8
2019年福建省初中学生毕业和
高中阶段学校招生考试
(满分:150分 考试时间:120分钟)
第Ⅰ卷
一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.
1.计算22+(-1)0的结果是( )
A.5 B.4 C.3 D.2
2.北京故宫的占地面积约为720 000 m2,将720 000用科学记数法表示为( )
A.72×104 B.7.2×105
C.7.2×106 D.0.72×106
3.下列图形中,一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A.等边三角形 B.直角三角形
C.平行四边形 D.正方形
4.下图是由一个长方体和一个球组成的几何体,它的主视图是( )
5.已知正多边形的一个外角是36°,则该正多边形的边数为( )
A.12 B.10 C.8 D.6
6.如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图,则下列判断错误的是( )
A.甲的数学成绩高于班级平均分,且成绩比较稳定
B.乙的数学成绩在班级平均分附近波动,且比丙好
C.丙的数学成绩低于班级平均分,但成绩逐次提高
D.就甲、乙、丙三个人而言,乙的数学成绩最不稳定
7.下列运算正确的是( )
A.a·a3=a3 B.(2a)3=6a3
C.a6÷a3=a2 D.(a2)3-(-a3)2=0
8.《增删算法统宗》记载:“有个学生资性好,一部孟子三日了,每日增添一倍多,问君每日读多少?”其大意是:有个学生天资聪慧,三天读完一部《孟子》,每天阅读的字数是前一天的两倍,问他每天各读多少个字?已知《孟子》一书共有34 685个字,设他第
一天读x个字,则下面所列方程正确的是( )
A.x+2x+4x=34 685 B.x+2x+3x=34 685
1 1
C.x+2x+2x=34 685 D.x+ x+ x=34 685
2 49.如图,PA,PB是☉O的两条切线,A,B为切点,点C在☉O上,且∠ACB=55°,则∠APB等于( )
A.55° B.70° C.110° D.125°
10.若二次函数y=|a|x2-bx+c的图象过不同的五点A(m,n),B(0,y ),C(3-m,n),D( ,y),E(2,y ),则y,y,y 的大小关系是( )
1 √2 2 3 1 2 3
A.y <y<y B.y <y<y C.y <y<y D.y <y<y
1 2 3 1 3 2 3 2 1 2 3 1
第Ⅱ卷
二、填空题:本题共6小题,每小题4分,共24分.
11.因式分解:x2-9= .
12.如图,数轴上A,B两点所表示的数分别是-4和2,C是线段AB的中点,则点C表示的数是 .
13.某校征集校运会会徽图案,遴选出甲、乙、丙三种图案.为了解何种图案更受欢迎,随机调查了该校100位学生,其中有60位学生喜欢甲图案.若该校共有学生2 000人,根据所学的统计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有 人.
14.在平面直角坐标系xOy中,▱OABC的三个顶点分别为O(0,0),A(3,0),B(4,2),则其第四个顶点C的坐标是 .
15.如图,边长为2的正方形ABCD的中心与半径为2的☉O的圆心重合,E,F分别是AD,BA的延长线与☉O的交点,则图中阴影部分的面积为 .(结果保留π)
3 k
16.如图,菱形ABCD的顶点A在函数y= (x>0)的图象上,函数y= (k>3,x>0)的图象关于直线AC对称,且过B,D两点.若AB=2,∠BAD=30°,则k= .
x x
三、解答题:本题共9小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分8分)
{ x- y=5,
解方程组:
2x+ y=4.
18.(本小题满分8分)
如图,点E,F分别在矩形ABCD的边AB,CD上,且DF=BE.求证:AF=CE.19.(本小题满分8分)
先化简,再求值:(x-1)÷( 2x-1),其中x= +1.
x- √2
x
20.(本小题满分8分)
已知ABC和点A',如图.
(1)以点A'为一个顶点作△A'B'C',使得△A'B'C'∽△ABC,且△A'B'C'的面积等于△ABC面积的4倍;(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)设D,E,F分别是△ABC三边AB,BC,CA的中点,D',E',F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B',B'C',C'A'的中点,求证:△DEF∽△D'E'F'.21.(本小题满分8分)
在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°.将△ABC绕点C顺时针旋转一个角度α得到△DEC,点A,B的对应点分别为D,E.
(1)若点E恰好落在边AC上,如图1,求∠ADE的大小;
(2)若α=60°,F为AC的中点,如图2,求证:四边形BEDF是平行四边形.
22.(本小题满分10分)
某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,投资组建了日废水处理量为m吨的废水处理车间,对该厂工业废水进行无害化处理.但随着工厂生产规模的扩大,该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务,需要将超出日废水处理量的废
水交给第三方企业处理.已知该车间处理废水,每天需固定成本30元,并且每处理一吨废水还需其他费用8元;将废水交给第三方企业处理,每吨需支付12元.根据记录,5月21日,该厂产生工业废水35吨,共花费废水处理费370元.
