35
2019年兰州市初中学业水平考试
(满分:150分 考试时间:120分钟)
一、选择题:本大题共12小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.-2 019的相反数是( )
1 1
A. B.2 019C.-2 019 D.-
2 019 2 019
2.如图,直线a,b被直线c所截,a∥b,∠1=80°,则∠2=( )
A.130° B.120° C.110° D.100°
3.计算:√12-√3=( )
A.√3 B.2√3 C.3 D.4√3
4.剪纸是中国特有的民间艺术,在如图所示的四个剪纸图案中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
5.x=1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的解,则2a+4b=( )
A.-2 B.-3 C.4 D.-6
6.如图,四边形ABCD内接于☉O,若∠A=40°,则∠C=( )
A.110° B.120° C.135° D.140°
a2+1 2
7.化简: - =( )
a+1 a+1
a-1 1
A.a-1 B.a+1 C. D.
a+1 a+1
BC
8.已知△ABC∽△A'B'C',AB=8,A'B'=6,则 =( )
B'C'
4 16
A.2 B. C.3 D.
3 9
9.《九章算术》是中国古代数学著作之一,书中有这样一个问题:五只雀、六只燕共重一斤,雀重燕轻,互换其中一只,恰好一样重.问:每只雀、燕的重量各为多少?设一只雀的重量为x斤,一只燕的重量为y斤,则可列方程组为( )
{ 5x+6 y=1 { 6x+5 y=1 { 5x+6 y=1 { 6x+5 y=1
A. B. C. D.
5x- y=6 y-x 5x+ y=6 y+x 4x+ y=5 y+x 4x- y=5 y-x
10.如图,在平面直角坐标系xOy中,将四边形ABCD先向下平移,再向右平移得到四边形AB C D,已知A(-3,5),B(-4,3),A (3,3),则点B 坐标为( )
1 1 1 1 1 1A.(1,2) B.(2,1) C.(1,4) D.(4,1)
11.已知点A(1,y ),B(2,y )在抛物线y=-(x+1)2+2上,则下列结论正确的是( )
1 2
A.2>y >y B.2>y >y C.y >y>2 D.y >y>2
1 2 2 1 1 2 2 1
12.如图,边长为√2的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O,将正方形ABCD沿直线DF折叠,点C落在对角线BD上的点E处,折痕DF交AC于点M,则OM=( )
1 √2
A. B. C.√3-1 D.√2-1
2 2
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.
13.因式分解:a3+2a2+a= .
14.在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,则∠B= °.
k
15.如图,矩形OABC的顶点B在反比例函数y= (x>0)的图象上,S =6,则k= .
x 矩形OABC
1
16.如图,矩形ABCD,∠BAC=60°,以点A为圆心,以任意长为半径作弧分别交AB,AC于M,N两点,再分别以点M,N为圆心,以大于 MN的长为半径作弧交于点P,作射线AP交BC于点E,若BE=1,则矩形ABCD的面积等于 .
2
三、解答题:本大题共12小题,共86分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(5分)计算:|-2|-(√3+1)0+(-2)2-tan 45°.
18.(5分)化简:a(1-2a)+2(a+1)(a-1).{2x-1<x+5①,
19.(5分)解不等式组:
x+1
<x-1②.
3
20.(6分)如图,AB=DE,BF=EC,∠B=∠E.求证:AC∥DF.
21.(6分)2019年5月,以“寻根国学,传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强——国学知识挑战赛”总决赛拉开帷幕,小明晋级了总决赛.比赛过程分两个环节,参赛选手须在每个环节中各选择一道题目.
第一环节:写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙(分别用A,A ,A ,A 表示);
1 2 3 4
第二环节:成语听写、诗词对句、经典诵读(分别用B ,B ,B 表示).
1 2 3
(1)请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果;
(2)求小明参加总决赛抽取题目都是成语题目(成语故事、成语接龙、成语听写)的概率.
