3
重庆市2019年初中学业水平暨高中招生考试(A 卷)
(满分:150分 考试时间:120分钟)
( b 4ac-b2 ) b
参考公式:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为 - , ,对称轴为x=- .
2a 4a 2a
一、选择题(本大题12个小题,每小题4分,共48分)在每个小题的下面,都给出了代号为A、B、C、D的四个答案,其中只有一个是正确的.
1.下列各数中,比-1小的数是( )
A.2 B.1 C.0 D.-2
2.如图是由4个相同的小正方体组成的一个立体图形,其主视图是( )
3.如图,△ABO∽△CDO,若BO=6,DO=3,CD=2,则AB的长是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
4.如图,AB是☉O的直径,AC是☉O的切线,A为切点,BC与☉O交于点D,连接OD.若∠C=50°,则∠AOD的度数为( )
A.40° B.50° C.80° D.100°
5.下列命题正确的是( )
A.有一个角是直角的平行四边形是矩形
B.四条边相等的四边形是矩形
C.有一组邻边相等的平行四边形是矩形
D.对角线相等的四边形是矩形
√1
6.估计(2√3+6√2)× 的值应在( )
3
A.4和5之间 B.5和6之间
C.6和7之间 D.7和8之间
2
7.《九章算术》中有这样一个题:今有甲乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十,乙得甲太半而钱亦五十.问甲、乙持钱各几何?其意思为:今有甲乙二人,不知其钱包里有多少钱.若乙把其一半的钱给甲,则甲的钱数为50;而甲把其 的钱给乙,则乙的钱数
3
也为50,问甲、乙各有多少钱?设甲的钱数为x,乙的钱数为y,则可建立方程组为( )1 1 1 1
{x+ y=50 {x+ y=50 { x+ y=50 { x+ y=50
2 2 2 2
A. B. C. D.
2 2 2 2
x+ y=50 x+ y=50 x+ y=50 x+ y=50
3 3 3 3
8.按如图所示的运算程序,能使输出y值为1的是( )
A.m=1,n=1 B.m=1,n=0
C.m=1,n=2 D.m=2,n=1
k
9.如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的顶点A,D分别在x轴、y轴上,对角线BD∥x轴,反比例函数y= (k>0,x>0)的图象经过矩形对角线的交点E.若点A(2,0),D(0,4), 则k的值为( )
x
A.16 B.20 C.32 D.40
10.为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想,某森林保护区开展了寻找古树活动.如图,在一个坡度(或坡比)i=1∶2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD.测得古树底端C到山脚点A的距离AC=26米,在距山脚点A水平距离6米的点E处,测得古树顶
端D的仰角∠AED=48°(古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上,古树CD与直线AE垂直),则古树CD的高度约为( )
(参考数据:sin 48°≈0.73,cos 48°≈0.67,tan 48°≈1.11)
A.17.0米 B.21.9米 C.23.3米 D.33.3米
1 1
{x- (4a-2)≤ ,
4 2 2y-a y-4
11.若关于x的一元一次不等式组 的解集是x≤a,且关于y的分式方程 - =1有非负整数解,则符合条件的所有整数a的和为( )
3x-1 y-1 1- y
<x+2
2
A.0 B.1 C.4 D.6
12.如图,在△ABC中,D是AC边的中点,连接BD,把△BDC沿BD翻折,得到△BDC',DC'与AB交于点E,连接AC'.若AD=AC'=2,BD=3,则点D到BC'的距离为( )
3√3 3√21
A. B. C.√7 D.√13
2 7
二、填空题(本大题6个小题,每小题4分,共24分)请将每小题的答案直接填在横线上.(1) -1
13.计算:(π-√3)0+ = .
2
14.今年五一节期间,重庆市旅游持续火爆,全市共接待境内外游客超过25 600 000人次,请把数25 600 000用科学记数法表示为 .
