南京市 2013 年初中毕业生学业考试
数学试题（含答案全解全析）
(满分:120分 时间:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共 12 分)
一、选择题(本大题共6小题,每小题2分,共12分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是
符合题目要求的)
1.计算12-7×(-4)+8÷(-2)的结果是( )
A.-24 B.-20 C.6 D.36
2.计算a3·(1) 2 的结果是( )
a
A.a B.a5 C.a6 D.a9
3.设边长为3的正方形的对角线长为a.下列关于a的四种说法:①a是无理数;②a可以用数轴
上的一个点来表示;③3<a<4;④a是18的算术平方根.其中,所有正确说法的序号是( )
A.①④ B.②③ C.①②④ D.①③④
4.如图,☉O、☉O 的圆心O、O 在直线l上,☉O 的半径为2 cm,☉O 的半径为3 cm,OO
1 2 1 2 1 2 1 2
=8 cm,☉O 以1 cm/s的速度沿直线l向右运动,7 s后停止运动,在此过程中,☉O 与☉O 没有出
1 1 2
现的位置关系是( )
A.外切 B.相交 C.内切 D.内含
k
5.在同一直角坐标系中,若正比例函数y=kx的图象与反比例函数y= 2 的图象没有公共点,则
1
x
( )
A.k +k<0 B.k +k>0
1 2 1 2
C.k k<0 D.k k>0
1 2 1 2
6.如图,一个几何体上半部为正四棱锥,下半部为立方体,且有一个面涂有颜色,下列图形中,是
该几何体的表面展开图的是( )第Ⅱ卷(非选择题,共 108 分)
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
7.-3的相反数是 ;-3的倒数是 .
3 √1
8.计算 - 的结果是 .
√2 2
1
9.使式子1+ 有意义的x的取值范围是 .
x-1
10.第二届亚洲青年运动会将于2013年8月16日至24日在南京举办,在此期间约有13 000
名青少年志愿者提供服务.将13 000用科学记数法表示为 .
11.如图,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB'C'D'的位置,旋转角为α(0°<α<90°).若
∠1=110°,则α= °.
12.如图,将菱形纸片ABCD折叠,使点A恰好落在菱形的对称中心O处,折痕为EF.若菱形
ABCD的边长为2 cm,∠A=120°,则EF= cm.
13.△OAB是以正多边形相邻的两个顶点A、B与它的中心O为顶点的三角形.若△OAB的一
个内角为70°,则该正多边形的边数为 .
14.已知如图所示的图形的面积为24,根据图中的条件,可列出方程: .15.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,AC与BD相交于点P.已知A(2,3),B(1,1),D(4,3),则
点P的坐标为( , ).
16.计算( 1 1 1 1)(1 1 1 1 1)- 1-1-1-1-1-1 (1 1 1 1)的结果是
1- - - - + + + + + + +
2 3 4 5 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 2 3 4 5
.
三、解答题(本大题共11小题,共88分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(6分)化简( 1
-
b )÷ a .
a-b a2-b2 a+b
2x 1
18.(6分)解方程 =1- .
x-2 2-x
19.(8分)如图,在四边形ABCD中,AB=BC,对角线BD平分∠ABC,P是BD上一点,过点P作
PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为M、N.
(1)求证:∠ADB=∠CDB;
(2)若∠ADC=90°,求证:四边形MPND是正方形.20.(8分)
(1)一只不透明的袋子中装有颜色分别为红、黄、蓝、白的球各1个,这些球除颜色外都相同.
求下列事件的概率:
①搅匀后从中任意摸出1个球,恰好是红球;
②搅匀后从中任意摸出1个球,记录下颜色后放回袋子中并搅匀,再从中任意摸出1个球,两次
都是红球;
(2)某次考试共有6道选择题,每道题所给出的4个选项中,恰有一项是正确的.如果小明从每
道题的4个选项中随机地选择1个,那么他6道选择题全部选择正确的概率是( )
A.1 B.(1) 6 C.1-(1) 6 D.1-(3) 6
4 4 4 4
21.(9分)某校有2 000名学生.为了解全校学生的上学方式,该校数学兴趣小组在全校随机抽
取了 150 名学生进行抽样调查 .整理样本数据,得到下列图表:
某校150名学生上学方式频数分布表
方式 划记 频数
步行 正正正 15
骑车 正正正正正正正正正正 51
乘公共交通工具 正正正正正正正正正 45
乘私家车 正正正正正正 30
其他 正 9
合计 150
某校150名学生上学方式扇形统计图
(1)理解划线语句的含义,回答问题:如果150名学生全部在同一个年级抽取,这样的抽样是否
合理?请说明理由;(2)根据抽样调查的结果,将估计出的全校2 000名学生上学方式的情况绘制成条形统计图;
(3)该校数学兴趣小组结合调查获取的信息,向学校提出了一些建议.如:骑车上学的学生数约
占全校的34%,建议学校合理安排自行车停车场地.请你结合上述统计的全过程,再提出一条
合理化建议: .
