文档文本内容
2020年湖南省怀化市中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共40分；每小題的四个选项中只有一项是正
确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）
1．（3分）下列数中，是无理数的是（ ）
A．﹣3 B．0 C． D．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a6÷a2＝a4
C．（2ab）3＝6a3b3 D．a2•a3＝a6
3．（3分）《三国演义》《红楼梦》《水浒传》《西游记》是我国古典长篇小
说四大名著．其中2016年光明日报出版社出版的《红楼梦》有350
万字，则“350万”用科学记数法表示为（ ）
A．3.5×106 B．0.35×107 C．3.5×102 D．350×104
4．（3分）若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（
）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．（3分）如图，已知直线a，b被直线c所截，且a∥b，若∠ ＝40°，则
α
第1页（共28页）∠ 的度数为（ ）
β
A．140° B．50° C．60° D．40°
6．（3分）小明到某公司应聘，他想了解自己入职后的工资情况，他需
要关注该公司所有员工工资的（ ）
A．众数 B．中位数 C．方差 D．平均数
7．（3分）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，
DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为（ ）
A．3 B． C．2 D．6
8．（3分）已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k
的值为（ ）
A．k＝4 B．k＝﹣4 C．k＝±4 D．k＝±2
9．（3分）在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为
第2页（共28页）2，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
10．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y ＝k x+b与反比例
1 1
函数y ＝ （x＞0）的图象如图所示、则当y ＞y 时，自变量x的取
2 1 2
值范围为（ ）
A．x＜1 B．x＞3 C．0＜x＜1 D．1＜x＜3
二、填空题（每小题3分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应
位置上）
11．（3分）代数式 有意义，则x的取值范围是 ．
12．（3分）因式分解：x3﹣x＝ ．
第3页（共28页）13．（3分）某校招聘教师，其中一名教师的笔试成绩是80分，面试成
绩是60分，综合成绩笔试占60%，面试占40%，则该教师的综合成
绩为 分．
14．（3分）如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，∠B＝
130°，则∠D＝ °．
15．（3分）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个
几何体的侧面积是 （结果保留 ）．
π
16．（3分）如图，△OB A ，△A B A ，△A B A ，…，△A B A ，都是一
1 1 1 2 2 2 3 3 n﹣1 n n
边在x轴上的等边三角形，点B ，B ，B ，…，B 都在反比例函数y＝
1 2 3 n
（x＞0）的图象上，点A ，A ，A ，…，A ，都在x轴上，则A 的坐
1 2 3 n n
第4页（共28页）标为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共86分）
17．计算： +2﹣2﹣2cos45°+|2﹣ |．
18．先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，然后从﹣1，0，1中选择适当
的数代入求值．
19．为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课
程可供选择，分别是“A．书画类、B．文艺类、C．社会实践类、D．体
育类”．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根
据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下
列问题：
第5页（共28页）（1）本次被抽查的学生共有 名，扇形统计图中“A．书画类”
所占扇形的圆心角的度数为 度；
（2）请你将条形统计图补全；
（3）若该校七年级共有600名学生，请根据上述调查结果估计该校
学生选择“C．社会实践类”的学生共有多少名？
（4）本次调查中抽中了七（1）班王芳和小颖两名学生，请用列表法
或画树状图法求她们选择同一个项目的概率．
20．如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树A点
处测得古树顶端 D的仰角为 30°，然后向古树底端 C步行 20米到
