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2013 年广州市初中毕业生学业考试
数学试题（含答案全解全析）
(满分150分 时间120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共 30 分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的)
1.比0大的数是( )
1
A.-1 B.- C.0 D.1
2
2.如图所示的几何体的主视图是( )
3.在6×6方格中,将图①中的图形N平移后的位置如图②所示,则图形N的平移方法中,正确
的是( )
图① 图②
A.向下移动1格 B.向上移动1格
C.向下移动2格D.向上移动2格
4.计算:(m3n)2的结果是( )
A.m6n B.m6n2 C.m5n2 D.m3n2
5.为了解中学生获取资讯的主要渠道,设置“A:报纸,B:电视,C:网络,D:身边的人,E:其他”五
个选项(五项中每人必选且只能选一项)的调查问卷,现随机抽取50名中学生进行该问卷调查,
根据调查结果绘制条形图如图.该调查方式和图中a的值是( )A.全面调查,26 B.全面调查,24
C.抽样调查,26 D.抽样调查,24
6.已知两数x,y之和是10,x比y的3倍大2,则下面所列方程组正确的是( )
{x+ y=10 {x+ y=10 {x+ y=10 {x+ y=10
A. B. C. D.
y=3x+2 y=3x-2 x=3 y+2 x=3 y-2
7.实数a在数轴上的位置如图所示,则|a-2.5|=( )
A.a-2.5 B.2.5-a C.a+2.5 D.-a-2.5
√x
8.若代数式 有意义,则实数x的取值范围是( )
x-1
A.x≠1 B.x≥0
C.x>0 D.x≥0且x≠1
9.若5k+20<0,则关于x的一元二次方程x2+4x-k=0的根的情况是( )
A.没有实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.无法判断
10.如图,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,CA是∠BCD的平分线,且AB⊥AC,AB=4,AD=6,则tan
B=( )
11 5√5
A.2√3 B.2√2 C. D.
4 4
第Ⅱ卷(非选择题,共 120 分)
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分)
11.点P在线段AB的垂直平分线上,PA=7,则PB= .
12.广州某慈善机构全年共募集善款5 250 000元,将5 250 000用科学记数法表示为 .
13.分解因式:x2+xy= .
14.一次函数y=(m+2)x+1,若y随x的增大而增大,则m的取值范围是 .
15.如图,Rt△ABC 的斜边 AB=16,Rt△ABC 绕点 O 顺时针旋转后得到 Rt△A'B'C',则
Rt△A'B'C'的斜边A'B'上的中线C'D的长度为 .16.如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P在第一象限,☉P与x轴交于O,A两点,点
A的坐标为(6,0),☉P的半径为√13,则点P的坐标为 .
三、解答题(本大题共9小题,满分102分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分9分)
解方程:x2-10x+9=0.
18.(本小题满分9分)
如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC与BD相交于点O,AB=5,AO=4,求BD的长.
19.(本小题满分10分)
x2 y2
先化简,再求值: - ,其中x=1+2√3,y=1-2√3.
x- y x- y20.(本小题满分10分)
已知四边形ABCD是平行四边形(如图),把△ABD沿对角线BD翻折180°得到△A'BD.
(1)利用尺规作出△A'BD(要求保留作图痕迹,不写作法);
(2)设DA'与BC交于点E,求证:△BA'E≌△DCE.
21.(本小题满分12分)
在某项针对18~35岁的青年人每天发微博数量的调查中,设一个人的“日均发微博条数”为
m,规定:当m≥10时为A级,当5≤m<10时为B级,当0≤m<5时为C级.现随机抽取30个符合年
龄条件的青年人开展每人“日均发微博条数”的调查,所抽青年人的“日均发微博条数”的
数据如下:
11 10 6 15 9 16 13 12 0 8
2 8 10 17 6 13 7 5 7 3
12 10 7 11 3 6 8 14 15 12
(1)求样本数据中为A级的频率;
(2)试估计1 000个18~35岁的青年人中“日均发微博条数”为A级的人数;
(3)从样本数据为C级的人中随机抽取2人,用列举法求抽得2个人的“日均发微博条数”都
是3的概率.
22.(本小题满分12分)
如图,在东西方向的海岸线MN上有A、B两艘船,均收到已触礁搁浅的船P的求救信号,已知
船P在船A的北偏东58°方向,船P在船B的北偏西35°方向,AP的距离为30海里.
(1)求船P到海岸线MN的距离(精确到0.1海里);(2)若船A、船B分别以20海里/小时、15海里/小时的速度同时出发,匀速直线前往救援,试
通过计算判断哪艘船先到达船P处.
