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2020年陕西省初中学业水平考试
(满分:120分 考试时间:120分钟)
第一部分 (选择题 共30分)
一、选择题(共10小题,每小题3分,计30分.每小题只有一个选项是符合题意的)
1.-18的相反数是 ( )
1 1
A.18 B.-18 C. D.-
18 18
2.若∠A=23°,则∠A余角的大小是 ( )
A.57° B.67° C.77° D.157°
3.2019年,我国国内生产总值约为990 870亿元,将数字990 870用科学记数法表示为 ( )
A.9.908 7×105 B.9.908 7×104
C.99.087×104 D.99.087×103
4.如图,是A市某一天的气温随时间变化的情况,则这天的日温差(最高气温与最低气温的差)是( )
A.4 ℃ B.8 ℃ C.12 ℃D.16 ℃
5.计算:( - 2 x2y ) 3 = ( )
3
8 8 8
A.-2x6y3B. x6y3 C.- x6y3 D.- x5y4
27 27 27
6.如图,在3×3的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上.若BD是△ABC的高,则BD的长为 ( )
10 9 8 7
A. √13 B. √13 C. √13 D. √13
13 13 13 13
7.在平面直角坐标系中,O为坐标原点.若直线y=x+3分别与x轴、直线y=-2x交于点A、B,则△AOB的面积为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.6
8.如图,在▱ABCD中,AB=5,BC=8.E是边BC的中点,F是▱ABCD内一点,且∠BFC=90°.连接AF并延长,交CD于点G.若EF∥AB,则DG的长为( )
5 3
A. B. C.3 D.2
2 2
9.如图,△ABC内接于☉O,∠A=50°.E是边BC的中点,连接OE并延长,交☉O于点D,连接BD,则∠D的大小为 ( )A.55° B.65° C.60° D.75°
10.在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2-(m-1)x+m(m>1)沿y轴向下平移3个单位,则平移后得到的抛物线的顶点一定在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
第二部分 (非选择题 共90分)
二、填空题(共4小题,每小题3分,计12分)
11.计算:(2+ √3)(2-√3)= .
12.如图,在正五边形ABCDE中,DM是边CD的延长线,连接BD,则∠BDM的度数是 .
第12题图
第14题图
k
13.在平面直角坐标系中,点A(-2,1),B(3,2),C(-6,m)分别在三个不同的象限.若反比例函数y= (k≠0)的图象经过其中两点,则m的值为 .
x
14.如图,在菱形 ABCD中,AB=6,∠B=60°,点E在边AD上,且AE=2.若直线l经过点E,将该菱形的面积平分,并与菱形的另一边交于点F,则线段EF的长为 .
三、解答题(共11小题,计78分.解答应写出过程)
{ 3x>6,
15.(本题满分5分)解不等式组:
2(5-x)>4.
x-2 3
16.(本题满分5分)解分式方程: - =1.
x x-2
17.(本题满分5分)如图,已知△ABC,AC>AB,∠C=45°.请用尺规作图法,在AC边上求作一点P,使∠PBC=45°.(保留作图痕迹,不写作法)18.(本题满分5分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠C.E是边BC上一点,且DE=DC.求证:AD=BE.
19.(本题满分7分)王大伯承包了一个鱼塘,投放了2 000条某种鱼苗,经过一段时间的精心喂养,存活率大致达到了90%.他近期想出售鱼塘里的这种鱼.为了估计鱼塘里这种鱼的总质量,王大伯随机捕捞了20条鱼,分别称得其质量后放回鱼塘.现将这
20条鱼的质量作为样本,统计结果如图所示:
(1)这20条鱼质量的中位数是 ,众数是 ;
(2)求这20条鱼质量的平均数;
(3)经了解,近期市场上这种鱼的售价为每千克18元,请利用这个样本的平均数,估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入多少元.
20.(本题满分7分)如图所示,小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元,他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN.他俩在小明家的窗台B处,测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数,由于楼下植物的遮挡,不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度
数.于是,他俩上楼来到小华家,在窗台C处测得商业大厦底部M的俯角∠2的度数,竟然发现∠1与∠2恰好相等.已知A,B,C三点共线,CA⊥AM,NM⊥AM,AB=31 m,BC=18 m,试求商业大厦的高MN.21.(本题满分7分)某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术.这种瓜苗早期在农科所的温室中生长,长到大约20 cm时,移至该村的大棚内,沿插杆继续向上生长.研究表明,60天内,这种瓜苗生长的高度y(cm)与生长时间x(天)之
间的关系大致如图所示.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)当这种瓜苗长到大约80 cm时,开始开花结果,试求这种瓜苗移至大棚后,继续生长大约多少天,开始开花结果.