22.(8分)已知不等臂跷跷板AB长4 m.如图①,当AB的一端A碰到地面时,AB与地面的夹角
为α;如图②,当AB的另一端B碰到地面时,AB与地面的夹角为β.求跷跷板AB的支撑点O
到地面的高度OH.(用含α、β的式子表示)
23.(8分)某商场促销方案规定:商场内所有商品按标价的80%出售,同时,当顾客在商场内消费
满一定金额后,按下表获得相应的返还金额.
消费金(元) 300~400 400~500 500~600 600~700 700~900 …
返还金(元) 30 60 100 130 150 …
注:300~400表示消费金额大于300元且小于或等于400元,其他类同.
根据上述促销方案,顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如,若购买标价为400元的商品,
则消费金额为320元,获得的优惠额为400×(1-80%)+30=110(元).
(1)购买一件标价为1 000元的商品,顾客获得的优惠额是多少?
(2)如果顾客购买标价不超过800元的商品,要使获得的优惠额不少于226元,那么该商品的标
价至少为多少元?
24.(8分)小丽驾车从甲地到乙地.设她出发第x min时的速度为y km/h,图中的折线表示她在
整个驾车过程中y与x之间的函数关系.(1)小丽驾车的最高速度是 km/h;
(2)当20≤x≤30时,求y与x之间的函数关系式,并求出小丽出发第22 min时的速度;
(3)如果汽车每行驶100 km耗油10 L,那么小丽驾车从甲地到乙地共耗油多少升?
25.(8分)如图,AD是☉O的切线,切点为A,AB是☉O的弦,过点B作BC∥AD,交☉O于点C,连
结AC,过点C作CD∥AB,交AD于点D.连结AO并延长交BC于点M,交过点C的直线于点
P,且∠BCP=∠ACD.
(1)判断直线PC与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)若AB=9,BC=6,求PC的长.
26.(9分)已知二次函数y=a(x-m)2-a(x-m)(a、m为常数,且a≠0).
(1)求证:不论a与m为何值,该函数的图象与x轴总有两个公共点;
(2)设该函数的图象的顶点为C,与x轴交于A、B两点,与y轴交于点D.
①当△ABC的面积等于1时,求a的值;
②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时,求m的值.
27.(10分)对于两个相似三角形,如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同,那么称这两个三
角形互为顺相似;如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反,那么称这两个三角形互为逆相似.
例如,如图①,△ABC∽△A'B'C',且沿周界ABCA与A'B'C'A'环绕的方向相同,因此△ABC与
△A'B'C'互为顺相似;如图②,△ABC∽△A'B'C',且沿周界ABCA与A'B'C'A'环绕的方向相反,因
此△ABC与△A'B'C'互为逆相似.(1)根据图Ⅰ、图Ⅱ和图Ⅲ满足的条件,可得下列三对相似三角形:①△ADE与
△ABC;②△GHO与△KFO;③△NQP与△NMQ.其中,互为顺相似的是 ;互为逆相似的
是 ;(填写所有符合要求的序号)
条件:DE∥BC 条件:GH∥KF 条件:∠NQP=∠M
(2)如图③,在锐角△ABC中,∠A<∠B<∠C,点P在△ABC的边上(不与点A、B、C重合).过点P
画直线截△ABC,使截得的一个三角形与△ABC互为逆相似.请根据点P的不同位置,探索过点
P的截线的情形,画出图形并说明截线满足的条件,不必说明理由.
图③
答案全解全析：
1.D 原式=12-(-28)+(-4)=12+28-4=36,故选D.
2.A a3·(1) 2=a3· 1 =a,故选A.
a a2
3.C 因为a是边长为3的正方形的对角线长,所以a=3√2,因此a是无理数,它可以用数轴
上的一个点来表示,且是18的算术平方根,其范围是4<a<5.综上所述,正确说法是①②④,
故选C.
4.D 依题意,可知☉O 在运动的过程当中,与☉O 的位置关系依次是外离、外切、相交和内
1 2
切,没有出现内含的位置关系,故选D.k
5.C 在同一直角坐标系中,若正比例函数y=kx的图象与反比例函数y= 2的图象没有公共
1
x
点,则k、k 异号,即kk<0,故选C.
