2021年陕西省初中学业水平考试
9
(满分:120分 考试时间:120分钟)
第一部分 (选择题 共24分)
一、选择题(共8小题,每小题3分,计24分.每小题只有一个选项是符合题意的)
1.计算:3×(-2)=( )
A.1 B.-1C.6 D.-6
2.下列图形中,是轴对称图形的是( )
A B C D
3.计算:(a3b)-2=( )
1 1
A. B.a6b2 C. D.-2a3b
a6b2 a5b2
4.如图,点D、E分别在线段BC、AC上,连接AD、BE.若∠A=35°,∠B=25°,∠C=50°,则∠1的大小为( )
A.60° B.70° C.75° D.85°
AC
5.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°.连接AC、BD,则 的值为( )
BD
1 √2 √3 √3
A. B. C. D.
2 2 2 3
6.在平面直角坐标系中,若将一次函数y=2x+m-1的图象向左平移3个单位后,得到一个正比例函数的图象,则m的值为( )
A.-5B.5 C.-6D.6
7.如图,AB、BC、CD、DE是四根长度均为5 cm的火柴棒.点A、C、E共线.若AC=6 cm,CD⊥BC,则线段CE的长度为( )A.6 cm B.7 cm C.6 cm D.8 cm
√2
8.下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值:
x … -2 0 1 3 …
y … 6 -4 -6 -4 …
下列各选项中,正确的是( )
A.这个函数的图象开口向下B.这个函数的图象与x轴无交点
C.这个函数的最小值小于-6D.当x>1时,y的值随x值的增大而增大
第二部分(非选择题 共96分)
二、填空题(共5小题,每小题3分,计15分)
9.分解因式:x3+6x2+9x= .
10.正九边形一个内角的度数为 .
11.幻方,最早源于我国,古人称之为纵横图.如图所示的幻方中,各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等,则图中a的值为 .
-1 -6 1
0 a -4
-5 2 -3
12.若A(1,y
1
),B(3,y
2
)是反比例函数y=2m-1(
m<
1)图象上的两点,则y
1
、y
2
的大小关系是y
1
y
2
.(填“>”“=”或“<”)
x 2
13.如图,正方形ABCD的边长为4,☉O的半径为1.若☉O在正方形ABCD内平移(☉O可以与该正方形的边相切),则点A到☉O上的点的距离的最大值为 .
三、解答题(共13小题,计81分.解答应写出过程)
14.(本题满分5分)
计算:( 1) 0 +|1- |- .
- √2 √8
215.(本题满分5分)
{
x+5<4,
解不等式组:
3x+1
≥2x-1.
2
16.(本题满分5分)
x-1 3
解方程: - =1.
x+1 x2-1
17.(本题满分5分)
如图,已知直线l∥l,直线l 分别与l、l 交于点A、B.请用尺规作图法,在线段AB上求作一点P,使点P到l、l 的距离相等.(保留作图痕迹,不写作法)
1 2 3 1 2 1 2
18.(本题满分5分)
如图,BD∥AC,BD=BC,点E在BC上,且BE=AC.求证:∠D=∠ABC.19.(本题满分5分)
一家商店在销售某种服装(每件的标价相同)时,按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额,与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等.求这种服装每件的标价.
20.(本题满分5分)
从一副普通的扑克牌中取出四张牌,它们的牌面数字分别为2,3,3,6.
(1)将这四张扑克牌背面朝上,洗匀,从中随机抽取一张,则抽取的这张牌的牌面数字是3的概率为 ;
(2)将这四张扑克牌背面朝上,洗匀.从中随机抽取一张,不放回,再从剩余的三张牌中随机抽取一张.请利用画树状图或列表的方法,求抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率.