15.一个不透明的布袋内装有除颜色外,其余完全相同的3个红球,2个白球,1个黄球,搅匀后,从中随机摸出一个球,记下颜色后放回搅匀,再从中随机摸出一个球,则两次都摸到红球的概率为 .
16.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,∠ABC=60°,AB=2.分别以点A、点C为圆心,以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交,则图中阴影部分的面积为 .(结果保留π)
17.某公司快递员甲匀速骑车前往某小区送物件,出发几分钟后,快递员乙发现甲的手机落在公司,无法联系,于是乙匀速骑车去追赶甲.乙刚出发2分钟时,甲也发现自己手机落在公司,立刻按原路原速骑车回公司,2分钟后甲遇到乙,乙把手机给甲后立即原
路原速返回公司,甲继续原路原速赶往某小区送物件.甲、乙两人相距的路程y(米)与甲出发的时间x(分钟)之间的关系如图所示(乙给甲手机的时间忽略不计).则乙回到公司时,甲距公司的路程是 米.
18.在精准扶贫的过程中,某驻村服务队结合当地高山地形,决定在该村种植中药材川香、贝母、黄连增加经济收入.经过一段时间,该村已种植的川香、贝母、黄连面积之比是4∶3∶5.根据中药材市场对川香、贝母、黄连的需求量,将在该村余下土地上继
9 19
续种植这三种中药材,经测算需将余下土地面积的 种植黄连,则黄连种植总面积将达到这三种中药材种植总面积的 ,为使川香种植总面积与贝母种植总面积之比达到3∶4,则该村还需种植贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比是
16 40
.
三、解答题(本大题7个小题,每小题10分,共70分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形(包括辅助线).
19.计算:(1)(x+y)2-y(2x+y);
(2)( 9-4a)÷a2-9.
a+
a-2 a-2
20.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,连接AD.BE平分∠ABC交AC于点E,过点E作EF∥BC交AB于点F.
(1)若∠C=36°,求∠BAD的度数;
(2)求证:FB=FE.
21.每年夏季全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命,令人痛心疾首.今年某校为确保学生安全,开展了“远离溺水·珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛.现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩(百分制)进行整理、描述和分析(成绩得分
用x表示,共分成四组:A.80≤x<85,B.85≤x<90,C.90≤x<95,D.95≤x≤100),下面给出了部分信息:
七年级10名学生的竞赛成绩是:99,80,99,86,99,96,90,100,89,82.
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是:94,90,94.七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 92 92
中位数 93 b
众数 c 100
方差 52 50.4
根据以上信息,解答下列问题:
(1)直接写出上述图表中a,b,c的值;
(2)根据以上数据,你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好?请说明理由(一条理由即可);
(3)该校七、八年级共720人参加了此次竞赛活动,估计参加此次竞赛活动成绩优秀(x≥90)的学生人数是多少.
22.《道德经》中的“道生一,一生二,二生三,三生万物”道出了自然数的特征.在数的学习过程中,我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究,如学习自然数时,我们研究了奇数、偶数、质数、合数等.现在我们来研究另一种特殊的自然数——“纯
数”.
定义:对于自然数n,在计算n+(n+1)+(n+2)时,各数位都不产生进位,则称这个自然数n为“纯数”.
例如:32是“纯数”,因为计算32+33+34时,各数位都不产生进位;
23不是“纯数”,因为计算23+24+25时,个位产生了进位.
(1)判断2 019和2 020是不是“纯数”,请说明理由;
(2)求出不大于100的“纯数”的个数.
23.在初中阶段的函数学习中,我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程.在画函数图象时,我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象.同时,我们也学习了绝对值的意义:|a|=
{a(a≥0),
结合上面经历的学习过程,现在来解决下面的问题:在函数y=|kx-3|+b中,当x=2时,y=-4;当x=0时,y=-1.
-a(a<0).
(1)求这个函数的表达式;
(2)在给出的平面直角坐标系中,请用你喜欢的方法画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质;
1 1
(3)已知函数y= x-3的图象如图所示,结合你所画的函数图象,直接写出不等式|kx-3|+b≤ x-3的解集.
