连云港市 2013 年高中段学校招生统一文化考试
数学试题（含答案全解全析）
(满分:150分 时间:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共 24 分)
一、选择题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的)
1.下列各数中是正数的为( )
1
A.3 B.- C.-√2 D.0
2
2.计算a2·a4的结果是( )
A.a8 B.a6 C.2a6 D.2a8
3.将一包卷筒卫生纸按如图所示的方式摆放在水平桌面上,则它的俯视图是( )
4.为了传承和弘扬港口变化,我市将投入6 000万元建设一座港口博物馆.其中“6 000万”用
科学记数法可表示为( )
A.0.6×108 B.6×108
C.6×107 D.60×106
5
5.在Rt△ABC中,∠C=90°,若sin A= ,则cos A的值为( )
13
5 8 2 12
A. B. C. D.
12 13 3 13
6.如图,数轴上的点A、B分别对应实数a、b,下列结论中正确的是( )
A.a>b B.|a|>|b|
C.-a<b D.a+b<0
7.在一个不透明的布袋中,红球、黑球、白球共有若干个,除颜色外,形状、大小、质地等完全
相同.小新从布袋中随机摸出一球,记下颜色后放回布袋中,摇匀后再随机摸出一球,记下颜色,
…,如此大量摸球试验后,小新发现其中摸出红球的频率稳定于20%,摸出黑球的频率稳定于
50%.对此试验,他总结出下列结论:①若进行大量摸球试验,摸出白球的频率应稳定于30%;②若从布袋中任意摸出一个球,该球是黑球的概率最大;③若再摸球100次,必有20次摸出的是
红球.其中说法正确的是( )
A.①②③ B.①② C.①③ D.②③
8.如图,正方形ABCD的边长为4,点E在对角线BD上,且∠BAE=22.5°,EF⊥AB,垂足为F,则
EF的长为( )
A.1 B.√2 C.4-2√2 D.3√2-4
第Ⅱ卷(非选择题,共 126 分)
二、填空题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分)
9.计算:(√3)2= .
10.使√x+1有意义的x的取值范围是 .
11.分解因式:4-x2= .
12.若正比例函数y=kx(k为常数,且k≠0)的函数值y随着x的增大而减小,则k的值可以是
.(写出一个即可)
13.据市房管局统计,今年某周我市8个县区的普通住宅成交量如下表:
区县 赣榆 东海 灌云 灌南 新浦 海州 连云区 开发区
成交量(套) 105 101 53 72 110 50 56 88
则该周普通住宅成交量的中位数为 套.
14.如图,一束平行太阳光线照射到正五边形上,则∠1= °.
15.如图,△ABC内接于☉O,∠ACB=35°,则∠OAB= °.
16.点O在直线AB上,点A,A ,A ,…在射线OA上,点B ,B ,B ,…在射线OB上,图中的每一个
1 2 3 1 2 3
实线段和虚线段的长均为1个单位长度.一个动点M从O点出发,按如图所示的箭头方向沿
着实线段和以O为圆心的半圆匀速运动,速度为每秒1个单位长度.按此规律,则动点M到达
A 点处所需时间为 秒.
101三、解答题(本大题共11小题,共102分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本题满分6分)计算:(1) -1 +( -1)0+2×(-3).
√2
5
{ x-5<1,
18.(本题满分6分)解不等式组
x+2≤4x-7.
19.(本题满分6分)先化简,再求值:( 1 1)÷m2-2mn+n2,其中m=-3,n=5.
-
m n mn
20.(本题满分8分)某校为了解“理化生实验操作”考试的备考情况,随机抽取了一部分九年
级学生进行测试,测试结果分为“优秀”“良好”“合格”“不合格”四个等级,分别记为
A、B、C、D.根据测试结果绘制了如下尚不完整的统计图.
(1)本次测试共随机抽取了 名学生.请根据数据信息补全条形统计图;(2)若该校九年级的600名学生全部参加本次测试,请估计测试成绩等级在合格以上(包括合
格)的学生约有多少人?
21.(本题满分8分)甲、乙、丙三人之间相互传球,球从一个人手中随机传到另外一个人手中,
共传球三次.
