山西省2021年初中学业水平考试
8
(满分:120分 考试时间:120分钟)
第Ⅰ卷 选择题(共30分)
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.计算-2+8的结果是( )
A.-6B.6 C.-10 D.10
2.为推动世界冰雪运动的发展,我国将于2022年举办北京冬奥会.在此之前进行了冬奥会会标的征集活动,以下是部分参选作品,其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A B C D
3.下列运算正确的是( )
A.(-m2n)3=-m6n3 B.m5-m3=m2
C.(m+2)2=m2+4 D.(12m4-3m)÷3m=4m3
4.
《中国核能发展报告2021》蓝皮书显示,2020年我国核能发电量为3 662.43亿千瓦时,相当于造林77.14万公顷.已知1公顷=104平方米,则数据77.14万公顷用科学记数法表示为( )
A.77.14×104平方米 B.7.714×107平方米
C.77.14×108平方米 D.7.714×109平方米
6
5.已知反比例函数y= ,则下列描述不正确的是( )
x
( 3)
A.图象位于第一,第三象限 B.图象必经过点 4,
2
C.图象不可能与坐标轴相交D.y随x的增大而减小
6.
每天登录“学习强国”App进行学习,在获得积分的同时,还可获得“点点通”附加奖励,李老师最近一周每日“点点通”收入明细如下表,则这组数据的中位数和众数分别是( )星期 一 二 三 四 五 六 日
收入(点) 15 21 27 27 21 30 21
A.27点,21点 B.21点,27点
C.21点,21点 D.24点,21点
7.
如图,在☉O中,AB切☉O于点A,连接OB交☉O于点C,过点A作AD∥OB交☉O于点D,连接CD.若∠B=50°,则∠OCD为( )
A.15° B.20°
C.25° D.30°
8.在勾股定理的学习过程中,我们已经学会了运用以下图形,验证著名的勾股定理.这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法,简称为“无字证明”.实际上它也可用于验证数与代数,图形与几何等领域中的许多数学公式和规
律,它体现的数学思想是( )
A.统计思想 B.分类思想
C.数形结合思想 D.函数思想
9.如图,正六边形ABCDEF的边长为2,以A为圆心,AC的长为半径画弧,得EC,连接AC,AE,则图中阴影部分的面积为( )
⏜
A.2πB.4π
√3 2√3
C. π D. π
3 3
10.抛物线的函数表达式为y=3(x-2)2+1,若将x轴向上平移2个单位长度,将y轴向左平移3个单位长度,则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为( )
A.y=3(x+1)2+3 B.y=3(x-5)2+3
C.y=3(x-5)2-1 D.y=3(x+1)2-1
第Ⅱ卷 非选择题(共90分)
二、填空题(本大题共5个小题,每小题3分,共15分)
11.计算: + = .
√12 √27
12.如图是一片枫叶标本,其形状呈“掌状五裂型”,裂片具有少数突出的齿.将其放在平面直角坐标系中,表示叶片“顶部”A,B两点的坐标分别为(-2,2),(-3,0),则叶杆“底部”点C的坐标为 .
13.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,BD=8,AC=6,OE∥AB,交BC于点E,则OE的长为 .
14.太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路,于2020年12月26日开通.如图是该地铁某站扶梯的示意图,扶梯AB的坡度i=5∶12(i为铅直高度与水平宽度的比).王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达
扶梯顶端B,则王老师上升的铅直高度BC为 米.
15.如图,在△ABC中,点D是AB边上的一点,且AD=3BD,连接CD并取CD的中点E,连接BE,若∠ACD=∠BED=45°,且CD=6 ,则AB的长为 .
√2
三、解答题(本大题共8个小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
16.(本题共2个小题,每小题5分,共10分)
(1) 2
(1)计算:(-1)4×|-8|+(-2)3× .
2
(2)下面是小明同学解不等式的过程,请认真阅读并完成相应任务.
2x-1 3x-2
> -1
3 2
解:2(2x-1)>3(3x-2)-6第一步
4x-2>9x-6-6第二步
4x-9x>-6-6+2第三步
-5x>-10第四步
x>2第五步
任务一:填空:①以上解题过程中,第二步是依据 (运算律)进行变形的;
②第 步开始出现错误,这一步错误的原因是 ;
任务二:请直接写出该不等式的正确解集.17.(本题6分)2021年7月1日是建党100周年纪念日,在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数(如图所示),若圈出的四个数中,最小数与最大数的乘积为65,求这个最小数(请用方程知识解答).