22.(本题满分7分)小亮和小丽进行摸球试验.他们在一个不透明的空布袋内,放入两个红球,一个白球和一个黄球,共四个小球.这些小球除颜色外其他都相同.试验规则:先将布袋内的小球摇匀,再从中随机摸出一个小球,记下颜色后放回,称为摸球一
次.
(1)小亮随机摸球10次,其中6次摸出的是红球,求这10次中摸出红球的频率;
(2)若小丽随机摸球两次,请利用画树状图或列表的方法,求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率.23.(本题满分8分)如图,△ABC是☉O的内接三角形,∠BAC=75°,∠ABC=45°.连接AO并延长,交☉O于点D,连接BD.过点C作☉O的切线,与BA的延长线相交于点E.
(1)求证:AD∥EC;
(2)若AB=12,求线段EC的长.
24.(本题满分10分)如图,抛物线y=x2+bx+c经过点(3,12)和(-2,-3),与两坐标轴的交点分别为A,B,C,它的对称轴为直线l.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)P是该抛物线上的点,过点P作l的垂线,垂足为D,E是l上的点.要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等,求满足条件的点P,点E的坐标.
25.(本题满分12分)问题提出
(1)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC>BC,∠ACB的平分线交AB于点D.过点D分别作DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为E,F,则图1中与线段CE相等的线段是 ;
问题探究
(2)如图2,AB是半圆O的直径,AB=8.P是 上一点,且 =2 ,连接AP,BP.∠APB的平分线交AB于点C,过点C分别作CE⊥AP,CF⊥BP,垂足分别为E,F,求线段CF的长;
AB PB PA
⏜ ⏜ ⏜
问题解决
(3)如图3,是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图.已知☉O的直径AB=70 m,点C在☉O上,且CA=CB.P为AB上一点,连接CP并延长,交☉O于点D,连接AD,BD.过点P分别作PE⊥AD,PF⊥BD,垂足分别为E,F.按设计要求,四边形PEDF内部
为室内活动区,阴影部分是户外活动区,圆内其余部分为绿化区.设AP的长为x(m),阴影部分的面积为y(m2).
①求y与x之间的函数关系式;
②按照“少儿活动中心”的设计要求,发现当AP的长度为30 m时,整体布局比较合理.试求当AP=30 m 时,室内活动区(四边形PEDF)的面积.
图1图2
图3
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2020年陕西省初中学业水平考试
一、选择题
答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A B A C C D B D B D
1.A 由“只有符号不同的两个数互为相反数”可知-18的相反数是18.故选A.
2.B 由余角的定义可得∠A的余角为90°-23°=67°.故选B.
3.A 990 870=9.908 7×105,故选A.
4.C 由题图可知最高气温为8 ℃,最低气温为-4 ℃,所以日温差为8-(-4)=12 ℃.故选C.
5.C ( - 2 x2y ) 3 =( - 2) 3(x2)3y3=- 8 x6y3.故选C.
3 3 27
1 1 1 3 7 1
6.D 由题图可知S
△ABC
=3×3-
2
×1×2-
2
×2×3-
2
×3×1=9-1-3-
2
=
2
,AC=√22+32=√13.∵S
△ABC
=
2
·AC·BD,
2S 7 7
∴BD= △ABC= = √13,故选D.
AC √13 13
7.B 在y=x+3中,令y=0,可得x=-3,则A(-3,0).
{y=x+3, {x=-1,
联立 可得 ∴B(-1,2).
y=-2x, y=2.
1
∴S = ×2×3=3.故选B.
△AOB
2
8.D 延长EF交AD于H.∵EF∥AB,AB∥CD,∴EH∥CD,
AH FH 1 1 1
∴∠AHF=∠D,AH=HD.∵∠DAG=∠HAF,∴△AFH∽△AGD.∴ = .∵∠BFC=90°,E为BC的中点,∴EF=BE=EC= BC=4.由题意易得四边形ABEH为平行四边形,∴AB=EH=5,AH=BE= BC,∴HF=EH-EF=5-4=1.又AH=HD,∴AH= AD,∴DG=2FH=2.故选
AD DG 2 2 2
D.
1
9.B 连接CD.由四边形ABDC是圆内接四边形可知,∠A+∠BDC=180°.∵∠A=50°,∴∠BDC=130°.∵E为BC的中点,∴ = ,∴BD=CD,∴∠ODB= ∠BDC=65°.故选B.
