2022 年湖南永州初中学业水平考试
一、选择题(本大题共10个小题,每小题4分,共40分.每个小题只有一个正确选
项,请将正确的选项填涂到答题卡上)
1.(2022湖南永州,1,4分)如图,数轴上点E对应的实数是 ( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
2.(2022湖南永州,2,4分)下列多边形具有稳定性的是 ( )
3.(2022湖南永州,3,4分)剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术,反映了劳
动人民对现实生活的深刻感悟.下列剪纸图形中,是中心对称图形的有( )
① ② ③ ④
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
4.(2022湖南永州,4,4分)永州市大力发展“绿色养殖”,单生猪养殖2021年共
出栏7 791 000头,同比增长29.33%,成为湖南省生猪产业发展高地和标杆.将数7
791 000用科学记数法表示为 ( )
A.7 791×103 B.77.91×105
C.7.791×106D.0.779 1×107
5.(2022湖南永州,5,4分)下列各式正确的是 ( )
A.√4=2√2 B.20=0
C.3a-2a=1 D.2-(-2)=4
6.(2022湖南永州,6,4分)下列因式分解正确的是 ( )
A.ax+ay+a=a(x+y)+1
B.3a+3b=3(a+b)
C.a2+4a+4=(a+4)2
D.a2+b=a(a+b)7.(2022湖南永州,7,4分)我市江华县有“神州瑶都”的美誉,每逢“盘王节”
会表演长鼓舞,长鼓舞中使用的“长鼓”内腔挖空,两端相通,两端鼓口为圆形,
中间鼓腰较为细小.如图为类似“长鼓”的几何体,其俯视图的大致形状是 (
)
A B C D
8.(2022湖南永州,8,4分)李老师准备在班内开展“道德”“心理”“安全”三
场专题教育讲座,若三场讲座随机安排,则“心理”专题讲座被安排在第一场的
概率为 ( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
6 4 3 2
9.(2022湖南永州,9,4分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠C=60°,点D为边
AC的中点,BD=2,则BC的长为 ( )
A.√3 B.2√3
C.2 D.4
10.(2022湖南永州,10,4分)学校组织部分师生去烈士陵园参加“不忘初心,牢
记使命”主题教育活动.师生队伍从学校出发,匀速行走30分钟到达烈士陵园,
用1小时在烈士陵园进行了祭扫和参观学习等活动,之后队伍按原路匀速步行
45分钟返校.设师生队伍离学校的距离为y米,离校的时间为x分钟,则下列图象
能大致反映y与x关系的是 ( )
A B
C D二、填空题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分.请将答案填在答题卡的答
案栏内)
11.(2022湖南永州,11,4分)若单项式3xmy与-2x6y是同类项,则m= .
12.(2022湖南永州,12,4分)请写出一个比√5大且比10小的无理数: .
13.(2022湖南永州,13,4分)“闪电足球队”参加市中小学生足球比赛,在五场
小组赛中,该足球队的进球数分别为2,0,1,2,3,则此组数据的众数是 .
2 1
14.(2022湖南永州,14,4分)解分式方程 - =0去分母时,方程两边同乘的最
x x+1
简公分母是 .
15.(2022湖南永州,15,4分)已知一次函数y=x+1的图象经过点A(m,2),则m=
.
16.(2022湖南永州,16,4分)如图,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,
∠ADC=30°,则∠BOC= 度.
17.(2022湖南永州,17,4分)如图,图中网格由边长为1的小正方形组成,点A为
网格线的交点.若线段OA绕原点O顺时针旋转90°后,端点A的坐标变为
.18.(2022湖南永州,18,4分)我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”,极
富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示,“赵爽弦图”是由四个全等的
直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若大正方形的面积是25,小
正方形的面积是1,则AE= .
三、解答题(本大题共8个小题,共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程
或演算步骤)
19.(2022湖南永州,19,8分)解关于x的不等式组:{ x+1>4,
2(x-1)-5>1.
20.(2022湖南永州,20,8分)先化简,再求值:
x2-1÷ (x+2 1) ,其中x= +1.