(1)求该车间的日废水处理量m;
(2)为实现可持续发展,走绿色发展之路,工厂合理控制了生产规模,使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨,试计算该厂一天产生的工业废水量的范围.
23.(本小题满分10分)
某种机器使用期为三年,买方在购进机器时,可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务,每次维修服务费为2 000元.每台机器在使用期间,如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数,每次实际维修还需向维修人员支付工时费500元;如
果维修次数超过购机时购买的维修服务次数,超出部分每次维修需支付维修服务费5 000元,但无需支付工时费.某公司计划购买1台该种机器,为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务,搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的
维修次数,整理得下表:
维修次数 8 9 10 11 12
频数(台数) 10 20 30 30 10
(1)以这100台机器为样本,估计“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率;
(2)试以这100台机器维修费用的平均数为决策依据,说明购买1台该机器的同时应一次性额外购买10次还是11次维修服务?24.(本小题满分12分)
如图,四边形ABCD内接于☉O,AB=AC,AC⊥BD,垂足为E,点F在BD的延长线上,且DF=DC,连接AF,CF.
(1)求证:∠BAC=2∠CAD;
(2)若AF=10,BC=4√5,求tan∠BAD的值.
25.(本小题满分14分)
已知抛物线y=ax2+bx+c(b<0)与x轴只有一个公共点.
(1)若抛物线与x轴的公共点坐标为(2,0),求a,c满足的关系式;
(2)设A为抛物线上的一个定点,直线l:y=kx+1-k与抛物线交于点B,C,直线BD垂直于直线y=-1,垂足为D.当k=0时,直线l与抛物线的一个交点在y轴上,且△ABC是等腰直角三角形.
①求点A的坐标和抛物线的解析式;
②证明:对于每个给定的实数k,都有A,C,D三点共线.
82019年福建省初中学生毕业和高中阶段学校招生考试
一、选择题
1.A 22+(-1)0=4+1=5.
2.B 720 000用科学记数法可表示为7.2×105.故选B.
3.D A中的图形是轴对称图形,但不是中心对称图形;B中的图形不一定是轴对称图形,不是中心对称图形;C中的图形是中心对称图形,但不一定是轴对称图形,故选D.
4.C 根据几何体的特征以及位置关系可知,选项C中的图形是其主视图,故选C.360°
5.B 设该正多边形的边数为n,则n= =10,故选B.
36°
6.D 由题图可知A,B,C三个选项均正确,D选项,对于甲、乙、丙三人而言,应是丙的数学成绩最不稳定.
7.D A.a·a3=a4;
B.(2a)3=8a3;
C.a6÷a3=a3;
D.(a2)3-(-a3)2=a6-a6=0.故选D.
8.A 由题意知第二天读2x个字,第三天读4x个字,
则x+2x+4x=34 685.故选A.
9.B 连接OA,OB.
∵PA,PB是☉O的两条切线,
∴OA⊥AP,OB⊥PB.
∴∠OAP=∠OBP=90°.
∵∠AOB=2∠ACB=2×55°=110°,
∴∠APB=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB
=360°-90°-90°-110°=70°.故选B.
10.D ∵|a|>0,∴抛物线的开口向上.
∵抛物线过A(m,n)和C(3-m,n),
3
∴抛物线的对称轴为直线x= .
2
作出二次函数的大致图象,如图.
由图可知y<y<y.故选D.
2 3 1
二、填空题
11. 答案 (x+3)(x-3)
解析 x2-9=(x+3)(x-3).
12. 答案 -1
解析 ∵点A,B表示的数分别为-4,2,
∴AB=|2-(-4)|=6.
∵C是线段AB的中点,∴AC=BC=3.
∴C点表示的数为-4+3=-1.
13. 答案 1 200
60
解析 2 000× =1 200(人).故估计该校喜欢甲图案的学生有1 200人.
100
14. 答案 (1,2)
解析 ∵O(0,0),A(3,0),∴OA=3.
∵四边形OABC是平行四边形,∴BCOA.
∵B(4,2),∴C(1,2).
15. 答案 π-1
1 1
解析 S = (S -S )= ×(π·22-22)=π-1.
阴影 4 ☉O 正方形ABCD 416. 答案 6+2√3
解析 连接AC,过B作BF⊥x轴于F,过A作AM⊥BF于M.如图.
由双曲线的对称性可知,点A,C是第一象限角平分线上的点,即x =y ,∴ =3,即x = ,∴A( , ).
A A x2 A √3 √3 √3
A
根据题意可得∠CAM=45°,
1 1
∵∠BAC= ∠BAD= ×30°=15°,
2 2
1 1
∴∠BAM=30°,∴BM= AB= ×2=1.
