享单车,共享汽车等共享出行到共享充电宝,共享雨伞等共享物品,各式各样的共享经济模式在各个领域迅速普及应用,越来越多的企业与个人成为参与者与受益者.根据国家信息中心发布的《中国分享经济发展报告2017》显示,2016
年我国共享经济市场交易额约为34 520亿元,比上年增长103%;超6亿人参与共享经济活动,比上年增加约1亿人.
如图是源于该报告中的中国共享经济重点领域市场规模统计图:
(1)请根据统计图解答下列问题:
①图中涉及的七个重点领域中,2016年交易额的中位数是 亿元;
②请分别计算图中的“知识技能”和“资金”两个重点领域从2015年到2016年交易额的增长率(精确到1%),并就这两个重点领域中的一个分别从交易额和增长率两个方面,谈谈你的认识;
(2)小宇和小强分别对共享经济中的“共享出行”和“共享知识”最感兴趣,他们上网查阅了相关资料,顺便收集到四个共享经济领域的图标,并将其制成编号为A,B,C,D的四张卡片(除编号和内容外,其余完全相同).他们将这四张卡片背面朝上,洗匀放
好,从中随机抽取一张(不放回),再从中随机抽取一张.请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率(这四张卡片分别用它们的编号A,B,C,D表示).
21.(本题7分)如图,△ABC内接于☉O,且AB为☉O的直径.OD⊥AB,与AC交于点E,与过点C的☉O的切线交于点D.
(1)若AC=4,BC=2,求OE的长;
(2)试判断∠A与∠CDE的数量关系,并说明理由.22.(本题12分)综合与实践
背景阅读 早在三千多年前,我国周朝数学家商高就提出:将一根直尺折成一个直角,如果勾等于三,股等于四,那么弦就等于五,即“勾三,股四,弦五”.它被记载于我国古代数学著作《周髀算经》中.为了方便,在本题中,我们把三边的比为3∶4∶5的三角形
称为(3,4,5)型三角形.例如:三边长分别为9,12,15或3√2,4√2,5√2的三角形就是(3,4,5)型三角形.用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形.
实践操作 如图1,在矩形纸片ABCD中,AD=8 cm,AB=12 cm.
第一步:如图2,将图1中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠,使点D落在AB上的点E处,折痕为AF,再沿EF折叠,然后把纸片展平.
第二步:如图3,将图2中的矩形纸片再次折叠,使点D与点F重合,折痕为GH,然后展平,隐去AF.
第三步:如图4,将图3中的矩形纸片沿AH折叠,得到△AD'H,再沿AD'折叠,折痕为AM,AM与折痕EF交于点N,然后展平.
图1 图2
图3 图4
问题解决
(1)请在图2中证明四边形AEFD是正方形;
(2)请在图4中判断NF与ND'的数量关系,并加以证明;
(3)请在图4中证明△AEN是(3,4,5)型三角形;
探索发现
(4)在不添加字母的情况下,图4中还有哪些三角形是(3,4,5)型三角形?请找出并直接写出它们的名称.
23.(本题14分)综合与探究
√3 2√3
如图,抛物线y=- x2+ x+3√3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接AC,BC.点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动,同时,点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动,当一个点停止运动时,
9 3
另一个点也随之停止运动,连接PQ.过点Q作QD⊥x轴,与抛物线交于点D,与BC交于点E.连接PD,与BC交于点F.设点P的运动时间为t秒(t>0).
(1)求直线BC的函数表达式;
(2)①直接写出P,D两点的坐标(用含t的代数式表示,结果需化简);
②在点P,Q运动的过程中,当PQ=PD时,求t的值;
(3)试探究在点P,Q运动的过程中,是否存在某一时刻,使得点F为PD的中点.若存在,请直接写出此时t的值与点F的坐标;若不存在,请说明理由.山西省2017年高中阶段教育学校招生统一考试
一、选择题
答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C D D A B A C C B B
1.C 异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,再用较大的绝对值减去较小的绝对值,所以-1+2=+(2-1)=1.