(1)若开始时球在甲手中,求经过三次传球后,球传回到甲手中的概率是多少?
(2)若乙想使球经过三次传递后,球落在自己手中的概率最大,乙会让球开始时在谁手中?请说
明理由.
22.(本题满分10分)在矩形ABCD中,将点A翻折到对角线BD上的点M处,折痕BE交AD
于点E.将点C翻折到对角线BD上的点N处,折痕DF交BC于点F.
(1)求证:四边形BFDE为平行四边形;
(2)若四边形BFDE为菱形,且AB=2,求BC的长.23.(本题满分10分)小林准备进行如下操作试验:把一根长为40 cm的铁丝剪成两段,并把每
一段各围成一个正方形.
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2,小林该怎么剪?
(2)小峰对小林说:“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.”他的说法对吗?请说明理由.
k
24.(本题满分10分)如图,已知一次函数y=2x+2的图象与y轴交于点B,与反比例函数y= 1 的
x
k
图象的一个交点为A(1,m).过点B作AB的垂线BD,与反比例函数y= 2(x>0)的图象交于点
x
D(n,-2).
(1)求k 和k 的值;
1 2
(2)若直线AB、BD分别交x轴于点C、E,试问在y轴上是否存在一点F,使得△BDF∽△ACE?
若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.25.(本题满分12分)我市某海域内有一艘渔船发生故障,海事救援船接到求救信号后立即从港
口出发沿直线匀速前往救援,与故障渔船会合后立即将其拖回.如图,折线段O—A—B表示救
援船在整个航行过程中离港口的距离y(海里)随航行时间x(分钟)的变化规律.抛物线y=ax2+k
表示故障渔船在漂移过程中离港口的距离y(海里)随漂移时间x(分钟)的变化规律.已知救援
2
船返程速度是前往速度的 .根据图象提供的信息,解答下列问题:
3
(1)救援船行驶了 海里与故障渔船会合;
(2)求救援船的前往速度;
(3)若该故障渔船在发出求救信号后40分钟内得不到营救就会有危险,请问救援船的前往速
度每小时至少是多少海里,才能保证故障渔船的安全.
26.(本题满分12分)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A、B的坐标分别为(8,0)、
(0,6).动点Q从点O、动点P从点A同时出发,分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长
度/秒的速度匀速运动,运动时间为t(秒)(0<t≤5).以P为圆心,PA长为半径的☉P与AB、OA的
另一个交点分别为点C、D,连结CD、QC.
(1)求当t为何值时,点Q与点D重合?
(2)设△QCD的面积为S,试求S与t之间的函数关系式,并求S的最大值;
(3)若☉P与线段QC只有一个交点,请直接写出t的取值范围.27.(本题满分14分)小明在一次数学兴趣小组活动中,对一个数学问题作如下探究:
问题情境:如图1,四边形ABCD中,AD∥BC,点E为DC边的中点,连结AE并延长交BC的延
长线于点F.求证:S =S .(S表示面积)
四边形ABCD △ABF
图1
问题迁移:如图2,在已知锐角∠AOB内有一定点P.过点P任意作一条直线MN,分别交射线
OA、OB于点M、N.小明将直线MN绕着点P旋转的过程中发现,△MON的面积存在最小
值.请问当直线MN在什么位置时,△MON的面积最小,并说明理由.
图2
实际应用:如图3,若在道路OA、OB之间有一村庄Q发生疫情,防疫部门计划以公路OA、
OB和经过防疫站P的一条直线MN为隔离线,建立一个面积最小的三角形隔离区△MON.若
测得∠AOB=66°,∠POB=30°,OP=4 km,试求△MON的面积.(结果精确到0.1 km2)
(参考数据:sin 66°≈0.91,tan 66°≈2.25,√3≈1.73)
图3
拓展延伸:如图4,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A、B、C、P的坐标分别为(6,0)、
(6,3)、(9 9)、(4,2),过点P的直线l与四边形OABC一组对边相交,将四边形OABC分成
,
2 2
两个四边形,求其中以点O为顶点的四边形面积的最大值.图4
答案全解全析：
1
1.A - 和-√2是负数,0既不是正数也不是负数,故选A.