2 224.某文明小区有50平方米和80平方米两种户型的住宅,50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍.物管公司每月底按每平方米2元收取当月物管费,该小区全部住宅都入住且每户均按时全额缴纳物管费.
(1)该小区每月可收取物管费90 000元,问该小区共有多少套80平方米的住宅?
(2)为建设“资源节约型社会”,该小区物管公司5月初推出活动一:“垃圾分类送礼物”,50平方米和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次活动.为提高大家的积极性,6月份准备把活动一升级为活动二:“垃圾分类抵扣物管费”,同时终止活动一.
3
经调查与测算,参加活动一的住户会全部参加活动二,参加活动二的住户会大幅增加,这样,6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加2a%,每户物管费将会减少 a%;6月份参加活动的80平方米的总户数在5
10
1 5
月份参加活动的同户型户数的基础上将增加6a%,每户物管费将会减少 a%.这样,参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少 a%,求a的值.
4 18
25.如图,在▱ABCD中,点E在边BC上,连接AE,EM⊥AE,垂足为E,交CD于点M.AF⊥BC,垂足为F.BH⊥AE,垂足为H,交AF于点N.点P是AD上一点,连接CP.
(1)若DP=2AP=4,CP=√17,CD=5,求△ACD的面积;
(2)若AE=BN,AN=CE,求证:AD=√2CM+2CE.
四、解答题(本大题1个小题,共8分)解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形(包括辅助线).
26.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),交y轴于点C,点D为抛物线的顶点,对称轴与x轴交于点E.1
(1)连接BD,点M是线段BD上一动点(点M不与端点B,D重合),过点M作MN⊥BD,交抛物线于点N(点N在对称轴的右侧),过点N作NH⊥x轴,垂足为H,交BD于点F.点P是线段OC上一动点,当MN取得最大值时,求HF+FP+ PC的最小值;
3
1 √2
(2)在(1)中,当MN取得最大值,HF+FP+ PC取得最小值时,把点P向上平移 个单位得到点Q,连接AQ,把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α(0°<α<360°),得到△A'OQ',其中边A'Q'交坐标轴于点G,在旋转过程中,是否存在一点G,使得∠Q'=∠Q'OG?
3 2
若存在,请直接写出所有满足条件的点Q'的坐标;若不存在,请说明理由.
备用图
3重庆市2019年初中学业水平暨高中招生考试(A卷)
一、选择题
1.D ∵-2<-1<0<1<2,∴比-1小的数是-2,故选D.
2.A 由主视图的定义可知选A.
AB OB
3.C ∵△ABO∽△CDO,∴ = .
CD OD
AB 6
∵OB=6,OD=3,CD=2,∴ = ,∴AB=4,故选C.
2 3
4.C ∵AC是☉O的切线,AB是☉O的直径,∴AB⊥AC,
∴∠CAB=90°.
∵∠C=50°,∴∠B=180°-90°-50°=40°.
∴∠AOD=2∠B=2×40°=80°,故选C.
5.A ∵有一个角是直角的平行四边形是矩形,∴A选项正确;
∵四条边相等的四边形是菱形,∴B选项错误;
∵有一组邻边相等的平行四边形是菱形,∴C选项错误;
∵对角线相等的平行四边形是矩形,∴D选项错误.故选A.
√1 √3 √3 √3
6.C (2√3+6√2)× =(2√3+6√2)× =2√3× +6√2× =2+2√6.
3 3 3 3
∵2√6=√24,4<√24<5,∴6<2+2√6<7,故选C.
1
{x+ y=50,
7.A 由题意可得 2 故选A.
2
x+ y=50.
