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2014 年连云港市高中段学校招生统一文化考试
数学试题（含答案全解全析）
( b 4ac-b2 )
参考公式:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点坐标为 - , .
2a 4a
第Ⅰ卷(选择题,共24分)
一、选择题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的)
1.下列实数中,是无理数的为( )
1
A.-1B.- C.√2 D.3.14
2
2.计算√(-3)2的结果是( )
A.-3B.3 C.-9D.9
3.在平面直角坐标系中,点P(-2,3)关于原点的对称点Q的坐标为( )
A.(2,-3) B.(2,3) C.(3,-2) D.(-2,-3)
4.“丝绸之路”经济带首个实体平台——中哈物流合作基地在我市投入使用,其年最大装卸能
力达410 000标箱.其中“410 000”用科学记数法表示为( )
A.0.41×106 B.4.1×105 C.41×104 D.4.1×106
5.一组数据1,3,6,1,2的众数和中位数分别是( )
A.1,6 B.1,1 C.2,1 D.1,2
6.如图,若△ABC和△DEF的面积分别为S、S,则( )
1 2
1 7 8
A.S= S B.S = S C.S =S D.S= S
1 2 2 1 2 2 1 2 1 5 2
7.如图,点P在以AB为直径的半圆内,连结AP、BP,并延长分别交半圆于点C、D,连结AD、
BC,并延长交于点F,作直线PF.下列说法一定正确的是( )
①AC垂直平分BF;②AC平分∠BAF;③FP⊥AB;④BD⊥AF.
A.①③ B.①④ C.②④ D.③④
k
8.如图,△ABC的三个顶点分别为 A(1,2),B(2,5),C(6,1).若函数y= 在第一象限内的图象与
x
△ABC有交点,则k的取值范围是( )49 25
A.2≤k≤ B.6≤k≤10 C.2≤k≤6 D.2≤k≤
4 2
第Ⅱ卷(非选择题,共126分)
二、填空题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分.)
9.使√x-1有意义的x的取值范围是 .
10.计算:(2x+1)(x-3)= .
11.一个正多边形的一个外角等于30°,则这个正多边形的边数为 .
12.若ab=3,a-2b=5,则a2b-2ab2的值是 .
m-1
13.若函数y= 的图象在同一象限内,y随x增大而增大,则m的值可以是 .(写出一
x
个即可)
14.如图,AB∥CD,∠1=62°,FG平分∠EFD,则∠2= °.
15.如图1,折线段AOB将面积为S的☉O分成两个扇形,大扇形、小扇形的面积分别为S 、
1
S S
S.若 1 = 2 ≈0.618,则称分成的 小扇形 为“黄金扇形”.生活中的折扇(如图2)大致是“黄金
2 S S ···
1
扇形”,则“黄金扇形”的圆心角约为 °.(精确到0.1)
16.如图1,将正方形纸片ABCD对折,使AB与CD重合,折痕为EF.如图2,展开后再折叠一次,
使点 C与点 E重合,折痕为 GH,点B的对应点为点 M,EM交AB于点 N,则tan∠ANE=
.
三、解答题(本大题共11小题,共102分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本题满分6分)(1) -1
计算|-5|+√327- .
3
18.(本题满分6分)
解不等式2(x-1)+5<3x,并把解集在数轴上表示出来.
19.(本题满分6分)
2 1-x
解方程 +3= .
x-2 2-x
20.(本题满分8分)
我市启动了第二届“美丽港城·美在悦读”全民阅读活动.为了解市民每天的阅读时间情况,
随机抽取了部分市民进行调查.根据调查结果绘制如下尚不完整的频数分布表:
阅读时间
0≤x<30 30≤x<60 60≤x<90 x≥90 合计
x(min)
频数 450 400 50
频率 0.4 0.1 1
(1)补全表格;
(2)将每天阅读时间不低于60 min的市民称为“阅读爱好者”.若我市约有500万人,请估计
我市能称为“阅读爱好者”的市民约有多少万人.21.(本题满分10分)
如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,DE∥AC,CE∥BD.
