2022 年广州中考数学真题
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分.在每小题给出的四个选项
中,只有一项是符合题目要求的.)
1.(2022广州,1,3分)如图是一个几何体的侧面展开图,这个几何体可以是 (
)
A.圆锥 B.圆柱 C.棱锥 D.棱柱
2.(2022广州,2,3分)下列图形中,是中心对称图形的是 ( )
A B
C D
1
3.(2022广州,3,3分)代数式 有意义时,x应满足的条件为 ( )
√x+1
A.x≠-1B.x>-1 C.x<-1 D.x≤-1
4.(2022广州,4,3分)点(3,-5)在正比例函数y=kx(k≠0)的图象上,则k的值为
( )
3 5
A.-15 B.15 C.- D.-
5 3
5.(2022广州,5,3分)下列运算正确的是( )
a+1 1
A.√3 -8 =2 B. - =a(a≠0)
a a
C.√5+√5=√10 D.a2·a3=a5
6.(2022广州,6,3分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=-2,下列结
论正确的是( )A.a<0
B.c>0
C.当x<-2时,y随x的增大而减小
D.当x>-2时,y随x的增大而减小
7.(2022广州,7,3分)实数a,b在数轴上的位置如图所示,则 ( )
A.a=b B.a>b
C.|a|<|b| D.|a|>|b|
8.(2022广州,8,3分)为了疫情防控,某小区需要从甲、乙、丙、丁4名志愿者
中随机抽取2名负责该小区入口处的测温工作,则甲被抽中的概率是 ( )
1 1 3 5
A. B. C. D.
2 4 4 12
9.(2022广州,9,3分)如图,正方形ABCD的面积为3,点E在边CD上,且
CE=1,∠ABE的平分线交AD于点F,点M, N分别是BE,BF的中点,则MN的长
为 ( )
√6 √3 √6-√2
A. B. C.2-√3 D.
2 2 2
10.(2022广州,10,3分)如图,用若干根相同的小木棒拼成图形,拼第1个图形需
要6根小木棒,拼第2个图形需要14根小木棒,拼第3个图形需要22根小木棒,
…….若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2 022根小木棒,则n的值为 (
)A.252 B.253 C.336 D.337
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分.)11.(2022广州,11,3分)
在甲、乙两位射击运动员的10次考核成绩中,两人的考核成绩的平均数相同,方
差分别为 =1.45, =0.85,则考核成绩更为稳定的运动员是 (填“甲”
s2 s2
甲 乙
“乙”中的一个).
12.(2022广州,12,3分)分解因式:3a2-21ab= .
13.(2022广州,13,3分)如图,在▱ABCD中,AD=10,对角线AC与BD相交于点
O,AC+BD=22,则△BOC的周长为 .
3 2
14.(2022广州,14,3分)分式方程 = 的解是 .
2x x+1
15.(2022广州,15,3分)如图,在△ABC中,AB=AC,点O在边AC上,以O为圆心,
4为半径的圆恰好过点C,且与边AB相切于点D,交BC于点E,则劣弧D´E的长是
.(结果保留π)
16.(2022广州,16,3分)如图,在矩形ABCD中,BC=2AB,点P为边AD上的一个
动点,线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP',连接PP',CP'.
当点P'落在边BC上时,∠PP'C的度数为 ;
当线段CP'的长度最小时,∠PP'C的度数为 .
三、解答题(本大题共9小题,满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.)17.(2022广州,17,4分)解不等式:3x-2<4.
18.(2022广州,18,4分)如图,点D, E在△ABC的边BC上,∠B=∠C,BD=CE,求
证:△ABD≌△ACE.
19.(2022广州,19,6分)某校在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均
每天体育运动时间”的调查,根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频
数分布直方图.
频数分布表
运动时间t/min频数 频率
30≤t<60 4 0.1
60≤t<90 7 0.175
90≤t<120 a 0.35
120≤t<150 9 0.225
150≤t<180 6 b
合计 n 1
频数分布直方图
请根据图表中的信息解答下列问题:
(1)频数分布表中的a= ,b= ,n= ;
(2)请补全频数分布直方图;
(3)若该校九年级共有480名学生,试估计该校九年级学生平均每天体育运动时
间不低于120 min的学生人数.
20.(2022广州,20,6分)某燃气公司计划在地下修建一个容积为V(V为定值,単
位:m3)的圆柱形天然气储存室,储存室的底面积S(单位:m2)与其深度d(单位:
m)是反比例函数关系,它的图象如图所示.(1)求储存室的容积V的值;
(2)受地形条件限制,储存室的深度d需要满足16≤d≤25,求储存室的底面积S
的取值范围.
21.(2022广州,21,8分)已知T=(a+3b)2+(2a+3b)(2a-3b)+a2.