22.(7分)如图,AC=8,分别以A,C为圆心,以长度5为半径作弧,两条弧分别相交于点B和D,依次连接A,B,C,D,连接BD交AC于点O.
(1)判断四边形ABCD的形状并说明理由;
(2)求BD的长.
k
23.(7分)如图,在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y= (k≠0)的图象过等边三角形BOC的顶点B,OC=2,点A在反比例函数图象上,连接AC,AO.
x
k
(1)求反比例函数y= (k≠0)的表达式;
x
(2)若四边形ACBO的面积是3√3,求点A的坐标.24.(7分)为了解某校八年级学生一门课程的学习情况,小佳和小丽分别对八年级1班和2班本门课程的期末成绩进行了调查分析.
小佳对八年级1班全班学生(25名)的成绩进行分析,过程如下:
收集、整理数据:
表一
分数段
60≤x<70 70≤x<80 80≤x<90 90≤x≤100
班级
八年级1班 7 5 10 3
分析数据:
表二
统计量
平均数 中位数 众数 极差 方差
班级
八年级1班 78 85 36 105.28
小丽用同样的方法对八年级2班全班学生(25名)的成绩进行分析,数据如下:
表三
统计量
平均数 中位数 众数 极差 方差
班级
八年级2班 75 76 73 44 146.80
根据以上信息,解决下列问题:
(1)已知八年级1班学生的成绩处在80≤x<90这一组的数据如下:
85,87,88,80,82,85,83,85,87,85.
根据上述数据,将表二补充完整;
(2)你认为哪个班级的成绩更为优异?请说明理由.
25.(7分)某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究,过程如下:
问题提出:
如图1是某住户窗户上方安装的遮阳篷,要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光,又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内.
方案设计:如图2,该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC的遮阳篷CD.
数据收集:
通过查阅相关资料和实际测量:兰州市一年中,夏至这一天的正午时刻,太阳光线DA与遮阳篷CD的夹角∠ADC最大(∠ADC=77.44°);冬至这一天的正午时刻,太阳光线DB与遮阳篷CD的夹角∠BDC最小(∠BDC=30.56°);窗户的高度AB=2 m.
问题解决:
根据上述方案及数据,求遮阳篷CD的长.
(结果精确到0.1 m,参考数据:sin 30.56°≈0.51,cos 30.56°≈0.86,tan 30.56°≈0.59,sin 77.44°≈0.98,cos 77.44°≈0.22,tan 77.44°≈4.49)
26.(9分)如图,在△ABC中,AB=AC=6 cm,BC=8 cm,点D为BC的中点,BE=DE.将∠BDE绕点D顺时针旋转α度(0≤α≤83),角的两边分别交直线AB于M,N两点,设B,M两点间的距离为x cm,M,N两点间的距离为y cm.
小涛根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小涛的探究过程,请补充完整.
(1)列表:下表的已知数据是根据B,M两点间的距离x进行取点、画图、测量,分别得到了y与x的几组对应值:
8
x/cm 0 0.30 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 3.68 3.81 3.90 3.93 4.10
3
y/cm 2.88 2.81 2.69 2.67 2.80 3.15 3.85 5.24 6.01 6.71 7.27 7.44 8.87
请你通过计算,补全表格;
(2)描点、连线:在平面直角坐标系xOy中,描出表中各组数值所对应的点(x,y),并画出函数y关于x的图象;
(3)探究性质:随着自变量x的不断增大,函数y的变化趋势: ;
(4)解决问题:当MN=2BM时,BM的长度大约是 cm.(保留两位小数)
主题学习
通过对下面数学模型的研究学习,解决第27题、第28题.
【模型呈现】
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,将斜边AB绕点A顺时针旋转90°得到AD,过点D作DE⊥AC于点E,可以推理得到△ABC≌△DAE,进而得到AC=DE,BC=AE.
