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2013 年长沙市初中毕业学业水平考试
数学试题（含答案全解全析）
(满分:120分 时间:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共 30 分)
一、选择题(在下列各题的四个选项中,只有一项是符合题意的.本题共10个小题,每小题3分,
共30分)
1.下列实数是无理数的是( )
1
A.-1 B.0 C. D.√3
2
2.小星同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦,我的梦”,能搜索到与之相关的结果的条数
约为61 700 000,这个数用科学记数法表示为( )
A.617×105 B.6.17×106 C.6.17×107 D.0.617×108
3.如果一个三角形的两边长分别为2和4,则第三边长可能是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
4.已知☉O 的半径为1 cm,☉O 的半径为3 cm,两圆的圆心距OO 为4 cm,则两圆的位置关系
1 2 1 2
是( )
A.外离 B.外切 C.相交 D.内切
5.下列计算正确的是( )
A.a6÷a3=a3 B.(a2)3=a8
C.(a-b)2=a2-b2 D.a2+a2=a4
6.某校篮球队12名同学的身高如下表:
身高(cm) 180 186 188 192 195
人数 1 2 5 3 1
则该校篮球队12名同学身高的众数是(单位:cm)( )
A.192 B.188 C.186 D.180
7.下列各图中,∠1大于∠2的是( )
8.下列多边形中,内角和与外角和相等的是( )
A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.八边形
9.在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中,没有运用旋转或轴对称知识的是( )10.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列关系式错误的是( )
A.a>0 B.c>0 C.b2-4ac>0 D.a+b+c>0
第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本题共8个小题,每小题3分,共24分)
11.计算:√8-√2= .
12.因式分解:x2+2x+1= .
13.已知∠A=67°,则∠A的余角等于 度.
2 1
14.方程 = 的解为x= .
x+1 x
15.如图,BD是∠ABC的平分线,P是BD上的一点,PE⊥BA于点E,PE=4 cm,则点P到边BC的
距离为 cm.
16.如图,在△ABC中,点D,点E分别是边AB,AC的中点,则△ADE与△ABC的周长之比等于
.
17.在一个不透明的盒子中装有n个小球,它们只有颜色上的区别,其中有2个红球.每次摸球
前先将盒中的球摇匀,随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中,通过大量重复摸球试验后发现,
摸到红球的频率稳定于0.2,那么可以推算出n大约是 .
18.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=50°,∠C=80°,AE∥CD交BC于点E,若AD=2,BC=5,则
边CD的长是 .
三、解答题(本题共2个小题,每小题6分,共12分)
19.计算:|-3|+(-2)2-(√5+1)0.{2(x+1)≤x+3,①
20.解不等式组 并将其解集在数轴上表示出来.
x-4<3x,②
四、解答题(本题共2个小题,每小题8分,共16分)
21.“宜居长沙”是我们的共同愿景,空气质量倍受人们关注.我市某空气质量监测站点检测了
该区域每天的空气质量情况,统计了2013年1月份至4月份若干天的空气质量情况,并绘制
了如下两幅不完整的统计图.请根据图中信息,解答下列问题:
(1)统计图共统计了 天的空气质量情况;
(2)请将条形统计图补充完整,并计算空气质量为“优”所在扇形的圆心角度数;
(3)从小源所在班级的40名同学中,随机选取一名同学去该空气质量监测站点参观,则恰好选
到小源的概率是多少?
22.如图,△ABC中,以AB为直径的☉O交AC于点D,∠DBC=∠BAC.
(1)求证:BC是☉O的切线;
(2)若☉O的半径为2,∠BAC=30°,求图中阴影部分的面积.五、解答题(本题共2个小题,每小题9分,共18分)
23.为方便市民出行,减轻城市中心交通压力,长沙市正在修建贯穿星城南北、东西的地铁1、
2号线.已知修建地铁1号线24千米和2号线22千米共需投资265亿元;若1号线每千米的
平均造价比2号线每千米的平均造价多0.5亿元.
(1)求1号线,2号线每千米的平均造价分别是多少亿元;
(2)除1、2号线外,长沙市政府规划到2018年还要再建91.8千米的地铁线网.据预算,这91.8
千米地铁线网每千米的平均造价是1号线每千米的平均造价的1.2倍,则还需投资多少亿元?
24.如图,在▱ABCD中,M,N分别是AD,BC的中点,∠AND=90°,连结CM交DN于点O.
(1)求证:△ABN≌△CDM;
(2)过点C作CE⊥MN于点E,交DN于点P,若PE=1,∠1=∠2,求AN的长.
六、解答题(本题共2个小题,每小题10分,共20分)
25.设a,b是任意两个不等实数,我们规定:满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做
闭区间,表示为[a,b].对于一个函数,如果它的自变量x与函数值y满足:当m≤x≤n时,有m≤y≤n,
我们就称此函数是闭区间[m,n]上的“闭函数”.
2 013
(1)反比例函数y= 是闭区间[1,2 013]上的“闭函数”吗?请判断并说明理由;
x(2)若一次函数y=kx+b(k≠0)是闭区间[m,n]上的“闭函数”,求此函数的解析式;
1 4 7
(3)若二次函数y= x2- x- 是闭区间[a,b]上的“闭函数”,求实数a,b的值.
