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重庆市 2016 年初中毕业暨高中招生考试
数学试题（含答案全解全析）
(满分:150分 时间:120分钟)
参考公式:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为( b 4ac-b2 ),对称轴为x=- b .
- ,
2a 4a 2a
第Ⅰ卷(选择题,共48分)
一、选择题:(本大题12个小题,每小题4分,共48分)在每个小题的下面,都给出了代号为A,B,C,D的四
个答案,其中只有一个是正确的.
1.在实数-2,2,0,-1中,最小的数是( )
A.-2 B.2 C.0 D.-1
2.下列图形中是轴对称图形的是( )
3.计算a3·a2正确的是( )
A.a B.a5 C.a6 D.a9
4.下列调查中,最适合采用全面调查(普查)方式的是( )
A.对重庆市辖区内长江流域水质情况的调查
B.对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查
C.对一个社区每天丢弃塑料袋数量的调查
D.对重庆电视台“天天630”栏目收视率的调查
5.如图,AB∥CD,直线l交AB于点E,交CD于点F,若∠2=80°,则∠1等于( )
A.120° B.110° C.100° D.80°
6.若a=2,b=-1,则a+2b+3的值为( )
A.-1 B.3 C.6 D.5
1
7.函数y= 中,x的取值范围是( )
x+2
A.x≠0 B.x>-2 C.x<-2 D.x≠-2
8.△ABC与△DEF的相似比为1∶4,则△ABC与△DEF的周长比为( )
A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶16
9.如图,以AB为直径,点O为圆心的半圆经过点C,若AC=BC=√2,则图中阴影部分的面积是( )π 1 π π 1 π
A. B. + C. D. +
4 2 4 2 2 2
10.下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的,其中第①个图形中一共有4个小圆圈,第
②个图形中一共有10个小圆圈,第③个图形中一共有19个小圆圈,……,按此规律排列下去,第⑦个图
形中小圆圈的个数为( )
A.64 B.77 C.80 D.85
11.某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动.如图,在点A处测得直立于地面的大
树顶端C的仰角为36°.然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处,然后再沿水平方向行走6
米至大树底端D处,斜面AB的坡度(或坡比)i=1∶2.4,那么大树CD的高度约为(参考数据:
sin 36°≈0.59,cos 36°≈0.81,tan 36°≈0.73)( )
A.8.1米 B.17.2米 C.19.7米 D.25.5米
{1
12.从-3,-1,1,1,3这五个数中,随机抽取一个数,记为a.若数a使关于x的不等式组 (2x+7)≥3,
3
2
x-a<0
x a-2
无解,且使关于x的分式方程 - =-1有整数解,那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是
x-3 3-x
( )
3 1
A.-3 B.-2 C.- D.
2 2
第Ⅱ卷(非选择题,共102分)
二、填空题:(本大题6个小题,每小题4分,共24分)
13.据报道,2015年某市城镇非私营单位就业人员年平均工资超过60 500元,将数60 500用科学记数
法表示为 .
14.计算:√4+(-2)0= .
15.如图,OA,OB是☉O的半径,点C在☉O上,连接AC,BC.若∠AOB=120°,则∠ACB= 度.1
16.从数-2,- ,0,4中任取一个数记为m,再从余下的三个数中,任取一个数记为n.若k=mn,则正比例函
2
数y=kx的图象经过第三、第一象限的概率是 .
17.甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向,分别以不同的速度匀速跑步1 500米,先到终
点的人原地休息.已知甲先出发30秒后,乙才出发.在跑步的整个过程中,甲、乙两人的距离y(米)与甲
出发的时间x(秒)之间的关系如图所示.则乙到终点时,甲距终点的距离是 米.
18.正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,DE平分∠ADO交AC于点E,把△ADE沿AD翻折,得到
△ADE',点F是DE的中点,连接AF,BF,E'F.若AE=√2,则四边形ABFE'的面积是 .
三、解答题:(本大题2个小题,每小题7分,共14分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步
骤,画出必要的图形.
19.如图,点A,B,C,D在同一条直线上,CE∥DF,EC=BD,AC=FD.求证:AE=FB.