我们把这个数学模型称为“K型”.推理过程如下:
【模型应用】
27.(10分)如图,Rt△ABC内接于☉O,∠ACB=90°,BC=2.将斜边AB绕点A顺时针旋转一定角度得到AD,过点D作DE⊥AC于点E,∠DAE=∠ABC,DE=1,连接DO交☉O于点F.
(1)求证:AD是☉O的切线;
(2)连接FC交AB于点G,连接FB.求证:FG2=GO·GB.
【模型迁移】
28.(12分)二次函数y=ax2+bx+2的图象交x轴于A(-1,0),B(4,0)两点,交y轴于点C,动点M从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动,过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N,交抛物线于点D,连接AC.设运动的时间为t秒.
(1)求二次函数y=ax2+bx+2的表达式;
3
(2)连接BD,当t= 时,求△DNB的面积;
2
(3)在直线MN上存在一点P,当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时,求此时点D的坐标;
5
(4)当t= 时,在直线MN上存在一点Q,使得∠AQC+∠OAC=90°,求点Q的坐标.
4
352019年兰州市初中学业水平考试(参考答案)
一、选择题
1.B -2 019的相反数是2 019,故选B.2.D 由题图可知∠1的对顶角是80°,∵a∥b,∴∠2=180°-80°=100°.
3.A 原式=2√3-√3=√3.
4.C A、B既不是轴对称图形也不是中心对称图形;C既是轴对称图形也是中心对称图形;D是轴对称图形但不是中心对称图形.
5.A 将x=1代入方程可得1+a+2b=0,即a+2b=-1,∴2a+4b=2(a+2b)=-2,故选A.
6.D 由圆的a内2-接1四边形的性质可得∠A+∠C=180°,∴∠C=180°-40°=140°,故选D.
7.A 原式= =a-1,故选A. BC AB 8 4
a+1
8.B 由相似三角形的性质可得 = = = ,故选B.
B'C' A'B' 6 3
9.C 根据五只雀和六只燕共重一斤,列一个等式5x+6y=1,再根据四只雀加一只燕的重量等于五只燕加一只雀的重量,列一个等式4x+y=5y+x,故选C.
10.B ∵3=-3+6,3=5-2,∴四边形ABCD先向下平移2个单位长度,再向右平移6个单位长度,∴B 的坐标是(2,1),故选B.
1
11.A 由y=-(x+1)2+2知,抛物线开口向下,对称轴为直线x=-1,y的最大值为2,在对称轴右侧y随x的1增大而减小,又∵1<2,∴2>y
1
>y
2
,故选A.
12.D 连接EM,由折叠性质可知EM=CM,DE=DC=√2,在正方形ABCD中,AC=√2DC=2,OC=OD= AC=1,AC⊥BD,∴EM=CM=1-OM,OE=√2-1.
解法一:在Rt EOM中,OM2+OE2=EM2,即OM2+(√2-1)2 =(1-OM)2,解得OM=√2-1. 2
解法二:易知∠DMO=∠FMC,且∠DOC=∠DFC=90°,∴∠ODM=∠FCM,又∵OD=OC,∠DOM=∠COE=90°,∴△DOM≌△COE,∴OM=OE=√2-1,故选D.
二、填空题 △
13. 答案 a(a+1)2
解析 a3+2a2+a=a(a2+2a+1)=a(a+1)2.
14. 答案 70 180°-40°
解析 ∠B= =70°.
2
15. 答案 6
解析 ∵矩形OABC的面积等于6,∴BC·BA=6,即xy=6,∴k=6.
16. 答案 3√3 1 BE √3 BC
解析 由题意可知AP是∠BAC的平分线,∴∠BAE= ∠BAC=30°,在Rt ABE中,tan 30°= = ,而BE=1,∴AB=√3,在Rt ABC中,tan 60°= =√3,∴BC=3,∴S =AB×BC=√3×3=3√3.
2 AB 3 AB 矩形ABCD
三、解答题
17. 解析 原式=2-1+4-1=4. △ △
18. 解析 原式=a-2a2+2a2-2=a-2.