- √2
x x x
21.(2022湖南永州,21,8分)“风华中学”计划在劳动技术课中增设剪纸、陶艺、
厨艺、刺绣、养殖等五类选择性“技能课程”,加大培养学生的劳动习惯和实践
操作能力.为了解学生选择各“技能课程”的意向,从全校随机抽取了部分学生
进行问卷调查,将调查结果整理并绘制出如下不完整统计图表:
样本中选择各技能课程的人数统计表
技能课程人数
A:剪纸
B:陶艺 20
C:厨艺 a
D:刺绣 20
E:养殖
样本中选择各技能课程的人数分布
扇形统计图
请根据上述统计数据解决下列问题:
(1)扇形统计图中m= ;
(2)所抽取样本的样本容量是 ,频数统计表中a= ;
(3)若该校有2 000名学生,请你估计全校有意向选择“养殖”技能课程的人数.22.(2022湖南永州,22,10分)受第24届北京冬季奥林匹克运动会的影响,小勇
爱上了雪上运动.一天,小勇在滑雪场训练滑雪,第一次他从滑雪道A端以平均
(x+2)米/秒的速度滑到B端,用了24秒;第二次从滑雪道A端以平均(x+3)米/秒
的速度滑到B端,用了20秒.
(1)求x的值;
(2)设小勇从滑雪道A端滑到B端的平均速度为v米/秒,所用时间为t秒,请用含
t的代数式表示v(不要求写出t的取值范围).
23.(2022湖南永州,23,10分)如图,BD是▱ABCD的对角线,BF平分∠DBC,交
CD于点F.
(1)请用尺规作∠ADB的平分线DE,交AB于点E (要求保留作图痕迹,不写作法,
在确认答案后,请用黑色笔将作图痕迹再填涂一次);
(2)根据图形猜想四边形DEBF为平行四边形,请将下面的证明过程补充完整.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.
∴∠ADB=∠ (两直线平行,内错角相等).
又∵DE平分∠ADB,BF平分∠DBC,
1 1
∴∠EDB= ∠ADB,∠DBF= ∠DBC.
2 2
∴∠EDB=∠DBF.
∴DE∥ ( )(填推理的依据).
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BE∥DF.
∴四边形DEBF为平行四边形( )(填推理的依据).
24.(2022湖南永州,24,10分)为提高耕地灌溉效率,小明的爸妈准备在耕地中
A,B,C,D四个位置安装四个自动喷洒装置(如图1所示),A,B,C,D四点恰好在
边长为50米的正方形的四个顶点上.为了用水管将四个自动喷洒装置相互连通,
爸妈设计了如下两个水管铺设方案(各图中实线为铺设的水管).
方案一:如图2所示,沿正方形ABCD的三边铺设水管;
方案二:如图3所示,沿正方形ABCD的两条对角线铺设水管.
(1)请通过计算,说明上述两方案中哪个方案铺设水管的总长度更短;
(2)小明看了爸妈的方案后,根据“蜂巢原理”重新设计了一个方案(如图4所
示),满足∠AEB=∠CFD=120°,AE=BE=CF=DF,EF∥AD.请将小明的方案与爸妈
的方案比较,判断谁的方案中铺设水管的总长度更短,并说明理由.
(参考数据:√2≈1.4,√3≈1.7)图1 图2
图3 图4
25.(2022湖南永州,25,12分)如图,已知AB,CE是☉O的直径,BM是☉O的切线,
点D在EA的延长线上,AC,OD交于点F,∠MBC=∠ACD.
(1)求证:∠MBC=∠BAC;
(2)求证:AE=AD;
(3)若△OFC的面积S=4,求四边形AOCD的面积S.
1
26.(2022湖南永州,26,12分)已知关于x的函数y=ax2+bx+c.
(1)若a=1,函数的图象经过点(1,-4)和点(2,1),求该函数的表达式和最小值;
(2)若a=1,b=-2,c=m+1,函数的图象与x轴有交点,求m的取值范围;
(3)阅读下面材料:
设a>0,函数图象与x轴有两个不同的交点A,B,若A,B两点均在原点左侧,探究
系数a,b,c应满足的条件.根据函数图象,思考以下三个方面:
①因为函数的图象与x轴有两个不同的交点,所以Δ=b2-4ac>0;
②因为A,B两点在原点左侧,所以x=0对应图象上的点在x轴上方,即c>0;
③上述两个条件还不能确保A,B两点均在原点左侧,我们可以通过抛物线的对称
b
轴位置来进一步限制抛物线的位置,即需- <0.
