2014 年广东省初中毕业生学业考试
数学试题（含答案全解全析）
第Ⅰ卷(选择题,共30分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题列出的四个选项中,只有一个是
正确的.
1.在1,0,2,-3这四个数中,最大的数是( )
A.1 B.0 C.2 D.-3
2.在下列交通标志图中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
3.计算3a-2a的结果正确的是( )
A.1 B.a C.-a D.-5a
4.把x3-9x分解因式,结果正确的是( )
A.x(x2-9) B.x(x-3)2 C.x(x+3)2 D.x(x+3)(x-3)
5.一个多边形的内角和是900°,这个多边形的边数是( )
A.10 B.9 C.8 D.7
6.一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球,其中3个红球,4个白球,从布袋中随机摸
出1个球,摸出的球是红球的概率为( )
4 3 3 1
A. B. C. D.
7 7 4 3
7.如图,在▱ABCD中,下列说法一定正确的是( )
A.AC=BD B.AC⊥BD C.AB=CD D.AB=BC
8.若关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是(
)
9 9 9 9
A.m> B.m< C.m= D.m<-
4 4 4 4
9.一个等腰三角形的两边长分别为3和7,则它的周长为( )
A.17 B.15 C.13 D.13或17
10.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图所示,关于该二次函数,下列说法错误的是(
··
)1
A.函数有最小值 B.对称轴是直线x=
2
1
C.当x< 时,y随x的增大而减少 D.当-1<x<2时,y>0
2
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)请将下列各题的正确答案填写在相应的位
置上.
11.计算:2x3÷x= .
12.据报道,截至2013年12月我国网民规模达618 000 000人.将618 000 000用科学记数法
表示为 .
13.如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,若BC=6,则DE= .
14.如图,在☉O中,已知半径为5,弦AB的长为8,那么圆心O到AB的距离为 .
{ 2x<8,
15.不等式组 的解集是 .
4x-1>x+2
16.如图,△ABC绕点A按顺时针旋转45°得到△AB'C',若∠BAC=90°,AB=AC=√2,则图中阴影
部分的面积等于 .
三、解答题(一)(本大题共3小题,每小题6分,共18分)
17.计算: +|-4|+(-1)0-(1) -1 .
√9
218.先化简,再求值:( 2 1 )·(x2-1),其中x=√3-1.
+
x-1 x+1 3
19.如图,点D在△ABC的AB边上,且∠ACD=∠A.
(1)作∠BDC的平分线DE,交BC于点E(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法);
(2)在(1)的条件下,判断直线DE与直线AC的位置关系(不要求证明).
四、解答题(二)(本大题共3小题,每小题7分,共21分)
20.如图,某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度.他们先在点A处测得树顶C的仰角为
30°,然后沿AD方向前行10 m,到达B点,在B处测得树顶C的仰角为60°(A、B、D三点在
同一直线上).请你根据他们的测量数据计算这棵树CD的高度(结果精确到0.1 m).(参考数据:
√2≈1.414,√3≈1.732)21.某商场销售的一款空调机每台的标价是1 635元,在一次促销活动中,按标价的八折销售,
仍可盈利9%.
利润 售价-进价
(1)求这款空调机每台的进价; (利润率= = )
进价 进价
(2)在这次促销活动中,商场销售了这款空调机100台,问盈利多少元?
22.某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多,浪费严重,于是准备在校内倡导“光盘行
动”,让同学们珍惜粮食.为了让同学们理解这次活动的重要性,校学生会在某天午餐后,随机
调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况,并将结果统计后绘制成了如图1和图2所示的不完整
的统计图.(1)这次被调查的同学共有 名;
(2)把条形统计图(图1)补充完整;
(3)校学生会通过数据分析,估计这次被调查的所有同学一餐浪费的食物可以供200人食用一
餐.据此估算,该校18 000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐.
五、解答题(三)(本大题共3小题,每小题9分,共27分)
23.如图,已知A( 1),B(-1,2)是一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y=m(m≠0,x<0)图象
-4,
2 x
的两个交点,AC⊥x轴于点C,BD⊥y轴于点D.
(1)根据图象直接回答:在第二象限内,当x取何值时,一次函数的值大于反比例函数的值?
(2)求一次函数的解析式及m的值;
(3)P是线段AB上一点,连结PC,PD,若△PCA与△PDB的面积相等,求点P的坐标.24.如图,☉O是△ABC的外接圆,AC是直径.过点O作线段OD⊥AB于点D,延长DO交☉O于
点P,过点P作PE⊥AC于点E,作射线DE交BC的延长线于点F,连结PF.