1 2 1 2
6.B 将图形B折叠后所得几何体恰为如题图所示的几何体,故选B.
1
7.答案 3;-
3
1
解析 -3的相反数是3;-3的倒数是- .
3
8.答案 √2
3 √1 3√2 √2
解析 - = - =√2.
√2 2 2 2
9.答案 x≠1
1
解析 要使式子1+ 有意义,则x-1≠0,∴x≠1.
x-1
10.答案 1.3×104
解析 13 000=1.3×104.
11.答案 20
解析 ∵∠1=110°,∴∠BAD'=360°-110°-90°-90°=70°,
∴α=∠DAD'=90°-70°=20°.
12.答案 √3
解析 连结AO,交EF于点H,连结BD,依题意知EF所在直线垂直平分AO,AO所在直线垂直平
分 BD,∴EF∥BD,∴ 点 E 、 F 分 别 是 AB 、 AD 的 中 点 , 在 △ AEF 中 ,AE=AF=1, 又
√3
∠EAF=120°,∴∠AEH=30°,∴EH=EA·cos 30°= .∴EF=2EH=√3(cm).
2
13.答案 9解析 依题意,可知△OAB 是等腰三角形,且 OA=OB,设该正多边形的边数为 n,则当
360 360
∠AOB=70°时,n= ,没有整数解;当∠OAB=∠OBA=70°时,∠AOB=40°,∴n= =9.故应
70 40
填9.
评析 本题主要考查了正多边形的有关知识,利用分类讨论的思想是解决本题的关键,属中
等偏易题.
14.答案 本题答案不唯一,如(x+1)2=25
解析 本题答案不唯一,如(x+1)2=25,x(x+1)+x=24等.
7
15.答案 3;
3
解析 过点P作PM⊥BC于点M,并反向延长交AD于点N.依题意知,四边形ABCD是等腰梯形.
1
∵A(2,3),B(1,1),D(4,3),∴AD∥BC∥x轴,点C的坐标是(5,1),∴BM= BC=2,则点P的横坐
2
PN AD 1 2 4
标 是 3.∵AD∥BC,PM⊥BC,∴△PAD∽△PCB,PN⊥AD,∴ = = ,∴PM= MN= ,∴ 点 P
PM BC 2 3 3
的纵坐标是1+4=7,∴点P的坐标是( 7).
3,
3 3 3
评析 本题主要考查了等腰梯形的性质,三角形相似的判定以及坐标的意义等知识,本题解
题的关键是利用梯形的两底平行得到相似三角形,再利用相似三角形的性质和等腰梯形的性
质解题,属中档题.
1
16.答案
6
1 1 1 1 1 1 1 1
解析 设1- - - - =a, + + + =b,则a+b=1,
2 3 4 5 2 3 4 5∴原式=a·( 1)-( 1)·b=ab+1a-ab+1b=1(a+b)=1.
b+ a-
6 6 6 6 6 6
17.解析 ( 1 b )÷ a
-
a-b a2-b2 a+b
(a+b)-b a+b
= ·
(a+b)(a-b) a
a a+b 1
= · = .
(a+b)(a-b) a a-b
18.解析 方程两边同乘x-2,得2x=x-2+1.
解这个方程,得x=-1.
检验:x=-1时,x-2≠0,
所以x=-1是原方程的解.
19.证明 (1)∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.
又∵BA=BC,BD=BD,∴△ABD≌△CBD.∴∠ADB=∠CDB.(4分)
(2)∵PM⊥AD,PN⊥CD,∴∠PMD=∠PND=90°.
又∵∠ADC=90°,∴四边形MPND是矩形.
∵∠ADB=∠CDB,PM⊥AD,PN⊥CD.∴PM=PN.∴四边形MPND是正方形.(8分)
评析 本题主要考查了三角形全等的判定,全等三角形的性质和正方形的判定等知识,全等
三角形的对应角相等,有一组邻边相等的矩形是正方形.属中等偏易题.
20.解析 (1)①搅匀后从中任意摸出1个球,所有可能出现的结果有:红、黄、蓝、白,共
有4种,它们出现的可能性相同.所有的结果中,满足“恰好是红球”(记为事件A)的结果只
1
有1种,所以P(A)= .
4
②搅匀后从中任意摸出1个球,记录下颜色后放回袋子中并搅匀,再从中任意摸出1个球,所
有可能出现的结果有:(红,红)、(红,黄)、(红,蓝)、(红,白)、(黄,红)、(黄,黄)、(黄,蓝)、(黄,白)、(蓝,红)、(蓝,黄)、(蓝,蓝)、(蓝,白)、(白,红)、(白,黄)、(白,蓝)、
(白,白),共有16种,它们出现的可能性相同.所有的结果中,满足“两次都是红球”(记为事
1
件B)的结果只有1种,所以P(B)= .