20.为响应“全民阅读”号召,某校在七年级800名学生中随机抽取100名学生,对该年级学生在
2015年全年阅读中外名著的情况进行调查.整理调查结果发现,学生阅读中外名著的本数,最少的有5
本,最多的有8本,并根据调查结果绘制了如图所示的不完整的条形统计图.其中阅读了6本的人数占
被调查人数的30%.根据图中提供的信息,补全条形统计图并估计该校七年级全体学生在2015年全
年阅读中外名著的总本数.七年级部分学生阅读中外名著本数条形统计图
四、解答题:(本大题4个小题,每小题10分,共40分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理
步骤,画出必要的图形.
21.计算:(1)(a+b)2-b(2a+b);(2)(2-2x )÷x2-x.
+x-1
x+1 x+1
k
22.在平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数y= (k≠0)的图象交于第二、
x
4
第四象限内的A、B两点,与y轴交于C点.过点A作AH⊥y轴,垂足为H,OH=3,tan∠AOH= ,点B的
3
坐标为(m,-2).
(1)求△AHO的周长;
(2)求该反比例函数和一次函数的解析式.
23.近期猪肉价格不断走高,引起了民众与政府的高度关注.当市场猪肉的平均价格达到一定的单价时,
政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格.
(1)从今年年初至5月20日,猪肉价格不断走高,5月20日比年初价格上涨了60%.某市民在今年5月
20日购买2.5千克猪肉至少要花100元钱,那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元?
(2)5月20日猪肉价格为每千克40元.5月21日,某市决定投入储备猪肉,并规定其销售价在5月20
日每千克40元的基础上下调a%出售.某超市按规定价出售一批储备猪肉,该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克40元的情况下,该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a%,且储备猪肉的销量占总
3 1
销量的 ,两种猪肉销售的总金额比5月20日提高了 a%,求a的值.
4 10
24.我们知道,任意一个正整数n都可以进行这样的分解:n=p×q(p,q是正整数,且p≤q),在n的所有这
p
种分解中,如果p,q两因数之差的绝对值最小,我们就称p×q是n的最佳分解,并规定:F(n)= .例如12
q
3
可以分解成1×12,2×6或3×4,因为12-1>6-2>4-3,所以3×4是12的最佳分解,所以F(12)= .
4
(1)如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方,我们称正整数a是完全平方数.
求证:对任意一个完全平方数m,总有F(m)=1;
(2)如果一个两位正整数t,t=10x+y(1≤x≤y≤9,x,y为自然数),交换其个位上的数与十位上的数得到的
新数减去原来的两位正整数所得的差为18,那么我们称这个数t为“吉祥数”.求所有“吉祥数”中
F(t)的最大值.
五、解答题:(本大题2个小题,每小题12分,共24分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理
步骤,画出必要的图形.
25.在△ABC中,∠B=45°,∠C=30°.点D是BC上一点,连接AD.过点A作AG⊥AD.在AG上取点F,连接
DF.延长DA至E,使AE=AF,连接EG,DG,CG,且GE=DF.
(1)若AB=2√2,求BC的长;
1
(2)如图1,当点G在AC上时,求证:BD= CG;
2
AB
(3)如图2,当点G在AC的垂直平分线上时,直接写出 的值.
CG1 2√3
26.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=- x2+ x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y
3 3
轴交于点C,抛物线的顶点为点E.
(1)判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)经过B,C两点的直线交抛物线的对称轴于点D,点P为直线BC上方抛物线上的一动点,当△PCD的
面积最大时,点Q从点P出发,先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处,再沿垂直于抛物线
对称轴的方向运动到y轴上的点N处,最后沿适当的路径运动到点A处停止.当点Q的运动路径最短
时,求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长;
(3)如图2,平移抛物线,使抛物线的顶点E在射线AE上移动,点E平移后的对应点为点E',点A的对应
点为点A'.将△AOC绕点O顺时针旋转至△A OC 的位置,点A,C的对应点分别为点A ,C ,且点A 恰好
1 1 1 1 1
落在AC上,连接C A',C E'.△A'C E'是否能为等腰三角形?若能,请求出所有符合条件的点E'的坐标;若不
1 1 1
能,请说明理由.
答案全解全析:
一、选择题
1.A 在实数中,负数小于正数、0,两个负数,绝对值大的反而小,所以-2,2,0,-1中,最小的数是-2,故选
A.
