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重庆市2020年初中学业水平暨
高中招生考试(A卷)
(满分:150分 考试时间:120分钟)
第Ⅰ卷 选择题(共48分)
( b 4ac-b2 ) b
参考公式:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为 - , ,对称轴为x=- .
2a 4a 2a
一、选择题(本大题12个小题,每小题4分,共48分)在每个小题的下面,都给出了代号为A、B、C、D的四个答案,其中只有一个是正确的.
1.下列各数中,最小的数是 ( )
A.-3 B.0 C.1 D.2
2.下列图形是轴对称图形的是 ( )
3.在今年举行的第127届“广交会”上,有近26 000家厂家进行“云端销售”.其中数据26 000用科学记数法表示为 ( )
A.26×103 B.2.6×103 C.2.6×104 D.0.26×105
4.把黑色三角形按如图所示的规律拼图案,其中第①个图案中有1个黑色三角形,第②个图案中有3个黑色三角形,第③个图案中有6个黑色三角形,……,按此规律排列下去,则第⑤个图案中黑色三角形的个数为 ( )
A.10 B.15 C.18 D.21
5.如图,AB是☉O的切线,A为切点,连接OA,OB,若∠B=20°,则∠AOB的度数为 ( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
6.下列计算中,正确的是( )
A. + = B.2+ =2
√2 √3 √5 √2 √2
C. × = D.2 -2=
√2 √3 √6 √3 √3
1 1
7.解一元一次方程 (x+1)=1- x时,去分母正确的是 ( )
2 3
A.3(x+1)=1-2x B.2(x+1)=1-3x
C.2(x+1)=6-3x D.3(x+1)=6-2x
8.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别是A(1,2),B(1,1),C(3,1),以原点为位似中心,在原点的同侧画△DEF,使△DEF与△ABC成位似图形,且相似比为2∶1,则线段DF的长度为 ( )A. B.2 C.4 D.2
√5 √5
9.如图,在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60 m的C点处有一个山坡,山坡CD的坡度(或坡比)i=1∶0.75,山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD=45 m,在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°,居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内,
则居民楼AB的高度约为(参考数据:sin 28°≈0.47,cos 28°≈0.88,tan 28°≈0.53) ( )
A.76.9 m B.82.1 m
C.94.8 m D.112.6 m
{3x-1
≤x+3, y-a 3 y-4
10.若关于x的一元一次不等式组 2 的解集为x≤a;且关于y的分式方程 + =1有正整数解,则所有满足条件的整数a的值之积是 ( )
y-2 y-2
x≤a
A.7 B.-14 C.28 D.-56
11.如图,三角形纸片ABC,点D是BC边上一点,连接AD,把△ABD沿着AD翻折,得到△AED,DE与AC交于点G,连接BE交AD于点F.若DG=GE,AF=3,BF=2,△ADG的面积为2,则点F到BC的距离为 ( )
√5 2√5 4√5 4√3
A. B. C. D.
5 5 5 3
k
12.如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合,点E是x轴上一点,连接AE.若AD平分∠OAE,反比例函数y= (k>0,x>0)的图象经过AE上的两点A,F,且AF=EF,△ABE的面积为18,则k的值为( )
x
A.6 B.12 C.18 D.24
第Ⅱ卷 非选择题(共102分)
二、填空题(本大题6个小题,每小题4分,共24分)
13.计算:(π-1)0+|-2|= .
14.一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍,则这个多边形的边数是 .
15.现有四张正面分别标有数字-1,1,2,3的不透明卡片,它们除数字外其余完全相同,将它们背面朝上洗均匀,随机抽取一张,记下数字后放回,背面朝上洗均匀,再随机抽取一张记下数字,前后两次抽取的数字分别记为m,n,则点P(m,n)在第二象限的
概率为 .