21.(本题满分6分)
一座吊桥的钢索立柱AD两侧各有若干条斜拉的钢索,大致如图所示.小明和小亮想用测量知识测较长钢索AB的长度.他们测得∠ABD为30°,由于B、D两点间的距离不易测得,通过探究和测量,发现∠ACD恰好为45°,点B与点C之间
的距离约为16 m.已知点B、C、D共线,AD⊥BD.求钢索AB的长度.(结果保留根号)22.(本题满分7分)
今年9月,第十四届全国运动会将在陕西省举行.本届全运会主场馆在西安,开幕式、闭幕式均在西安举行.某校气象兴趣小组的同学们想预估一下西安市今年9月份日平均气温状况.他们收集了西安市近五年9月份每天的日平均气温,
从中随机抽取了60天的日平均气温,并绘制成如下统计图:
根据以上信息,回答下列问题:
(1)这60天的日平均气温的中位数为 ,众数为 ;
(2)求这60天的日平均气温的平均数;
(3)若日平均气温在18 ℃~21 ℃的范围内(包含18 ℃和21 ℃)为“舒适温度”.请预估西安市今年9月份日平均气温为“舒适温度”的天数.
23.(本题满分7分)
在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中,“鼠”先从起点出发,1 min后,“猫”从同一起点出发去追“鼠”,抓住“鼠”并稍作停留后,“猫”抓着“鼠”沿原路返回.“鼠”“猫”距起点的距离y(m)与时间x(min)之间的关系如图所
示.
(1)在“猫”追“鼠”的过程中,“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是 m/min;
(2)求AB的函数表达式;
(3)求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间.24.(本题满分8分)
如图,AB是☉O的直径,点E、F在☉O上,且 =2 ,连接OE、AF,过点B作☉O的切线,分别与OE、AF的延长线交于点C、D.
BF BE
⏜ ⏜
(1)求证:∠COB=∠A;
(2)若AB=6,CB=4,求线段FD的长.
25.(本题满分8分)
已知抛物线y=-x2+2x+8与x轴交于点A、B(点A在点B左侧),与y轴交于点C.
(1)求点B、C的坐标;
(2)设点C'与点C关于该抛物线的对称轴对称.在y轴上是否存在点P,使△PCC'与△POB相似,且PC与PO是对应边?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
26.(本题满分10分)
问题提出
(1)如图1,在▱ABCD中,∠A=45°,AB=8,AD=6,E是AD的中点,点F在DC上,且DF=5.求四边形ABFE的面积;(结果保留根号)
问题解决
(2)某市进行河滩治理,优化美化人居生态环境.如图2所示,现规划在河畔的一处滩地上建一个五边形河畔公园ABCDE.按设计要求,要在五边形河畔公园ABCDE内挖一个四边形人工湖OPMN,使点O、P、M、N分别在边BC、CD、
AE、AB上,且满足BO=2AN=2CP,AM=OC.已知在五边形ABCDE中,∠A=∠B=∠C=90°,AB=800 m,BC=1 200 m,CD=600 m,AE=900 m.为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要,想让人工湖面积尽可能小.请问,是否存在符合设
计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN?若存在,求四边形OPMN面积的最小值及这时点N到点A的距离;若不存在,请说明理由.9 2021年陕西省初中学业水平考试
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
D B A B D A D C
1.D 3×(-2)=-6.故选D.
2.B 如果把一个图形沿某条直线对折,直线两边的部分能完全重合,那么这样的图形是轴对称图形,只有B选项中图形符合.故选B.
1
3.A (a3b)-2=a3×(-2)b-2=a-6b-2= .故选A.
a6b2
4.B 在△BEC中,∠AEB=∠B+∠C=75°,又∠A=35°,∴∠1=180°-∠AEB-∠A=180°-110°=70°.故选B.
5.D 设AC与BD相交于点O,∵四边形ABCD是菱形,∴AO⊥BO,BD=2BO,AC=2AO.
AO √3 AC AO √3
在Rt△ABO中,易知 =tan 30°= ,∴ = = .故选D.
BO 3 BD BO 3
6.A 将一次函数y=2x+m-1的图象向左平移3个单位后,得到的图象对应的函数为y=2(x+3)+m-1=2x+m+5,因为平移后的图象经过原点,所以m+5=0,即m=-5.故选A.
7.D 过点B,D分别作BF⊥AC于点F,DG⊥CE于点G,∴∠BCF+∠FBC=90°,∵CD⊥BC,∴∠BCF+∠DCG=90°,∴∠FBC=∠DCG,又∵BC=CD,∴Rt△FBC≌Rt△GCD,∴DG=CF.