2.D 根据轴对称图形的概念:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图
形叫做轴对称图形,知选项D中的图形是轴对称图形,符合题意,故选D.
3.B 根据“同底数幂相乘,底数不变,指数相加”得a3·a2=a3+2=a5.故选B.
4.B 事关重大的调查往往选用普查,所以对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查,应采用全面调
查,故选B.
评析 本题考查了抽样调查和全面调查的区别,选择普查还是抽样调查要根据所要调查的对象的特
征灵活选用.一般来说,对于具有破坏性的调查、无法进行普查的调查、普查的意义或价值不大的调
查,应选择抽样调查;对于精确度要求高的调查、事关重大的调查往往选用普查.
5.C ∵AB∥CD,
∴∠1+∠DFE=180°,
∵∠DFE=∠2=80°,
∴∠1=180°-80°=100°.
故选C.
6.B 当a=2,b=-1时,原式=2+2×(-1)+3=3,故选B.
7.D 由分式有意义的条件得x+2≠0,解得x≠-2.故选D.
8.C 因为△ABC与△DEF的相似比为1∶4,所以由相似三角形周长的比等于相似比,得△ABC与
△DEF的周长比为1∶4,故选C.
9.A ∵AB为直径,∴∠ACB=90°.
又∵AC=BC=√2,∴△ACB为等腰直角三角形,∴OC⊥AB,△AOC和△BOC都是等腰直角三角形,
∴S =S ,OA=1,
△AOC △BOC
90·π·12 π
∴S =S = = .故选A.
阴影部分 扇形AOC 360 4
评析 求阴影部分的面积往往都是求不规则图形的面积,所以把不规则图形的面积转化为规则图形
的面积是解决这类问题的主要思路.几种常用的方法:(1)将待求面积的图形分割成几个规则图形后,将
规则图形的面积相加;(2)将阴影中部分图形等积变形后移位,组成规则图形求解;(3)将待求面积的图形
分割后,利用平移、旋转将部分图形移位,最后组成规则图形求解.
(1+2)×2
10.D 通过观察,第①个图形中小圆圈的个数为 +12=4,第②个图形中小圆圈的个数为
2
(1+3)×3 (1+4)×4
+22=10,第③个图形中小圆圈的个数为 +32=19,第④个图形中小圆圈的个数
2 2
(1+5)×5 (n+2)(n+1)
为 +42=31,以此类推,第 个图形中小圆圈的个数为 +n2,当n=7时,
2 2
(7+2)×(7+1)
+72=85,故第⑦个图形中小圆圈的个数为85.故选D.
2
11.A 作BF⊥AE于F,如图所示,
易知四边形BDEF为矩形,则FE=BD=6米,DE=BF,
∵斜面AB的坡度i=1∶2.4,∴AF=2.4BF,
设BF=x米,则AF=2.4x米,
在Rt△ABF中,x2+(2.4x)2=132,解得x=5,
∴DE=BF=5米,AF=12米,
∴AE=AF+FE=18米,
在Rt△ACE中,CE=AE·tan 36°≈18×0.73=13.14米,
∴CD=CE-DE=13.14-5≈8.1米,故选A.
{1
12.B 由 (2x+7)≥3,解得{x≥1,
3
x0,
∵k=mn,∴mn>0,∴符合条件的情况有2种,
2 1
∴正比例函数y=kx的图象经过第三、第一象限的概率是 = .
12 6
17.答案 175
解析 由题图得,甲的速度为75÷30=2.5米/秒,
设乙的速度为m米/秒,则(m-2.5)×(180-30)=75,解得m=3,
1 500
故乙从起点跑到终点所用的时间为 =500(秒),所以乙到终点时,甲跑的路程是2.5×(500+30)=
3
1 325(米),甲距终点的距离是1 500-1 325=175(米).
评析 本题考查了函数图象的应用,求解此类题时要善于从抽象的函数图象中找出实际的量,然后根
据实际情况列出方程(组)进行求解.