3
8.D 当m=1,n=1时,m=n,所以y=2m+1=2×1+1=3≠1,故A选项不符合题意;
当m=1,n=0时,m>n,所以y=2n-1=2×0-1=-1≠1,故B选项不符合题意;
当m=1,n=2时,m<n,所以y=2m+1=2×1+1=3≠1,故C选项不符合题意;
当m=2,n=1时,m>n,所以y=2n-1=2×1-1=1,故D选项符合题意.
故选D.
9.B ∵点D(0,4),DB∥x轴,
∴点B的纵坐标为4,设点B的坐标为(a,4).
由点A(2,0),点D(0,4)可知OA=2,OD=4,
∴AD= = ,AB= ,DB=a.
√22+42 √20 √(a-2)2+42
∵四边形ABCD是矩形,∴∠DAB=90°.
在Rt△DAB中,DA2+AB2=DB2,∴( )2+[ ]2=a2,解得a=10.
√20 √(a-2)2+42
∴点B的坐标为(10,4).
∵四边形ABCD是矩形,∴点E为DB的中点.
k
∴点E的坐标为(5,4).将点E(5,4)代入y= 中,得k=20,故选B.
x
10.C 延长DC交EA于点F.
CF 1 5
∵i= = = ,
AF 2.4 12
∴设CF=5x米,AF=12x米,且x>0.
在Rt△ACF中,AC= =13x=26,
√CF2+AF2
∴x=2,∴CF=10米,AF=24米.
∵AE=6米,∴EF=EA+AF=6+24=30米.
DF
在Rt△EDF中,tan∠AED=tan 48°= ,
EF
∴DF=EF·tan 48°≈30×1.11=33.3米,∴CD=DF-CF=33.3-10=23.3米,故选C.
1 1 3x-1
11.B 解不等式x- (4a-2)≤ ,得x≤a,解不等式 <x+2,得x<5.∵解集是x≤a,∴a<5.
4 2 2
2y-a y-4 3+a
解分式方程 - =1,得y= .
y-1 1- y 2
∵关于y的分式方程有非负整数解,
3+a
∴ ≥0,∴a≥-3,∴-3≤a<5.
2
3+a
∵ 为整数,∴a=-3,-1,1,3.
2
∵当a=-1时,y=1,不是分式方程的解,
∴a=-3,1,3,∴-3+1+3=1,
即符合条件的所有整数a的和为1,故选B.
12.B 如图,连接CC',交DB于点M,过点D作DH⊥CB于点H.
由翻折的性质可知DC'=DC,BC'=BC.
∴点D、B在CC'的垂直平分线上,∴BD垂直平分CC'.
∵AD=AC'=2,DC=DC',点D是AC边的中点,
∴AD=AC'=DC'=2,即△ADC'为等边三角形,
∴∠C'DA=60°.
∵DC=DC',DB⊥C'C,
1 1
∴∠BDC= ∠C'DC= ×120°=60°,
2 2
√3
∴CM=DC·sin∠MDC=2×sin 60°=2× =√3,
2
1
DM=DC·cos∠MDC=2×cos 60°=2× =1.
2
∴BM=BD-DM=3-1=2.
∴BC= = = .
√BM2+MC2 √22+(√3)2 √7
1 1
∵S = BD·MC= DH·BC,
△BDC
2 2
1 1 3√21
∴ ×3×√3= DH×√7,解得DH= .
2 2 7
由题意可知△BDC'≌△BDC,
3√21
∴D到C'B的距离=DH= .
7
故选B.二、填空题
13. 答案 3
解析 (π- )0+(1) -1 =1+2=3.
√3
2
14. 答案 2.56×107
解析 由科学记数法表示形式可知25 600 000=2.56×107.
1
15. 答案
4
解析 画树状图为
9 1
共有36种等可能情况,其中两次都摸到红球有9种情况,所以P(两次都摸到红球)= = .
36 4
2
16. 答案 2√3- π
3
解析 ∵四边形ABCD为菱形,
∴AC⊥BD,BD平分∠ABC,OA=OC,OB=OD,AD∥BC.
1 1
∴∠ABO= ∠ABC= ×60°=30°.