16.如图,在边长为2的正方形ABCD中,对角线AC的中点为O,分别以点A,C为圆心,以AO的长为半径画弧,分别与正方形的边相交.则图中的阴影部分面积为 .(结果保留π)
17.A,B两地相距240 km,甲货车从A地以40 km/h的速度匀速前往B地,到达B地后停止.在甲出发的同时,乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地,到达A地后停止.两车之间的路程y(km)与甲货车出发时间x(h)之间的函数关系如图中的折线CD-
DE-EF所示.其中点C的坐标是(0,240),点D的坐标是(2.4,0),则点E的坐标是 .18.火锅是重庆的一张名片,深受广大市民的喜爱.重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊(简称摆摊)三种方式经营,6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3∶5∶2.随着促进消费政策的出台,该火锅店老板预计7月份总营业额会增
2 7
加,其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的 ,则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的 ,为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8∶5,则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是 .
5 20
三、解答题(本大题7个小题,每小题10分,共70分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形(包括辅助线).
19.计算:(1)(x+y)2+x(x-2y);
( m ) m2-9
(2) 1- ÷ .
m+3 m2+6m+9
20.为了解学生掌握垃圾分类知识的情况,增强学生环保意识.某学校举行了“垃圾分类人人有责”的知识测试活动,现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩(满分10分,6分及6分以上为合格)进行整理、描述和分析,下面给出了部分
信息.
七年级20名学生的测试成绩为:
7,8,7,9,7,6,5,9,10,9,8,5,8,7,6,7,9,7,10,6.
八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图:
七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如下表所示:
年级 平均数 众数 中位数 8分及以上人数所占百分比
七年级 7.5 a 7 45%
八年级 7.5 8 b c
根据以上信息,解答下列问题:
(1)直接写出上述表中的a,b,c的值;
(2)根据以上数据,你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好?请说明理由(写出一条理由即可);
(3)该校七、八年级共1 200名学生参加了此次测试活动,估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少.21.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,分别过点A,C作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F.AC平分∠DAE.
(1)若∠AOE=50°,求∠ACB的度数;
(2)求证:AE=CF.
6x
22.在初中阶段的函数学习中,我们经历了列表、描点、连线画函数图象,并结合图象研究函数性质的过程.以下是我们研究函数y= 性质及其应用的部分过程,请按要求完成下列各小题.
x2+1
(1)请把下表补充完整,并在图中补全该函数图象;
x … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …
6x 15 24 12 12 24 15
y= … - - - -3 0 3 …
x2+1 13 17 5 5 17 13
(2)根据函数图象,判断下列关于该函数性质的说法是否正确,正确的在相应的括号内打“√”,错误的在相应的括号内打“×”;
①该函数图象是轴对称图形,它的对称轴为y轴. ( )
②该函数在自变量的取值范围内,有最大值和最小值.当x=1时,函数取得最大值3;当x=-1时,函数取得最小值-3. ( )
③当x<-1或x>1时,y随x的增大而减小;当-1<x<1时,y随x的增大而增大. ( )
6x
(3)已知函数y=2x-1的图象如图所示,结合你所画的函数图象,直接写出不等式 >2x-1的解集(保留1位小数,误差不超过0.2).
x2+1
23.在整数的除法运算中,只有能整除与不能整除两种情况,当不能整除时,就会产生余数,现在我们利用整数的除法运算来研究一种数——“差一数”.
定义:对于一个自然数,如果这个数除以5,余数为4,且除以3,余数为2,则称这个数为“差一数”.
例如:14÷5=2……4,14÷3=4……2,所以14是“差一数”;
19÷5=3……4,但19÷3=6……1,所以19不是“差一数”.
(1)判断49和74是不是“差一数”,请说明理由;
(2)求大于300且小于400的所有“差一数”.24.“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”.为优选品种,提高产量,某农业科技小组对A,B两个小麦品种进行种植对比试验研究.去年A,B两个品种各种植了10亩.收获后A,B两个品种的售价均为2.4元/kg,且B的平均亩产量比A的平均亩
产量高100 kg,A,B两个品种全部售出后总收入为21 600元.