5 5 5
26.如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+2与x轴,y轴分别交于点A,点B,动点P(a,b)在第一
象限内,过点P向x轴,y轴所作的垂线PM,PN(垂足为M,N)分别与直线AB相交于点E,点F,
当点P(a,b)运动时,矩形PMON的面积为定值2.
(1)求∠OAB的度数;
(2)求证:△AOF∽△BEO;
(3)当点E,F都在线段AB上时,由三条线段AE,EF,BF组成一个三角形,记此三角形的外接圆
面积为S,△OEF的面积为S.试探究:S +S 是否存在最小值?若存在,请求出该最小值;若不存
1 2 1 2
在,请说明理由.
答案全解全析：
1.D 选项A、B、C中的数都是有理数,只有选项D中的√3是无限不循环小数.故选D.
2.C 61 700 000=6.17×107.故选C.
3.B 设三角形的第三边长是x,则根据题意得4-2∠2.故选D.
8.A ∵n边形的外角和是360°,内角和是(n-2)·180°,
∴(n-2)·180°=360°,解得n=4.故选A.
9.C 根据旋转和轴对称的知识可知选项A、D中的图案既是中心对称图形,又是轴对称图形;
选项B中的图案只是轴对称图形;选项C中的图案,既没运用旋转的知识,又没运用轴对称的
知识,故选C.
10.D 观察题中图象可知,抛物线的开口方向向上,抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,
与x轴有两个交点,所以a>0,c>0,b2-4ac>0,且当x=1时,y=a+b+c<0.显然选项A、B、C都正
确,只有选项D错误.故选D.
评析 本题主要考查二次函数的图象与性质的应用以及与二次函数各项系数相关的常见关
系式的符号判断,充分体现了对学生的数形结合思想的考查.其解答关键是能借助二次函数
图象的开口方向、对称轴、与抛物线的交点个数以及特殊位置的函数值获取相关信息.属中
等难度题.
11.答案 √2
解析 √8-√2=2√2-√2=√2,故填√2.
12.答案 (x+1)2
解析 x2+2x+1=(x+1)2.
13.答案 23
解析 ∵两角互余,∴两角之和为90°,∴∠A的余角为90°-67°=23°.
14.答案 1
解析 方程两边同乘以x(x+1)得2x=x+1,解得x=1.检验:当x=1时,x(x+1)=2≠0.
∴原分式方程的解是x=1.故答案为1.15.答案 4
解析 根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”这一性质, 可知点P到边BC的距离为
4 cm.
16.答案 1∶2
1
解析 ∵点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点,∴DE∥BC,DE= BC.∴△ADE∽△ABC,且
2
DE∶BC=1∶2.
∴△ADE与△ABC的周长之比=DE∶BC=1∶2.故答案为1∶2.
评析 本题主要考查了三角形中位线的性质、相似三角形的判定与性质在计算中的应用,属
容易题.
17.答案 10
2
解析 由题意可得, ≈0.2,解得n≈10. ∴可以推算出n大约是10.故答案为10.
n
18.答案 3
解析 ∵在梯形ABCD中,AD∥BC,AE∥CD,∴四边形AECD是平行四边形.
又∵∠C=80°,AD=2,∴∠AEB=∠C=80°,EC=AD=2,CD=AE.
又 ∵ ∠ B=50°,∠BAE+∠B+∠AEB=180°,∴∠BAE=180°-∠AEB-∠B=180°-80°-
50°=50°,
∴BE=AE,∴CD=BE.
∵BC=5,∴CD=BE=BC-EC=5-2=3.故答案是3.
19.解析 原式=3+4-1=6.
20.解析 ∵2(x+1)≤x+3,解得x≤1;∵x-4<3x,解得x>-2,∴该不等式组的解集为-20 时,此一次函数 y 随 x 的增大而增大,所以根据闭函数的定义有
{km+b=m,①
kn+b=n,②
①-②得k=1,代入①得b=0,所以此时一次函数的解析式为y=x;
{km+b=n,①
(ii)当k<0时,此一次函数y随x的增大而减小,所以根据闭函数的定义有
kn+b=m,②
①-②得k=-1,代入①得b=m+n,所以此时一次函数的解析式为y=-x+m+n.
综上所述,所求函数解析式为y=x或y=-x+m+n.
1 4 7 1 11 11
(3)因为 y= x2- x- = (x-2)2- ,所以该二次函数开口向上,最小值是- ,且当 x<2
5 5 5 5 5 5
时,y随x的增大而减小,当x>2时,y随x的增大而增大.
