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2014 年北京市初中毕业生学业考试
数学试题（含答案全解全析）
第Ⅰ卷(选择题,共36分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的)
1.计算(-6)×(-1)的结果等于( )
A.6 B.-6 C.1 D.-1
2.cos 60°的值等于( )
1 √3 √3
A. B. C. D.√3
2 3 2
3.下列标志中,可以看作是轴对称图形的是( )
4.为让市民出行更加方便,天津市政府大力发展公共交通.2013年天津市公共交通客运量约为
1 608 000 000人次.将1 608 000 000用科学记数法表示应为( )
A.160.8×107 B.16.08×108 C.1.608×109 D.0.160 8×1010
5.
如图,从左面观察这个立体图形,能得到的平面图形是( )
6.正六边形的边心距为√3,则该正六边形的边长是( )
A.√3 B.2 C.3 D.2√3
7.如图,AB是☉O的弦,AC是☉O的切线,A为切点,BC经过圆心,若∠B=25°,则∠C的大小等于(
)
A.20° B.25° C.40° D.50°
8.如图,在▱ABCD中,点E是边AD的中点,EC交对角线BD于点F,则EF∶FC等于( )A.3∶2 B.3∶1 C.1∶1 D.1∶2
10
9.已知反比例函数y= ,当110
10.要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程
计划安排7天,每天安排4场比赛,设比赛组织者应邀请x个队参赛,则x满足的关系式为(
)
1 1
A. x(x+1)=28 B. x(x-1)=28 C.x(x+1)=28 D.x(x-1)=28
2 2
11.某公司欲招聘一名公关人员,对甲、乙、丙、丁四位候选人进行了面试和笔试,他们的成
绩如下表所示:
候选人 甲 乙 丙 丁
测试成绩 面试 86 92 90 83
(百分制) 笔试 90 83 83 92
如果公司认为,作为公关人员面试的成绩应该比笔试的成绩更重要,并分别赋予它们6和4的
权.根据四人各自的平均成绩,公司将录取( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
12.
已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,且关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0没
有实数根,有下列结论:
①b2-4ac>0;②abc<0;③m>2.
其中,正确结论的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
第Ⅱ卷(非选择题,共84分)
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
13.计算x5÷x2的结果等于 .
k
14.已知反比例函数y= (k为常数,k≠0)的图象位于第一、第三象限,写出一个符合条件的k
x
的值为 .
15.如图,是一副普通扑克牌中的13张黑桃牌.将它们洗匀后正面向下放在桌子上,从中任意抽
取一张,则抽出的牌点数小于9的概率为 .16.抛物线y=x2-2x+3的顶点坐标是 .
17.如图,在Rt△ABC中,D,E为斜边AB上的两个点,且BD=BC,AE=AC,则∠DCE的大小为
(度).
18.如图,将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,点B,点C均落在格点上.
(Ⅰ)计算AC2+BC2的值等于 ;
(Ⅱ)请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,画出一个以AB为一边的矩形,使该矩形的面积
等 于 AC2+BC2, 并 简 要 说 明 画 图 方 法 ( 不 要 求 证 明 )
.
三、解答题(本大题共7小题,共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
19.(本小题8分)
{2x+1≥-1, ①
解不等式组
2x+1≤3.②
请结合题意填空,完成本题的解答.
(Ⅰ)解不等式①,得 ;
(Ⅱ)解不等式②,得 ;
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来:
(Ⅳ)原不等式组的解集为 .
20.(本小题8分)
为了推动阳光体育运动的广泛开展,引导学生走向操场、走进大自然、走到阳光下,积极参加
体育锻炼,学校准备购买一批运动鞋供学生借用.现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号,绘
制出如下的统计图①和图②,请根据相关信息,解答下列问题:
(Ⅰ)本次接受随机抽样调查的学生人数为 ,图①中m的值为 ;
(Ⅱ)求本次调查获取的样本数据的众数和中位数;
(Ⅲ)根据样本数据,若学校计划购买200双运动鞋,建议购买35号运动鞋多少双?21.(本小题10分)
已知☉O的直径为10,点A,点B,点C在☉O上,∠CAB的平分线交☉O于点D.
(Ⅰ)如图①,若BC为☉O的直径,AB=6,求AC,BD,CD的长;
(Ⅱ)如图②,若∠CAB=60°,求BD的长.