1
∵△ABC是等腰三角形,∴CF= AC=3 cm,∴DG=CF=3 cm,∵CD=5 cm,∴CG=√CD2-DG2=4 cm,∵△CDE是等腰三角形,∴CE=2CG=8 cm.故选D.
2
8.C 设二次函数为y=ax2+bx-4.
∵当x=1时,y=-6;当x=3时,y=-4,{ a+b-4=-6, { a=1,
∴ 解得
9a+3b-4=-4, b=-3.
∴二次函数为y=x2-3x-4,
易知抛物线开口向上,A项错误.
∵Δ=(-3)2-4×1×(-4)=25>0,
∴抛物线与x轴有两个交点,B项错误.
∵y=( 3) 2-25,
x-
2 4
25
∴函数的最小值是- <-6,C项正确.
4
3
∵抛物线的开口向上,对称轴是直线x= ,
2
3 3
∴当x< 时,y随x的增大而减小;当x> 时,y随x的增大而增大,D项错误.故选C.
2 2
二、填空题
9.答案 x(x+3)2
解析 x3+6x2+9x=x(x2+6x+9)=x(x+3)2.
10.答案 140°
7×180°
解析 因为正九边形的内角和为(9-2)×180°=7×180°,所以它的一个内角的度数为 =140°.
9
11.答案 -2
解析 由题意得-1+(-6)+1=0+a+(-4),解得a=-2.
12.答案 <
1
解析 因为m< ,所以2m-1<0,故双曲线位于第二、四象限.在每个象限内,y随x的增大而增大,因为1<3,且点A、B都在第四象限,所以y< y.
1 2
2
13.答案 3√2+1
解析 当☉O运动到如图的位置,即☉O与BC、CD都相切时,点A到☉O上的点的距离有最大值,为AF的长.设☉O与DC相切于点E,连接OE,则△OEC是等腰直角三角形,OE=EC=1,所以OC=√2,因为AC=√2AB=4√2,所以AO=AC-
OC=3√2,所以AF=3√2+1.即点A到☉O上的点的距离的最大值是3√2+1.
三、解答题
14.解析 原式=1+√2-1-2√2(3分)
=-√2.(5分)
15.解析 解不等式x+5<4,得x<-1.(2分)
3x+1
解不等式 ≥2x-1,得x≤3.(4分)
2
∴原不等式组的解集为x<-1.(5分)
16.解析 (x-1)2-3=x2-1,(2分)
1
x2-2x+1-3=x2-1,-2x=1,x=- .(4分)
21
经检验,x=- 是原方程的根.(5分)
2
17.解析 如图所示,点P即为所求.
(5分)
18.证明 ∵BD∥AC,∴∠EBD=∠C.(2分)
∵BD=BC,BE=AC,
∴△EDB≌△ABC.(4分)
∴∠D=∠ABC.(5分)
19.解析 设这种服装每件的标价是x元,根据题意,得
10×0.8x=11(x-30).(3分)
解之,得x=110.
∴这种服装每件的标价是110元.(5分)
1
20.解析 (1) .(2分)
2
2 1
理由:因为一共有4张牌,牌面数字分别是2,3,3,6,所以随机抽取一张牌共有4种等可能的结果,而牌面数字是3的结果有2种,所以随机抽取一张牌,这一张牌是3的概率P= = .
4 2
(2)列表如下:
第二
次 2 3 3 6
第一次
2 (2,3) (2,3) (2,6)
3 (3,2) (3,3) (3,6)
3 (3,2) (3,3) (3,6)
6 (6,2) (6,3) (6,3)
(4分)
2 1
由上表可知,共有12种等可能的结果,其中牌面数字恰好相同的结果有2种,所以其概率为 = .(5分)
12 6
21.解析 在△ADC中,设AD=x m.
∵AD⊥BD,∠ACD=45°,∴CD=AD=x m.(2分)
在△ADB中,AD⊥BD,∠ABD=30°,
√3
∴AD=BDtan 30°,即x= (16+x).
3
解之,得x=8√3+8.(4分)
∴AB=2AD=16√3+16(m).