6+3√2
18.答案
2
解析 如图,连接EB、EE',设EE'交AD于点N.作EM⊥AB于M,
易知四边形AMEN为正方形.∵AE=√2,∴AM=EM=EN=AN=1,
∵ED平分∠ADO,EN⊥DA,EO⊥DB,∴EO=EN=1,
∴AO=√2+1,
∴AB=√2AO=2+√2,
∵四边形ABCD是正方形,∴根据对称性及翻折的性质,得△ADE≌△ADE'≌△ABE,
∴AE=AE',∠DAE=∠DAE'=45°,
∴△AEE'为等腰直角三角形,
1 √2
∵AB=2+√2,EM=1,∴S = AB·EM=1+ ,
△AEB 2 2
√2
∴S =S =S =1+ ,
△AED △ADE' △AEB
2
∴S =S -S -S =1×(2+ )2-2×( √2)=1+ ,S =2S =2+ ,
△BDE △ADB △AEB △AED √2 1+ √2 四边形AEDE' △AED √2
2 2
1
∵S = ×(√2)2=1,∴S =(2+√2)-1=1+√2,
△AEE' △DEE'
2
1 1+√2
∵DF=EF,∴S = S = ,
△EFE' 2 △DEE' 2
1 1+√2
∵DF=EF,S =1+√2,∴S = S = ,
△BDE △FEB 2 △BDE 2
1+√2 √2 1+√2 6+3√2
∴S =S +S +S +S =1+ +1+ + = .
四边形ABFE' △AEE' △EFE' △AEB △EFB
2 2 2 2
评析 本题考查正方形的性质、翻折(轴对称)的性质、全等三角形的性质、角平分线的性质等,解题
的关键是转化思想的应用.
三、解答题
19.证明 ∵CE∥DF,∴∠ACE=∠D.(3分)
在△ACE和△FDB中,
∵EC=BD,∠ACE=∠D,AC=FD,(5分)
∴△ACE≌△FDB.(6分)
∴AE=FB.(7分)
20.解析 补全条形统计图,如图所示.
七年级部分学生阅读中外名著本数条形统计图
(4分)
被抽查学生阅读中外名著的本数的平均数为5×20+6×30+7×35+8×15
=6.45(本).
100
七年级800名学生阅读中外名著的总本数约为6.45×800=5 160(本).
答:根据调查数据,估计该校七年级全体学生在2015年全年阅读中外名著的总本数约为5 160本.(7
分)
四、解答题
21.解析 (1)原式=a2+2ab+b2-2ab-b2(3分)
=a2.(5分)
2-2x+(x+1)(x-1) x+1
(2)原式= · (7分)
x+1 x(x-1)
x2-2x+1 x+1
= · (8分)
x+1 x(x-1)
(x-1)2 x+1
= · (9分)
x+1 x(x-1)
x-1
= .(10分)
x
22.解析 (1)∵AH⊥y轴于H,∴∠AHO=90°.
AH 4
∵tan∠AOH= = ,OH=3,∴AH=4.(2分)
OH 3
在Rt△AHO中,OA= = =5.(4分)
√AH2+OH2 √42+32
∴△AHO的周长为3+4+5=12.(5分)
(2)由(1)知,点A的坐标为(-4,3),
k
∵点A在反比例函数y= (k≠0)的图象上,
x
k
∴3= .∴k=-12.
-4
12
∴反比例函数的解析式为y=- .(7分)
x
12
∵点B(m,-2)在反比例函数y=- 的图象上,
x
12
∴- =-2.∴m=6.
m
∴点B的坐标为(6,-2).(8分)
∵点A(-4,3),B(6,-2)在一次函数y=ax+b(a≠0)的图象上,
{-4a+b=3,
∴
6a+b=-2.
{ 1
解这个方程组,得 a=- ,
2
b=1.1
∴一次函数的解析式为y=- x+1.(10分)
2
23.解析 (1)设今年年初的猪肉价格为每千克x元.
根据题意,得2.5×(1+60%)x≥100.(3分)
解这个不等式,得x≥25.
∴今年年初猪肉的最低价格为每千克25元.(4分)
(2)设5月20日该超市猪肉的销售量为1,根据题意,得
40×1(1+a%)+40(1-a%)×3(1+a%)=40( 1 ).
1+ a%
4 4 10
令a%=y,
1 3
原方程可化为40× (1+y)+40(1-y)× (1+y)
4 4
=40( 1 ).(7分)
1+ y
10
整理这个方程,得5y2-y=0.