(1)求证:四边形OCED为菱形;
(2)连结AE、BE.AE与BE相等吗?请说明理由.
22.(本题满分10分)
如图1,在一个不透明的袋中装有四个球,分别标有字母A、B、C、D,这些球除了所标字母外
都相同.另外,有一面白色、另一面黑色、大小相同的4张正方形卡片,每张卡片两面的字母
相同,分别标有A、B、C、D.最初,摆成图2的样子,A、D是黑色,B、C是白色.
··
操作:①从袋中任意取一个球;
②将与取出球所标字母相同的卡片翻过来;③将取出的球放回袋中.
两次操作后,观察卡片的颜色.
(如:第一次取出球A,第二次取出球B,此时卡片的颜色变成 )
(1)求四张卡片变成相同颜色的概率;
(2)求四张卡片变成两黑两白,并恰好形成各自颜色矩形的概率.
23.(本题满分10分)
小林在某商店购买商品A、B共三次,只有一次购买时,商品A、B同时打折,其余两次均按标
价购买.三次购买商品A、B的数量和费用如下表:
购买商品A的 购买商品B的 购买
数量(个) 数量(个) 总费用(元)
第一次购物 6 5 1 140
第二次购物 3 7 1 110
第三次购物 9 8 1 062
(1)小林以折扣价购买商品A、B是第 次购物;
(2)求出商品A、B的标价;
(3)若商品A、B的折扣相同,问商店是打几折出售这两种商品的?
24.(本题满分10分)
在一次科技活动中,小明进行了模拟雷达扫描试验 .如图,表盘是△ABC,其中
AB=AC,∠BAC=120°.在点A处有一束红外光线AP,从AB开始,绕点A逆时针匀速旋转,每秒
钟旋转15°,到达AC后立即以相同旋转速度返回AB,到达后立即重复上述旋转过程.小明通
过试验发现,光线从AB处旋转开始计时,旋转1秒,此时光线AP交BC边于点M,BM的长为
(20√3-20)cm.
(1)求AB的长;
(2)从AB处旋转开始计时,若旋转6秒,此时光线AP与BC边的交点在什么位置?若旋转2014秒,交点又在什么位置?请说明理由.
25.(本题满分10分)
为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川上设定一个以大本营O为圆心,半径为4 km
的圆形考察区域,线段PP 是冰川的部分边界线(不考虑其他边界),当冰川融化时,边界线沿着
1 2
与其垂直的方向朝考察区域平行移动.若经过n年,冰川的边界线PP 移动的距离为s(km),并
1 2
3 9 7
且s与n(n为正整数)的关系是s= n2- n+ .以O为原点,建立如图所示的平面直角坐标
20 50 25
系,其中P、P 的坐标分别为(-4,9)、(-13,-3).
1 2
(1)求线段PP 所在直线对应的函数关系式;
1 2
(2)求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间.26.(本题满分12分)
已知二次函数y=x2+bx+c,其图象抛物线交x轴于点A(1,0),B(3,0),交y轴于点C.直线l过点C,
且交抛物线于另一点E(点E不与点A、B重合).
(1)求此二次函数关系式;
(2)若直线l 经过抛物线顶点D,交x轴于点F,且l∥l,则以点C、D、E、F为顶点的四边形能
1 1
否为平行四边形?若能,求出点E的坐标;若不能,请说明理由;
(3)若过点A作AG⊥x轴,交直线l于点G,连结OG、BE,试证明OG∥BE.
27.(本题满分14分)
某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究.已知AB=8.
问题思考:
如图1,点P为线段AB上的一个动点,分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF.
(1)当点P运动时,这两个正方形的面积之和是定值吗?若是,请求出;若不是,请求出这两个正
方形面积之和的最小值.
(2)分别连结AD、DF、AF,AF交DP于点K.当点P运动时,在△APK、△ADK、△DFK中,是否
存在两个面积始终相等的三角形?请说明理由.