18.(本题7分)太原武宿国际机场简称“太原机场”,是山西省开通的首条定期国际客运航线.游客从太原某景区乘车到太原机场,有两条路线可供选择,路线一:走迎宾路经太榆路全程是25千米,但交通比较拥堵;路线二:走太原环城高速
5
全程是30千米,平均速度是路线一的 倍,因此到达太原机场的时间比走路线一少用7分钟,求走路线一到达太原机场需要多长时间.
3
19.(本题10分)近日,教育部印发了《关于举办第三届中华经典诵写讲大赛的通知》,本届大赛以“传承中华经典,庆祝建党百年”为主题,分为“诵读中国”经典
诵读,“诗教中国”诗词讲解,“笔墨中国”汉字书写,“印记中国”印章篆刻比赛四类(依次记为A,B,C,D).为了解同学们参与这四类比赛的意向,某校学生会从有意向参与比赛的学生中随机抽取若干名学生进行了问卷调查(调查问卷如右
图所示),所有问卷全部收回,并将调查结果绘制成如下所示的统计图和统计表(均不完整).类别 占调查总人数的百分比
A 70%
B 30%
C m
D 20%
请根据图表提供的信息,解答下列问题:
(1)参与本次问卷调查的总人数为 ,统计表中C的百分比m为 ;
(2)请补全统计图;
(3)小华想用扇形统计图反映有意向参与各类比赛的人数占被调查总人数的百分比,是否可行?若可行,求出表示C类比赛的扇形圆心角的度数;若不可行,请说明理由;
(4)学校“诗教中国”诗词讲解大赛初赛的规则是:组委会提供“春”“夏”“秋”“冬”四组题目(依次记为C,X,Q,D),由电脑随机给每位参赛选手派发一组,选手根据题目要求进行诗词讲解.请用列表或画树状图的方法求甲,乙两名
选手抽到的题目在同一组的概率.
20.(本题8分)阅读与思考
请阅读下列科普材料,并完成相应的任务.
任务:(1)请根据以上材料简要说明图算法的优越性;
(2)请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性:
1 1 1
①用公式 = + 计算:当R =7.5,R =5时,R的值为多少;
R R R 1 2
1 2
②如图,在△AOB中,∠AOB=120°,OC是△AOB的角平分线,OA=7.5,OB=5,用你所学的几何知识求线段OC的长.
21.(本题8分)某公园为引导游客观光游览公园的景点,在主要路口设置了导览指示牌.某校“综合与实践”活动小组想要测量此指示牌的高度,他们绘制了该指示牌支架侧面的截面图如图所示,并测得AB=100 cm,BC=80
cm,∠ABC=120°,∠BCD=75°,四边形DEFG为矩形,且DE=5 cm.请帮助该小组求出指示牌最高点A到地面EF的距离(结果精确到0.1 cm.参考数据:sin 75°≈0.97,cos 75°≈0.26,tan 75°≈3.73,√2≈1.41).22.(本题13分)综合与实践
问题情境:数学活动课上,老师出示了一个问题:如图①,在▱ABCD中,BE⊥AD,垂足为E,F为CD的中点,连接EF,BF,试猜想EF与BF的数量关系,并加以证明;
独立思考:(1)请解答老师提出的问题;
实践探究:(2)希望小组受此问题的启发,将▱ABCD沿着BF(F为CD的中点)所在直线折叠,如图②,点C的对应点为C',连接DC'并延长交AB于点G,请判断AG与BG的数量关系,并加以证明;
问题解决:(3)智慧小组突发奇想,将▱ABCD沿过点B的直线折叠,如图③,点A的对应点为A',使A'B⊥CD于点H,折痕交AD于点M,连接A'M,交CD于点N.该小组提出一个问题:若此▱ABCD的面积为20,边长AB=5,BC=2√5,求图中阴
影部分(四边形BHNM)的面积.请你思考此问题,直接写出结果.
图③
23.(本题13分)综合与探究
1
如图,抛物线y= x2+2x-6与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接AC,BC.
2
(1)求A,B,C三点的坐标并直接写出直线AC,BC的函数表达式;
(2)点P是直线AC下方抛物线上的一个动点,过点P作BC的平行线l,交线段AC于点D.
①试探究:在直线l上是否存在点E,使得以点D,C,B,E为顶点的四边形为菱形,若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由;
②设抛物线的对称轴与直线l交于点M,与直线AC交于点N.当S =S 时,请直接写出DM的长.
△DMN △AOC
8 山西省2021年初中学业水平考试
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B B A D D C B C A C1.B -2+8=6.故选B.
2.B 四个选项中,只有选项B中的图案沿某条直线(对称轴)折叠后,直线两旁的部分可重合,同时绕某一点(旋转中心)旋转180°后可与原图案重合.故选B.