(i)当 b≤2 时,此二次函数 y 随 x 的增大而减小,所以根据闭函数的定义有
1 4 7
{ a2- a- =b,①
5 5 5
1 4 7
b2- b- =a,②
5 5 5
①-②得a+b=-1,即b=-a-1,代入①得a2+a-2=0,解得a=1,a=-2,所以b=-2,b=1,由于b>a,
1 2 1 2
所以只能取a=-2,b=1;
11 1 4 7
(ii)当a<22,所以 b=
125 5 5 5 2
9+√109
;
2
(iii)当a≥2时,此二次函数y随x的增大而增大,所以根据闭函数的定义有
{ 1 a2- 4 a- 7 =a,① { a= 9-√109 ,
5 5 5 解得 2
1 4 7 9+√109
b2- b- =b,② b= ,
5 5 5 2
9-√109
因为 <0,所以舍去.
2
11
{ a=- ,
综上所述,{a=-2,或 5
b=1 9+√109
b= .
2
评析 本题是阅读理解题,主要考查学生的阅读、理解、分析推理、迁移探究、灵活应用等
综合能力.读懂材料中的已知定义是解决该类问题的关键,特别是解答(2)(3)小题时,一定要
考虑全面,注意分类讨论求解.属较难题.
26.解析 (1)对于直线y=-x+2,
当x=0时,y=2,即B(0,2);当y=0时,x=2,即A(2,0),
∴在Rt△AOB中,OA=OB=2,∴∠OAB=45°.
(2)证法一:由题意可知点F的纵坐标为b,且点F在直线y=-x+2上,
所以点F的横坐标为2-b,∴F(2-b,b).
同理可知E(a,2-a),
又由(1)知∠OAF=∠EBO=45°,∠BEO=∠AOE+∠OAF=∠AOE+45°,而∠AOF=∠AOE+∠EOF,由勾
股定理可知:OF2=b2+(2-b)2,OE2=a2+(2-a)2,EF2=2(a+b-2)2,∵矩形PMON的面积为ab=2,∴b=2,代入消元可得OF2=(2) 2+( 2) 2,EF2=2( 2 ) 2.
2- a+ -2
a a a a
过点F、O分别作FH⊥OE、OG⊥EF,垂足分别为H、G,
1
∵△AOB是等腰直角三角形,∴OG= AB=√2.
2
1 1
∵ OE×FH= EF×OG,即OE2×FH2=EF2×OG2,
2 2
∴有OE2×FH2=2( a+ 2 -2 ) 2 ×2=4( a2-4a+ 4 - 8 +8 ).
a a2 a
∵OE2×OF2=4(a2-2a+2)( 4 - 4 +2 )=8( a2-4a+ 4 - 8 +8 ).
a2 a a2 a
1 √2
∴FH2= OF2,即FH= OF,∴∠EOF=45°,∴∠BEO=∠AOF,∴△AOF∽△BEO.
2 2
证法二:过F点作FH⊥x轴于点H,过E点作EG⊥y轴于点G.
∵P(a,b),又E,F均在y=-x+2上,
∴点E(a,2-a),点F(2-b,b),
∵∠OAB=45°,∴Rt△AFH中,AF=√2FH=√2b,
同理,Rt△EGB中,BE=√2EG=√2a.
∴在△AOF与△BEO中,∵∠FAO=∠OBE=45°,①
AO 2 √2 BE √2a
又 = = , = .
AF √2b b BO 2
又矩形PMON面积为定值2.2
√2a √2· √2
∴ab=2,∴ = b= ,
2 b
2
AO BE
∴ = .②
AF BO
综合①②,可知△AOF∽△BEO.
(3)∵AE2=2(2-a)2=2(a2-4a+4),
BF2=2(2-b)2=2(b2-4b+4),
EF2=2(a+b-2)2=2(a2+b2-4a-4b+8),
∴EF2=AE2+BF2,即由AE、EF、BF构成的三角形是直角三角形,且EF是斜边,根据直角三角形
1
的外接圆性质可知,EF为其外接圆的直径,∴半径为 EF.
2
∴S
1
=π×(EF) 2=π(a+b-2)2;
2 2
1 √2
又由(2)可知S= EF×OG= ×√2(a+b-2)=a+b-2.
2
2 2
π
∴S+S= (a+b-2)2+a+b-2.
1 2
2
不妨设t=a+b-2,则S
1
+S
2
=πt2+t=π(
t+
1) 2- 1 ,由于面积不可能取负值,而二次函数在
2 2 π 2π
1
t>- 时,S+S 随t的增大而增大,∴t取最小值时,S+S 也取最小值.
1 2 1 2
π
2 2 π
∵t=a+b-2=a+ -2,∴当a= ,即a=b=√2时,t最小,此时S+S 的最小值为 (2√2-2)2+(2√2
1 2
a a 2
-2)=2(3-2√2)π+2√2-2.
评析 本题是一道综合性较强的探究性题目,主要考查一次函数、等腰三角形的性质、矩形
的性质、勾股定理及其逆定理、相似三角形的判定、二次函数性质等知识的综合运用.本题设置很有梯度性,第(1)小题较容易,第(2)小题证法一有一定难度,利用解析法通过线段的计
算寻找对应角相等,是解答本小题的关键,证法二利用相似三角形判定方法中的“SAS”,求
解对应线段成比例是突破口;此种方法比第一种显得简捷.第(3)小题难度较大,利用条件求
出所求面积的函数表达式是解题的关键.