2 2
1 1
∴在Rt△AOB中,OA= AB= ×2=1,OB=√AB2-OA2=√22-12=√3,
2 2
∴OC=OA=1,AC=2OA=2,BD=2OB=2√3.
1 1
∴S = AC·BD= ×2×2√3=2√3.
菱形ABCD
2 2
∵AD∥BC,∴∠BAD=180°-∠ABC=120°,
120° 2
∴S =S -2× π×12=2√3- π.
阴影 菱形ABCD 360° 3
17. 答案 6 000
4 000+500×2-500×2
解析 由题意可得v =4 000÷(12-2-2)=500米/分,v = =1 000米/分.
甲 乙 4
由于甲、乙相遇时,乙走了4分钟,所以当乙回到公司时,也用了4分钟,此时甲离公司的路程为500×(12-2)-500×2+500×4=6 000米.
3
18. 答案
20
1 1 5
解析 设该村已种药材面积为x,余下土地面积为y,还需种植贝母的面积为z,则种植的总面积为(x+y),川香已种植面积为 x,贝母已种植面积为 x,黄连已种植面积为 x.
3 4 12
5 9 19
{ x+ y= (x+ y),
12 16 40
根据题意得
[1 ( 9 )] (1 )
x+ y- y-z ∶ x+z =3∶4.
3 16 4
3 3
化简得x= y,z= y,
2 8
3
y
z 8 3
∴该村还需种植贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比为 = = .
x+ y 3 20
y+ y
2
三、解答题
19. 解析 (1)原式=x2+2xy+y2-2xy-y2
=x2.(5分)(2)原式=(a2-2a 9-4a)÷(a-3)(a+3)
+
a-2 a-2 a-2
(a-3)2 a-2
= ·
a-2 (a-3)(a+3)
a-3
= .(10分)
a+3
20. 解析 (1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠C.
又∵D是BC的中点,
1
∴AD平分∠BAC,即∠BAD= ∠BAC.(3分)
2
∵∠C=36°,∴∠BAC=180°-2∠C=180°-2×36°=108°.
∴∠BAD=54°.(5分)
(2)证明:∵BE平分∠ABC,∴∠FBE=∠EBD.
∵EF∥BC,∴∠FEB=∠EBD,
∴∠FBE=∠FEB.(9分)
∴FB=FE.(10分)
21. 解析 (1)a=40,b=94,c=99.(3分)
(2)八年级学生掌握防溺水安全知识较好,理由如下(写出其中一条即可):
①七、八年级学生的竞赛成绩平均分相同,八年级学生成绩的中位数94高于七年级学生成绩的中位数93;
②七、八年级学生的竞赛成绩平均分相同,八年级学生成绩的众数100高于七年级学生成绩的众数99.(6分)
(3)∵七年级10名学生中,成绩在C,D两组中有6人,八年级10名学生中,成绩在C,D两组中有7人,∴6+7=13(人).
13
∴ ×720=468(人).
20
答:估计参加此次竞赛活动成绩优秀(x≥90)的学生有468人.(10分)
22. 解析 (1)2 019不是“纯数”,2 020是“纯数”.(2分)
理由如下:
∵在计算2 019+2 020+2 021时,个位9+0+1=10,产生了进位,
∴2 019不是“纯数”.
∵在计算2 020+2 021+2 022时,个位0+1+2=3,十位2+2+2=6,百位0+0+0=0,千位2+2+2=6,它们都没有产生进位,
∴2 020是“纯数”.(4分)
(2)当“纯数”n为一位数时,n+(n+1)+(n+2)=3n+3<10,
7
∴0≤n< .故n=0,1,2,即在一位数的自然数中,“纯数”有3个.
3
当“纯数”n为两位数时,设n=10b+a(其中1≤b≤9,0≤a≤9,且a,b为自然数),
则n+(n+1)+(n+2)=30b+3a+3.