BD CD
2
⏜ ⏜10.D 解法一:将抛物线y=x2-(m-1)x+m沿y轴向下平移3个单位后,得抛物线y=x2-(m-1)x+m-3=( m-1) 2 +-m2+6m-13,∴平移后得到的抛物线的顶点坐标为(m-1 -m2+6m-13).∵m>1,∴m-1>0,-m2+6m-13=-(m-3)2-4<0,即
x- ,
2 4 2 4 2
-m2+6m-13
<0.∴顶点在第四象限,故选D.
4
解法二:将抛物线y=x2-(m-1)x+m沿y轴向下平移3个单位后,得抛物线y=x2-(m-1)x+m-3.
∵m>1,∴Δ=b2-4ac=[-(m-1)]2-4(m-3)=(m-3)2+4>0.
m-1
∵m>1,∴ >0,∴对称轴在y轴右侧,又知抛物线开口向上,∴顶点在第四象限.故选D.
2
二、填空题
11. 答案 1
解析 (2+√3)(2-√3)=22-(√3)2=4-3=1.
12. 答案 144°
解析 在正五边形ABCDE中,∵∠C=108°,BC=CD,
180°-∠C
∴∠CDB= =36°,
2
∴∠BDM=180°-∠CDB=180°-36°=144°.
13. 答案 -1
k
解析 ∵A(-2,1),B(3,2),∴A在第二象限,B在第一象限.故A、B不可能同时在反比例函数y= (k≠0)的图象上.
x
k 1
若A、C在反比例函数y= (k≠0)的图象上,则k=-2,∴m= ,∴C在第二象限,不符合题意,舍去.
x 3
k
若B、C在反比例函数y= (k≠0)的图象上,则k=6,∴m=-1,∴C在第三象限,符合题意.故m=-1.
x
14. 答案 2√7
解析 过A作AG⊥BC于G,过E作EH⊥BC于H,
则四边形AGHE为矩形,∴AE=GH=2.
在菱形ABCD中,AB=6,∠B=60°,
√3 1
∴AG=ABsin B=6× =3√3=EH,BG=ABcos B=6× =3.
2 2
∴HC=BC-BG-GH=6-3-2=1.
∵EF平分菱形ABCD的面积,∴AE=FC=2.
∴FH=FC-CH=2-1=1.在Rt△EFH中,由勾股定理可得EF= = =2 .
√EH2+FH2 √(3√3)2+12 √7
三、解答题
15. 解析 由3x>6,得x>2. (2分)
由2(5-x)>4,得x<3. (4分)
∴原不等式组的解集为2<x<3. (5分)
16. 解析 由原方程,得(x-2)2-3x=x(x-2). (2分)
x2-4x+4-3x=x2-2x.
-5x=-4.
4
x= . (4分)
54
经检验,x= 是原方程的根. (5分)
5
17. 解析 如图,点P即为所求.
(5分)
18. 证明 ∵DE=DC,
∴∠DEC=∠C. (1分)
∵∠B=∠C,
∴∠DEC=∠B.∴AB∥DE. (3分)
∵AD∥BC,
∴四边形ABED为平行四边形. (4分)
∴AD=BE. (5分)
19. 解析 (1)1.45 kg;1.5 kg. (2分)
1.4+1.5
详解:将这20条鱼的质量按从小到大的顺序排列后,可知最中间的两个数为1.4和1.5,∴这20条鱼质量的中位数为 =1.45(kg).
2
∵1.5出现的次数最多,∴这20条鱼质量的众数为1.5 kg.
1.2×1+1.3×4+1.4×5+1.5×6+1.6×2+1.7×2
(2)x= =1.45(kg).
20
∴这20条鱼质量的平均数是1.45 kg. (5分)
(3)18×1.45×2 000×90%=46 980(元).
∴估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入46 980元. (7分)
20. 解析 如图,过点C作CE⊥MN,垂足为E,过点B作BF⊥MN,垂足为F,
∴∠CEF=∠BFE=90°.
∵CA⊥AM,NM⊥AM,
∴四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形.
∴CE=BF,ME=AC. (3分)
又知∠1=∠2,
∴△BFN≌△CEM.(5分)
∴NF=ME=31+18=49.
由矩形性质,易得EF=CB=18,
∴MN=NF+EM-EF=49+49-18=80(m).
∴商业大厦的高MN为80 m. (7分)
21. 解析 (1)当0≤x≤15时,设y=kx(k≠0),
4 4
则20=15k,∴k= .∴y= x. (2分)
3 3
当 15≤x≤60时,设y=k'x+b(k'≠0),
{ 10
则{20=15k'+b, 解之,得 k'= ,∴y=10x-30.
3
170=60k'+b. 3
b=-30.4
{ x,0≤x≤15,
∴y= 3 (5分)
10
x-30,15<x≤60.
3
10
(2)当y=80时,80= x-30.解之,得x=33. (6分)
3
33-15=18(天).