19. 解析 解①得x<6,解②得x>2,∴不等式组的解集为2<x<6.
20. 证明 ∵BF=EC,
∴BF+CF=EC+CF,
∴BC=EF,
在△ABC与△DEF中, {
AB=DE,
∠B=∠E,
∴△ABC≌△DEF(SAS), BC=EF,
∴∠ACB=∠EFD,
∴AC∥DF.
21. 解析 (1)小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果如下表:
二
B B B
1 2 3
一
A AB AB AB
1 1 1 1 2 1 3
A AB AB AB
2 2 1 2 2 2 3
A AB AB AB
3 3 1 3 2 3 3
A AB AB AB
4 4 1 4 2 4 3
1
(2)由题可知,A ,A ,B 代表成语题目,所以小明参加总决赛抽取题目都是成语题目的有AB ,A B 两种情况,由(1)知总共有12种情况,所以所求概率为 .
2 4 1 2 1 4 1 6
22. 解析 (1)由题可知,BD垂直平分AC,且AB=BC=CD=AD=5,
∴四边形ABCD为菱形.
(2)∵AC=8,BD⊥AC且BD平分AC,
∴OA=OC=4,
∴在Rt AOB中,OB=√AB2-OA2=√52-42=3,
∴BD=2OB=2×3=6,
∴BD的△长为6.
23. 解析 (1)∵OC=2,且△BOC为等边三角形,
∴B(-1,-√3),
√3
∴k=(-1)×(-√3)=√3,∴反比例函数表达式为y= .
x
(2)S
四边形A√C3BO
=S
BOC
+S
AOC
,过点A作AN⊥x轴于点N.
∵S
BOC
=
4
OC
△
2 1=√3,∴
△
√3+S
AOC
=3√3,
∴S
△AOC
=2√3,即
2
OC·AN=2√
1 △
3,又∵OC=2,∴AN=2√3,
设
即点
A
△
(
A
t,2
的
√3
坐
),
标
∴
为
2√
(
3 1t=
,
√
2
3
√
,∴
3 )
t=
. 2
,
2
24. 解析 (1)
统计
量 平均数中位数 众数 极差 方差
班级
八年级1
78 80 85 36 105.28
班(2)八年级1班的成绩更优秀,理由不唯一,合理即可,可以从平均数、中位数、众数、方差方面分析.
25. 解析 在BRCt BCD中,∠BCD=90°,∠BDC=30.56°,
∵tan∠BDC= ,∴BC=tan∠BDC·CD.
CD
在Rt ACD中A,∠ C△ACD=90°,∠ADC=77.44°,
∵tan∠ADC= ,∴AC=tan∠ADC·CD.
CD
∵AC△-BC=AB,∴tan∠ADC·CD-tan∠BDC·CD=2,代入数值可得(4.49-0.59)CD=2,∴CD≈0.5.
答:遮阳篷长度约为0.5 m. 8 10
26. 解析 (1)当x=0时,y=3.00;当x= 时,y= .
3 3
∵AB=AC,BE=DE,
∴∠B=∠C,∠B=∠EDB,
∴∠C=∠EDB,∴AC∥ED,
又∵D为BC的中点,
∴E为AB的中点,
∴当x=0时,M点、1 N点分别和B点、E点重合,
此时y8=MN=BE= AB=3.00.
2
当x= 时,假设直线DN交CA的延长线于点H,
3
∵∠NDB=∠DHC+∠C,∠NDB=∠MDB+∠MDN,
∴∠MDB+∠MDN=∠DHC+∠C,
根据旋转性质可得∠MDN=∠BDE=∠B=∠C,
∴∠MDB=∠DHC,
4
∴△CMHDBC ∽
D
△DHCCH,
∴ = ,∴ =8,
BD BM 4
∴CH=6=AC,即A1点0 与3H点重合,
∴y=MN=6-BM= .
3
(2)根据表格描点即可.