2
2.B 同底数幂相乘底数不变,指数相加,故a2·a4=a6.
3.D 由立体图形的特征及所放位置可知其俯视图为圆环,故选D.
4.C 6 000万=60 000 000,将其写成a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n=8-1=7,故用科学记
数法可表示为6×107,故选C.
5 12
5.D 在Rt△ABC中,∠C=90°,sin2A+cos2A=1,又sin A= ,所以cos A= .故选D.
13 13
6.C 由数轴上实数a、b所在的位置,可知a<0<b,|a|<|b|,a+b>0,所以选项A、B、D错,故
选C.
7.B ①1-20%-50%=30%正确;②50%>30%>20%,故摸出黑球的概率最大;③再摸球100次不一
定有20次摸出的是红球,故选B.
8.C 在正方形ABCD中,连结AC交BD于点O,则∠BOA=90°,∠BAC=45°,
∵∠BAE=22.5°,∴AE平分∠BAC.又∵EF⊥AB,∴EF=EO,
设EF=x,则FB=x,∵BD=√2AD=4√2,
1
∴BE= BD-EO=2√2-x.
2
2√2
在等腰直角三角形 EFB中,BE=√2x,∴√2x=2√2-x,∴x= =4-2√2,即EF=4-2√2,故选
√2+1
C.评析 本题考查正方形的性质,角平分线的性质,勾股定理等知识,属较难题.
9.答案 3
解析 (√3)2=3.
10.答案 x≥-1
解析 当√x+1有意义时,x+1≥0,∴x≥-1.
11.答案 (2+x)(2-x)
解析 4-x2=(2+x)(2-x).
12.答案 答案不唯一,如-1(只要k<0即可)
解析 正比例函数y=kx(k为常数,且k≠0),当k<0时,y随x的增大而减小,所以k可取小于
0的任何实数.
13.答案 80
解析 将8个数据从小到大排列为50,53,56,72,88,101,105,110,中间两个数为72和88,
72+88
故中位数是 =80(套).
2
14.答案 30
解析 因为正五边形的每个内角为 108°,又两直线平行同旁内角互补,则∠1+108°
+42°=180°, 所以∠1=30°.
15.答案 55
解析 在☉O中,∠AOB=2∠ACB=2×35°=70°,
180°-∠AOB
∵OA=OB,∴∠OAB= =55°.
2
16.答案 5 050π+101
解析 由题意得动点到达A 点处时,在直线AB上共经过了101个实线段,其长度为101;在
101
弧上运动时,共经过了100个半圆,每个半圆的半径依次为1,2,3,…,100.所以经过的总弧长为 π+2π+3π+…+100π=5 050π,则点 M 经过的路径长为(5 050π+101),时间为(5
050π+101)秒.
评析 本题为规律探究题 ,分清楚点 M 的运动周期是解题关键 ,可划分为
O→A→B,B→B→A,A→A→B,…,B →B →A ,A →A ,进而得出结论.
1 1 1 2 2 2 3 3 99 100 100 100 101
17.解析 原式=5+1-6=0.
{ x-5<1,①
18.解析 不等式组
x+2≤4x-7.②
解不等式①得x<6,(2分)
解不等式②得x≥3.(4分)
所以原不等式组的解集为3≤x<6.(6分)
n-m mn 1
19.解析 原式= · = .(4分)
mn (m-n)2 n-m
1 1
当m=-3,n=5时,原式= = .(6分)
5-(-3) 8
20.解析 (1)60;补全条形统计图如图.
(5分)
30+24+4
(2)600× =580(人),估计测试成绩等级在合格以上(包括合格)的学生约有580人.
60
(8分)
21.解析 (1)画树状图如图:可看出三次传球有8种等可能结果,其中传回甲手中的有2种.
2 1
所以P(传球三次回到甲手中)= = .(5分)
8 4
1
(2)由(1)可知从甲开始传球,传球三次后,球传到甲手中的概率为 ,球传到乙、丙手中的概
4
3 3
率分别为 ,所以三次传球后,球回到乙手中的概率最大值为 .