22.(本小题10分)
解放桥是天津市的标志性建筑之一,是一座全钢结构的部分可开启的桥梁.
(Ⅰ)如图①,已知解放桥可开启部分的桥面的跨度AB等于47 m,从AB的中点C处开启,则
AC开启至A'C'的位置时,A'C'的长为 m;
(Ⅱ)如图②,某校数学兴趣小组要测量解放桥的全长PQ,在观景平台M处测得∠PMQ=54°,沿
河岸MQ前行,在观景平台N处测得∠PNQ=73°.已知PQ⊥MQ,MN=40 m,求解放桥的全长
PQ(tan 54°≈1.4,tan 73°≈3.3,结果保留整数).23.(本小题10分)
“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg.如果一次购买2 kg以上的种子,超过2 kg部分的种
子的价格打8折.
(Ⅰ)根据题意,填写下表:
购买种子数量/kg 1.5 2 3.5 4 …
付款金额/元 7.5 16 …
(Ⅱ)设购买种子数量为x kg,付款金额为y元,求y关于x的函数解析式;
(Ⅲ)若小张一次购买该种子花费了30元,求他购买种子的数量.
24.(本小题10分)
在平面直角坐标系中,O为原点,点A(-2,0),点B(0,2),点E,点F分别为OA,OB的中点.若正方
形OEDF绕点O顺时针旋转,得正方形OE'D'F',记旋转角为α.
(Ⅰ)如图①,当α=90°时,求AE',BF'的长;
(Ⅱ)如图②,当α=135°时,求证AE'=BF',且AE'⊥BF';
(Ⅲ)若直线AE'与直线BF'相交于点P,求点P的纵坐标的最大值(直接写出结果即可).25.(本小题10分)
在平面直角坐标系中,O为原点,直线l:x=1,点A(2,0),点E、点F、点M都在直线l上,且点E
和点F关于点M对称,直线EA与直线OF交于点P.
(Ⅰ)若点M的坐标为(1,-1).
①当点F的坐标为(1,1)时,如图,求点P的坐标;
②当点F为直线l上的动点时,记点P(x,y),求y关于x的函数解析式.
(Ⅱ)若点M(1,m),点F(1,t),其中t≠0.过点P作PQ⊥l于点Q,当OQ=PQ时,试用含t的式子表示
m.
答案全解全析：
一、选择题1.A 根据有理数乘法法则,先确定符号为“+”,再把绝对值相乘,得(-1)×(-6)=6,故选A.
1
2.A 本题考查特殊角的三角函数值,60°角的余弦值是 ,故选A.
2
3.D A、B、C三个选项中的图形是中心对称图形,D选项中的图形是轴对称图形,故选D.
评析 本题考查轴对称图形与中心对称图形的区别,属基础题.
4.C 根据科学记数法的表示方法,知1 608 000 000=1.608×109,故选C.
5.A 本题考查立体图形的三视图,选项A是左视图,选项B是主视图,选项D是俯视图,故选
A.
OG
6.B 由题意可知,△OAB是等边三角形,OG⊥AB于G,在Rt△OAG中,sin∠OAG= ,所以
OA
OG √3
OA= = =2,所以AB=OA=2,故选B.
sin∠OAG sin60°
7.C 连结 OA,☉O 中,OA=OB,所以∠B=∠BAO=25°,因为∠AOC 是△OAB 的外角,所以
∠AOC=∠B+∠BAO=50°,又因为 AC 是☉O 的切线,所以 OA⊥AC,在 Rt△OAC 中,∠C=90°-
∠AOC=40°,故选C.
1 1
8.D 平行四边形ABCD中,AD∥BC且AD=BC,因为E为AD的中点,所以DE= AD= BC,
2 2
因为AD∥BC,所以△DEF∽△BCF,所以EF∶FC=DE∶BC=1∶2,故选D.
10
9.C 当 10,结论①成立;因为抛物线开口向下,所以
a<0,对称轴在y轴右侧,则a与b符号相反,所以b>0,因为抛物线与y轴的交点在y轴正半轴
上,所以c>0,所以abc<0,结论②成立;ax2+bx+c-m=0可化为ax2+bx+c=m,设直线y=m,该方程无
实数根,即直线y=m与抛物线y=ax2+bx+c无交点,由题图可知,m>2,结论③也成立.故选D.