达点B处，测得古树顶端D的仰角为45°，且点A、B、C在同一直线
上求古树CD的高度．（已知： ≈1.414， ≈1.732，结果保留整数）
21．定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．
（1）下面四边形是垂等四边形的是 ；（填序号）
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形
第6页（共28页）（2）图形判定：如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，过
点D作BD垂线交BC的延长线于点E，且∠DBC＝45°，证明：四边
形ABCD是垂等四边形．
（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线
乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD内接
于⊙O中，∠BCD＝60°．求⊙O的半径．
22．某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共20台，已知甲
型平板电脑进价1600元，售价2000元；乙型平板电脑进价为2500
元，售价3000元．
（1）设该商店购进甲型平板电脑x台，请写出全部售出后该商店获
利y与x之间函数表达式．
（2）若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过39200元，全部售
第7页（共28页）出所获利润不低于8500元，请设计出所有采购方案，并求出使商
店获得最大利润的采购方案及最大利润．
23．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，延长AB到点D，
使CD＝CA，且∠D＝30°．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）分别过A、B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、F两点，过
C点作AB的垂线，垂足为点G．求证：CG2＝AE•BF．
24．如图所示，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴
相交于点C，点M为抛物线的顶点．
（1）求点C及顶点M的坐标．
（2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN求
△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．
（3）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是
第8页（共28页）否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求
出点G的坐标；若不存在，试说明理由．
（4）直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否
存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P
的坐标；若不存在，请说明理由．
第9页（共28页）2020年湖南省怀化市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共40分；每小題的四个选项中只有一项是正
确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）
1．【解答】解：﹣3，0， 是有理数， 是无理数．
故选：D．
2．【解答】解：a2与a3不是同类项，不能合并，因此选项A计算错误，
不符合题意；
a6÷a2＝a4，因此选项B计算正确，符合题意；
（2ab）3＝8a3b3≠6a3b3，因此选项C计算错误，不符合题意；
a2•a3＝a5≠a6，因此选项D计算错误，不符合题意．
故选：B．
3．【解答】解：350万＝350×104＝3.5×102×104＝3.5×106．
故选：A．
4．【解答】解：设这个多边形的边数为n，
根据题意得：180（n﹣2）＝1080，
第10页（共28页）解得：n＝8．
故选：C．
5．【解答】解：∵∠ ＝40°，
α
∴∠1＝∠ ＝40°，
α
∵a∥b，
∴∠ ＝∠1＝40°．
β
故选：D．
6．【解答】解：根据题意，小明到某公司应聘，了解这家公司的员工的
工资情况，就要全面的了解中间员工的工资水平，
故最应该关注的数据是中位数，
故选：B．
7．【解答】解：∵∠B＝90°，
∴DB⊥AB，
又∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，
∴由角平分线的性质得DE＝BE＝3，
第11页（共28页）故选：A．
8．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣k）2﹣4×1×4＝0，
解得：k＝±4．
故选：C．
9．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，
∴AC＝BD，且OA＝OB＝OC＝OD，
∴S ＝S ＝S ＝S ＝2，
△ADO △BCO △CDO △ABO