2a
综上所述,系数a,b,c应满足的条件可归纳为a>0,
{
Δ=b2-4ac>0,
c>0,
b
- <0.
2a
请根据上面阅读材料,类比解决下面问题:
若函数y=ax2-2x+3的图象在直线x=1的右侧与x轴有且只有一个交点,求a的
取值范围.
2022年湖南永州初中学业水平考试
1.
A 点E在数-3和-1所对应的两点之间,选项A符合题意.
2.
D 三角形具有稳定性,其他多边形都不具有稳定性.故选D.
3.
A 根据中心对称图形的概念,旋转180°后能够与原图形重合的图形是中心对称图形,可知图形
①、 ②和③均符合题意.图形④无论绕哪个点旋转180°后,都不能与自身重合.故选A.
4.
C 科学记数法的表示形式是a×10n,其中1≤|a|<10,n是整数.
7 791 000用科学记数法表示为7.791×106.故选C.
5.
D A选项,√4=2,错误.
B选项,20=1,错误.
C选项,3a-2a=a,错误.
D选项,2-(-2)=4,正确.
故选D.
6.
B A选项错误,正确的结果是ax+ay+a=a(x+y+1).
B选项,3a+3b=3(a+b),正确.
C选项错误,正确的结果是a2+4a+4=(a+2)2.
D选项错误,a2+b不能进行因式分解.故选B.
疑难突破
a2+2ab+b2=(a+b)2.该公式巧记为:首平方,尾平方,首尾2倍放中央.
7.
B 从上往下看,可以看见一个圆,由于中间鼓腰较为细小,故里面的圆用虚线画出.故选B.
8.C 在这个随机事件中,第一场被安排的专题教育讲座有“道德”“心理”和“安全”三种等可
1
能的结果,所以“心理”专题讲座被安排在第一场的概率为 .故选C.
3
9.
C ∵∠ABC=90°,点D是边AC的中点,
1
∴BD=CD= AC,
2
又∵∠C=60°,
∴△BCD是等边三角形,∴BC=BD.
∵BD=2,∴BC=2.故选C.
解后反思
题目中如果有中点条件,要联想能否运用下列知识:(1)三角形中线平分面
积;
(2)证明三角形全等;
(3)三角形中位线性质;
(4)等腰三角形三线合一;
(5)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
10.
A 师生队伍离学校的距离y米与离校的时间x分钟之间的关系分三个过程:
(1)从学校出发匀速步行至烈士陵园的30分钟内,y随x的增大而增大;
(2)在烈士陵园内活动的1小时内,y的值保持不变;
(3)按原路匀速步行返回的45分钟内,y随x的增大而减小,直到为0.故选A.
11.
答案 6
解析 根据同类项的定义,可知单项式3xmy与-2x6y中,字母x的次数相等,所以m=6.
12.
答案 2√2(答案不唯一)
13.
答案 2
解析 众数是指一组数据中,出现次数最多的数.在2,0,1,2,3这五个数中,2出现2次,其余的数
(0,1,3)均出现1次,所以众数是2.
14.
答案 x(x+1)
解析 最简公分母是指各分母中,各个因式最高次幂的乘积.本题分式方程中的两个分母分别是x
与x+1,所以最简公分母是x(x+1).
15.
答案 1
解析 ∵一次函数y=x+1的图象经过点A(m,2),
∴m+1=2,∴m=1.
16.答案 120
1
解析 ∵∠ADC= ∠AOC,∠ADC=30°,
2
∴∠AOC=60°,∴∠BOC=180°-60°=120°.
17.
答案 (2,-2)
解析 ∵点A是网格线的交点,∴点A的坐标为(2,2).由于线段OA与x轴所夹锐角为45°,故线段
OA绕原点顺时针旋转90°后,与x轴所夹的锐角也为45°,因此点A绕原点旋转90°后的对应点与
它本身关于x轴对称.因此端点A的坐标变为(2,-2).
18.
答案 3
解析 根据题意可知△AED≌△BFA,AB=5,EF=1,∠AFB=90°.
设AE=x,则BF=x,AF=x+1.
在Rt△AFB中,∠AFB=90°,
根据勾股定理得BF2+AF2=AB2,即x2+(x+1)2=52,
解得x=3,x=-4(不合题意,舍去).
