年长沙市初中学业水平考试
一、选择题(在下列各题的四个选项中,只有一项是符合题意的.本大题共10个小题,每小题3分,共30
分)
1.下列四个实数中,最大的数是( )
A.-3B.-1C.π D.4
2.2021年5月11日,第七次全国人口普查结果发布,长沙市人口总数首次突破千万,约为10
040 000人,将数据10 040 000用科学记数法表示为( )
A.1.004×106 B.1.004×107
C.0.100 4×108 D.10.04×106
3.下列几何图形中,是中心对称图形的是( )
A B C D
4.下列计算正确的是( )
A.a3·a2=a5 B.2a+3a=6a
C.a8÷a2=a4 D.(a2)3=a5
5.如图,AB∥CD,EF分别与AB,CD交于点G,H,∠AGE=100°,则∠DHF的度数为( )
A.100° B.80° C.50° D.40°
6.如图,点A,B,C在☉O上,∠BAC=54°,则∠BOC的度数为( )
A.27° B.108° C.116° D.128°
7.下列函数图象中,表示直线y=2x+1的是( )
A B C D8.“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植.某种植户为了考察所种植的
杂交水稻苗的长势,从稻田中随机抽取9株水稻苗,测得苗高(单位:cm)分别是
22,23,24,23,24,25,26,23,25.则这组数据的众数和中位数分别是( )
A.24,25 B.23,23
C.23,24 D.24,24
9.有一枚质地均匀的正方体骰子,六个面上分别刻有1到6的点数.将它投掷两次,则两次掷得
骰子朝上一面的点数之和为5的概率是( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
9 6 4 3
10.在一次数学活动课上,某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上(每张
卡片上只写一个数字,每一个数字只写在一张卡片上,而且把写有数字的那一面朝下).他先像
洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序,然后把甲,乙,丙,丁,戊五位同学叫到讲台上,随机地发给每
位同学两张卡片,并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上,写出的结果
依次是甲:11;乙:4;丙:16;丁:7;戊:17.根据以上信息,下列判断正确的是( )
A.戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9
B.丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7
C.丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4
D.甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和9
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
11.分解因式:x2-2 021x= .
12.如图,在☉O中,弦AB的长为4,圆心O到弦AB的距离为2,则∠AOC的度数为 .
13.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是边AB的中点,若OE=6,则BC的长
为 .
14.若关于x的方程x2-kx-12=0的一个根为3,则k的值为 .
15.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E,若
BC=4,DE=1.6,则BD的长为 .
16.某学校组织了主题为“保护湘江,爱护家园”的手抄报作品征集活动.先从中随机抽取了
部分作品,按A,B,C,D四个等级进行评价,然后根据统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图.
那么,此次抽取的作品中,等级为B等的作品份数为 .三、解答题(本大题共9个小题,第17、18、19题每小题6分,第20、21题每小题8分,第22、23题每
小题9分,第24、25题每小题10分,共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.计算:|-√2|-2sin 45°+(1-√3)0+√2×√8.
1
18.先化简,再求值:(x-3)2+(x+3)(x-3)+2x(2-x),其中x=- .
2
19.人教版初中数学教科书八年级上册第35~36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等
的方法:
已知:△ABC.
求作:△A'B'C',使得△A'B'C'≌△ABC.
作法:如图.
(1)画B'C'=BC;
(2)分别以点B',C'为圆心,线段AB,AC长为半径画弧,两弧相交于点A';
(3)连接线段A'B',A'C',则△A'B'C'即为所求作的三角形.
请你根据以上材料完成下列问题:
(1)完成下面证明过程(将正确答案填在相应的横线上):
证明:由作图可知,在△A'B'C'和△ABC中,
{
B'C'=BC,
A'B'= ,
A'C'= ,∴△A'B'C'≌ .
(2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是 .(填序号)
①AAS ②ASA ③SAS ④SSS
20.“网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市.本市某景点为吸引游客,设置了一
种游戏,其规则如下:凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球(每个球除颜色外,
其他都相同)的不透明纸箱中,随机摸出一个球,摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物.据统
计,参与这种游戏的游客共有60 000人,景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥
物15 000个.
(1)求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率;
(2)请你估计纸箱中白球的数量接近多少.
21.如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,△OAB是等边三角形,AB=4.
(1)求证:▱ABCD是矩形;
(2)求AD的长.22.为庆祝伟大的中国共产党成立100周年,发扬红色传统,传承红色精神,某学校举行了主题
为“学史明理,学史增信,学史崇德,学史力行”的党史知识竞赛,一共有25道题,满分100分,
每一题答对得4分,答错扣1分,不答得0分.
(1)若某参赛同学只有一道题没有作答,最后他的总得分为86分,则该参赛同学一共答对了多
少道题?
(2)若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史小达
人”,则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”?
23.如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,BD=CD,延长BC至点E,使得CE=CA,连接AE.
(1)求证:∠B=∠ACB;
(2)若AB=5,AD=4,求△ABE的周长和面积.24.我们不妨约定:在平面直角坐标系中,若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称,
则把该函数称为“T函数”,其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“T点”.根据该约
定,完成下列各题.