3.A (-m2n)3=-m6n3,选项A正确;m5与m3不是同类项,无法合并,选项B错误;(m+2)2=m2+4m+4,选项C错误;(12m4-3m)÷3m=4m3-1,选项D错误.故选A.
4.D 77.14万公顷=77.14×104×104平方米=7.714×109平方米,故选D.
5.D 因为k=6>0,所以反比例函数的图象位于第一、三象限,故A中描述正确;把( 3)代入y=6成立,故B中描述正确;反比例函数的图象无限接近x轴,y轴,但不与坐标轴相交,故C中描述正确;对于反比例函数y=6,在每个象限内,y
4,
2 x x
随x的增大而减小,故D中描述错误.故选D.
6.C 把这组数据按从小到大的顺序排列为15,21,21,21,27,27,30,位于最中间的数是21,所以这组数据的中位数是21点;21也是这组数据中出现次数最多的数据,所以众数是21点,故选C.
7.B 连接OA,由题意知∠OAB=90°,又∠B=50°,∴∠AOB=40°.根据圆周角定理得∠D=20°.
∵AD∥OB,∴∠OCD=∠D=20°,故选B.
8.C 运用四个全等的直角三角形进行组合,形成如题图所给的两种图形,利用面积表达式可以验证勾股定理,它体现了数形结合思想,故选C.
9.A 由题意易知正六边形的每个内角为120°,即∠ABC=∠FAB=∠AFE=120°,又AB=BC=AF=EF,∴∠EAF=∠CAB=30°,∴∠EAC=120°-30°-30°=60°.
在△AEF中,EF=AF=2,则AE=2×2×cos 30°=2√3.
60π·(2√3)2
故S = =2π.故选A.
阴影 360
10.C 将x轴向上平移2个单位长度,将y轴向左平移3个单位长度相当于将抛物线向下平移2个单位长度,向右平移3个单位长度.则平移后的抛物线的函数表达式为y=3(x-2-3)2+1-2,即y=3(x-5)2-1,故选C.
二、填空题
11.答案 5√3
解析 √12+√27=2√3+3√3=5√3.
12.答案 (2,-3)
解析 根据点A和点B的坐标可作平面直角坐标系如图,可知点C的坐标为(2,-3).
5
13.答案
2
1 1 1 5
解析 ∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OB= BD=4,OC= AC=3,根据勾股定理得BC=5.∵OE∥AB,OA=OC,∴BE=CE,∴OE是Rt△OBC斜边上的中线,∴OE= BC= .
2 2 2 2
100
14.答案
13
20 100
解析 王老师乘坐扶梯所走的路程AB=0.5×40=20米.根据扶梯AB的坡度i=5∶12,设BC=5x米,则AC=12x米,根据勾股定理得AB2=BC2+AC2,即202=(5x)2+(12x)2,解得x= ,所以BC= 米.
13 13
15.答案 4√13
解析 过点B作BF∥AC,交CD的延长线于点F,
AD CD
∴△ACD∽△BFD,∴∠ACD=∠F=45°, = =3,
BD DF
∵CD=6√2,∴DF=2√2,
∵∠BED=∠F=45°,∴△BEF为等腰直角三角形,
√2
∴BE= EF,
2∵点E为CD的中点,CD=6√2,∴DE=3√2,
∴EF=DE+DF=5√2,∴BE=5,
过点D作DG⊥BE,垂足为G,
∵∠BED=45°,∴△EDG为等腰直角三角形,
∴EG=DG=3,∴BG=BE-EG=2.
在Rt△BDG中,根据勾股定理得BD= = = ,
√DG2+BG2 √32+22 √13
∴AD=3BD=3√13,则AB=AD+BD=4√13.
三、解答题
1
16.解析 (1)原式=1×8+(-8)× (4分)
4
=8+(-2)=6.(5分)
(2)任务一:①乘法分配律(或分配律)
②五;不等式两边都除以-5,不等号的方向没有改变(或不符合不等式的性质3)(9分)
任务二:x<2.(10分)
17.解析 设这个最小数为x.(1分)
根据题意,得x(x+8)=65.(3分)
解得x=5,x=-13(不符合题意,舍去).(5分)
1 2
答:这个最小数为5.(6分)
18.解析 设走路线一到达太原机场需要x分钟.(1分)
5 25 30
根据题意,得 × = .(4分)
3 x x-7
解得x=25.(5分)
经检验,x=25是原方程的解,且符合题意.(6分)
答:走路线一到达太原机场需要25分钟.(7分)
19.解析 (1)120;50%.(2分)
84
详解:参与本次问卷调查的总人数为 =120.