1 2
所以AE=3.
解后反思
根据题目所给的全等条件,找到需要使用的相关边和角.结合其他条件,明确题目中求相关
线段长度所需要考虑的常用知识,如选择勾股定理,相似三角形对应边成比例,三角函数的边角
关系等.最后根据方程思想来解决线段长度问题.
19.
解析 解不等式x+1>4,得x>3.
解不等式2(x-1)-5>1,得x>4.
所以不等式组的解集是x>4.
20.
x2-1 x+2-1
解析 原式= ÷
x x
(x+1)(x-1) x
= ·
x x+1
=x-1.
当x=√2+1时,原式=√2+1-1=√2.
21.
解析 (1)由扇形统计图可知m%=1-35%-10%-25%-10%=20%,所以m=20.
(2)由于选择“陶艺”技能课程的人数为20,占比为10%,所以样本容量为20÷10%=200.选择
“厨艺”技能课程的人数a=200×25%=50.
(3)因为样本中选择“养殖”技能课程的占比为20%,所以估计全校2 000名学生中,有意向选择
“养殖”技能课程的人数为2 000×20%=400.
22.解析 (1)根据题意可列方程为 24(x+2)=20(x+3),解得x=3.
(2)由(1)可知,从滑雪道A端到B端的长度为24×(3+2)=120米.
120
根据路程、平均速度与时间三者之间的关系可得v = .
t
23.
解析 (1)角平分线DE的作法:
①以点D为圆心,以适当长为半径画弧,分别与DA、DB交于点M、N;
②以点M、N为圆心,以适当长为半径画弧,两弧交于点P;
③连接DP并延长,交AB于点E,则DE为∠ADB的平分线.
(2)证明过程补充部分依次如下:
DBC;BF;内错角相等,两直线平行;
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
24.
解析 (1)在正方形ABCD中,AB=BC=CD=50(米),∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°,
所以 AC=BD=√2AB=50√2(米).
方案一中铺设水管的总长度:AB+BC+CD=50×3=150(米);
方案二中铺设水管的总长度:AC+BD=50√2×2=100√2≈100×1.4=140(米).
∵140<150,
∴方案二中铺设水管的总长度更短.
(2)小明的方案中铺设水管的总长度更短.理由如下:
如图,延长FE交AB于点M,
∵EF∥AD,∠BAD=90°,∴∠EMB=90°.
又∵AE=EB,∠AEB=120°,
1
∴∠MBE=30°,BM= AB=25(米).
2
√3 25√3
∴ME=MB∙tan 30°=25× = (米),
3 3
50√3
∴BE=2ME= (米).
3
∵AE=DF,BE=CF,AB=CD,
∴△ABE≌△DCF(SSS),
25√3
∴在△DCF中,CD边上的高也等于 米.
3
∴EF=50-2ME=50-2×25√3=( 50√3)米.
50-
3 350√3 50√3
∴AE+BE+CF+DF+EF= ×4+50- =50+50√3≈50+50×1.7=135(米).
3 3
∵135<140,
∴小明的方案中铺设水管的总长度更短.
思路分析
(1)分别计算AB+BC+CD和AC+BD的值,然后比较这两个实数的大小;
(2)延长FE交AB于点M,根据平行线的性质,构造Rt△EMB.结合等腰三角形的性质,得出MB
的长度和∠MBE的大小.然后解Rt△EMB,求出BE的长度.再利用全等三角形的判定与性质,计
算出EF的长度.最后比较AE+BE+CF+DF+EF和(1)中较短水管的总长度,明确采取哪种方案.
25.
解析 (1)证明:∵AB是☉O的直径,BM是☉O的切线,∴∠ACB=90°,AB⊥BM,
∴∠CAB+∠ABC=∠MBC+∠ABC=90°,
∴∠MBC=∠BAC.
(2)证法一:∵∠MBC=∠BAC,∠MBC=∠ACD,
∴∠BAC=∠ACD,
∴AB∥CD.∴∠OAE=∠CDA.
又∵OA=OE,∴∠OAE=∠OEA.
∴∠OEA=∠CDA.
∵CE是☉O的直径,∴∠EAC=∠DAC=90°.
