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2014 年兰州市初中毕业生学业考试
数学试题（含答案全解全析）
( b 4ac-b2 )
参考公式:二次函数顶点坐标公式: - ,
2a 4a
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题:本大题15小题,每小题4分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的.
1.在下列绿色食品、循环回收、节能、节水的四个标志中,属于轴对称图形的是( )
2.下列说法中错误的是( )
A.掷一枚均匀的骰子,骰子停止转动后6点朝上是必然事件
B.了解一批电视机的使用寿命,适合用抽样调查的方式
C.若a是实数,则|a|<0是不可能事件
D.甲、乙两人各进行10次射击,两人射击成绩的方差分别为s2 =2,s2 =4,则甲的射击成绩更
甲 乙
稳定
3.函数y=√x+2中,自变量x的取值范围是( )
A.x>-2 B.x≥-2 C.x≠-2 D.x≤-2
4.期中考试后,班里有两位同学议论他们所在小组同学的数学成绩,小明说:“我们组成绩是86
分的同学最多”,小英说:“我们组的7位同学成绩排在最中间的恰好也是86分”.上面两位同
学的话能反映出的统计量是( )
A.众数和平均数 B.平均数和中位数
C.众数和方差 D.众数和中位数
5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,那么cos A的值等于( )
3 4 3 4
A. B. C. D.
4 3 5 5
6.抛物线y=(x-1)2-3的对称轴是( )
A.y轴 B.直线x=-1
C.直线x=1 D.直线x=-3
7.下列命题中正确的是( )
A.有一组邻边相等的四边形是菱形
B.有一个角是直角的平行四边形是矩形
C.对角线垂直的平行四边形是正方形D.一组对边平行的四边形是平行四边形
8.两圆的半径分别为2 cm、3 cm,圆心距为2 cm,则这两个圆的位置关系是( )
A.外切 B.相交 C.内切 D.内含
k-1
9.若反比例函数y= 的图象位于第二、四象限,则k的取值可能是( )
x
A.0 B.2 C.3 D.4
10.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根.下列选项中正确的是( )
A.b2-4ac=0 B.b2-4ac>0 C.b2-4ac<0 D.b2-4ac≥0
11.把抛物线y=-2x2先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度后,所得函数的表达式
为( )
A.y=-2(x+1)2+2 B.y=-2(x+1)2-2 C.y=-2(x-1)2+2 D.y=-2(x-1)2-2
12.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AB=2.将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得
△A'B'C,则点B转过的路径长为( )
π √3π 2π
A. B. C. D.π
3 3 3
13.如图,CD是☉O的直径,弦AB⊥CD于E,连结BC,BD.下列结论中不一定正确的是( )
⏜ ⏜
A.AE=BE B.
AD
=
BD
C.OE=DE D.∠DBC=90°
14.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,其对称轴为x=1.下列结论中错误的是( )
A.abc<0 B.2a+b=0 C.b2-4ac>0 D.a-b+c>0
15.如图,在平面直角坐标系中,四边形OBCD是边长为4的正方形,平行于对角线BD的直线l
从O出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,运动到直线l与正方形没有交点为
止.设直线l扫过正方形OBCD的面积为S,直线l运动的时间为t(秒).下列能反映S与t之间
函数关系的图象是( )第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题:本大题5小题,每小题4分,共20分.
16.在四个完全相同的小球上分别写上1,2,3,4四个数字,然后装入一个不透明的口袋内搅匀.
从口袋内任取出一个球记下数字后作为点P的横坐标x,放回袋中搅匀,然后再从袋中取出一
个球记下数字后作为点P的纵坐标y,则点P(x,y)落在直线y=-x+5上的概率是 .
17.如果菱形的两条对角线的长为a和b,且a,b满足(a-1)2+√b-4=0,那么菱形的面积等于
.
18.如图,△ABC为☉O的内接三角形,AB为☉O的直径,点D在☉O上,∠ADC=54°,则∠BAC的
度数等于 .
19.如图,在一块长为22米,宽为17米的矩形地面上,要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两
条道路分别与矩形的一条边平行),剩余部分种上草坪,使草坪面积为300平方米.设道路宽为
x米,根据题意可列出的方程为 .
20.为了求 1+2+22+23+…+2100的值,可令 S=1+2+22+23+…+2100,则 2S=2+22+23+24+…+2101,因此
2S-S=2101-1,所以S=2101-1,即1+2+22+23+…+2100=2101-1.仿照以上推理计算1+3+32+33+…+32 014
的值是 .