70%
60
统计表中C的百分比m= ×100%=50%.
120
(2)如图.(3分)
(3)不可行.(4分)
理由:答案不唯一.如:由统计表可知,70%+30%+50%+20%>1,即有意向参与比赛的人数占调查总人数的百分比之和大于1;或84+60>120,即有意向参与A类与C类比赛的人数之和大于总人数120等. (5分)
(4)列表如下:乙
C X Q D
甲
C (C,C) (C,X) (C,Q) (C,D)
X (X,C) (X,X) (X,Q) (X,D)
Q (Q,C) (Q,X) (Q,Q) (Q,D)
D (D,C) (D,X) (D,Q) (D,D)
(7分)
或画树状图如下:
(7分)
由列表(或画树状图)可知,总共有16种结果,每种结果出现的可能性都相同.其中甲,乙两名选手抽到的题目在同一组的结果有4种.(9分)
4 1
所以P(抽到的题目在同一组)= = .(10分)
16 4
20.解析 (1)答案不唯一,如:图算法方便,直观;或不用公式计算即可得出结果等.(2分)
1 1 1 1 1 7.5+5 1
(2)①当R =7.5,R =5时, = + = + = = .(3分)
1 2 R R R 7.5 5 7.5×5 3
1 2
∴R=3.(4分)
②过点A作AM∥CO,交BO的延长线于点M.(5分)
1 1
∵OC平分∠AOB,∴∠1=∠2= ∠AOB= ×120°=60° .
2 2
∵AM∥CO,∴∠3=∠2=60°,∠M=∠1=60° .
∴∠3=∠M=60°,∴OA=OM.
∴△OAM为等边三角形.(6分)
∴OM=AM=OA=7.5 .
∵∠B=∠B,∠1=∠M,∴△BCO∽△BAM.
OC BO
∴ = .(7分)
MA BM
OC 5
∴ = ,∴OC=3.(8分)
7.5 5+7.5
21.解析 过点A作AH⊥EF于点H,交直线DG于点M.过点B作BN⊥DG于点N,BP⊥AH于点P.则四边形BNMP和四边形DEHM均为矩形.(2分)
∴PM=BN,MH=DE=5 cm,BP∥DG.∴∠CBP=∠BCD=75°.(3分)
∴∠ABP=∠ABC-∠CBP=120°-75°=45°.(4分)
AP
在Rt△ABP中,∠APB=90°,sin 45°= ,
AB
√2
∴AP=AB·sin 45°=100× =50√2.(5分)
2
BN
在Rt△BCN中,∠BNC=90°,sin 75°= ,
BC
∴BN=BC·sin 75°≈80×0.97 =77.6.(6分)
∴PM=BN=77.6.
∴AH=AP+PM+MH=50√2+77.6+5≈50×1.41+77.6+5=153.1.(7分)
答:指示牌最高点A到地面EF的距离为153.1 cm.(8分)
22.解析 (1)EF=BF.(1分)
证法一:如图,分别延长AD,BF相交于点Q.(2分)
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.
∴∠2=∠C,∠Q=∠1.
∵F为CD的中点,∴DF=CF.
∴△QDF≌△BCF.(3分)
1
∴FQ=FB,即F为BQ的中点.∴BF= BQ.(4分)
2
∵BE⊥AD,∴∠BEQ=90°,
1
∴在Rt△BEQ中,EF= BQ.∴EF=BF.(5分)
2
证法二:如图,过点F作FO⊥EB于点O,(2分)
则∠EOF=90°.∵BE⊥AD,∴∠AEB=90°.
∴∠AEB=∠EOF.∴AD∥FO.(3分)
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,
EO DF
∴AD∥FO∥BC,∴ = .(4分)
OB FC
∵F为CD的中点,∴DF=FC.
∴EO=OB.
∵FO⊥EB,∴FO垂直平分EB,∴EF=BF.(5分)
(2)AG=BG.(6分)
1
证法一:如图,由折叠可知∠1=∠2= ∠CFC'.FC'=FC.(7分)
21
∵F为CD的中点,∴FC=FD= CD,∴FC'=FD.
2
1
∴∠3=∠4,∵∠CFC'=∠3+∠4,∴∠4= ∠CFC'.
2
∴∠4=∠1,∴DG∥FB.(8分)
∵四边形ABCD为平行四边形,∴DC∵AB.
∴四边形DGBF为平行四边形.(9分)
1
∴BG=DF.∴BG= AB,∴AG=BG.(10分)
2
证法二:连接CC'交FB于K.由折叠可知FC'=FC,CC'⊥FB .