16
(2)B.
21.解析 (1)不合理,因为如果150名学生全部在同一个年级抽取,那么全校每个学生被抽
到的机会不相等,样本不具有代表性.(2分)
(2)
(7分)
(3)本题答案不唯一,下列解法供参考.
乘私家车上学的学生约400人,建议学校与交通部门协商安排停车区域.(9分)
OH OH
22.解析 在Rt△AHO中,sin α= ,∴OA= .
OA sinα
OH OH
在Rt△BHO中,sin β= ,∴OB= .
OB sinβ
OH OH
∵AB=4,∴OA+OB=4,即 + =4,
sinα sinβ
4sinαsinβ
∴OH= (m).
sinα+sinβ
23.解析 (1)购买一件标价为1 000元的商品,消费金额为800元.
顾客获得的优惠额为1 000×(1-80%)+150=350(元).(2分)(2)设该商品的标价为x元.
当80%x≤500,即x≤625时,顾客获得的优惠额不超过625×(1-80%)+60=185<226;
当500<80%x≤600,即625<x≤750时,
由(1-80%)x+100≥226,解得x≥630.
所以630≤x≤750.
当 600<80%x≤800×80%, 即 750<x≤800 时 , 顾 客 获 得 的 优 惠 额 大 于 750×(1-80%)
+130=280>226.
综上,顾客购买标价不超过800元的商品,要使获得的优惠额不少于226元,那么该商品的标
价至少为630元.(8分)
24.解析 (1)60.(1分)
(2)当20≤x≤30时,设y与x之间的函数关系式为y=kx+b.
根据题意,当x=20时,y=60;当x=30时,y=24.
{60=20k+b, {k=-3.6,
所以 解得
24=30k+b, b=132.
所以,y与x之间的函数关系式为y=-3.6x+132.
当x=22时,y=-3.6×22+132=52.8,
所以,小丽出发第22 min时的速度为52.8 km/h.(5分)
(3)小丽驾车从甲地到乙地行驶的路程为
0+12 5 12+60 5 10 60+24 10 24+48 5 10 48+0 5
× + × +60× + × + × +48× + × =33
2 60 2 60 60 2 60 2 60 60 2 60
.5(km),
10
所以,小丽驾车从甲地到乙地共耗油33.5× =3.35(L).(8分)
100
25.解析 解法一:(1)直线PC与☉O相切.如图①,连结CO并延长,交☉O于点N,连结BN.
∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD.
∵∠BAC=∠BNC,∴∠BNC=∠ACD.∵∠BCP=∠ACD,∴∠BNC=∠BCP.
图①
∵CN是☉O的直径,∴∠CBN=90°,
∴∠BNC+∠BCN=90°,
∴∠BCP+∠BCN=90°.
∴∠PCO=90°,即PC⊥OC.
又∵点C在☉O上,∴直线PC与☉O相切.(4分)
(2)∵AD是☉O的切线,∴AD⊥OA,即∠OAD=90°.
∵BC∥AD,∴∠OMC=180°-∠OAD=90°,即OM⊥BC.
∴MC=MB,∴AB=AC.
1
在Rt△AMC中,∠AMC=90°,AC=AB=9,MC= BC=3,
2
由勾股定理,得AM= = =6 .
√AC2-MC2 √92-32 √2
设☉O的半径为r,在Rt△OMC中,∠OMC=90°,OM=AM-AO=6√2-r,MC=3,OC=r,由勾股定理,得
27
OM2+MC2=OC2,即(6√2-r)2+32=r2,解得r= √2.
8
在△OMC和△OCP中,∵∠OMC=∠OCP,∠MOC=∠COP,
27
6√2- √2
OM CM 8 3 27
∴△OMC∽△OCP,∴ = ,即 = ,∴PC= .(8分)
OC PC 27 PC 7
√2
8
解法二:(1)直线PC与☉O相切,如图②,连结OC.
∵AD是☉O的切线,∴AD⊥OA,即∠OAD=90°.
∵BC∥AD,∴∠OMC=180°-∠OAD=90°,即OM⊥BC.
∴MC=MB,∴AB=AC,∴∠MAB=∠MAC,∴∠BAC=2∠MAC,
图②
又∵∠MOC=2∠MAC,
∴∠MOC=∠BAC.
∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD.
∴∠MOC=∠ACD.
又∵∠BCP=∠ACD,
∴∠MOC=∠BCP.
∵∠MOC+∠OCM=90°,
∴∠BCP+∠OCM=90°,
∴∠PCO=90°,即PC⊥OC.