(1)若∠POC=60°,AC=12,求劣弧 ⏜ 的长(结果保留π);
PC
(2)求证:OD=OE;
(3)求证:PF是☉O的切线.25.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,BC=10 cm,AD=8 cm.点P从点B出发,在线段
BC上以每秒3 cm的速度向点C匀速运动,与此同时,垂直于AD的直线m从底边BC出发,
以每秒2 cm的速度沿DA方向匀速平移,分别交AB、AC、AD于点E、F、H.当点P到达
点C时,点P与直线m同时停止运动.设运动时间为t秒(t>0).
(1)当t=2时,连结DE,DF.求证:四边形AEDF是菱形;
(2)在整个运动过程中,所形成的△PEF的面积存在最大值.当△PEF的面积最大时,求线段BP
的长;
(3)是否存在某一时刻t,使△PEF是直角三角形?若存在,请求出此刻t的值;若不存在,请说明理
由.
答案全解全析：
一、选择题
1.C ∵-3<0<1<2,∴2最大.故选C.
2.C A项既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故A项错误;B项既不是轴对称图形,也不
是中心对称图形,故B项错误;C项既是轴对称图形,又是中心对称图形,故C项正确;D项是轴
对称图形,但不是中心对称图形,故D项错误.故选C.
评析 本题考查了轴对称图形和中心对称图形的判定,属容易题.
3.B 利用合并同类项的法则可知3a-2a=(3-2)a=a,故选B.4.D x3-9x=x(x2-9)=x(x+3)(x-3).故选D.
5.D 设这个多边形的边数为x,则180×(x-2)=900,解得x=7,故选D.
6.B 因为随机摸出一球的所有等可能的结果共有7种,其中摸出一个红球的等可能的结果
3
有3种,所以摸出的球是红球的概率为 ,故选B.
7
7.C 利用平行四边形的性质可知,只有C项一定正确.故选C.
9
8.B ∵一元二次方程有两个不相等的实数根,∴(-3)2-4m>0,∴m< .故选B.
4
9.A ∵三角形为等腰三角形,且三角形任意两边之和大于第三边,∴三角形的三边长分别为
3,7,7,∴周长为17.故选A.
10.D ∵抛物线的开口向上,∴函数有最小值,故A项正确;
1
∵抛物线与x轴交于(-1,0)、(2,0)两点,∴抛物线的对称轴是直线x= ,故B项正确;∵抛物线的
2
1 1
开口向上,对称轴为直线x= ,∴当x< 时,y随x的增大而减少,故C项正确;
2 2
∵当-1<x<2时,y<0,故D项错误.故选D.
评析 本题考查了二次函数的图象和性质及“数形结合”思想,考查了学生分析问题、解决
问题的能力,属于较难题.
二、填空题
11.答案 2x2
解析 2x3÷x=2(x3÷x)=2x2.
12.答案 6.18×108
解析 618 000 000=6.18×108.
13.答案 3
1
解析 ∵D、E分别是AB、AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE= BC=3.
2
14.答案 3
1
解析 作OC⊥AB于C,连结OA,则AC= AB=4,又OA=5,∴OC=√OA2-AC2=√52-42=3.
2
15.答案 1<x<4
解析 由2x<8,得x<4;由4x-1>x+2,得x>1,∴不等式组的解集为1<x<4.
16.答案 √2-1
解析 设AC'与BC的交点为D,B'C'与AB的交点为E,则AD=AE=AC·cos 45°=1.∵AC'=AC=
1 1 1 1
√2,∴C'D=√2-1,∴S = AE2- C'D2= ×12- ×(√2-1)2=√2-1.
阴影 2 2 2 2
评析 本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形的面积以及图形的旋转,属较难题.
三、解答题(一)(本解答题参考答案只提供一种解法,考生选择其他解法只要答案正确,相应
给分.)
17.解析 原式=3+4+1-2(4分)
=6.(6分)
2(x+1)+(x-1)
18.解析 原式= ·(x+1)(x-1)(2分)
(x+1)(x-1)
=2(x+1)+(x-1)(3分)
=3x+1.(4分)
√3-1 √3-1
当x= 时,原式=3× +1=√3.(6分)
3 319.解析 (1)作图正确(实线、虚线均可),
结论:DE即为所求.(3分)
(考生没有结论,但作图正确给满分)
(2)DE∥AC.(6分)
四、解答题(二)(本解答题参考答案只提供一种解法,考生选择其他解法只要答案正确,相应
给分.)
20.解析 ∵∠CAB=30°,∠CBD=60°,
∴∠ACB=60°-30°=30°,∴∠CAB=∠ACB,
∴BC=AB=10.(3分)
CD
在Rt△CBD中,sin 60°= ,
BC
√3
∴CD=BC·sin 60°=10× =5√3≈8.7(m).