23.(本小题满分12分)
如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,正方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴
k
上,点B的坐标为(2,2),反比例函数y= (x>0,k≠0)的图象经过线段BC的中点D.
x
(1)求k的值;
(2)若点P(x,y)在该反比例函数的图象上运动(不与点D重合),过点P作PR⊥y轴于点R,作
PQ⊥BC所在直线于点Q,记四边形CQPR的面积为S,求S关于x的解析式并写出x的取值范
围.
24.(本小题满分14分)
已知AB是☉O的直径,AB=4,点C在线段AB的延长线上运动,点D在☉O上运动(不与点B
重合),连结CD,且CD=OA.
(1)当OC=2√2时(如图),求证:CD为☉O的切线;
(2)当OC>2√2时,CD所在直线与☉O相交,设另一交点为E,连结AE.
①当D为CE中点时,求△ACE的周长;
②连结OD,是否存在四边形AODE为梯形?若存在,请说明梯形个数并求此时AE·ED的值;若
不存在,请说明理由.
25.(本小题满分14分)
已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0,a≠c)过点A(1,0),顶点为B,且抛物线不经过第三象限.
1(1)试用a、c表示b;
(2)判断点B所在象限,并说明理由;
(3)若直线y
2
=2x+m经过点B,且与该抛物线交于另一点C(c
,b+8
),求当x≥1时y
1
的取值范
a
围.
答案全解全析：
1.D 比0大的数是正数.
2.A 主视图是从物体正面看到的物体的形状.
3.C 图形的平移包括每一点,每一边的平移,只需判断其中一条边的平移方法即可.
4.B (m3n)2=m6n2.
5.D 通过随机抽取50名中学生进行问卷调查来了解中学生获取资讯的主要渠道,因此是抽
样调查,由条形图可知选择A、B、D、E的人数为6+10+6+4=26,因此a的值为50-26=24.
6.C x,y之和是10,x比y的3倍大2,可列出x+y=10和x=3y+2,因此答案为C.
7.B 根据a在数轴上的位置可知a<2.5,因此|a-2.5|=2.5-a,答案为B.
8.D 因为根号内的数非负,分式有意义必有分母不为 0,因此x≥0且x-1≠0,即x≥0且
x≠1.
9.A 因为5k+20<0,所以k<-4.判别式Δ=16-4(-k)=16+4k<16+4×(-4)=0,因此原方程无实
数根.10.B 作 DE⊥AC 于点 E,因为 AD∥BC,且 CA 平分∠BCD,所以∠DAC=∠ACB=∠DCA,所以
1
AD=CD=6,则EC= AC,△DEC∽△BAC,且相似比为1∶2,所以BC=2CD=12,利用勾股定理求得
2
8√2
AC=8√2,因此tan B= =2√2.
4
11.答案 7
解析 线段垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等,P在线段AB的垂直平分线
上,因此PB=PA=7.
12.答案 5.25×106
解析 一个数字表示成a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,这种记数方法叫科学记数法.
13.答案 x(x+y)
解析 提公因式x,即可得x2+xy=x(x+y).
14.答案 m>-2
解析 一次函数y=kx+b(k≠0),当k>0时,y随x的增大而增大,因此m+2>0,即m>-2.
15.答案 8
解析 图形旋转后大小不变,对应线段长度不变,因此A'B'=AB=16,直角三角形斜边上的中
1
线等于斜边的一半,因此C'D'= A'B'=8.
2
16.答案 (3,2)
1
解析 过点P作PB⊥AO于点B,由垂径定理得OB= AO=3,由勾股定理得PB=2,因此P(3,2).
2
17.解析 由原方程得(x-1)(x-9)=0,则x=1,x=9,∴原方程的解为x=1,x=9.
1 2 1 2
18.解析 ∵菱形对角线相互垂直平分,
∴AC⊥BD且BO=OD,即△ABO是直角三角形,
在Rt△ABO中,BO2=AB2-AO2,其中AO=4,AB=5,
∴BO=3,
又∵BO=OD,∴BD=2BO=6,
∴BD的长为6.
x2- y2 (x- y)(x+ y)
19.解析 原式= = =x+y,
x- y x- y
把x=1+2√3,y=1-2√3代入,得x+y=2,
∴原式的值为2.
20.解析 (1)作图略.
(2)证明:∵平行四边形ABCD中有AB=CD,∠A=∠C,
△ABD翻折后有A'B=AB,∠A=∠A',∴A'B=CD,∠A'=∠C,
又∵∠A'EB=∠CED(对顶角相等),
∴△BA'E≌△DCE.
21.解析 (1)由“日均发微博条数”样本的数据可得m≥10的有15人.
15 1
故样本数据中为A级的频率P= = .
1
30 2
1
(2)1 000个18~35岁的青年人中“日均发微博条数”为A级的约为1 000× =500(人).