2.D A.∵∠1=∠3,∴a∥b,故A正确;
B.∵∠2+∠4=180°,∠2+∠1=180°,∴∠1=∠4,∵∠4=∠3,∴∠1=∠3,∴a∥b,故B正确;
C.∵∠1=∠4,∠4=∠3,∴∠1=∠3,∴a∥b,故C正确;
D.∠3和∠4是对顶角,不能判断a与b是否平行,故D错误.
故选D.
3.D 由于方差能反映数据的稳定性,即方差越小,数据越稳定,因此需要比较这两名同学跳远成绩的方差.故选D.
4.A 不等式2x-6≤0和x+4>0的解集分别为x≤3和x>-4,∴不等式组的解集为-4<x≤3,故A选项正确.
9 4
5.B 任何非零数的零次幂都是1,∴A正确;(-3)2÷ =9× =4,∴B错误;5x2-6x2=(5-6)x2=-x2,∴C正确;(2m3)2÷(2m)2=[22·(m3)2]÷(22·m2)=4m6÷(4m2)=(4÷4)(m6÷m2)=m4,∴D正确.
4 9
6.A ∵AB∥CD,∠C=90°,∴∠ABD=∠1=35°,∠DBC=90°-∠1=55°,由折叠的性质得∠DBC'=∠DBC=55°,∴∠2=∠DBC'-∠ABD=55°-35°=20°.
4x x 4x x 4x-x(x+2) 4x-x2-2x -x2+2x -x(x-2) x
7.C - = - = = = = =- .
x2-4 x-2 (x+2)(x-2) x-2 (x+2)(x-2) (x+2)(x-2) (x+2)(x-2) (x+2)(x-2) x+2
8.C 186亿吨=18 600 000 000吨=1.86×1010吨.
9.B 证明过程中假设√2是有理数,是反证法的特殊步骤,故选B.
72π×52
10.B ∵AC=10 cm,∴OC=5 cm,∵∠BAC=36°,∴∠AOD=∠BOC=72°,由“等底同高的两个三角形面积相等”可知,S =S ,S =S ,∴S =2S =2× =10π(cm2).
△BOC △BOA △DOA △DOC 阴影 扇形BOC 360
二、填空题
11. 答案 3√2
解析 4√18-9√2=12√2-9√2=(12-9)√2=3√2.
12. 答案 1.08a
解析 根据题意得,a·(1+20%)×90%=1.08a.故答案为1.08a.
13. 答案 (6,0)
解析 如图,点A″的坐标为(6,0).
14. 答案 15.3
解析 由题意知BD=CE=1.5米,CD=BE=10米,在Rt△ADC中,由锐角三角函数可得AD=CDtan∠ACD=10tan 54°=10×1.376 4=13.764米,所以AB=AD+BD=13.764+1.5=15.264≈15.3米.
15. 答案 (√2+√6)1 1
解析 如图,连接DE,过点E作EM⊥BD于点M,设EF交BD于点N,∵AD=4 cm,∠A=60°,∴AB=8 cm,DB=4√3 cm,∵点E为AB的中点,EM⊥BD,∴DE= AB=4 cm,EM= AD=2 cm,由等腰直角三角形的性质可知∠ENM=∠FND=45°,∴在Rt△ENM
2 2
1 √2
中,EN=√2EM=2√2cm,MN=EM=2 cm,∴DN=DM-MN= DB-MN=(2√3-2)cm,在Rt△DFN中,FN= DN=(√6-√2)cm,∴EF=EN+FN=2√2+√6-√2=(√2+√6)cm.
2 2
三、解答题
16. 解析 (1)(-2)3+(1) -2 - sin 45°=-8+9-2 ×√2(4分)
√8 √2
3 2
=1-2=-1.(5分)
(2)解法一:(y+2x)2-(x+2y)2
=[(y+2x)+(x+2y)][(y+2x)-(x+2y)](7分)
=(y+2x+x+2y)(y+2x-x-2y)(8分)
=(3x+3y)(x-y)(9分)
=3(x+y)(x-y).(10分)
解法二:(y+2x)2-(x+2y)2
=y2+4xy+4x2-(x2+4xy+4y2)(6分)
=y2+4xy+4x2-x2-4xy-4y2(7分)
=3x2-3y2(8分)
=3(x2-y2)(9分)
=3(x-y)(x+y).(10分)
17.