∴矩形ABCD的面积为4S ＝8，
△ABO
故选：C．
10．【解答】解：由图象可得，
当y ＞y 时，自变量x的取值范围为1＜x＜3，
1 2
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应
位置上）
11．【解答】解：由题意得：x﹣1＞0，
解得：x＞1，
第12页（共28页）故答案为：x＞1．
12．【解答】解：原式＝x（x2﹣1）＝x（x+1）（x﹣1），
故答案为：x（x+1）（x﹣1）
13．【解答】解：根据题意知，该名老师的综合成绩为 80×60%
+60×40%＝72（分）
故答案为：72．
14．【解答】证明：∵在△ADC和△ABC中
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠D＝∠B，
∵∠B＝130°，
∴∠D＝130°，
故答案为：130．
15．【解答】解：由三视图可知该几何体是圆柱体，其底面半径是4÷2＝
2，高是6，
圆柱的侧面展开图是一个长方形，长方形的长是圆柱的底面周长，
第13页（共28页）长方形的宽是圆柱的高，
且底面周长为：2 ×2＝4 ，
π π
∴这个圆柱的侧面积是4 ×6＝24 ．
π π
故答案为：24 ．
π
16．【解答】解：如图，过点B 作B C⊥x轴于点C，过点B 作B D⊥x
1 1 2 2
轴于点D，过点B 作B E⊥x轴于点E，
3 3
∵△OA B 为等边三角形，
1 1
∴∠B OC＝60°，OC＝A C，
1 1
∴B C＝ OC，
1
设OC的长度为t，则B 的坐标为（t， t），
1
把B（t， t）代入y＝ 得t• t＝ ，解得t＝1或t＝﹣1（舍去），
1
∴OA ＝2OC＝2，
1
∴A （2，0），
1
设 A D 的长度为 m，同理得到 B D＝ m，则 B 的坐标表示为
1 2 2
（2+m， m），
把B（2+m， m）代入y＝ 得（2+m）× m＝ ，解得m＝ ﹣1
2
第14页（共28页）或m＝﹣ ﹣1（舍去），
∴A D＝ ，A A ＝ ，OA ＝ ，
1 1 2 2
∴A （ ，0）
2
设A E的长度为n，同理，B E为 n，B 的坐标表示为（2 +n，
2 3 3
n），
把B （2 +n， n）代入y＝ 得（2 +n）• n＝ ，
3
∴A E＝ ，A A ＝ ，OA ＝ ，
2 2 3 3
∴A （ ，0），
3
综上可得：A （ ，0），
n
故答案为： ．
三、解答题（本大题共8小题，共86分）
17．【解答】解：原式＝
＝
第15页（共28页）＝
＝ ．
18．【解答】解：原式＝
＝
＝
＝ ．
∵x+1≠0且x﹣1≠0且x+2≠0，
∴x≠﹣1且x≠1且x≠﹣2，
当x＝0时，分母不为0，代入：
原式＝ ．
19．【解答】解：（1）本次被抽查的学生共有：20÷40%＝50（名），
扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为
；
故答案为：50，72；
（2）B类人数是：50﹣10﹣8﹣20＝12（人），
补全条形统计图如图所示：
第16页（共28页）（3） 名，
答：估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有96名；
（4）列表如下：
A B C D
A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D）
由表格可得：共有16种等可能的结果，其中王芳和小颖两名学生选
择同一个项目的结果有4种，
∴王芳和小颖两名学生选择同一个项目的概率＝ ．
20．【解答】解：由题意可知，AB＝20，∠DAB＝30°，∠C＝90°，∠DBC
＝45°，
第17页（共28页）∵△BCD是等腰直角三角形，
∴CB＝CD，
设CD＝x，则BC＝x，AC＝20+x，
在Rt△ACD中，
tan30°＝ ＝ ，
解得x＝10 +10≈10×1.732+10＝27.32≈27，
∴CD＝27，
答：CD的高度为27米．
21．【解答】解：（1）①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，
故不是垂等四边形；
②矩形对角线相等但不垂直，故不是垂等四边形；
③菱形的对角线互相垂直但不相等，故不是垂等四边形；
④正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形；
故选：④；
（2）∵AC⊥BD，ED⊥BD，
∴AC∥DE，
又∵AD∥BC，
第18页（共28页）∴四边形ADEC是平行四边形，
∴AC＝DE，
又∵∠DBC＝45°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BD＝DE，
∴BD＝AC，
又∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD是垂等四边形；
（3）如图，过点O作OE⊥BD，
∵四边形ABCD是垂等四边形，
∴AC＝BD，
又∵垂等四边形的面积是24，
∴ AC•BD＝24，
解得，AC＝BD＝4 ，
第19页（共28页）又∵∠BCD＝60°，
∴∠DOE＝60°，
设半径为r，根据垂径定理可得：
在△ODE中，OD＝r，DE＝ ，
∴r＝ ＝ ＝4，
∴⊙O的半径为4．
22．【解答】解：（1）由题意得：y＝（2000﹣1600）x+（3000﹣2500）（20
﹣x）＝﹣100x+10000，