(1)请求出A,B两个品种去年平均亩产量分别是多少;
(2)今年,科技小组加大了小麦种植的科研力度,在A,B种植亩数不变的情况下,预计A,B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%.由于B品种深受市场的欢迎,预计每千克价格将在去年的基础上上涨a%,而A品种的售价不
20
变.A,B两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加 a%.求a的值.
9
25.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c与直线AB相交于A,B两点,其中A(-3,-4),B(0,-1).
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)点P为直线AB下方抛物线上的任意一点,连接PA,PB,求△PAB面积的最大值;
(3)将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),平移后的抛物线与原抛物线相交于点C,点D为原抛物线对称轴上的一点,在平面直角坐标系中是否存在点E,使以点B,C,D,E为顶点的四边形为菱形?若存在,请直接写出点E
1 1 1 1
的坐标;若不存在,请说明理由.
备用图
四、解答题(本大题1个小题,共8分)解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形(包括辅助线).
26.如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D是BC边上一动点,连接AD,把AD绕点A逆时针旋转90°,得到AE,连接CE,DE.点F是DE的中点,连接CF.
√2
(1)求证:CF= AD;
2
(2)如图2所示,在点D运动的过程中,当BD=2CD时,分别延长CF,BA,相交于点G,猜想AG与BC存在的数量关系,并证明你猜想的结论;
(3)在点D运动的过程中,在线段AD上存在一点P,使PA+PB+PC的值最小.当PA+PB+PC的值取得最小值时,AP的长为m,请直接用含m的式子表示CE的长.3重庆市2020年初中学业水平暨高中招生考试(A卷)
一、选择题
答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A A C B D C D D B A B B
1.A 根据正数大于0,0大于负数,可得-3<0<1<2,所以最小的数是-3,故选A.
2.A 根据轴对称图形的概念,如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,可知选项A中的图形是轴对称图形.故选A.
3.C 科学记数法是把一个数表示成a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,所以26 000用科学记数法表示为2.6×104,故选C.
4.B 根据规律可知,第①个图案中有1个黑色三角形,第②个图案中有1+2=3个黑色三角形,第③个图案中有1+2+3=6个黑色三角形,第④个图案中有1+2+3+4=10个黑色三角形,第⑤个图案中有1+2+3+4+5=15个黑色三角形,故选B.
5.D ∵AB是☉O的切线,∴∠OAB=90°,又∵∠B=20°,
∴∠AOB=90°-20°=70°,故选D.
6.C √2与√3,2与√2,2√3与2不是同类二次根式,都不能合并,C选项符合二次根式的乘法法则,故选C.
7.D 去分母是方程两边同乘最简公分母6,所以D正确,故选D.
8.D 由题可知:AB=1,BC=2,AC= = = ,因为△DEF与△ABC成位似图形,且相似比为2∶1,则DF=2AC=2 ,故选D.
√AB2+BC2 √12+22 √5 √5
9.B 过点D作DE⊥BC,交BC的延长线于E,作DF⊥AB,交AB于F,设DE=x m,因为山坡CD的坡比为1∶0.75,所以x2+(0.75x)2=452,解得x=36,则CE=0.75×36=27 m,BF=DE=36 m,所以DF=BE=60+27=87 m,在Rt△ADF中,AF=DF·tan∠ADF=87×tan
28°≈87×0.53=46.11 m,故AB=36+46.11=82.11≈82.1 m,故选B.
{3x-1
10.A 由 ≤x+3,化简得{x≤7,因为它的解集为x≤a,所以a≤7,关于y的分式方程y-a+3 y-4=1的解为y=2+a,且y≠2,因为分式方程有正整数解,且a≤7,所以a=1或a=7.所以满足条件的整数 a的值之积为7,故选A.