证明 证法一:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD.(2分)
∴ BAEB=+DBFE,=∵CD+DF,即AE=CF.(3分)
∵AB∥CD,∴AE∥CF,∴∠E=∠F,∠1=∠2,(4分)
∴△AOE≌△COF,(5分)
∴OE=OF.(6分)
证法二:连接AF,CE.∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD.(2分)
∴ BAEB=+DBFE,=∵CD+DF,即AE=CF.(3分)
∵AB∥CD,∴AE∥CF,(4分)
∴四边形AECF是平行四边形,(5分)
∴OE=OF.(6分)
18. 解析 (1)∵正方形OABC的边长为2,
∴点D的纵坐标为2,将y=2代入y=2x,得x=1,
∴点D的坐标为(1,2).(1分)
k k
∵函数y= 的图象经过点D,∴2= ,∴k=2,
x 1
k 2
∴函数y= 的表达式为y= .(2分)
x x
E(2,1),F(-1,-2).(4分)
(2)过点F作FG⊥AB,与BA的延长线交于点G.∵E,F两点的坐标分别为(2,1),(-1,-2),∴AE=1,(5分)
FG=2-(-1)=3,(6分)
1 1 3
∴△AEF的面积为 AE·FG= ×1×3= .(7分)
2 2 2
19. 解析 解法一:(1)设我省2016年谷子的种植面积为x万亩.
160 60
由题意,得 x+ (2 000-x)=150,(2分)
1 000 1 000
解得x=300.
答:我省2016年谷子的种植面积是300万亩.(3分)
(2)设我省今年应再多种植y万亩谷子,
160
由题意,得 (300+y)≥52,(5分)
1 000
解得y≥25.(6分)
答:我省今年至少应再多种植25万亩谷子.(7分)
解法二:(1)设我省2016年谷子的种植面积为x万亩,其他地区谷子的种植面积为y万亩,
{
x+ y=2 000,
由题意,得 (2分)
160 60
x+ y=150,
1 000 1 000
{ x=300,
解得
y=1 700.
答:我省2016年谷子的种植面积是300万亩.(3分)
160
(2)设我省今年应种植z万亩谷子.由题意,得 z≥52.(5分)
1 000
解得z≥325,325-300=25.(6分)
答:我省今年至少应再多种植25万亩谷子.(7分)
20. 解析 (1)①2 038.
610-200
②“知识技能”的增长率为 ×100%=205%.
200
20 863-10 000
“资金”的增长率为 ×100%≈109%.(4分)
10 000
对两个领域的认识,答案不唯一.例如:“知识技能”领域交易额较小,但增长率较高,达到200%以上,其发展速度惊人;“资金”领域交易额较大,2016年达到2万亿以上,成倍增长,带动了共享经济市场规模不断扩大.(6分)
(2)列表如下:
第二
张 A B C D
第一张
A (A,B) (A,C) (A,D)
B (B,A) (B,C) (B,D)
C (C,A) (C,B) (C,D)
D (D,A) (D,B) (D,C)
(8分)
或画树状图如下:(8分)
由列表(或画树状图)可知一共有12种可能出现的结果,且每种结果出现的可能性相同,其中抽到“共享出行”和“共享知识”的结果有2种.(11分)
2 1
所以,P(抽到“共享出行”和“共享知识”)= = .(12分)
12 6
21. 解析 (1)∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.