此时a,b应满足的条件分别为3a+3<10,即a=0,1,2;1≤b≤3,即b=1,2,3.
∵3×3=9(个),
∴在两位数的自然数中,“纯数”有9个.
∵100+101+102=303,不产生进位,∴100是“纯数”.
∴3+9+1=13(个).
故在不大于100的自然数中“纯数”的个数是13.(10分)
23. 解析 (1)将x=2时,y=-4和x=0时,y=-1分别代入y=|kx-3|+b中,
{ 3
得{|2k-3|+b=-4,解得 k= ,
2
|-3|+b=-1,
b=-4.
∴这个函数的表达式是y=|3 |-4.(3分)
x-3
2
(2)函数图象如图:(5分)函数的性质(写出其中一条即可):
①当x<2时,函数值y随x的增大而减小;当x>2时,函数值y随x的增大而增大;
②当x=2时,函数有最小值,最小值是-4.(7分)
(3)不等式的解集是1≤x≤4.(10分)
24. 解析 (1)设该小区共有x套80平方米的住宅,则有2x套50平方米的住宅,根据题意,得2×80x+2×50×2x=90 000,
解这个方程,得x=250.
答:该小区共有250套80平方米的住宅.(4分)
(2)6月份参加活动的50平方米这部分住户将减少的物管费是
3 3
500×40%(1+2a%)×50×2× a%=20 000(1+2a%)× a%(元),
10 10
6月份参加活动的80平方米这部分住户将减少的物管费是
1 1
250×20%(1+6a%)×80×2× a%=8 000(1+6a%)× a%(元),
4 4
6月份参加活动的这部分住户将减少的物管费是
5
[500×40%(1+2a%)×50×2+250×20%(1+6a%)×80×2]× a%(元),
18
5
即[20 000(1+2a%)+8 000(1+6a%)]× a%(元).
18
3 1 5
根据题意,得20 000(1+2a%)× a%+8 000(1+6a%)× a%=[20 000(1+2a%)+8 000(1+6a%)]× a%.(8分)
10 4 18
设a%=m,
化简,得2m2-m=0.
1
解这个方程,得m= ,m=0(舍).∴a=50.
1 2
2
答:a的值是50.(10分)
25. 解析 (1)作CQ⊥AD,垂足为Q(如图),
∴∠AQC=∠DQC=90°.
∵DP=2AP=4,∴AP=2,AD=6.
在Rt△PQC和Rt△DQC中,由勾股定理,得
CP2-PQ2=CQ2,CD2-DQ2=CQ2,
∴CP2-PQ2=CD2-DQ2,
∴(√17)2-PQ2=52-(4-PQ)2,
解得PQ=1.
在Rt△PCQ中,由勾股定理,得CQ= = =4.
√CP2-PQ2 √17-1
1 1
∴S = AD·CQ= ×6×4=12.(4分)
△ADC
2 2
(2)证明:∵BH⊥AE,AF⊥BC,∴∠AHB=∠AFC=90°.
∴∠ANH+∠EAF=∠AEF+∠EAF,即∠ANH=∠AEF.
∴∠ANB=∠CEA.
{
AN=CE,
在△ANB和△CEA中, ∠ANB=∠CEA,
BN=AE,
∴△ANB≌△CEA.
∴∠BAN=∠ACE,AB=AC.
∵∠ACF+∠CAF=90°,∴∠BAN+∠CAF=90°.
∴△ABC为等腰直角三角形,∠ABC=45°,AF=BF=CF.
∵AN=EC,∴NF=EF.
连接EN(如图),则△NFE为等腰直角三角形.
√2
∴EF= NE,∠ENF=45°.
2∵四边形ABCD是平行四边形,且∠ABC=45°,∴∠ECM=135°.
∵∠ANE=180°-∠ENF=135°,∴∠ANE=∠ECM.
∵AE⊥EM,∴∠AEM=90°.
∴∠AEF+∠EAN=∠AEF+∠MEC,即∠EAN=∠MEC.