∴钢索AB的长度为(16√3+16)m.(6分)
22.解析 (1)19.5 ℃;19 ℃.(2分)
19+20
理由:将60天的日平均气温数据按大小顺序排序后,位于最中间的是第30、31个数据,从条形图可以看出,第30个数据是19 ℃,第31个数据是20 ℃,所以中位数是 =19.5 ℃;因为19 ℃出现的天数最多,为13天,所以众数是19
2
℃.
1
(2)x= (17×5+18×12+19×13+20×9+21×6+22×4+23×6+24×5)=20.
60
∴这60天的日平均气温的平均数为20 ℃.(5分)12+13+9+6
(3)∵ ×30=20,∴预估西安市今年9月份日平均气温为“舒适温度”的天数为20.(7分)
60
23.解析 (1)1.(2分)
(2)设AB的解析式为y=kx+b(k≠0),则
{30=7k+b, {k=-4,
解之,得
18=10k+b. b=58.
∴y=-4x+58.(5分)
(3)令y=0,则-4x+58=0,∴x=14.5.
∴“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为13.5 min.(7分)
24.解析 (1)证明:取 的中点M,连接OM、OF.
BF
⏜
1
∵ =2 ,∴ = = ,∠COB= ∠BOF.(2分)
BF BE BM MF BE
2
⏜ ⏜ ⏜ ⏜ ⏜
1
∵∠A= ∠BOF,∴∠COB=∠A.(3分)
2
(2)连接BF.
∵CD是☉O的切线,∴AB⊥CD.
由(1),知∠COB=∠A,∴△OBC∽△ABD.(5分)
OB AB BC·AB 4×6
∴ = .∴BD= = =8.
BC BD OB 3
∴AD= =10.(6分)
√62+82
∵AB是☉O的直径,∴∠AFB=90°,即BF⊥AD.
∵∠D=∠D,∴△BFD∽△ABD.
FD BD BD2 82 32
∴ = ,∴FD= = = .(8分)
BD AD AD 10 5
25.解析 (1)令y=0,则-x2+2x+8=0,∴x =-2,x=4,
1 2
∴B(4,0).(2分)
令x=0,则y=8,∴C(0,8).(3分)
(2)存在.由已知得,该抛物线的对称轴为直线x=1.
∵点C'与点C关于直线x=1对称,∴C'(2,8),CC'=2,CC'∥OB.
∵点P在y轴上,∴∠PCC'=∠POB=90°,
PC CC'
∴当 = 时,△PCC'∽△POB.(4分)
PO OB
设P(0,y),
y-8 2
i)当y>8时, = ,∴y=16.
y 4
∴P(0,16).(6分)
ii)当0<y<8时,8- y=2,∴y=16.∴P( 16).(7分)
0,
y 4 3 3PC 1
iii)当y<0时,CP>OP,与 = 矛盾,
PO 2
∴点P不存在.
∴存在点P,且P点坐标为(0,16)或( 16).(8分)
0,
3
26.解析 (1)在▱ABCD中,设AB边上的高为h.
∵AD=6,∠A=45°,∴h=ADsin 45°=3√2.(1分)
h
∵EA=ED,∴点E到DC的距离为 .
2
∴S =S -(S +S )
四边形ABFE ▱ABCD △DEF △BCF
=AB·h-(1 h 1 )
·DF· + ·FC·h
2 2 2
=24 -(15 9 )=63√2.(3分)
√2 √2+ √2
4 2 4
(2)存在.如图,分别延长AE与CD,交于点F,
则四边形ABCF是矩形.
设AN=x m,则PC=x m,BO=2x m,BN=(800-x)m,
AM=OC=1 200-2x(m).
由题意,易知MF=BO,PF=BN.(5分)
∴S =S -S -S -S -S
四边形OPMN 矩形ABCF △ANM △BON △CPO △FMP
1 1 1 1
=800×1 200- ·x(1 200-2x)- ·2x(800-x)- ·x(1 200-2x)- ·2x(800-x)=4x2-2 800x+960 000
2 2 2 2
=4(x-350)2+470 000.(8分)
∴当x=350时,S 取最小值,为470 000.
四边形OPMN
经检验,AM=1 200-2x=500<900,CP=350<600.
∴符合设计要求的四边形OPMN面积的最小值为470 000 m2,
这时,点N到点A的距离为350 m.(10分)