2
x≤a, y-2 y-2 3
x≤a
1
11.B 由翻折得BF=EF=2,∠AFB=∠AFE=90°,因为△ADG的面积为2,DG=GE,所以△AGE的面积为2,所以△ADE的面积为4,所以 AD·EF=4,所以AD=4,所以DF=AD-AF=4-3=1,所以BD=√BF2+DF2=√22+12=√5,设点F到BC的距离是h,则
2
1 1 2√5 2√5
S = DF·BF= BD·h,即1×2=√5h,所以h= ,即点F到BC的距离为 .
△BDF 2 2 5 5
12.B 连接BD,∵AD平分∠OAE,∴∠OAD=∠EAD,∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OD,∴∠ODA=∠OAD,∴∠ODA=∠EAD,∴BD∥AE,∴△AOE与△ABE的面积相等,为18,又∵AF=EF,∴△OEF的面积为9,设F( k),∵F为AE的中点且A点在反比例函数
a,
a
y=k(k>0,x>0)的图象上,∴A(a
,
2k),过A作AM⊥x轴交于M,过F作FN⊥x轴交于N,则OM=a,MN=a,又∵AF=EF,∴MN=NE,∴△OFN的面积为△OEF面积的2,为6,∴k=2S
△OFN
=12.
x 2 a 2 2 3二、填空题
13. 答案 3
解析 (π-1)0+|-2|=1+2=3.故答案为3.
14. 答案 6
解析 设这个多边形的边数为n,根据题意得(n-2)×180°=2×360°,解得n=6,故答案为6.
3
15. 答案
16
解析 根据题意画出树状图如下:
3
共有16种等可能的情况,其中(-1,1),(-1,2),(-1,3)在第二象限,所以点P(m,n)在第二象限的概率为 .
16
16. 答案 4-π
AC 2√2 90
解析 题图中阴影部分的面积为正方形的面积与两个扇形面积和的差,易得AC=√22+22=2√2,∴OA= = =√2,∴S =22-2× π×(√2)2=4-π,故答案为4-π.
2 2 阴影 360
17. 答案 (4,160)
240-2.4×40 240
解析 因为点D的坐标是(2.4,0),所以出发2.4小时后两车相遇,所以乙车的速度v = =60 km/h,因为E为转折点,说明这时乙到达了A地,用时 =4 h,此时甲所走的路程为40×4=160 km,∴E(4,160).
乙 2.4 60
1
18. 答案
8
7 2x+2y 7
解析 设6月份营业额为10x,则堂食营业额为3x,外卖营业额为5x,摆摊营业额为2x,设7月份比6月份增加的营业额为5y,则7月份总营业额为10x+5y.7月份摆摊营业额为2x+2y.因为摆摊的营业额将达到7月份总营业额的 ,所以 = ,
20 10x+5 y 20
15 y-25x
5 15 y-25x 3 y-5x 18x-5x 1
得y=6x,7月份外卖还需增加的营业额为(8x+3y)× -5x= ,则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是 13 = = = .
8+5 13 13(2x+ y) 13(2x+6x) 8
10x+5 y
三、解答题
19. 解析 (1)原式=x2+2xy+y2+x2-2xy
=2x2+y2.(5分)
(2)原式=(m+3 m )·(m+3)2
-
m+3 m+3 (m+3)(m-3)
3 m+3
= ·
m+3 m-3
3
= .(10分)
m-3
20. 解析 (1)a=7,b=7.5,c=50%. (3分)
七年级20名学生的测试成绩中7分出现的次数最多,则众数a=7.
7+8
八年级20名学生的测试成绩按从小到大的顺序排列后,最中间的两个数为7,8,则中位数b= =7.5.
2
10
八年级8分及以上的人数为5+2+3=10,则所占百分比为 ×100%=50%.
20
(2)八年级学生掌握垃圾分类知识较好,理由如下(写出其中一条即可):
①八年级学生成绩的中位数7.5高于七年级学生成绩的中位数7;
②八年级学生成绩的众数8高于七年级学生成绩的众数7;
③八年级8分及以上人数所占的百分比50%高于七年级8分及以上人数所占的百分比45%. (6分)
(3)七年级20名学生中,成绩在6分及以上的有18人,八年级20名学生中,成绩在6分及以上的有18人.