图1
问题拓展:
(3)如图2,以AB为边作正方形ABCD,动点P、Q在正方形ABCD的边上运动,且PQ=8.若点
P从点A出发,沿A→B→C→D的线路,向点D运动.求点P从A到D的运动过程中,PQ的中点
O所经过的路径的长.图2
(4)如图3,在“问题思考”中,若点M、N是线段AB上的两点,且AM=BN=1,点G、H分别是
边CD、EF的中点.请直接写出点P从M到N的运动过程中,GH的中点O所经过的路径的
长及OM+OB的最小值.
图3
答案全解全析：
一、选择题
1.C 无限不循环小数是无理数,√2是开方开不尽的无限不循环小数,是无理数,故选C.
2.B = =3,故选B.
√(-3)2 √9
3.A 关于原点对称的点横、纵坐标均是原来的相反数,所以点P(-2,3)关于原点的对称点为
(2,-3).故选A.
4.B 410 000=4.1×105,故选B.
5.D 1出现2次,次数最多,所以众数是1,将这组数据按从小到大的顺序排列为1,1,2,3,6,所以
中位数为2,故选D.
1 1
6.C 过点A作AM⊥BC于点M,过点D作DN⊥EF交FE的延长线于点N,S= BC×AM=
1
2 2
1 1
×8×5×sin 40°,S = EF×DN= ×5×8×sin 40°,所以S=S ,故选C.
2 1 2
2 27.D 因为AB是半圆的直径,所以∠ADB=∠ACB=90°,所以BD、AC是△ABF的两条高,因为
三角形三条高相交于一点,所以PF⊥AB,故③④正确,故选D.
8.A 若反比例函数图象经过点 A(1,2),则 k=2.设直线 BC 的表达式为 y=mx+b,则
{2m+b=5, {m=-1,
解得 所以直线BC的表达式为y=-x+7,若反比例函数图象与直线BC
6m+b=1, b=7,
k
有交点,则反比例函数图象与直线 BC的交点横坐标x满足 =-x+7,即x2-7x+k=0,由Δ=b2-
x
49 49
4ac=49-4k≥0,得 k≤ ,当 k= 时,可求得反比例函数的图象与直线 BC 的交点坐标是
4 4
(7 7),该点在线段BC上.故当2≤k≤49时,反比例函数的图象与△ABC有交点,故选A.
,
2 2 4
二、填空题
9.答案 x≥1
解析 因为被开方数大于或等于0,所以x-1≥0,解得x≥1.
10.答案 2x2-5x-3
解析 (2x+1)(x-3)=2x2-6x+x-3=2x2-5x-3.
11.答案 12
解析 多边形外角和等于360°,所以所求正多边形的边数为360÷30=12.
12.答案 15
解析 a2b-2ab2=ab(a-2b)=3×5=15.
13.答案 不唯一,如-1(只需m<1即可)
解析 答案不唯一.根据反比例函数性质可知m-1<0,即m<1即可.
14.答案 31
解析 因为AB∥CD,所以∠EFD=∠1=62°,因为FG平分∠EFD,所以∠2=31°.
15.答案 137.5
解析 (1-0.618)×360°≈137.5°.
3
16.答案
4
解析 设正方形边长为2,DH=x,则DE=1,CH=2-x,EH=CH=2-x,在Rt△DEH中,(2-x)2=x2+1,解
3
3 DH 3
得 x= ,所以 tan∠HED= =4= ,因为∠HEN=90°,所以∠AEN+∠DEH=90°,又因为
4 ED 4
1
3
∠AEN+∠ANE=90°,所以∠ANE=∠DEH,所以tan∠ANE= .
4
评析 本题主要考查翻折的性质以及勾股定理、锐角三角函数、解直角三角形的综合运用,
抓住变换中不变的量是解决本题关键.