又∵AC=AC,∴△CAE≌△CAD(AAS),∴AE=AD.
证法二:∵∠MBC=∠BAC,∠MBC=∠ACD,
∴∠BAC=∠ACD,
∴AB∥CD.∴∠OAE=∠CDA.
又∵OA=OE,∴∠OAE=∠OEA.
∴∠OEA=∠CDA.∴EC=DC.
又∵CE是☉O的直径,
∴∠EAC=90°,即AC⊥DE.∴AE=AD.
(3)∵OA=OC,∴∠BAC=∠ECA.
又∵∠EAC=∠ACB=90°,AC=AC,
∴△EAC≌△BCA(ASA),∠EAC+∠ACB=180°,
∴AD∥BC,BC=AE.
由(2)可知AE=AD,∴BC=AD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴AB=CD,AB∥CD.∴△AOF∽△CDF.
AF OF AO AO 1
∴ = = = = .
CF DF CD AB 2
又S=4,∴S =2,S =4,S =8.
1 △AOF △ADF △DFC
∴S=S +S +S +S =2+4+4+8=18.
△AOF △COF △ADF △CDF疑难突破
第(3)问的突破口是由条件根据ASA证明△EAC≌△BCA,并进一步证明四边形ABCD是平行
四边形.
26.
解析 (1)当a=1时,二次函数y=ax2+bx+c的表达式为y=x2+bx+c.
当函数图象经过点(1,-4)和点(2,1)时,可得方程组
{1+b+c=-4, {b=2,
解得
4+2b+c=1, c=-7.
所以该函数的表达式是y=x2+2x-7.
y=x2+2x-7=(x+1)2-8.
故当x=-1时,y有最小值,最小值是-8.
(2)当a=1,b=-2,c=m+1时,y=x2-2x+m+1.
因为该函数图象与x轴有交点,所以(-2)2-4(m+1)≥0,解得m≤0.
故m的取值范围是m≤0.
(3)当a=0时,函数解析式为y=-2x+3,其图象与x轴只有一个交点,其坐标为(3 ),满足“在直
,0
2
线x=1的右侧与x轴只有一个交点”这一条件.
1
当a≠0时,抛物线y=ax2-2x+3的对称轴为直线x= .令x=1,则y=a+1.令y=0,则ax2-2x+3=0.
a
当Δ=(-2)2-12a=4-12a≥0时,
2-√4-12a 2+√4-12a
解得x= ,x= .
1 2
2a 2a
分四种情况:
①如图,抛物线开口向上,且与x轴有两个不同的交点,直线x=1在区间x≤x<x 内运动,即满足下
1 2
列不等式组:a>0,
{
4-12a>0,
2-√4-12a
≤1,
2a
2+√4-12a
>1,
2a
此不等式组无解.
②如图,抛物线开口向上,且与x轴只有一个交点,
直线x=1在抛物线对称轴左边运动,
即满足下列不等式组:
a>0,
{
4-12a=0,
1
>1,
a
1
此不等式组的解集为a= .
3
③如图,抛物线开口向下,且与x轴有两个不同的交点,直线x=1在区间x≤x<x 内运动,即满足下
1 2
列不等式组:
a<0,
{
4-12a>0,
2-√4-12a
≤1,
2a
2+√4-12a
>1,
2a
此不等式组无解.
④如图,抛物线开口向下,且与x轴只有一个交点,直线x=1在抛物线对称轴左边运动,即满足下
列不等式组:a<0,
{
4-12a=0,
1
>1,
a
此不等式组无解.
1
综上所述,a的取值范围是a= 或a=0.
3
思路分析
(1)将(1,-4)、(2,1)分别代入y=x2+bx+c中,解方程组求出b,c的值,然后运用配方法求函
数的最小值.
(2)利用判别式符号和抛物线与x轴的交点个数之间的关系,解不等式即可.
(3)总体上根据函数解析式中a=0与a≠0两种情况进行讨论.当a≠0时,对于a>0、a<0以及
Δ>0、Δ=0的组合情况,再分四种情况进行讨论.根据题目要求,从抛物线开口方向、判别式、对
称轴、直线x=1和抛物线与x轴的交点间的位置关系来确定每种情况下应满足的不等式组.最后
分析不等式组的解集情况,综合得出a的取值范围.