所以,18+18=36(人).36
所以估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数为 ×1 200=1 080.
40
答:估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数为1 080. (10分)
21. 解析 (1)∵AE⊥BD,∴∠AEO=90°,
∵∠AOE=50°,∴∠EAO=40°.
又∵AC平分∠DAE,∴∠OAD=∠EAO=40°.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.
∴∠ACB=∠OAD=40°. (5分)
(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO.
∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AEO=∠CFO=90°.
{∠AEO=∠CFO,
在△AEO和△CFO中, ∠EOA=∠FOC,
AO=CO,
∴△AEO≌△CFO.
∴AE=CF. (10分)
22. 解析 (1)补充表格如下,补全的函数图象如图所示.
x … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …
6x 15 24 12 12 24 15
y= … - - -1.8 - -3 0 3 1.8 …
x2+1 13 17 5 5 17 13
(4分)
(2)①×.②√.③√. (7分)
(3)x<-1,-0.3<x<1.8. (10分)
注:当不等式解集的端点值误差在±0.2范围内,均给相应分值.
23. 解析 (1)49不是“差一数”,74是“差一数”.
理由如下:
∵49÷5=9……4,49÷3=16……1,
∴49不是“差一数”.
∵74÷5=14……4,74÷3=24……2,
∴74是“差一数”. (4分)
(2)设“差一数”为a,由题意可知,a=5k+4且a=3t+2(k,t为自然数),
∴a+1=5k+5=5(k+1)且a+1=3t+3=3(t+1),即a+1能同时被5和3整除.∴a+1能被15整除.
设a+1=15m(m为自然数),∴a=15m-1(m为自然数).
1 11
∴300<15m-1<400.∴20 <m<26 .
15 15
∵m是自然数,∴m的值为21,22,23,24,25,26.
∴a的值为314,329,344,359,374,389.
所以,满足条件的“差一数”有6个,分别是314,329,344,359,374,389.(10分)
24. 解析 (1)设A品种去年平均亩产量为x kg,则B品种去年平均亩产量为(x+100)kg.
根据题意,得2.4×10x+2.4×10(x+100)=21 600.
解这个方程,得x=400.
x+100=400+100=500.
答:A品种去年平均亩产量为400 kg,B品种去年平均亩产量为500 kg.(5分)
(2)根据题意,可得10×400(1+a%)×2.4+10×500(1+2a%)×2.4(1+a%)=21 600×( 20 ).
1+ a%
9
设a%=m,
化简方程,得10m2-m=0.
1
解这个方程,得m= ,m=0(舍).
1 2
10
∴a=10.答:a的值是10.(10分)
25. 解析 (1)∵抛物线y=x2+bx+c经过点A(-3,-4),
点B(0,-1),
{9-3b+c=-4,
∴
c=-1.
{b=4,
解这个方程组,得
c=-1.
∴该抛物线的函数表达式为y=x2+4x-1. (3分)
(2)设直线AB的函数表达式为y=kx+m(k≠0).
将点A(-3,-4),点B(0,-1)代入函数表达式,
{-3k+m=-4,
得
m=-1.
{ k=1,
解这个方程组,得
m=-1.
∴直线AB的函数表达式为y=x-1.
如图1所示,过点P作PQ⊥x轴交AB于点Q.
设P(t,t2+4t-1)(-3<t<0),则Q(t,t-1).
∴PQ=(t-1)-(t2+4t-1)=-t2-3t.
1 1 3 9
∴S = PQ·|x -x |= (-t2-3t)×3=- t2- t.
△PAB
2
A B
2 2 2
9
-
2 3 3
∵- =- ,-3<- <0,
( 3) 2 2
2× -
2
3
∴当t=- 时,S 有最大值,
2
△PAB
( 3) ( 9) 2
4× - ×0- -
最大值为S = 2 2 =27.