三、解答题
17.解析 原式=5+3-3=5.(6分)
18.解析 整理得2x-2+5<3x,-x<-3.(2分)
x>3.(4分)
解集在数轴上表示为
(6分)
19.解析 去分母,得2+3(x-2)=-(1-x),(2分)3
解得x= .(5分)
2
3 3
经检验,x= 是原方程的解,所以原方程的解是x= .(6分)
2 2
20.解析 (1)
阅读时间
0≤x<30 30≤x<60 60≤x<90 x≥90 合计
x(min)
频数 450 400 100 50 1 000
频率 0.45 0.4 0.1 0.05 1
(5分)
(2)500×(0.1+0.05)=500×0.15=75(万人).
答:我市能称为“阅读爱好者”的市民约有75万人.(8分)
21.解析 (1)证明:因为DE∥AC,CE∥BD,所以四边形OCED是平行四边形,
1 1
因为在矩形ABCD中,AC=BD且AC、BD互相平分,所以OC= AC= BD=OD.
2 2
所以四边形OCED是菱形.(6分)
(2)在矩形ABCD中,AD=BC,∠ADC=∠BCD.
由(1)知:四边形OCED是菱形,
则ED=EC,所以∠EDC=∠ECD.
所以∠CDE+∠ADC=∠DCE+∠BCD,即∠ADE=∠BCE.
因为在△ADE与△BCE中,AD=BC,∠ADE=∠BCE,DE=CE,
所以△ADE≌△BCE,所以AE=BE.(10分)
22.解析 (1)树状图如图所示:
(4分)
可看出,两次操作有16种等可能结果,
其中使全部卡片变成相同颜色的有4种.
4 1
所以P(两次操作后全部卡片变成相同颜色)= = .(7分)
16 4
(2)由(1)中的树状图可知,
8 1
两次操作后,P(恰好形成各自颜色矩形)= = .(10分)
16 2
23.解析 (1)三.(2分)
(2)设A、B两种商品的标价分别为x元,y元.
{6x+5 y=1 140, { x=90,
根据题意,得 解得
3x+7 y=1 110, y=120.
答:A、B两种商品的标价分别为90元、120元.(6分)
(3)设A、B两种商品均打a折出售.
a
根据题意,得(9×90+8×120)× =1 062.解得a=6.
10答:商店是打6折出售商品A、B的.(10分)
24.解析 (1)如图 1,过点 A 作 AD⊥BC,垂足为 D.因为∠BAC=120°,AB=AC,所以
∠ABC=∠C=30°.
1 √3
令AB=2t cm.在Rt△ABD中,AD= AB=t cm,BD= AB=√3t cm.
2 2
在Rt△AMD中,因为∠AMD=∠ABC+∠BAM=45°,所以MD=AD=t cm.
因为BM=BD-MD,所以√3t-t=20√3-20,解得t=20.
所以AB=2×20=40 cm.
答:AB的长为40 cm.(4分)
图1
(2)如图2,当光线旋转6秒时,设AP交BC于点N,此时∠BAN=15°×6=90°.
图2
40
AB 80√3
在Rt△ABN中,BN= =√3= cm.
cos30° 3
2
80√3
所以光线AP旋转6秒时,与BC的交点N在距点B cm处.(7分)
3
如图3,设光线AP旋转2 014秒时光线与BC的交点为Q.
图3
由题意可知,光线从边AB处开始到第一次回到AB处需8×2=16秒,又2 014=125×16+14,
所以AP旋转2 014秒与旋转14秒时和BC的交点是同一个点Q.
80√3
易求得,CQ= cm,BC=40√3cm,
3
80√3 40√3
所以BQ=BC-CQ=40√3- = cm.
3 3
40√3
所以光线AP旋转2 014秒时,与BC的交点Q在距点B cm处.(10分)
3
25.解析 (1)设直线PP 对应的函数关系式为y=kx+b(k≠0),
1 2
4
{k= ,
由题意,得{-4k+b=9, 解得 3
-13k+b=-3, 43
b= .
34 43
所以线段PP 所在直线对应的函数关系式为y= x+ .(3分)
1 2
3 3
(2)设线段PP 交x轴于点P,延长线段PP 交y轴于点P.