8 8
所以乙会让球开始时在甲手中或丙手中.(8分)
22.解析 (1)证明:在矩形ABCD中,AB∥DC,ED∥BF,所以∠ABD=∠CDB.
1 1
由题意可知∠EBD= ∠ABD,∠BDF= ∠BDC,所以∠EBD=∠BDF.
2 2
所以BE∥DF.所以四边形BFDE为平行四边形.(6分)
(2)连结EF.因为四边形BFDE为菱形,所以EF⊥BD.
由题意得EM⊥BD,FN⊥BD,所以M、N两点重合,且M,N两点在EF上,故BD=2BM,又由题知
AB=BM=2,所以BD=4.
在Rt△BDC中,BC= = =2 .(10分)
√BD2-DC2 √42-22 √3
评析 本题考查平行四边形的判定方法及特殊平行四边形的性质,利用折叠设计试题背景,
题目新颖,属容易题.
23.解析 (1)设其中一个正方形的边长为x cm,则另一个正方形的边长为(10-x)cm.
由题意得x2+(10-x)2=58,解得x=3,x=7.
1 24×3=12,4×7=28.
所以小林应把铁丝剪成12 cm和28 cm的两段.(6分)
(2)假设能围成.由(1)得,x2+(10-x)2=48,化简得x2-10x+26=0.
因为Δ=b2-4ac=(-10)2-4×1×26=-4<0,所以此方程没有实数根.
所以小峰的说法是对的.(10分)
24.解析 (1)因为点A(1,m)在直线y=2x+2上,所以m=4,即A(1,4).
k
将A点坐标代入y= 1,得k=4.(2分)
1
x
过点A、D分别作y轴的垂线,垂足分别为点M、N.
由题可得B(0,2),又D(n,-2),
则BN=4,BM=2,AM=1.
又因为AB⊥BD,所以易得△ABM∽△BDN.
AM BM 1 2
则 = ,即 = ,DN=8,所以D(8,-2).
BN DN 4 DN
k
将D点坐标代入y= 2,得k=-16.(6分)
2
x
(2)存在符合条件的点F.理由如下:
由y=2x+2,得C(-1,0).
因为OB=ON=2,DN=8,所以OE=4.
易知AE=5,CE=5,AC=2√5,BD=4√5,
BD BF 4√5 BF
若△BDF∽△ACE,则 = ,即 = .
AC AE 2√5 5
所以BF=10,所以F(0,-8).(10分)评析 本题考查反比例函数及一次函数的性质,在直角坐标系中,要求学生根据图形的特征
求出某个点的坐标,数形结合思想也是本题考查的重点,属中等难度题.
25.解析 (1)16.(2分)
2V
(2)设救援船的前往速度为每分钟V海里,则返程速度为每分钟 海里.
3
16
16
由题意得 =2 -16,解得V=0.5.经检验V=0.5是原方程的解.
V V
3
答:救援船的前往速度为每分钟0.5海里(或写成每小时30海里).(7分)
1
(3)由(2)知x=16÷0.5=32,则A(32,16).将A(32,16)和C(0,12)代入y=ax2+k,可求得y=
256
x2+12.
1 73 73 40 219
当x=40时,y= ×402+12= . ÷ = (海里).
256 4 4 60 8
219
所以救援船的前往速度每小时至少是 海里.(12分)
8
评析 本题考查分式方程和二次函数的应用,正确理解题意,构造数学模型是关键,属中等难
度题.
26.解析 (1)因为CA是☉P的直径,所以CD⊥OA,所以CD∥BO.
DA CA
所以△ACD∽△ABO,所以 = .
OA AB
8
因为OA=8,OB=6,所以AB=10,又CA=2t,所以AD= t,
5
8 40
当点Q与点D重合时,OQ+AD=OA,所以t+ t=8,t= .(3分)
5 13
6
(2)由△ACD∽△ABO,易得CD= t.
5
当0<t<40时,S=1×6t×( 8 )=-39t2+24t.