(1)化简T;
(2)若关于x的方程x2+2ax-ab+1=0有两个相等的实数根,求T的值.
22.(2022广州,22,10分)如图,AB是☉O的直径,点C在☉O上,且AC=8,BC=6.
(1)尺规作图:过点O作AC的垂线,交劣弧A´C于点D,连接CD(保留作图痕迹,
不写作法);
(2)在(1)所作的图形中,求点O到AC的距离及sin∠ACD 的值.
23.(2022广州,23,10分)某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测
量旗杆的高度.如图,在某一时刻,旗杆AB的影子为BC,与此同时在C处立一根
标杆CD,标杆CD的影子为CE,CD=1.6 m,BC=5CD.
(1)求BC的长;
(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求旗杆AB的高度.
条件①:CE=1.0 m;条件②:从D处看旗杆顶部A的仰角α为54.46°.
注:如果选择条件①和条件②分别作答,按第一个解答计分.
参考数据:sin 54.46°≈0.81,cos 54.46°≈0.58,tan 54.46°≈1.40.
24.(2022广州,24,12分)已知直线l:y=kx+b经过点(0,7)和点(1,6).(1)求直线l的解析式;
(2)若点P(m,n)在直线l上,以P为顶点的抛物线G过点(0,-3),且开口向下.
①求m的取值范围;
②设抛物线G与直线l的另一个交点为Q,当点Q向左平移1个单位长度后得到
4m 4m
的点Q'也在G上时,求G在 ≤x≤ +1的图象的最高点的坐标.
5 5
25.(2022广州,25,12分)如图,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,AB=6,连接BD.
(1)求BD的长;
(2)点E为线段BD上一动点(不与点B,D重合),点F在边AD上,且BE=√3DF.
①当CE⊥AB时,求四边形ABEF的面积;
②当四边形ABEF的面积取得最小值时,CE+√3CF的值是否也最小?如果是,求
CE+ CF的最小值;如果不是,请说明理由.
√32022 年广州中考数学真题
1.考点:展开图
A ∵圆锥的侧面展开图是扇形,
∴这个几何体是圆锥.故选A.
2.考点:轴对称、中心对称图形
C 选项A中的图形为轴对称图形,
选项B中的图形为轴对称图形,
选项C中的图形为中心对称图形,
选项D中的图形为轴对称图形.故选C.
3.考点:二次根式的意义
B ∵x+1>0,
∴x>-1,故选B.
4.考点:一次函数
D 将点(3,-5)代入y=kx中,得-5=3k,
5
解得k=- .故选D.
3
5.考点:实数的运算,整式的运算,分式的运算
D ∵√3 -8=-2≠2,∴A选项错误;
a+1 1 a+1-1 a
∵ - = = =1≠a(a≠0),
a a a a
∴B选项错误;
∵√5+√5=2√5≠√10,
∴C选项错误;
∵a2·a3=a2+3=a5,
∴D选项正确.故选D.
6.考点:二次函数
C ∵二次函数的图象开口向上,
∴a>0,故A选项错误;
∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上,
∴c<0,故B选项错误;
抛物线的对称轴为直线x=-2,
由图象可得当x<-2时,y随x的增大而减小,当x>-2时,y随x的增大而增大,故C选项正确,D选
项错误.
故选C.
7.考点:数轴
C 由题图可得-1<a<0,b>1,
所以a<b,故A选项错误,B选项错误;
∵0<|a|<1,|b|>1,
∴|a|<|b|,故C选项正确,D选项错误.故选C.
8.考点:概率
A 根据题意,画树状图如下:6 1
共有12种等可能的情况,其中甲被抽中有6种情况,所以甲被抽中的概率为 = ,故选A.
12 2
9.考点:正方形
D 如图,连接EF,过点F作FG⊥BE于点G,
∵正方形的面积为3,
∴正方形的边长为√3,
∵CE=1,
∴在Rt△BEC中,BE= =2,
√BC2+EC2
∵BF平分∠ABE,FA⊥AB,FG⊥BE,
∴FG=FA.易证△FAB≌△FGB,
∴BG=BA=√3,
∴EG=BE-BG=2-√3,
∵CD=√3,∴DE=√3-1.
设AF=FG=x,则FD=AD-AF=√3-x,
在Rt△DFE和Rt△FGE中,FD2+DE2=FG2+GE2=FE2,
∴(√3-x)2+(√3-1)2=x2+(2-√3)2,
解得x=1,∴FG=AF=1,
∴FE= = = = - .
√FG2+GE2 √12+(2-√3) 2 √8-4√3 √6 √2
∵点M,N分别为BE,BF的中点,
∴MN为△BEF的中位线,
EF √6-√2
∴MN= = .故选D.