三、解答题:本大题8小题,共70分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
21.(本小题满分10分,每题5分)
(1)计算:(-1)2-2cos 30°+√3+(-2 014)0;
(2)当x为何值时,代数式x2-x的值等于1?22.(本小题满分5分)
如图,在△ABC中,先作∠BAC的角平分线AD交BC于点D;再以AC边上的一点O为圆心,过
A,D两点作☉O.(用尺规作图,不写作法,保留作图痕迹,并把作图痕迹用黑色签字笔加黑)
23.(本小题满分6分)
兰州市某中学对本校初中学生完成家庭作业的时间做了总量控制,规定每天完成家庭作业的
时间不超过1.5小时.该校数学课外兴趣小组对本校初中学生回家完成作业的时间做了一次
随机抽样调查,并绘制出频数分布表(如图1)和频数分布直方图(如图2)的一部分.
时间(小时) 频数(人数) 频率
0≤t<0.5 4 0.1
0.5≤t<1 a 0.3
1≤t<1.5 10 0.25
1.5≤t<2 8 b
2≤t<2.5 6 0.15
合计 1
图1图2
(1)在图1中,a= ,b= ;
(2)补全频数分布直方图;
(3)请估计该校1 400名初中学生中,约有多少学生在1.5小时以内完成了家庭作业.
24.(本小题满分8分)
如图,在电线杆上的C处引拉线CE,CF固定电线杆.拉线CE和地面成60°角,在离电线杆6米
处安置测角仪AB,在A处测得电线杆上C处的仰角为30°.已知测角仪AB的高为1.5米,求拉
线CE的长.(结果保留根号)25.(本小题满分9分)
k
如图,直线y=mx与双曲线y= 相交于A,B两点,A点的坐标为(1,2).
x
(1)求反比例函数的表达式;
k
(2)根据图象直接写出当mx> 时,x的取值范围;
x
(3)计算线段AB的长.
26.(本小题满分10分)
如图,AB是☉O的直径,点E是 ⏜ 上的一点,∠DBC=∠BED.
AD
(1)求证:BC是☉O的切线;
(2)已知AD=3,CD=2,求BC的长.27.(本小题满分10分)
给出定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称该四边形为勾
股四边形.
(1)在你学过的特殊四边形中,写出两种勾股四边形的名称;
(2)如图,将△ABC 绕顶点 B 按顺时针方向旋转 60°得到△DBE,连结 AD,DC,CE.已知
∠DCB=30°.
①求证:△BCE是等边三角形.
②求证:DC2+BC2=AC2,即四边形ABCD是勾股四边形.28.(本小题满分12分)
1
如图,抛物线y=- x2+mx+n与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于
2
点D.已知A(-1,0),C(0,2).
(1)求抛物线的表达式;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,直接写
出P点的坐标,如果不存在,请说明理由;
(3)点E是线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什
么位置时,四边形CDBF的面积最大?求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标.答案全解全析：
一、选择题
1.A A选项是轴对称图形,符合题意;B、C、D选项都不是轴对称图形,故选A.
评析 本题主要考查轴对称图形的定义,寻找对称轴,对称轴两侧的部分沿对称轴折叠后可重
合,属容易题.
2.A A选项是随机事件,故A错误;B选项具有破坏性,适合用抽样调查的方式;C选项是不可
能事件;D选项甲的方差比乙的方差小,故甲的射击成绩更稳定,B、C、D都正确,故选A.
3.B 根据题意得x+2≥0,解得x≥-2,故选B.
评析 本题考查二次根式的被开方数是非负数,属容易题.
4.D 在一组数据中出现次数最多的数是这组数据的众数,排在最中间的数是中位数,故选D.
评析 本题考查众数及中位数的定义,属容易题.
AC
5.D ∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3, ∴AB=√AC2+BC2=√42+32=5.∴cos A=
AB
4
= ,故选D.
5
评析 本题考查了锐角三角函数的定义,属容易题.
6.C 抛物线y=(x-1)2-3的对称轴是直线x=1,故选C.
评析 本题考查了二次函数的性质,属容易题.
7.B 有一组邻边相等的平行四边形是菱形,故A错误;对角线垂直的平行四边形是菱形,故
·· ··
C错误;两组对边平行的四边形是平行四边形,故D错误.B选项正确,故选B.
··
评析 本题考查特殊四边形的判定定理,属容易题.
8.B 因为3-20时,反比例函数
x
图象在第一、三象限内;当k<0时,反比例函数图象在第二、四象限内,属容易题.
10.B ∵一元二次方程有两个不相等的实数根,∴Δ=b2-4ac>0.故选B.
11.C 把抛物线y=-2x2先向右平移1个单位长度,得到函数y=-2(x-1)2的图象,再向上平移2
个单位长度后,所得函数的表达式为y=-2(x-1)2+2,故选C.
评析 本题考查了二次函数图象与平移变换,属容易题.
√3
12.B ∵在Rt△ABC中,BC=AB·cos 30°=2× =√3,
2
又∵将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A'B'C,
60π×√3 √3π
∴∠BCB'=60°,∴点B转过的路径长为 = .故选B.
180 3
评析 本题主要考查旋转的性质以及弧长公式的应用,属中等难度题.