2
(3)样本数据中为C级的数据有:0,2,3,3,依题意可得下表:
0 2 3 3
0 (0,2) (0,3) (0,3)
2 (2,0) (2,3) (2,3)
3 (3,0) (3,2) (3,3)
3 (3,0) (3,2) (3,3)2 1
由上表可得抽得2个人的“日均发微博条数”都是3的概率P= = .
2
12 6
22.解析 (1)过点P作PC⊥AB交AB于点C,
∠PAC=90°-58°=32°,
PC
在Rt△PAC中,sin∠PAC= ,
PA
∴PC=sin∠PAC·AP=30×sin 32°≈15.9(海里),
故船P到海岸线MN的距离约为15.9海里.
PC
(2)∵∠PBC=90°-35°=55°,sin∠PBC= ,
PB
PC 30×sin32°
∴PB= = ,
sin∠PBC sin55°
PB 30×sin32°
∴t= = ≈1.3(小时),
B 15 15×sin55°
PA 30
t= = =1.5(小时).
A
20 20
∵t>t,
A B
∴B船先到达船P处.
23.解析 (1)∵B(2,2),四边形OABC是正方形,
∴C(0,2),
∵D是BC的中点,∴D(1,2),
k
∵点D(1,2)在反比例函数y= (k≠0)的图象上,
x
∴k=xy=1×2=2.(2)∵P点在y=2的图象上,∴可设P点坐标为( 2),
x,
x x
则R( 2).
0,
x
如图①,当01时,四边形CQPR为矩形,
Q点坐标为(x,2),
2
∴PR=x,PQ=2- ,
x
∴四边形CQPR的面积S=PR×PQ=x( 2)=2x-2(x>1).
2-
x
{-2x+2(01).
AB
24.解析 (1)证明:如图,连结OD,则OD= =2,
2
∵CD=OA=2,OC=2√2,
∴OD2+CD2=22+22=8=OC2,即△OCD是直角三角形,且∠ODC=90°,∴CD为☉O的切线.
(2)①连结OD,OE,
D为CE中点,则DE=CD=OA=OD=OE=2,
故△AOE,△ODC均为等腰三角形,△ODE为等边三角形,△OCE为直角三角形,
∴∠AOE=∠EOC=90°,故∠A=∠AEO=45°,∠OEC=60°,∠OCE=30°,
∴AE=2√2,EC=2CD=4,OC=√3OE=2√3,
∴△ACE的周长=AE+EC+AC=2√2+4+(2+2√3)=6+2√3+2√2.
②存在梯形AODE,解答如下:
∵AO、ED交于点C,
∴只有AE∥OD,使得四边形AODE是梯形,其中上下半圆中各一个,共有两个.连结OE.
∵CD=OA=OE=OD,
∴∠DCO=∠DOC=∠A=∠AEO,
∴△ODC≌△AOE(AAS),
∴OC=AE,∵AE∥OD,CD ED
∴ = ,即OC·ED=CD·AO=2×2=4,
OC AO
又∵OC=AE,∴AE·ED=OC·ED=4.(此时,可求得OC=AE=1+√5>2√2,满足条件)
25.解析 (1)∵抛物线y=ax2+bx+c过点A(1,0),
1
∴0=a×12+b×1+c=a+b+c,∴b=-a-c.
(2)∵抛物线y=ax2+bx+c不经过第三象限,显然有a>0,
1
∴点(0,c)一定在y轴的非负半轴上,即c≥0,
又∵a+b+c=0,a≠c,∴a+c>0,b=-(a+c)<0,
∴顶点B( b 4ac-b2 )中,
- ,
2a 4a
b -a-c a+c
横坐标- =- = >0,
2a 2a 2a
4ac-b2 4ac-(a+c)2 (a-c)2
纵坐标 = =- <0,
4a 4a 4a
∴顶点B一定在第四象限.
(3)∵抛物线y
1
=ax2+bx+c过点C(c
,b+8
),
a
∴b+8=a×(c) 2+b×c+c=c(a+b+c)=0,即b=-a-c=-8,
a a a
∵直线y=2x+m过点B( b 4ac-b2 )和C(c ),
2 - , ,b+8
2a 4a a
c
{ b+8=2× +m, a=2, a=4,
a { {
∴ 4ac-b2 ( b ) 解得
b=-8,
或
b=-8,
(a≠c,舍去).
=2× - +m, c=6, c=4,
4a 2a
m=-6 m=-2
b=-a-c=-8,
∴y=2x2-8x+6=2(x-2)2-2,y=2x-6,
1 2此时B(2,-2),由二次函数的性质知,当x≥1时,y≥-2.
1