2
答:这棵树高约8.7 m.(7分)
21.解析 (1)设这款空调机每台的进价是x元,(1分)
根据题意,得1 635×0.8-x=9%·x,(3分)
解得x=1 200.
答:该款空调机每台的进价是1 200元.(5分)
(2)100×1 200×9%=10 800(元).
答:商场盈利10 800元.(7分)
22.解析 (1)1 000.(2分)
(2)剩少量饭菜的人数为:1 000-(400+250+150)=200.
(补全条形统计图正确3分)(5分)
200
(3) ×18 000=3 600(人).
1 000
答:估计可供3 600人食用一餐.(7分)
五、解答题(三)(本解答题参考答案只提供一种解法,考生选择其他解法只要答案正确,相应
给分.)
23.解析 (1)-4<x<-1.(2分)
{1
(2)将A( 1),B(-1,2)分别代入y=kx+b,得 =-4k+b,
-4, 2
2
2=-k+b.1 5
解得k= ,b= .
2 2
1 5
∴一次函数的解析式为y= x+ .(4分)
2 2
m m
将B(-1,2)代入y= 中,得 =2,
x -1
∴m=-2.(6分)
(3)∵点P在线段AB上,
∴设P的坐标为( 1 5).(7分)
a, a+
2 2
∵S =S ,
△PCA △PDB
∴1×1×(a+4)=1×1×[ (1 5)],
2- a+
2 2 2 2 2
5
解得a=- ,(8分)
2
∴1a+5=1×( 5)+5=5.
-
2 2 2 2 2 4
∴点P的坐标是( 5 5).(9分)
- ,
2 4
24.解析 (1)∵AC是☉O的直径,
1 1
∴OC= AC= ×12=6.(1分)
2 2
60×π×6
⏜
∴劣弧 的长为 =2π.(3分)
PC
180
(2)证明:∵OD⊥AB,PE⊥AC,
∴∠ODA=∠OEP=90°.(4分)
又∵OA=OP,∠AOD=∠POE,
∴△AOD≌△POE,(5分)
∴OD=OE.(6分)
(3)证明:连结PA.
∵OD=OE,∴∠ODE=∠OED.
∵∠POC=∠ODE+∠OED,∴∠POC=2∠OED.
又∵∠POC=2∠PAC,∴∠PAC=∠OED.
∴PA∥DF,(7分)
∴∠PAD=∠FDB.
∵OD⊥AB,∴AD=BD.
∵AC是☉O的直径,
∴∠DBF=∠ADP=90°.
∴△PAD≌△FDB,
∴PA=FD.
∴四边形PADF是平行四边形.(8分)
∴PF∥AD,
∴∠FPD=∠ADP=90°,即OP⊥PF,
∵OP是☉O的半径,
∴PF是☉O的切线.(9分)
25.解析 (1)证明:如图1,当t=2时,HD=2t=4.
1
∵AD=8,∴HD= AD.(1分)
2
∵EF⊥AD,AD⊥BC,∴EF∥BC,
图1
∴E,F分别是AB,AC的中点.
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴D是BC的中点,
∴DE∥AC,DF∥AB,
∴四边形AEDF是平行四边形.(2分)
又∵AD⊥EF,
∴四边形AEDF是菱形.(3分)
图2
(2)如图2,∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC,
EF AH
∴ = ,
BC AD
EF 8-2t
∴ = ,
10 8
5
∴EF=10- t.(4分)
2
∴S
△PEF
=1EF·DH=1(
10-
5
t
)·2t=-5t2+10t
2 2 2 25
=- (t-2)2+10.(5分)
2
∴当S 取最大值时,t=2.
△PEF
此时,BP=3t=3×2=6(cm).(6分)
(3)存在.
①如图3,若∠PEF=90°,则PE∥AD.
图3
∴△BEP∽△BAD,
PE BP 2t 3t
∴ = ,∴ = ,
AD BD 8 5
∴t=0.
∵当t=0时,△EPF不存在,
∴t=0不合题意,舍去.(7分)
②如图4,若∠EPF=90°,在Rt△EPF中,
图4
连结PH,∵H是EF的中点,
∴PH=1EF=1( 5 )=5-5t.
10- t
2 2 2 4
在Rt△HDP中,∵HP2=HD2+DP2,
∴( 5 ) 2=(2t)2+(5-3t)2.
5- t
4
280
解得t=0或t= .
183
由①知,t=0不合题意,舍去,
280
∴t= .(8分)
183
③如图5,
图5若∠PFE=90°,则PF∥AD.
∴△CPF∽△CDA,
PF CP 2t 10-3t
∴ = ,∴ = ,
AD CD 8 5
40
解得t= .
17
40 280
综上所述,当t= 或 时,△PEF是直角三角形.(9分)
17 183