∴全部售出后该商店获利 y 与 x 之间函数表达式为 y＝﹣
100x+10000；
（2）由题意得： ，
解得12≤x≤15，
∵x为正整数，
∴x＝12、13、14、15，
共有四种采购方案：
①甲型电脑12台，乙型电脑8台，
第20页（共28页）②甲型电脑13台，乙型电脑7台，
③甲型电脑14台，乙型电脑6台，
④甲型电脑15台，乙型电脑5台，
∵y＝﹣100x+10000，且﹣100＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x取最小值时，y有最大值，
即x＝12时，y最大值＝﹣100×12+10000＝8800，
∴采购甲型电脑12台，乙型电脑8台时商店获得最大利润，最大利
润是8800元．
23．【解答】（1）证明：连接OC，如图所示，
∵CA＝CD，且∠D＝30°，
∴∠CAD＝∠D＝30°，
∵OA＝OC，
∴∠CAD＝∠ACO＝30°，
∴∠COD＝∠CAD+∠ACO＝30°+30°＝60°，
∴∠OCD＝180°﹣∠D﹣∠COD＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴OC⊥CD，
第21页（共28页）∴CD是⊙O的切线；
（2）∵∠COB＝60°，且OC＝OB，
∴△OCB为等边三角形，
∴∠CBG＝60°，
又∵CG⊥AD，
∴∠CGB＝90°，
∴∠GCB＝∠CGB﹣∠CBG＝30°，
又∵∠GCD＝60°，
∴CB是∠GCD的角平分线，
∵BF⊥CD，BG⊥CG，
∴BF＝BG，
又∵BC＝BC，
∴Rt△BCG≌Rt△BCF（HL），
∴CF＝CG．
∵∠D＝30°，AE⊥ED，∠E＝90°，
∴∠EAD＝60°，
又∵∠CAD＝30°，
第22页（共28页）∴AC是∠EAG的角平分线，
∵CE⊥AE，CG⊥AB，
∴CE＝CG，
∵∠E＝∠BFC＝90°，∠EAC＝30°＝∠BCF，
∴△AEC∽△CFB，
∴ ，即AE•BF＝CF•CE，
又CE＝CG，CF＝CG，
∴AE•BF＝CG2．
24．【解答】解：（1）令y＝x2﹣2x﹣3中x＝0，此时y＝﹣3，
故C点坐标为（0，﹣3），
又∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点M的坐标为（1，﹣4）；
（2）过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点，连接BN，CN，如图1
所示：
第23页（共28页）令y＝x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x＝3或x＝﹣1，
∴B（3，0），A（﹣1，0），
设直线BC的解析式为：y＝ax+b，
代入C（0，﹣3），B（3，0）得： ，
解得 ，
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3，
设N点坐标为（n，n2﹣2n﹣3），故Q点坐标为（n，n﹣3），其中0＜
n＜3，
则 ＝
＝ ，（其中x ，x ，x 分别表示
Q C B
Q，C，B三点的横坐标），且QN＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣
n2+3n，x ﹣x ＝3，
B C
故 ，其中0＜n＜3，
当 时，S 有最大值为 ，
△BCN
此时点N的坐标为（ ），
第24页（共28页）（3）设D点坐标为（1，t），G点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），且B（3，
0），C（0，﹣3）
分情况讨论：
①当DG为对角线时，则另一对角线是BC，由中点坐标公式可知：
线段DG的中点坐标为 ，即 ，
线段BC的中点坐标为 ，即 ，
此时DG的中点与BC的中点为同一个点，
∴ ，解得 ，
经检验此时四边形DCGB为平行四边形，此时G坐标为（2，﹣3）；
②当DB为对角线时，则另一对角线是GC，由中点坐标公式可知：
线段DB的中点坐标为 ，即 ，
线段GC的中点坐标为 ，即 ，
此时DB的中点与GC的中点为同一个点，
∴ ，解得 ，
第25页（共28页）经检验此时四边形DCBG为平行四边形，此时G坐标为（4，5）；
③当DC为对角线时，则另一对角线是GB，由中点坐标公式可知：
线段DC的中点坐标为 ，即 ，
线段GB的中点坐标为 ，即 ，
此时DB的中点与GC的中点为同一个点，
∴ ，解得 ，
经检验此时四边形DGCB为平行四边形，此时G坐标为（﹣2，1）；
综上所述，G点坐标存在，为（2，﹣3）或（4，5）或（﹣2，1）；
（4）连接AC，OP，如图2所示：
设MC的解析式为：y＝kx+m，
代入C（0，﹣3），M（1，﹣4）得 ，
解得
∴MC的解析式为：y＝﹣x﹣3，令y＝0，则x＝﹣3，
∴E点坐标为（﹣3，0），
∴OE＝OB＝3，且OC⊥BE，
第26页（共28页）∴CE＝CB，
∴∠B＝∠E，
设P（x，﹣x﹣3），
又∵P点在线段EC上，
∴﹣3＜x＜0，
则 ， ，
由题意知：△PEO相似△ABC，
分情况讨论：
△PEO∽△CBA，
①
∴ ，
∴ ，
解得 ，满足﹣3＜x＜0，此时P的坐标为 ；
△PEO∽△ABC，
②
∴ ，
∴ ，
解得x＝﹣1，满足﹣3＜x＜0，此时P的坐标为（﹣1，﹣2）．
综上所述，P点的坐标为 或（﹣1，﹣2）．
第27页（共28页）第28页（共28页）