{ 4
- (x<0),
(1)若点A(1,r)与点B(s,4)是关于x的“T函数”y= 的图象上的
x
tx2(x≥0,t≠0,t是常数)
一对“T点”,则r= ,s= ,t= (将正确答案填在相应的横线上);
(2)关于x的函数y=kx+p(k,p是常数)是“T函数”吗?如果是,指出它有多少对“T点”;如果
不是,请说明理由;
(3)若关于x的“T函数”y=ax2+bx+c(a>0,且a,b,c是常数)经过坐标原点O,且与直线
l:y=mx+n(m≠0,n>0,且m,n是常数)交于M(x ,y),N(x ,y)两点,当x,x 满足(1-x)-1+x=1时,直线
1 1 2 2 1 2 1 2
l是否总经过某一定点?若经过某一定点,求出该定点的坐标;否则,请说明理由.
25.如图,点O为以AB为直径的半圆的圆心,点M,N在直径AB上,点P,Q在 上,四边形
AB
⏜
MNPQ为正方形,点C在 上运动(点C与点P,Q不重合),连接BC并延长交MQ的延长线
QP
⏜
于点D,连接AC交MQ于点E,连接OQ.
(1)求sin∠AOQ的值;
AM
(2)求 的值;
MN
(3)令ME=x,QD=y,直径AB=2R(R>0,R是常数),求y关于x的函数解析式,并指明自变量x的
取值范围.23 2021年长沙市初中学业水平考试(参考答案)
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D B C A A B B C A A
1.D ∵A,B两个选项中的数为负数,∴只需要比较C,D选项中两数大小,易知π<4.故选D.
2.B 10 040 000=1.004×107.
3.C 根据中心对称图形的概念,旋转180°后能够与原图形重合的图形是中心对称图形,只有
C项符合.故选C.
4.A A项,a3·a2=a3+2=a5,正确;B项,2a+3a=5a,错误;C项,a8÷a2=a6,错误;D项,(a2)3=a6,错误.故选
A.
5.A ∵AB∥CD,∴∠CHG=∠AGE=100°,∴∠DHF=∠CHG=100°.
6.B 根据同弧所对的圆心角的度数是圆周角的两倍,得∠BOC=2∠BAC=108°.
7.B 令y=0,得x=-0.5.令x=0,得y=1.∴直线y=2x+1与x轴交点为(-0.5,0),与y轴交点为(0,1).
故选B.
8.C 将这组数据从小到大排列为22,23,23,23,24,24,25,25,26.众数是出现次数最多的数,故众
数是23.样本容量为奇数,中位数是位于中间位置的数,故中位数是24.
9.A 设第一次掷骰子朝上一面的点数为x,第二次掷骰子朝上一面的点数为y,掷两次骰子朝
上一面的点数和为x+y,列表如下:
yx+yx 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
4 1
由表格知,共有36种等可能的结果,点数之和为5的结果有4种,故所求概率为 = .
36 9
10.A 1~10共十张不同的卡片,由于卡片上数字各不相同,乙拿到的卡片上的两数之和为4,
所以乙拿到的两张卡片上的数字是1和3;丁拿到的卡片上的两数之和为7,去掉1和3后,丁
拿到的两数只能是2和5;甲拿到的卡片上的两数之和为11,去掉1,2,3,5后,甲拿到的两个数
只能是4和7;丙拿到的卡片上的两数之和是16,戊拿到的卡片上的两数之和是17,去掉
1,2,3,4,5,7后,丙拿到的两个数只能是6和10,戊拿到的两数是8和9.故选A.
二、填空题
11.答案 x(x-2 021)
解析 x2-2 021x=x(x-2 021).12.答案 45°
解析 根据垂径定理得到AC=BC=2,所以AC=OC,所以∠AOC=45°.
13.答案 12
解析 由菱形的性质得OA=OC,因为E是边AB的中点,所以EO是△ABC的中位线,所以
BC=2OE=12.
14.答案 -1
解析 将x=3代入方程x2-kx-12=0,得9-3k-12=0,解得k=-1.
15.答案 2.4
解析 ∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DC⊥AC,∴DC=DE=1.6,∴BD=BC-DC=2.4.
16.答案 50
解析 样本容量为30÷25%=120,B等级的作品份数为120-30-28-12=50.
三、解答题
√2
17.解析 |-√2|-2sin 45°+(1-√3)0+√2×√8=√2-2× +1+4
2
=5.
18.解析 (x-3)2+(x+3)(x-3)+2x(2-x)=x2-6x+9+x2-9+4x-2x2=-2x.
当x=-1时,原式=-2×( 1)=1.
-
2 2
19.解析 (1)AB;AC;△ABC.
(2)④.
20.解析 (1)参与这种游戏的游客共有60 000人,景点一共为参与该游戏的游客免费发放了
15 000 1
景点吉祥物15 000个,故参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率为 = .
60 000 4
12 1
(2)设纸箱中白球的个数为x,则 = ,解得x=36,经检验,x=36是分式方程的解且符合题
12+x 4
意,故纸箱中的白球的数量为36.