∴这种瓜苗移至大棚后,继续生长大约18天,开始开花结果. (7分)
6 3
22. 解析 (1)摸出红球的频率为 = . (3分)
10 5
(2)列表如下:
第二次
第一次
红1 红2 白 黄
红1 (红1 ,红1 ) (红1 ,红2 ) (红1 ,白) (红1 ,黄)
红2 (红2 ,红1 ) (红2 ,红2 ) (红2 ,白) (红2 ,黄)
白 (白,红1 ) (白,红2 ) (白,白) (白,黄)
黄 (黄,红1 ) (黄,红2 ) (黄,白) (黄,黄)
(5分)
由上表可知,共有16种等可能的结果,其中摸出一白一黄的结果有2种,
2 1
∴P(摸出一白一黄)= = . (7分)
16 8
23. 解析 (1)证明:如图,连接OC.
∵CE与☉O相切于点C,∴∠OCE=90°. (1分)
又∵∠ABC=45°,∴∠AOC=90°.
∴AD∥EC. (3分)
(2)如图,过点A作AF⊥EC,垂足为F.
∵OA=OC,∴四边形AOCF为正方形.
∵∠ABC=45°,∠BAC=75°,∴∠ACB=60°.∴∠D=60°.
∵AD是直径,∴∠ABD=90°,∴∠BAD=30°.
AB
在Rt△ABD中,AD= =8√3. (6分)
cos30°
∴AF=CF=OA=4√3.
∵AD∥EC,∴∠E=∠BAD=30°.
AF
在Rt△AEF中,EF= =12.∴EC=EF+FC=12+4√3.(8分)
tan30°
{12=9+3b+c, {b=2,
24. 解析 (1)由题意,得 解之,得
-3=4-2b+c, c=-3.
∴y=x2+2x-3. (3分)
(2)由(1)可得,对称轴l为直线x=-1.
令y=0,则x2+2x-3=0.
解之,得x=-3,x=1.∴A(-3,0),B(1,0).
1 2
令x=0,则y=-3.∴C(0,-3).∴OA=OC=3. (6分)
∵∠PDE=∠AOC=90°,
∴当PD=DE=3时,△PDE与△AOC全等.
设P(m,n),当点P在l右侧时,m-(-1)=3.
∴m=2.∴n=22+2×2-3=5.∴P(2,5).
∴E(-1,2)或E(-1,8). (9分)当点P在l左侧时,由抛物线的对称性可知,P(-4,5)也满足条件.
相应的点E的坐标同上.
∴满足条件的点P,点E的坐标为P(2,5)或P(-4,5),E(-1,2)或E(-1,8).(10分)
25. 解析 (1)CF,FD,DE. (3分)
详解:∵∠ACB=90°,DE⊥AC,DF⊥BC,
∴四边形DFCE是矩形.
又∵CD是∠ACB的平分线,
∴DE=DF,∴四边形DFCE是正方形.∴CE=CF=DF=DE.
(2)如图,连接OP.
∵AB是直径, =2 ,∴∠AOP=60°.∴∠B=30°.
PB PA
⏜ ⏜
由题意知,矩形PECF为正方形.(5分)
在Rt△APB中,PB=AB·cos 30°=4√3.
CF
在Rt△CBF中,BF= =√3CF.
tan30°
∵PF=CF,∴CF+√3CF=4√3.
∴CF=6-2√3. (7分)
(3)如图.①∵AB为直径,
∴∠ACB=∠ADB=90°.
∵AC=BC,∴∠ADC=∠BDC.∴PE=PF.
∴四边形PEDF为正方形.
∴∠APE+∠BPF=90°,∠PEA=∠PFB=90°.
∴将△APE绕点P逆时针旋转90°,得到△A'PF,PA'=PA,
则A'、F、B三点共线,△PA'B为直角三角形,∠A'PB=90°.
1 1
∴S +S =S = PA'·PB= x(70-x). (9分)
△PAE △PBF △PA'B
2 2
在Rt△ABC中,AC=BC=35√2,
1
∴S = AC2=1 225.
△ABC
2
1 1
∴y=S +S = x(70-x)+1 225=- x2+35x+1 225. (10分)
△PA'B △ABC
2 2
②当x=30时,PA'=30,PB=40.
在Rt△PA'B中,A'B= =50.
√302+402
1 1
∵S = A'B·PF= PB·PA',
△PA'B
2 2
1 1
∴ ×50×PF= ×30×40.∴PF=24.
2 2
∴S =PF2=242=576(m2).
四边形PEDF
∴当AP=30 m时,室内活动区(四边形PEDF)的面积为576 m2.(12分)