2 2
10.考点:实数
B 第1个图形有6根小木棒,第2个图形有14根小木棒,第3个图形有22根小木棒,……,
第n个图形有6n+2(n-1)=(8n-2)根小木棒.
令8n-2=2 022,解得n=253.故选B.
11.考点:方差
答案 乙
解析 ∵ =1.45, =0.85,1.45>0.85,
s2 s2
甲 乙即 > ,
s2 s2
甲 乙
∴考核成绩更为稳定的是乙,故答案为乙.
方法总结
方差越小,数据越稳
定.
12.考点:分解因式
答案 3a(a-7b)
解析 3a2-21ab=3a(a-7b).
故答案为3a(a-7b).
13.考点:平行四边形
答案 21
解析 ∵四边形ABCD为平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD,BC=AD,
∵AC+BD=22,
1 1
∴OB+OC= (AC+BD)= ×22=11,
2 2
∵AD=10,
∴BC=AD=10,
∴△BOC的周长为OB+OC+BC=11+10=21.
故答案为21.
14.考点:分式方程
答案 x=3
3 2
解析 = ,
2x x+1
方程两边同乘2x(x+1),得3(x+1)=2·2x,
解得x=3.
经检验,x=3是原分式方程的解,
∴x=3.
15.考点:圆
答案 2π
解析 连接OE,OD.
∵AB=AC,OE=OC,
∴∠B=∠OEC=∠C,∴OE∥AB.
∵AB与☉O相切,
∴OD⊥AB,
∴∠ADO=90°,
∴∠DOE=∠ADO=90°.
∵OE=4,
90π×4
∴l = =2π.
D´E 180
故答案为2π.
16.考点:矩形
答案 120°;75°
解析 当点P'落在边BC上时,B,P',C三点共线,
∵BP=BP',∠PBP'=60°,
∴△BPP'为等边三角形,∴∠BP'P=60°,∴∠PP'C=120°.
将线段AD绕点B顺时针旋转60°得到线段A'D',易知线段A'D'为点P'的运动轨迹,设A'D'与BC
交于点E.易知∠A'EB=60°.
当CP'⊥A'D'时,CP'有最小值.
易证△ABP≌△A'BP',
∴∠A=∠A'=90°,∴A'B∥CP',
∴∠P'CE=∠A'BE=30°.
√3 2√3
设AB=A'B=a,则BC=2a,A'E= a,BE= a,
3 3
2√3 √3
∴CE=2a- a,∴EP'=a- a.
3 3
∴A'P'=A'E+EP'=a,∴A'B=A'P',∴∠A'P'B=45°,又∵△BPP'为等边三角形,∴∠A'P'P=15°,
∴∠PP'C=90°-15°=75°.
17.考点:解不等式
解析 3x-2<4,
3x<4+2,
3x<6,
x<2.
18.考点:全等三角形
解析 ∵∠B=∠C,
∴AB=AC.{
AB=AC,
在△ABD和△ACE中, ∠B=∠C,
BD=CE,
∴△ABD≌△ACE(SAS).
19.考点:统计
解析 (1)14;0.15;40.
详解:调查的总学生人数为n=4÷0.1=40,
6
所以a=40×0.35=14,b= =0.15.
40
∴a=14,b=0.15,n=40.
(2)补全的频数分布直方图如下.
9+6
(3) ×480=180(人).
40
答:估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于120 min的学生人数为180.
20.考点:反比例函数的实际应用
解析 (1)由题意得V=20×500=10 000(m3),
∴储存室的容积V的值为10 000 m3.
V 10 000
(2)由题意得S= = .
d d
∵16≤d≤25,
10 000 10 000
∴ ≤S≤ ,
25 16
即400≤S≤625,
∴储存室的底面积S的取值范围为400≤S≤625.
21.考点:整式、一元二次方程
解析 (1)T=a2+6ab+9b2+4a2-9b2+a2=6a2+6ab.
(2)∵方程x2+2ax-ab+1=0有两个相等的实数根,
∴Δ=(2a)2-4×1×(-ab+1)=0,
∴4a2+4ab-4=0,
∴a2+ab=1,
∴T=6a2+6ab=6(a2+ab)=6.
22.考点:尺规作图,圆
解析 (1)如图所示.(2)∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°.
在Rt△ABC中,AB= = =10,
√AC2+BC2 √82+62
∴OA=OB=OD=5.
1
设AC的垂线与AC交于点E,则AE=EC= AC=4.
2
∵点O是AB的中点,
1
∴OE= BC=3,则DE=OD-OE=2.
2
在Rt△DCE中,CD= =2 ,
√22+42 √5
DE 2 √5
∴sin∠ACD= = = .