又∵点C在☉O上,∴直线PC与☉O相切.(4分)
1
(2)在Rt△AMC中,∠AMC=90°,AC=AB=9,MC= BC=3,
2
由勾股定理,得AM= = =6 .
√AC2-MC2 √92-32 √2
设☉O的半径为r,在Rt△OMC中,∠OMC=90°,OM=AM-AO=6√2-r,MC=3,OC=r,由勾股定理,得
27
OM2+MC2=OC2,即(6√2-r)2+32=r2,解得r= √2.
8
在△OMC和△OCP中,∵∠OMC=∠OCP,∠MOC=∠COP,27
6√2- √2
OM CM 8 3
∴△OMC∽△OCP,∴ = ,即 = ,
OC PC 27 PC
√2
8
27
∴PC= .(8分)
7
评析 本题主要考查了切线的性质,三角形相似的判定和相似三角形的性质及圆的有关知识.
难度中等.
26.解析 (1)证明:y=a(x-m)2-a(x-m)=ax2-(2am+a)x+am2+am.
因为当a≠0时,[-(2am+a)]2-4a(am2+am)=a2>0,
所以,方程ax2-(2am+a)x+am2+am=0有两个不相等的实数根.
所以,不论a与m为何值,该函数的图象与x轴总有两个公共点.(3分)
(2)①y=a(x-m)2-a(x-m)=a( 2m+1) 2-a,
x-
2 4
所以,点C的坐标为(2m+1 a).
,-
2 4
当y=0时,a(x-m)2-a(x-m)=0,解得x=m,x=m+1,所以AB=1,
1 2
当△ABC的面积等于1时,1×1×| a|=1,
-
2 4
所以1×1×( a)=1,或1×1×a=1,
-
2 4 2 4
所以a=-8或a=8.
②当x=0时,y=am2+am,所以点D的坐标为(0,am2+am),
当△ABC的面积与△ABD的面积相等时,1×1×| a|=1×1×|am2+am|,
-
2 4 2所以1×1×( a)=1×1×(am2+am),或1×1×a=1×1×(am2+am),
-
2 4 2 2 4 2
1 -1-√2 -1+√2
所以m=- ,或m= ,或m= .(9分)
2 2 2
评析 本题是一道二次函数综合题,主要考查了二次函数的图象和性质、抛物线内接三角形
面积的计算等知识.根据题意,列出相应等式是解决本题的关键,属中等偏难题.
27.解析 (1)①②;③.(4分)
(2)根据点P在△ABC边上的位置分为以下三种情况.
第一种情况:如图①,点P在BC(不含点B、C)上,过点P只能画出2条截线PQ 、PQ,分别使
1 2
∠CPQ=∠A,∠BPQ=∠A,此时△PQC、△PBQ 都与△ABC互为逆相似.
1 2 1 2
第二种情况:如图②,点P在AC(不含点A、C)上,过点B作∠CBM=∠A,BM交AC于点M.
当点P在AM(不含点M)上时,过点P 只能画出1条截线PQ,使∠APQ=∠ABC,此时△APQ与
1 1 1 1
△ABC互为逆相似;
当 点 P 在 CM 上 时 , 过 点 P 只 能 画 出 2 条 截 线 PQ 、 PQ, 分 别 使
2 2 1 2 2
∠APQ=∠ABC,∠CPQ=∠ABC,此时△APQ,△CPQ 都与△ABC互为逆相似.
2 1 2 2 2 1 2 2
第三种情况:如图③,点P在AB(不含点A、B)上,过点C作∠BCD=∠A,∠ACE=∠B,CD、CE分
别交AB于点D、E.
当点P在AD(不含点D)上时,过点P只能画出1条截线PQ,使∠APQ=∠ACB,此时△AQP 与
1 1 1
△ABC互为逆相似;
当 点 P 在 DE 上 时 , 过 点 P 只 能 画 出 2 条 截 线 PQ 、 PQ, 分 别 使
2 2 1 2 2
∠APQ=∠ACB,∠BPQ=∠BCA,此时△AQP,△QBP 都与△ABC互为逆相似;
2 1 2 2 1 2 2 2
当点P在BE(不含点E)上时,过点P 只能画出1条截线PQ',使∠BPQ'=∠BCA,此时△Q'BP
3 3 3 3
与△ABC互为逆相似.(10分)评析 本题是阅读理解题,即根据题中所给的定义解决相应问题.理解互为逆相似的含义,利
用分类讨论的思想和三角形相似的判定等知识即可解决问题,这是一道能使思维开放的综合
题.属难题.