13.C ∵CD是☉O的直径,且CD⊥AB,∴AE=BE, ⏜ = ⏜ ,
AD BD
∵CD是☉O的直径,
∴∠DBC=90°,但不能得出OE=DE.故选C.评析 本题考查了垂径定理,属容易题.
b
14.D 因为二次函数的图象的对称轴为直线x=1,即- =1,所以ab<0,因为二次函数的图象
2a
b
与y轴的交点在x轴的上方,所以c>0,则abc<0,A选项正确;由- =1,得2a+b=0,B选项正确;
2a
由题图知二次函数图象与x轴有两个交点,故有b2-4ac>0,C选项正确;直线x=-1与抛物线的
交点位于x轴的下方,即当x=-1时,y<0,所以a-b+c<0,D选项错误.故选D.
评析 在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状、对称轴及特殊点的关系,属中等难
度题.
15.答案
1 1
D ①当0≤t≤4时,S= ×t×t= t2.该函数图象是开口向上的抛物线的一部分.故B、C错误;②
2 2
1 1
当41.(写对一个得2分)(7分)
(3)过点A作AC⊥x轴,垂足为C.
∵A(1,2),∴AC=2,OC=1.
∴OA= = .(8分)
√22+12 √5
∴AB=2OA=2√5.(9分)
评析 本题考查函数图象的交点问题,用待定系数法求函数的解析式,以及反比例函数与不等
式的关系等,属容易题.
26.解析 (1)证明:∵AB是☉O的直径,
∴∠ADB=90°,∴∠BAD+∠ABD=90°.(2分)
又∵∠BAD=∠BED,(3分)
∠BED=∠DBC,
∴∠BAD=∠DBC.∴∠DBC+∠ABD=∠BAD+∠ABD=90°.(4分)
即∠ABC=90°.
∴BC是☉O的切线.(5分)
(2)∵∠BAD=∠DBC,∠C=∠C,
∴△ABC∽△BDC.(7分)
BC CD
∴ = ,即BC2=AC·CD=(AD+CD)·CD=10.(9分)
AC BC
∴BC=√10.(10分)
评析 本题考查了切线的判定以及相似三角形的判定和性质,属中等难度题.
27.解析 (1)正方形、矩形、直角梯形.(任选两个均可)(2分)
(2)证明:①∵△ABC≌△DBE,
∴BC=BE.(4分)
∵∠CBE=60°,
∴△BCE是等边三角形.(5分)
②∵△ABC≌△DBE,
∴AC=DE.(6分)
∵△BCE是等边三角形,
∴BC=CE,∠BCE=60°.(7分)
∵∠DCB=30°,
∴∠DCE=90°.(8分)
∴在Rt△DCE中,DC2+CE2=DE2,
∴DC2+BC2=AC2,(9分)
即四边形ABCD是勾股四边形.(10分)
评析 本题考查勾股定理,全等三角形的性质,等边三角形的判定与性质,属中等难度题.
1
28.解析 (1)∵抛物线y=- x2+mx+n经过点C(0,2),
2
∴n=2.
1 3
把A(-1,0)代入y=- x2+mx+2,可得m= .
2 2
1 3
∴抛物线的表达式为y=- x2+ x+2.(2分)
2 2
(2)在抛物线的对称轴上存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形.(3分)
P 1(3
,4
);(4分)
2
P 2(3
,
5);(5分)
2 2P 3(3
,-
5).(6分)
2 2
1 3
(3)当y=0时,- x2+ x+2=0,
2 2
解得x=-1,x=4,∴B(4,0).
1 2
设直线BC的表达式为y=kx+b(k≠0),
把B,C两点的坐标代入y=kx+b中,
1
解得k=- ,b=2.
2
1
∴直线BC的表达式为y=- x+2.(7分)
2
过点C作CM⊥EF,垂足为M.
设x轴的垂线EF与x轴相交于点N,E( 1 ),
a,- a+2
2
则F(
a,-
1
a2+
3
a+2
),
2 2
∴EF=-1a2+3a+2-( 1 )=-1a2+2a(0≤a≤4).(8分)
- a+2
2 2 2 2
1 1 1
∴S =S +S +S = OC·BD+ EF·CM+ ·EF·BN(9分)
四边形CDBF △BCD △CEF △BEF
2 2 2
=1×2×5+1(
-
1
a2+2a
)[a+(4-a)]
2 2 2 2
=5+1(
-
1
a2+2a
)×4
2 2 2
5
=-a2+4a+ (10分)
2
13
=-(a-2)2+ (0≤a≤4).
2
13
∴当a=2时,S 最大,最大值为 .(11分)
四边形CDBF
2
此时E(2,1).(12分)
评析 本题综合考查了利用待定系数法求函数的解析式的方法,等腰三角形的性质,四边形的面积等知识点,属难题.