CD 2√5 5
23.考点:解直角三角形
解析 (1)∵CD=1.6 m,BC=5CD,
∴BC=5×1.6=8(m).
(2)若选择条件①,
连接DE、AC,则根据题意知,DE∥AC,
∴∠DEC=∠ACB.
∵DC⊥BC,AB⊥BC,
∴∠DCE=∠ABC,
∴△DCE∽△ABC,
DC AB 1.6 AB
∴ = ,即 = .
EC BC 1 8
∴AB=1.6×8=12.8(m).
若选择条件②,过点D作DF⊥AB于点F,易得四边形DCBF为矩形,所以DF=BC=8
m,BF=DC=1.6 m,AF
在Rt△ADF中,tan∠ADF=tan α= ,
DF
∵tan α=tan 54.46°≈1.4,
AF
∴ ≈1.4,∴AF=11.2 m,
8
∴AB=AF+FB=11.2+1.6=12.8(m).
24.考点:抛物线的综合应用
解析 (1)将(0,7)和(1,6)代入y=kx+b,
{ b=7, {k=-1,
得 解得
k+b=6, b=7,
∴直线l的解析式为y=-x+7.
(2)①∵点P(m,n)在直线l上,∴n=-m+7,∴点P的坐标为(m,-m+7),∵点P为抛物线的顶点,
∴设抛物线的解析式为y=a(x-m)2-m+7,将(0,-3)代入,得-3=am2-m+7,易知m≠0,
∴a=m-10,∵抛物线开口向下,∴a<0,∴m-10<0,∴m<10且m≠0.
m2 m2
∴m的取值范围为m<10且m≠0.
②联立抛物线G与直线l的解析式得,
{ y=
m-10
(x-m) 2-m+7, 解得x=m,x= 10m .
m2 1 2
10-m
y=-x+7,
10m
∴点Q的横坐标为 ,
10-m
1 10m 5
依题意知m+ = ,∴m=2,m=- .
2 10-m 1 2 2
若m=2,则抛物线G的解析式为y=-2(x-2)2+5,
4m 4m 8 13
∵ ≤x≤ +1,即 ≤x≤ ,∴当x=2时,y的最大值为5,此时最高点的坐标为(2,5).
5 5 5 5
若m=-5,则抛物线G的解析式为y=-2( 5) 2 +19,∵4m≤x≤4m+1,即-2≤x≤-1,∴当
x+
2 2 2 5 5
x=-2时,y的最大值为9,此时最高点的坐标为(-2,9).
4m 4m
综上,G在 ≤x≤ +1的图象的最高点的坐标为(2,5)或(-2,9).
5 525.考点:二次函数的应用,三角形相似,菱形
解析 (1)过点A作AG⊥BD,垂足为G.
∵∠BAD=120°,
∴∠ABG=∠ADG=30°.
√3
∴BG= AB=3√3,
2
∴BD=2BG=6√3.
(2)①如图,延长CE交AB于点H,连接AE.
1 1
∵CH⊥AB,∠ABC=60°,∴BH= BC= AB,
2 2
∴CH为AB的垂直平分线,
∴AE=BE,∴∠EAH=∠EBH=30°,∴∠DAE=90°.
1 √3
∵BH= AB=3,∴EH= BH=√3,∴AE=BE=2EH=2√3.
2 3
√3
∵BE=√3DF,∴DF= BE=2,∴AF=4,
3
1 1 1 1
∴S =S +S = AE·AF+ AB·EH= ×2√3×4+ ×6×√3=7√3.
四边形ABEF △AEF △EAB
2 2 2 2
∴四边形ABEF的面积为7√3.
②当四边形ABEF的面积取得最小值时,CE+√3CF的值也最小.
如图,过点E作EP⊥AD,垂足为P.
设DF=x,则BE=√3x,DE=6√3-√3x,
1 √3
∴EP= DE=3√3- x.
2 2
∴S
△DEF
=1DF·EP=1x·(
3√3-
√3
x
)=-√3x2+3√3x=-√3(x-3)2+9√3,
2 2 2 4 2 4 4
∴当x=3时,S 有最大值,即S 有最小值,此时点F为AD的中点.
△DEF 四边形ABEF连接CE,EF,CF.过点B作射线BM,使∠ABM=30°,连接CA并延长交射线BM于点M,连接EM.
依题意知∠BMC=30°,∠MBC=90°,∴BM=√3BC=√3DC.
BM BE
∵BE=√3DF,∴ = =√3,∵∠MBE=∠CDF,
DC DF
∴△MBE∽△CDF,∴EM=√3CF,∴CE+√3CF=CE+EM.
当C、E、M三点共线时,CE+EM有最小值,
∵(CE+EM) =CM=2BC=12,∴CE+√3CF的最小值为12.
最小值