1 1
在Rt△ABC中,由勾股定理得AB=√AC2+BC2=√42+22=2√5,∴AO= AB= ×2√5=√5.(1分)
2 2
∵OD⊥AB,∴∠AOE=∠ACB=90°,
又∵∠A=∠A,∴△AOE∽△ACB,(2分)
OE AO CB·AO 2√5 √5
∴ = ,∴OE= = = .(3分)
CB AC AC 4 2
(2)∠CDE=2∠A.(4分)
理由如下:
证法一:连接OC.∵OA=OC,∴∠1=∠A.
∵CD是☉O的切线,∴OC⊥CD,
∴∠OCD=90°,∴∠2+∠CDE=90°.(5分)
∵OD⊥AB,∴∠2+∠3=90°,∴∠3=∠CDE.(6分)
∵∠3=∠A+∠1=2∠A,∴∠CDE=2∠A.(7分)
证法二:连接OC.∵CD是☉O的切线,
∴OC⊥CD,∴∠1+∠2=90°.
∵OD⊥AB,∴∠AOE=90°,∴∠A+∠3=90°.(5分)
∵OA=OC,∴∠1=∠A,∴∠2=∠3.(6分)
又∵∠3=∠4,∴∠2=∠4=∠3=90°-∠A,
∴∠CDE=180°-(∠2+∠4)=180°-2(90°-∠A)=180°-2×90°+2∠A=2∠A.(7分)
22. 解析 (1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠D=∠DAE=90°.由折叠知AE=AD,∠AEF=∠D=90°,(1分)
∴∠D=∠DAE=∠AEF=90°,∴四边形AEFD是矩形.(2分)
∴ A矩E形=AADE,F∵D是正方形.(3分)
(2)NF=ND'.
证明:连接HN.由折叠知∠AD'H=∠D=90°,HF=HD=HD'.(4分)
∵四边形AEFD是正方形,∴∠EFD=90°.
∵∠AD'H=90°,∴∠HD'N=90°.(5分)
{HN=HN,
在Rt△HNF和Rt△HND'中,
HF=HD',
∴Rt△HNF≌Rt△HND',∴NF=ND'.(6分)
(3)证明:∵四边形AEFD是正方形,∴AE=EF=AD=8 cm.
由折叠知AD'=AD=8 cm.设NF=x cm,则ND'=x cm,
AN=AD'+ND'=(8+x)cm,EN=EF-NF=(8-x)cm.(7分)
在Rt△AEN中,由勾股定理得AN2=AE2+EN2,即(8+x)2=82+(8-x)2,解得x=2,(8分)
∴AN=8+x=10(cm),EN=8-x=6(cm),
∴EN∶AE∶AN=6∶8∶10=3∶4∶5,
∴△AEN是(3,4,5)型三角形.(9分)
(4)△MFN,△MD'H,△MDA.(12分)
√3 2√3
23. 解析 (1)令y=0,得- x2+ x+3√3=0.
9 3
解得x=-3,x=9,∴点B的坐标为(9,0).(1分)
1 2
令x=0,得y=3√3,∴点C的坐标为(0,3√3).(2分)
设直线BC的函数表达式为y=kx+b(k≠0),
由B,C两点的坐标得{9k+b=0,(3分)
b=3√3,
{ √3
k=- ,
解得
3
b=3√3,
√3
∴直线BC的函数表达式为y=- x+3√3.(4分)
3
(2)①P(t
-3,
√3
t
),D(
9-2t,-
4√3
t2+
8√3
t
).(6分)
2 2 9 3
②过点P作PG⊥x轴于点G,PH⊥QD于点H.
∵QD⊥x轴,∴四边形PGQH是矩形,∴HQ=PG.(7分)
∵PQ=PD,PH⊥QD,∴DQ=2HQ=2PG.(8分)
∵P,D两点的坐标分别为(t √3 ), 9-2t,-4√3t2+8√3t ,∴-4√3t2+8√3t=2×√3t,(9分)
-3, t
2 2 9 3 9 3 2
15
解得t=0(舍去),t = ,
1 2
4
15
∴当PQ=PD时,t的值为 .(10分)
4
(3)存在.t=3,(12分)
F(3 11√3).(14分)
,
4 4