21.解析 (1)证明:∵△AOB为等边三角形,∴OA=OB.
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD,OA=OC,
∴OA=OB=OC=OD,∴OA+OC=OB+OD,即AC=BD,
∴平行四边形ABCD是矩形.
(2)由(1)得,在Rt△ABD中,∵∠ABD=60°且AB=4,
AD
∴tan∠ABD= =√3,∴AD=√3AB=4√3.
AB
22.解析 (1)设该参赛同学一共答对了x道题,则答错了(24-x)道题,由题意得4x-(24-x)=86.
解得x=22.
答:该参赛同学一共答对了22道题.
(2)设参赛者需答对y道题才能被评为“学党史小达人”,
{ y≤25,
则有 解得23≤y≤25.
4 y-(25- y)≥90.
答:参赛者至少需答对23道题才能被评为“学党史小达人”.
23.解析 (1)证明:证法一:∵AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°.
{
AD=AD,
在△ADB与△ADC中, ∠ADB=∠ADC,
BD=CD,
∴△ADB≌△ADC(SAS),∴∠B=∠ACB.
证法二:∵AD⊥BC,BD=CD,
∴AD所在直线是线段BC的垂直平分线,
∴AB=AC,∴∠B=∠ACB.
(2)由(1)可知AB=AC.
∵AB=5,∴AC=CE=5.在Rt△ABD中,AB=5,AD=4,则BD= =3,
√AB2-AD2
∴DE=8,∴在Rt△ADE中,AE= =4 ,
√AD2+DE2 √5
1
∴C =AB+BE+AE=16+4√5,S = AD·BE=22.
△ABE △ABE
2
24.解析 (1)r=4,s=-1,t=4.
详解:∵点A(1,r)与点B(s,4)是一对“T点”,
∴点A(1,r)与点B(s,4)关于y轴对称,
∴r=4,s=-1,∴A(1,4),B(-1,4).
将A(1,4)代入y=tx2,得t=4.
(2)假设y=kx+p是“T函数”.
设A(d,q),B(-d,q)是y=kx+p上的一对“T点”,
{ kd+p=q,①
∴
-kd+p=q,②
由①+②得p=q,由①-②得2kd=0.
又d≠0,∴k=0,∴y=p.
当k=0时,y=kx+p为“T函数”,有无数对“T点”.
当k≠0时,y=kx+p不是“T函数”.
(3)直线l经过定点(1,0).
由题意可知c=0,b=0,联立{y=mx+n, 消去y,
y=ax2
m
{x +x = ,
得ax2-mx-n=0,则 1 2 a
n
x x =- .
1 2 a
1
∵(1-x )-1+x=1,即 =1-x ,
1 2 1-x 2
1
∴(1-x )(1-x )=1,即xx-(x+x)=0,
1 2 1 2 1 2
n m
∴- - =0,∴-n-m=0,∴n=-m,
a a
∴y=mx-m=m(x-1),即当x=1时,y=0,
∴直线l过定点(1,0).
25.解析 (1)连接OP.
∵四边形QPNM是正方形,
∴QM=PN,∠QMO=∠PNO=90°.
∵OQ,OP是半圆O的半径,∴OQ=OP.
{OQ=OP,
在Rt△OQM与Rt△OPN中,
QM=PN,
∴Rt△OQM≌Rt△OPN(HL).
1
∴OM=ON= MN.
2
设MN=2a(a>0),则MQ=2a,OM=a,
在Rt△QMO中,有QM2+OM2=OQ2,
即(2a)2+a2=OQ2,∴OQ=√5a.
QM 2a 2√5
∴sin∠AOQ= = = .
OQ √5a 5
(2)由(1)可得OA=OQ=√5a,OM=a,AM (√5-1)a √5-1
∴AM=(√5-1)a,∴ = = .
MN 2a 2
√5
(3)由(1)可得√5a=R,∴a= R.
5
∵AB为半圆O的直径,∴∠ACB=90°.
∴∠EAM+∠ABC=90°.
∵四边形MNPQ为正方形,
∴∠DMB=90°,∴∠AME=90°,∠D+∠ABC=90°,
AM ME
∴∠D=∠EAM,∴△AME∽△DMB,∴ = .
DM MB
∵AM=( -1)a=( -1)×√5R=( √5)R,
√5 √5 1-
5 5
2√5
DM=2a+y= R+y,ME=x,
5
MB=( +1)a=( +1)×√5R=( √5)R.
√5 √5 1+
5 5
( √5)
1- R x
∴ 5 = ,∴y=4R2-2√5R.
( √5)
2√5 1+ R 5x 5
R+ y 5
5
2√5
当点C与点Q重合时,EM取最大值,EM = R;
max
5
3√5-5
当点C与点P重合时,EM取最小值,EM = R.
min
5
3√5-5 2√5
又∵点C与点P、Q不重合,∴ R<x< R.
5 5
4R2 2√5 3√5-5 2√5
综上,y关于x的函数解析式为y= - R, R<x< R.
5x 5 5 5