{∠EAN=∠MEC,
在△ANE和△ECM中, AN=EC,
∠ANE=∠ECM,
∴△ANE≌△ECM,∴NE=CM.(8分)
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC=2FC.
√2 √2
∵FC=FE+EC= NE+EC= CM+EC.
2 2
∴AD=2FC=2(√2 )= CM+2EC.(10分)
CM+EC √2
2
四、解答题
26. 解析 (1)∵点A,B(点A在点B的左侧)是抛物线y=x2-2x-3与x轴的交点,点D是抛物线的顶点,
∴点A(-1,0),点B(3,0),点D(1,-4).
∴可求得直线BD的表达式是y=2x-6.
∵点N在抛物线y=x2-2x-3上,∴可设点N的坐标为(t,t2-2t-3),
则点F的坐标为(t,2t-6).
∴FN=(2t-6)-(t2-2t-3)=-t2+4t-3.
根据已知条件,可得△MNF∽△EBD.
MN EB
∴ = .∵EB=2,DE=4,∴DB=2√5.
FN DB
√5 √5 √5
∴MN= FN=- (t-2)2+ .
5 5 5
∴当t=2时,MN取得最大值,此时,点F(2,-2),HF=2.(2分)
1 1
如图,以CP为斜边,以 CP的长为直角边,作Rt△CRP,当点F,P,R在一条直线上时,PF+ CP取得最小值,
3 3
1
此时,PF+ CP=RF,过点F作FS⊥y轴,垂足为S.
3
∵点F,P,R在一条直线上,∴△CPR∽△FPS.
CP FP
则 = =3.
RP SP
在Rt△SPF中,SF=2,FP=3SP,
√2 3√2
∴SP= ,FP= .
2 2
√2 2-√2
∴CP=CS-PS=1- = .
2 2
1 2-√2
∴RP= CP= .
3 6
2-√2 3√2 1+4√2
∴RF=RP+PF= + = .
6 2 3
∵HF=2,
1 1+4√2 7+4√2
∴HF+PF+ CP的最小值为2+ = .(4分)
3 3 3(2)满足条件的点Q'的坐标为
( 4√5 2√5),( 2√5 4√5),(4√5 2√5),(2√5 4√5).(8分)
- ,- - , , ,-
5 5 5 5 5 5 5 5
详解:由(1)可得点P( 4+√2).
0,-
2
√2
∵把点P向上平移 个单位得到点Q,∴点Q(0,-2).
2
在Rt△AOQ中,∠AOQ=90°,AQ=√5,取AQ的中点G,连接OG,
1 √5
则OG=GQ= AQ= ,此时,∠AQO=∠GOQ.
2 2
把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α(0°<α<360°),
得到△A'OQ',其中边A'Q'交坐标轴于点G.
①如图.
当G点落在y轴的负半轴上时,G( √5),过点Q'作Q'I⊥x轴于点I,且∠GOQ'=∠Q',则∠IOQ'=∠OA'Q'=∠OAQ.
0,-
2
OQ 2 2√5
∵sin∠OAQ= = = ,
AQ √5 5
IQ' IQ' 2√5 4√5
∴sin∠IOQ'= = = ,解得IQ'= .
OQ' 2 5 5
2√5
在Rt△OIQ'中,根据勾股定理可得OI= .
5
∴点Q'的坐标为(2√5 4√5);
,-
5 5
②如图.
当G点落在x轴的正半轴上时,同理可得Q'(4√5 2√5).
,
5 5
③如图.当G点落在y轴的正半轴上时,同理可得Q'( 2√5 4√5).
- ,
5 5
④如图.
当G点落在x轴的负半轴上时,同理可得Q'( 4√5 2√5).
- ,-
5 5
综上所述,所有满足条件的点Q'的坐标为(2√5 4√5),(4√5 2√5),( 2√5 4√5),( 4√5 2√5).
,- , - , - ,-
5 5 5 5 5 5 5 5