8-t- t
13 2 5 5 25 5b 20 20 40 20 48
因为- = ,0< < ,所以当t= 时,S有最大值为 ;
2a 13 13 13 13 13
当40<t≤5时,S=1×6t×(8 )=39t2-24t.
t-8+t
13 2 5 5 25 5
b 20 20 40
因为- = , < ,所以S随t的增大而增大.
2a 13 13 13
48
所以当t=5时,S有最大值为15> .
13
综上所述,S的最大值为15.(8分)
16 40
(3)0<t≤ 或 <t≤5.(12分)
7 13
评析 本题以点P、Q地不断运动,引发不同的几何图形变化背景,考查相似形、二次函数的
性质,属中等难度题.
27.解析 问题情境:证明:因为AD∥BC,所以∠ADE=∠FCE.又因为DE=CE,∠AED=∠FEC,
所以△ADE≌△FCE,所以S =S .
△ADE △FCE
所以S =S +S =S +S =S .(2分)
四边形ABCD 四边形ABCE △ADE 四边形ABCE △FCE △ABF
问题迁移:当直线旋转到点P是线段MN的中点时,△MON的面积最小.
如图,过P点的另外一条直线EF交OA、OB于点E、F.
不妨设PF<PE,过点M作MG∥OB交EF于G.
由“问题情境”的结论可知,当点P是线段MN的中点时,有S =S .
四边形MOFG △MON
因为S <S ,所以S <S .
四边形MOFG △EOF △MON △EOF
所以当点P是线段MN的中点时,△MON的面积最小.(5分)
实际应用:如图,作PP⊥OB,MM⊥OB,垂足分别为P,M.
1 1 1 1在Rt△OPP 中,PP=OPsin 30°=2 km,OP=OPcos 30°=2√3 km.
1 1 1
由“问题迁移”的结论知,当PM=PN时,△MON的面积最小.
此时MM=2PP=4 km,MP=PN.
1 1 1 1 1
在Rt△OMM
1
中,OM
1
= M M
1
≈ 4 =16 km,M
1
P
1
=OP
1
-OM
1
=(
2√3-
16)km,
tan66° 2.25 9 9
ON=OM
1
+M
1
P
1
+P
1
N=(
4√3-
16)km.
9
1 32
所以S = MM·ON=8√3- ≈10.28≈10.3(km2).(9分)
△MON 1
2 9
拓展延伸:(1)当过点P的直线l与四边形OABC的一组对边OC、AB分别交于点M、N.延长
OC、AB交于点D,易知AD=6,S =18.
△OAD
由“问题迁移”的结论知,当PM=PN时,△MND的面积最小,所以此时四边形OANM的面积最大.
如图,过点P,M分别作PP⊥OA,MM⊥OA,垂足分别为P,M.
1 1 1 1
由题意易得MP=PA=2,从而OM=MM=2.
1 1 1 1 1
1
所以MN∥OA.所以S =S +S = ×2×2+2×4=10.
四边形OANM △OMM 1 四边形MM 1 AN 2
(2)当过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交于点M、N.延长CB交x轴于T点,由B、C的坐标可得直线BC对应的函数关系式为y=-x+9.
1 9 81
则T点的坐标为(9,0),所以S = ×9× = .
△OCT
2 2 4
由“问题迁移”的结论知:当PM=PN时,△MNT的面积最小,所以四边形OCMN的面积最大.
如图,过P,M点分别作PP⊥OA,MM⊥OA,垂足为P,M,
1 1 1 1
从而NP=PM,MM=2PP=4.所以点M的横坐标为5,PM=NP=1,TN=6.
1 1 1 1 1 1 1 1
1 81 33
所以S = ×6×4=12,S =S -S = -12= <10.
△MNT 四边形OCMN △OCT △MNT
2 4 4
综上所述,截得四边形面积的最大值为10.(14分)
(备注:各题如有其他解法,只要正确,均可参照给分).
评析 本题是综合实践类试题,要求学生根据图形的不同变化,会灵活计算△MON的面积,并
探索△MON和四边形OANM面积的最大值情况,属难题.