解这个方程,得y =0,y =0.2.
1 2
∴a =0(不合题意,舍去),a =20.(9分)
1 2
∴a的值是20.(10分)
24.解析 (1)证明:对任意一个完全平方数m,设m=n2(n为正整数).
∵|n-n|=0,∴n×n是m的最佳分解.
n
∴对任意一个完全平方数m,总有F(m)= =1.(3分)
n
(2)设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为t',
则t'=10y+x.
∵t为“吉祥数”,∴t'-t=(10y+x)-(10x+y)=9(y-x)=18.
∴y=x+2.(6分)
∵1≤x≤y≤9,x,y为自然数,
∴“吉祥数”有:13,24,35,46,57,68,79.(7分)
1 4 2 5 2 3 4 1
易知F(13)= ,F(24)= = ,F(35)= ,F(46)= ,F(57)= ,F(68)= ,F(79)= .
13 6 3 7 23 19 17 79
5 2 4 3 2 1 1
∵ > > > > > > ,
7 3 17 19 23 13 79
5
∴所有“吉祥数”中F(t)的最大值是 .(10分)
7
五、解答题
25.解析 (1)过点A作AH⊥BC于H.
∴∠AHB=∠AHC=90°.
在Rt△AHB中,∵AB=2√2,∠B=45°,
√2
∴BH=AB·cos B=2√2× =2.
2√2
AH=AB·sin B=2√2× =2.(1分)
2
在Rt△AHC中,∵∠C=30°,∴AC=2AH=4.
√3
∴CH=AC·cos C=4× =2√3.(2分)
2
∴BC=BH+CH=2+2√3.(3分)
(2)证明:∵AG⊥AD,∴∠DAF=∠EAG=90°.
在Rt△DAF和Rt△GAE中,
∵AF=AE,DF=GE,
∴Rt△DAF≌Rt△GAE.
∴AD=AG.(4分)
过点A作AP⊥AB交BC于点P,连接PG.
∴∠BAP=90°,即∠BAD+∠DAP=90°.
∵∠DAG=90°,即∠DAP+∠PAG=90°.
∴∠BAD=∠PAG.
∵∠B=45°,∠BAP=90°,∴∠APB=∠B=45°.
∴AB=AP.
在△ABD和△APG中,
∵AB=AP,∠BAD=∠PAG,AD=AG,
∴△ABD≌△APG.
∴BD=PG,∠B=∠APG.(8分)
∴∠APG=45°.
∴∠BPG=∠APB+∠APG=45°+45°=90°.
∴∠CPG=90°.
在Rt△CPG中,∠C=30°.
1
∴PG= CG.(9分)
2
1
∴BD= CG.(10分)
2
AB √3+1
(3) = .(12分)
CG 2
26.解析 (1)△ABC为直角三角形.理由如下:
1 2√3
当y=0时,- x2+ x+3=0,
3 3
解这个方程,得x =-√3,x =3√3.
1 2
∴点A(-√3,0),B(3√3,0).
∴OA=√3,OB=3√3.
当x=0时,y=3,∴点C(0,3),∴OC=3.在Rt△AOC中,AC2=OA2+OC2=(√3)2+32=12.
在Rt△BOC中,BC2=OB2+OC2=(3√3)2+32=36.
又∵AB2=[3√3-(-√3)]2=48,12+36=48,∴AC2+BC2=AB2.
∴△ABC为直角三角形.(3分)
(2)如图,∵点B(3√3,0),C(0,3),
√3
∴直线BC的解析式为y=- x+3.
3
过点P作PG∥y轴交直线BC于点G.
设点P(
a,-
1
a2+
2√3
a+3
),则点G(
a,-
√3
a+3
),
3 3 3
∴PG=(
-
1
a2+
2√3
a+3
)-(
-
√3
a+3
)=-1a2+
√3
a.
3 3 3 3
设D点横坐标为x ,C点横坐标为x .
D C
1
S = ×(x -x )×PG
△PCD D C
2
=1× √3 ×( - 1 a2+√3a )
2 3
2
=-√3( 3√3)+9√3.
a-
6 2 8
3√3
∵0