1 2 3 2 1 4
4 43 43 43 43 43
因为y= x+ ,所以当x=0时,y= ;当y=0时,x=- .所以,OP= ,OP= .
3 4
3 3 3 4 4 3
1 1
过点O作OH⊥PP,垂足为H,因为S = PP×OH= OP ×OP,
1 2 △OP 3 P 4 2 3 4 2 3 4
43 43
×
所以OH= OP 3 ×OP 4= 4 3 =43.
P
3
P
4
√ (43) 2
+
(43) 2 5
4 3
23
当PP 移动到与☉O相切时,冰川边界线移动的距离最短,最短距离=OH-4= .
1 2
5
3 9 7 23
由 n2- n+ = ,化简得5n2-6n-144=0,
20 50 25 5
解得n=6,或n=-4.8(舍去).
答:冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间为6年.(10分)
{1+b+c=0, {b=-4,
26.解析 (1)将点A(1,0),B(3,0)分别代入y=x2+bx+c得 解得
9+3b+c=0, c=3.
所以所求的二次函数关系式为y=x2-4x+3.(2分)
(2)能.因为y=x2-4x+3,所以C(0,3),D(2,-1).
假设以C、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形.
①当CD为平行四边形的对角线时(如图1,2),
因为点F在x轴上,设点F(m,0),
所以由点C(0,3)先向下平移3个单位再向左或向右平移|m|个单位得到点F.
因为CF∥ED,CF=ED,所以由点E到点D的平移过程与由点C到点F的平移过程一致.
又因为D(2,-1),所以点E的纵坐标为-1+3=2.
设E(x,2),所以x2-4x+3=2,解得x=2±√3.
当x=2±√3时,可得E(2+√3,2),F(-√3,0),或E(2-√3,2),F(√3,0).
此时四边形CFDE为平行四边形.
图1图2
②当CD为平行四边形一边时(如图3,4),
由点C(0,3)先向下平移4个单位再向右平移2个单位可得到点D(2,-1).
因为CD∥EF,CD=EF,所以由点E到点F的平移过程与由点C到点D的平移过程一致.
所以可设点E(x,4),由题意得x2-4x+3=4.解得x=2±√5.
当x=2±√5时,可得点E(2+√5,4)、点F(4+√5,0)或E(2-√5,4)、点F(4-√5,0).
此时四边形CDFE也是平行四边形.
图3
图4
综上所述,符合条件的点E坐标为(2+√3,2)、(2-√3,2)、(2+√5,4)、(2-√5,4).(7分)
(3)如图5,因为直线l过点C(0,3),所以直线l对应的函数关系式为y=kx+3.
又因为y=x2-4x+3,所以点E的坐标为(k+4,k2+4k+3).
过点E作EH⊥x轴,交x轴于点H,则点H的坐标为(k+4,0).
因为A(1,0),把x=1代入y=kx+3,得y=k+3.所以点G的坐标为(1,k+3).
所以OA=1,GA=|k+3|,BH=|k+4-3|=|k+1|,EH=|k2+4k+3|.
因为直线l不经过A、B两点,所以k≠-1,k≠-3,即k+1≠0,k+3≠0.
AG EH
又OA·EH=GA·BH,所以 = .
OA BH
AG EH
在Rt△GOA与Rt△EBH中, = ,所以Rt△GOA∽Rt△EBH.
OA BH
所以∠GOA=∠EBH.所以OG∥BE.(12分)图5
27.解析 问题思考:
(1)当点P运动时,这两个正方形的面积之和不是定值.
设AP=x,这两个正方形的面积之和为y,则BP=8-x.
所以y=x2+(8-x)2=2x2-16x+64=2(x-4)2+32.
所以当x=4时,这两个正方形的面积之和y有最小值,为32.(2分)
(2)△APK与△DFK是面积始终相等的三角形.
由(1)知:AP=x,BP=8-x.
当0