二、填空题
13.答案 x3
解析 根据同底数幂的除法法则,底数不变,指数相减,可得x5÷x2=x5-2=x3.
14.答案 1(答案不唯一,满足k>0即可)k
解析 若反比例函数y= (k≠0)的图象位于第一、第三象限,则k>0,所以只要填一个大于0的
x
数即可.
8
15.答案
13
解析 在这13张牌中,只有A、2、3、4、5、6、7、8这8张的牌点数小于9,每张牌被抽到
8
的可能性相同,故抽出的牌点数小于9的概率为 .
13
16.答案 (1,2)
解析 解法一:可把抛物线解析式配方成顶点式为y=(x-1)2+2,由顶点式可知,顶点坐标为(1,2).
解法二:可根据抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标公式( b 4ac-b2 ),直接求出顶点坐标为
- ,
2a 4a
(1,2).
17.答案 45
解 析 因 为 BD=BC, 所 以 ∠ BCD=∠BDC, 因 为 AE=AC, 所 以 ∠ ACE=∠AEC. 设
∠BCD=∠BDC=α,∠ACE=∠AEC=β,∠DCE=γ,根据△CDE内角和为180°及∠ACB=90°,可列出
{α+β+γ=180°, ①
方程组 由①-②得2γ=90°,所以γ=45°,即∠DCE=45°.
α+β-γ=90°,②
18.答案 (Ⅰ)11
(Ⅱ)分别以AC,BC,AB为一边作正方形ACED,正方形BCNM,正方形ABHF;延长DE交NM
于点Q,连结QC;平移QC至AG,BP位置;直线GP分别交AF,BH于点T,S.则四边形ABST即
为所求
解析 (Ⅰ)由题图可知,AC=√2,BC=3,所以AC2+BC2=(√2)2+32=2+9=11.
(Ⅱ)BCNM的面积=BCQJ的面积=BCKP的面积,
ACED的面积=ACKG的面积,
所以BCNM的面积+ ACED的面积
= BCKP的面积+ ACKG的面积
=AGKPB的面积+△ABC的面积
=AGKPB的面积+△KGP的面积
=AGPB的面积
=ABST的面积.评析 本题考查面积的割补及面积的转化,图中的四边形面积可根据同底等高的原则进行转
化.
三、解答题
19.解析 (Ⅰ)x≥-1.
(Ⅱ)x≤1.
(Ⅲ)
(Ⅳ)-1≤x≤1.
20.解析 (Ⅰ)40;15.
(Ⅱ)∵在这组样本数据中,35出现了12次,出现的次数最多,∴这组样本数据的众数为35.
36+36
∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列,其中处于中间的两个数都是36,有 =36,
2
∴这组样本数据的中位数为36.
(Ⅲ)∵在40名学生中,鞋号为35的学生人数比例为30%,
∴由样本数据,估计学校各年级学生中鞋号为35的人数比例约为30%,
于是,计划购买200双运动鞋时,200×30%=60(双).
∴建议购买35号运动鞋60双.
21.解析 (Ⅰ)由已知,BC为☉O的直径,得∠CAB=∠BDC=90°.
在Rt△CAB中,BC=10,AB=6,
∴AC= = =8.
√BC2-AB2 √102-62
∵AD平分∠CAB,∴ ⏜ = ⏜ .∴CD=BD.
CD BD
在Rt△BDC中,BC=10,CD2+BD2=BC2,
∴BD2=CD2=50.∴BD=CD=5√2.
(Ⅱ)如图,连结OB,OD.
∵AD平分∠CAB,且∠CAB=60°,
1
∴∠DAB= ∠CAB=30°.
2
∴∠DOB=2∠DAB=60°.
又∵在☉O中,OB=OD,
∴△OBD是等边三角形.
∵☉O的直径为10,∴OB=5,∴BD=5.22.解析 (Ⅰ)23.5.
(Ⅱ)如图,根据题意知,∠PMQ=54°,∠PNQ=73°,∠PQM=90°,MN=40.
PQ
∵在Rt△MPQ中,tan∠PMQ= ,
MQ
∴PQ=MQ·tan 54°.
PQ
∵在Rt△NPQ中,tan∠PNQ= ,
NQ
∴PQ=NQ·tan 73°,
∴MQ·tan 54°=NQ·tan 73°.