△PAB
( 3) 8
4× -
2
27
∴△PAB面积的最大值为 . (6分)
8
图1
图2
(3)如图2所示,满足条件的点E的坐标为(1,-3),(-3,-4+√6),(-3,-4-√6),(-1,2). (10分)
详解:由(1)可知原抛物线解析式为y=x2+4x-1=(x+2)2-5.
∴将抛物线向右平移2个单位长度后的抛物线的解析式为y=x2-5.联立{ y=x2-5, 解得{x=-1, ∴点C(-1,-4).
y=x2+4x-1, y=-4.
∵点D是原抛物线对称轴上一点,E是平面直角坐标系内一点,∴设D(-2,m),E(s,t).
当BC为菱形的边时,将点C向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度可得点B,同样点D(或E)向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度可得点E(或D).
{-2+1=s, {s+1=-2,
∴ ①或 ②
m+3=t t+3=m.
当点D在点E下方时,则BE=BC,即s2+(t+1)2=12+32.③
联立①③可得s=-1,t=2或-4(舍去).
∴点E(-1,2).
当点D在点E上方时,则BD=BC,
即(-2)2+(m+1)2=12+32.④
联立②④得s=-3,t=-4±√6.
∴点E(-3,-4+√6)或E(-3,-4-√6).
0-1 -2+s
{ = ,
当BC是菱形的对角线时,则 2 2 ⑤
-1-4 m+t
= .
2 2
∵BD=BE,∴22+(m+1)2=s2+(t+1)2.⑥
联立⑤⑥得s=1,t=-3.∴点E(1,-3).综上,点E的坐标为(-1,2)或(-3,-4+√6)或(-3,-4-√6)或(1,-3).
四、解答题
26. 解析 (1)证明:∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAD=∠CAE.
{
AB=AC,
在△ABD和△ACE中, ∠BAD=∠CAE,
AD=AE,
∴△ABD≌△ACE,∴∠ABD=∠ACE.
∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠ABD=∠ACB=45°,
∴∠ECD=∠ACB+∠ACE=90°.
1
∵F是DE的中点,∴CF= DE.
2
∵AD=AE,∠DAE=90°,∴DE=√2AD.
√2
∴CF= AD. (3分)
2
图1
BC
(2) =3√2.理由如下:
AG
如图1所示,连接AF,DG,DG交AC于点M.
1
由(1)知,AF=CF=DF= DE.
2
∴∠FAC=∠FCA.
∵∠GAC=90°,
∴∠FAG=∠FGA.∴AF=GF.∴GF=DF=CF.
∴∠FGD=∠FDG,∠FDC=∠FCD.
∴∠FDG+∠FDC=90°.∴∠GDC=90°.
∵∠B=45°,∠ACD=45°,∴BD=GD,CD=MD,∠AMG=45°.
∵∠CAG=90°.∴MG=√2AG.
∵BD=2CD,∴BD=DG=2CD=2MG.∴BC=3MG=3√2AG.
BC
即 =3√2. (6分)
AG3+√3
(3)当AD⊥BC时,在AD上存在点P,满足条件.此时,CE的长为 m. (8分)
2
详解:如图2,将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM,连接PN,
图2
∴BP=BN,PC=NM,∠PBN=60°,
∴△BPN是等边三角形,∴BP=PN,
∴PA+PB+PC=AP+PN+MN,
∴当点A,P,N,M共线时,PA+PB+PC的值最小,如图3,连接MC,
图3
∵将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM,
∴BP=BN,BC=BM,∠PBN=60°=∠CBM,
∴△BPN是等边三角形,△CBM是等边三角形,
∴∠BPN=∠BNP=60°,BM=CM.
又∵AB=AC,∴AM垂直平分BC.
∵AD⊥BC,∠BPD=60°,∴BD=√3PD,
∵AB=AC,∠BAC=90°,∴AD=BD,
√3+1 3+√3
∴√3PD=PD+AP,∴PD= m,∴BD=√3PD= m,
2 2
3+√3
由(1)可知CE=BD= m.
2