(3)先减小后增大.
(4)当点N在线段AB上时,由题意得MN=2x,AN=6-3x(0≤x≤2),
由(C1)H可知D△CMDBC ∽ H △D4HC, 16
∴ = ,∴ 16 = ,即CH= ,
BD BM 4 x x
∴HA=HC-AC= -6, AH AN
16 x
由DE∥-6AH6,易-3证x△HAN∽ 4 △DEN,∴ = ,
ED NE
即 x = ,得x= .
3x-3 3
当点N3 在BA的延长线上,且AC与DN交于点H时,
由题意得MN=2x,AN=3x-6(x>2),同理可得x=4.
∴当MN=2BM时,BM的长度大约是4.00 cm或1.33 cm.
27. 证明 (1)∵∠DAE=∠ABC,且∠ABC+∠CAB=90°,
∴∠EAD+∠CAB=90°,
∴∠DAB=90°,
又∵AO为☉O的半径,
∴AD为☉O的切线.
(2)如图,由模型可知△A
√
E
5
D≌△BCA,∴AC=DE=1,BC=AE=2,
∴AB=A5D=√5,A ∴ EAOA=D ,由DE(1)知2√ ∠
5
DAB=90°,
2
∴DO= ,易知 = = = ,∴△AED∽△DAO,
2 AD DO AO 5
∴∠EAD=∠ADO,∴AE∥DO,∴∠CFO=∠ FGACFG=O ∠ABF,
又∵∠FGO=∠BGF,∴△FGO∽△BGF,∴ = ,
BG FG
∴FG2=GO·GB.
1
{a=- ,
28
{
. 解a析- b+(12)将=0A,(-1,0),B(4,0)代2入y=ax2+bx+2中,
得 16a+4b+2=0, 解得 1 3 3
∴二次函3 数的表达式为y=- bx=2+ ,x+2.
2 2
(2)∵t= ,∴AM=3, 2
又∵OA 2 =1,∴OM=2, { n=2, { k=- 1 ,
设直线BC的解析式为y=k1x+n(k≠0),将C,B点的坐标代入,得
4k+n=0,
解得 2
∴直线BC的解析式1为y=3- x+2. 1 n=2.
2
将x=2分别代入y=- x2+ x+2和y=- x+2中,
2 2 2
得D(2,3),1N(2,1),∴DN=2.
∴S = ×2×2=2.
DNB 2
△
(3)由题意得BM=5-2t,M(2t-1,0),
设P(2t-1,m),
则PC2=(2t-1)2+(m-2)2,PB2=(2t-5)2+m2,
∵PB=PC,
∴(2t-5)2+m2=(2t-1)2+(m-2)2,
∴m=4t-5,
∴P(2t-1,4t-5),∵P4Ct ⊥-7PB4, t-5
∴ · =-1,
2t-1 2t-5
∴t=1或t=2,
经检验t=1或t=2为上述方程的解.
∴M(1,0)或M(3,0),
∴D(1,3)5或D(3,2).5
5 (3 ) 3
(
∠
4)
A
当
Q
t
C
=
+ 4 ∠
时
O
,A
A
M
C=
=
9 4 0°
×
,
2
只
=
需 2
,
∠
∴
A
M
QC 2 =
,
∠
0
A
,
B
由
C
(
,
1
则
)知
点
抛
Q
物
在
线
以
的
A
对
B
称
为
轴
直
方
径
程
的
是
圆上
x=
,且 2
,如
在
图
直
所
线
示
M
,
N
在
上
R
,
t
又
O
点
A
M
C中
为
,
圆
AC
心
=
,
√
∴
1
M
2+
Q
2
=
2=5 √
,∴
5,
Q
在
(
R3t
,
O5B
)
C
.
中,BC=√42+22=√20,又AB=5,∴AC2+BC2=AB2,∴∠ACB=90°,又∠AOC=90°,∴∠ACO=∠ABC,要使
2 2 2
△ △