∴∠C'KB=90°.(7分)
1
∵F为CD的中点,∴FC=FD= CD,∴FC'=FD.
2
∴∠1=∠2.∵FC'=FC,∴∠FC'C=∠FCC'.
在△DC'C中,∠1+∠DC'C+∠DCC'=180°,
∴∠1+∠2+∠FC'C+∠FCC'=180°.
∴2∠2+2∠FC'C=180°.
∴∠2+∠FC'C=90°,∴∠DC'C=90°.
∴∠DC'C=∠C'KB,∴DG∥FB.(8分)
∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∵AB.
∴四边形DGBF是平行四边形.(9分)
1
∴BG=FD,∴BG= AB,∴AG=BG.(10分)
2
22
(3) .(13分)
3
详解:过点D作DP⊥AB,垂足为点P.
∵▱ABCD的面积为20,AB=5,∴DP=4=BH,
∵BC=AD=2 ,∴AP= = =2,
√5 √AD2-DP2 √(2√5)2-42
DP 4
∴tan A= = =2,∴ AAB'H==A1',B=5,BH=4,∵
AP 2
NH NH
∵tan A'=tan A= = =2,
A'H 1
1
∴NH=2,∴S = ×2×1=1.
△A'HN
2
过点M作MS⊥AB,垂足为S,
∵AB∥CD,A'B⊥CD,∴BH⊥AB,由翻折可得∠ABM=∠MBH=45°,
∴△BMS为等腰直角三角形,MS=BS,
MS 1
∵tan A= =2,∴AS= BS,
AS 2
10
∴ ABSS=+BS==AMBS=,5,∵
3
1 1 10 25
∴S =S = AB·MS= ×5× = ,
△ABM △A'BM
2 2 3 3
25 22
∴S =S -S = -1= .
阴影 △A'BM △A'HN 3 3
1
23.解析 (1)当y=0时, x2+2x-6=0,解得x=-6,x=2.
1 2
2
∵点A在点B的左侧,∴点A的坐标为(-6,0),(1分)
点B的坐标为(2,0).(2分)
当x=0时,y=-6,∴点C的坐标为(0,-6).(3分)
直线AC的函数表达式为y=-x-6.(4分)
直线BC的函数表达式为y=3x-6.(5分)
(2)①存在.设点D的坐标为(m,-m-6),其中-6<m<0.(6分)
∵点B,点C的坐标分别为(2,0),(0,-6),
∴BD2=(m-2)2+(m+6)2,BC2=22+62=40,DC2=m2+m2=2m2.
∵DE∥BC,
∴当DE=BC时,以D,C,B,E为顶点的四边形是平行四边形.
如图1,当BD=BC时,▱BDEC是菱形.
∴(m-2)2+(m+6)2=40.(7分)
解得m=-4,m =0(舍去),
1 2
∴点D的坐标为(-4,-2).
∴点E的坐标为(-6,-8).(8分)
如图2,当CD=CB时,▱CBED是菱形,∴2m2=40.(9分)
解得m=-2√5,m=2√5(舍去).
1 2
∴点D的坐标为(-2√5,2√5-6).
∴点E的坐标为(2-2√5,2√5).
综上所述,存在点E,使得以D,B,C,E为顶点的四边形为菱形,且点E的坐标为(-6,-8)或(2-2√5,2√5).(10分)
图1图2
②3√10.(13分)
详解:由题意知,抛物线的对称轴为直线x=-2.
设直线DM的解析式为y=3x+k,
当x=-2时,y=-x-6=-4,∴点N的坐标为(-2,-4),
当x=-2时,y=3x+k=-6+k,∴点M的坐标为(-2,-6+k),
当点D在点N下方时,-6<k<2,
-k-6 -k-6
令-x-6=3x+k,解得x= ,即点D的横坐标为 ,
4 4
-k-6 k 1
点D到直线MN的距离为 -(-2)=- + ,
4 4 2
∴MN=-4-(-6+k)=2-k,
∴S
△DMN
=1×(2-k)·(
-
k
+
1)=S
△AOC
=1×6×6,
2 4 2 2
化简得(2-k)2=144,解得k=-10(舍)或k=14(舍),
-k-6 1 k
当点D在点N上方时,2<k<18,点D到直线MN的距离为-2- =- + ,MN=-6+k-(-4)=k-2,
4 2 4
∴S
△DMN
=1(k-2)·(
-
1
+
k)=S
△AOC
=1×6×6,
2 2 4 2
化简得(k-2)2=144,解得k=-10(舍)或k=14,
∴点D的坐标为(-5,-1),点M的坐标为(-2,8),
∴DM= =3 .
√32+92 √10