又MQ=MN+NQ,
∴(40+NQ)tan 54°=NQ·tan 73°,
40tan54°
即NQ= .
tan73°-tan54°
40tan54°·tan73° 40×1.4×3.3
∴PQ=NQ·tan 73°= ≈ ≈97(m).
tan73°-tan54° 3.3-1.4
答:解放桥的全长PQ约为97 m.
评析 本题是一个典型的用基础图形测量实际物体长度的问题,综合运用了三角函数、方程
的思想,对学生有较高的能力要求.
23.解析 (Ⅰ)10;18.
(Ⅱ)根据题意,当0≤x≤2时,种子的价格为5元/kg,
∴y=5x;
当x>2时,其中有2 kg的种子按5元/kg付款,
其余的(x-2)kg种子按4元/kg(即8折)付款,
∴y=5×2+4(x-2)=4x+2.
{5x, 0≤x≤2,
∴y关于x的函数解析式为y=
4x+2,x>2.
(Ⅲ)∵30>10,
∴一次购买种子的数量超过2 kg.
∴30=4x+2,解得x=7.
答:小张购买了7 kg种子.
24.
解析 (Ⅰ)当α=90°时,如图,点E'与点F重合.
∵点A(-2,0),点B(0,2),
∴OA=OB=2.
∵点E,点F分别为OA,OB的中点,
∴OE=OF=1.∵正方形OE'D'F'是由正方形OEDF旋转后得到的,
∴OE'=OE=1,OF'=OF=1.
在Rt△AE'O中,
AE'= = = .
√OA2+OE'2 √22+12 √5
在Rt△BOF'中,
BF'= = = .
√OB2+OF'2 √22+12 √5
(Ⅱ)证明:当α=135°时,如图,
∵正方形OE'D'F'是由正方形OEDF旋转后得到的,
∴∠AOE'=∠BOF'.
又OE'=OF',OA=OB,
∴△AOE'≌△BOF'.
∴AE'=BF',且∠1=∠2.
由AE'与OB相交,可得∠3=∠4,
∴∠1+∠3=∠2+∠4.
记AE'与BF'相交于点G,
∴∠AGB=180°-(∠2+∠4).
又∠AOB=180°-(∠1+∠3),
∴∠AGB=∠AOB=90°,即AE'⊥BF'.
1+√3
(Ⅲ) .
2
25.解析 (Ⅰ)①∵点O(0,0),点F(1,1),
∴直线OF的解析式为y=x.
设直线EA的解析式为y=kx+b,
由点E和点F关于点M(1,-1)对称,得点E(1,-3).
又点A(2,0),点E在直线EA上,
{0=2k+b, { k=3,
∴ 解得
-3=k+b, b=-6.
∴直线EA的解析式为y=3x-6.
∵点P是直线OF与直线EA的交点,
{ y=x, {x=3,
∴由 解得
y=3x-6 y=3.
∴点P的坐标为(3,3).
②由已知,设点F(1,t),
∴直线OF的解析式为y=tx.
设直线EA的解析式为y=kx+b,
由点E和点F关于点M(1,-1)对称,得点E(1,-2-t).
又点A,点E在直线EA上,
{0=2k+b, { k=2+t,
∴由 解得
-2-t=k+b b=-2(2+t).
∴直线EA的解析式为y=(2+t)x-2(2+t).∵点P为直线OF与直线EA的交点,
∴tx=(2+t)x-2(2+t),化简,得t=x-2.
∴y=tx=(x-2)x=x2-2x.
∴y关于x的函数解析式为y=x2-2x.
(Ⅱ)根据题意,同(Ⅰ)可得
直线OF的解析式为y=tx,
直线EA的解析式为y=(t-2m)x-2(t-2m).
∵点P为直线OF与直线EA的交点,
∴tx=(t-2m)x-2(t-2m),m≠0.
t t2
化简,得x=2- .有y=tx=2t- .
m m
∴点P的坐标为( t t2 ).
2- ,2t-
m m
∵PQ⊥l于点Q,得点Q(
t2
),
1,2t-
m
∴OQ2=1+t2( t ) 2,PQ2=( t ) 2.
2- 1-
m m
∵OQ=PQ,
∴1+t2( t ) 2=( t ) 2.
2- 1-
m m
化简,得t(t-2m)(t2-2mt-1)=0.
又t≠0,∴t-2m=0或t2-2mt-1=0.
t t2-1
∴m= 或m= .
2 2t