2 2
∴AM= = = .
√AB2-BM2 √22-1 √3
∴B(2√3,1+√3).
∴k=2√3×(1+√3)=6+2√3.
三、解答题
17. 解析 本小题考查二元一次方程组的解法等基础知识,考查运算能力,考查化归与转化思想,满分8分.
{ x- y=5,①
2x+ y=4,②
①+②,得(x-y)+(2x+y)=5+4,
即3x=9,解得x=3,将x=3代入②,
得2×3+y=4,解得y=-2.
{ x=3,
所以原方程组的解为
y=-2.
说明:本参考答案仅给出一种解法供参考.
18. 证明 本小题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质等基础知识.考查推理能力,满分8分.
∵四边形ABCD是矩形,∴∠D=∠B=90°,AD=CB.
{
AD=CB,
在△ADF和△CBE中, ∠D=∠B,
DF=BE,
∴△ADF≌△CBE,∴AF=CE.
说明:本参考答案仅给出一种解法供参考.
19. 解析 本小题考查分式的混合运算、因式分解、二次根式的运算等基础知识,考查运算能力,满分8分.
x2-(2x-1)
原式=(x-1)÷
x
x2-2x+1
=(x-1)÷
x
(x-1)2
=(x-1)÷
x
x x
=(x-1)· = .
(x-1)2 x-1
√2+1 √2+1 √2
当x=√2+1时,原式= = =1+ .
(√2+1)-1 √2 2
说明:本参考答案仅给出一种解法供参考.
20. 解析 本小题考查尺规作图、相似三角形的性质与判定、三角形中位线定理等基础知识,考查推理能力,满分8分.
(1)△A'B'C'为所求作的三角形.
(2)证明:∵D,E,F分别是△ABC三边AB,BC,CA的中点,
1 1 1
∴DE= AC,EF= AB,FD= BC.
2 2 2
1 1 1
同理,D'E'= A'C',E'F'= A'B',F'D'= B'C'.
2 2 2
∵△ABC∽△A'B'C',
AC AB BC
∴ = = ,
A'C' A'B' B'C'
1 1 1
AC AB BC
2 2 2
∴ = = ,
1 1 1
A'C' A'B' B'C'
2 2 2
DE EF FD
即 = = ,
D'E' E'F' F'D'
∴△DEF∽△D'E'F'.
说明:本参考答案仅给出一种解法供参考.
21. 解析 本小题考查图形的旋转、直角三角形、等腰三角形、等边三角形、三角形内角和、平行四边形的判定等基础知识,考查运算能力、推理能力,满分8分.
(1)在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,∴∠BAC=60°.
由旋转性质得,DC=AC,∠DCE=∠ACB=30°.
1
∴∠DAC=∠ADC= (180°-∠DCE)=75°,
2
又∠EDC=∠BAC=60°,
∴∠ADE=∠ADC-∠EDC=15°.
(2)证明:在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,
1
∴AB= AC.
2
1
∵F是AC的中点,∴BF=FC= AC,
2
∴∠FBC=∠ACB=30°,AB=BF.
由旋转性质得AB=DE,∠DEC=∠ABC=90°,∠BCE=∠ACD=60°,
∴DE=BF.
延长BF交EC于点G,则∠BGE=∠GBC+∠GCB=90°,
∴∠BGE=∠DEC,∴DE∥BF,
∴四边形BEDF是平行四边形.
22. 解析 本小题考查一元一次方程、一元一次不等式、平均数的概念等基础知识,考查运算能力、推理能力、应用意识,考查函数与方程思想、分类与整合思想,满分10分.
(1)因为工厂产生工业废水35吨,共花费废水处理费370元,370-30 68
又 = >8,所以m<35,
35 7
依题意得,30+8m+12(35-m)=370,解得m=20.
故该车间的日废水处理量为20吨.
(2)设该厂一天产生的工业废水量为x吨.
①当0<x≤20时,依题意得,8x+30≤10x,
解得x≥15,所以15≤x≤20.
②当x>20时,依题意得,12(x-20)+20×8+30≤10x,
解得x≤25,所以20<x≤25.
综上所述,15≤x≤25.
故该厂一天产生的工业废水量的范围在15吨到25吨之间.
说明:本参考答案仅给出一种解答供参考.
23. 解析 本小题考查概率、加权平均数、统计表等基础知识,考查运算能力、推理能力、数据分析能力、应用意识,满分10分.
(1)因为“100台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的台数为10+20+30=60,
60
所以“100台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的频率为 =0.6.
100
故可估计“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率为0.6.
(2)若每台都购买10次维修服务,则有下表:
某台机器
使用
8 9 10 11 12
期内维修
次数
该台机器
24 24 25 30 35
的维
000 500 000 000 000
修费用
此时这100台机器维修费用的平均数
24 000×10+24 500×20+25 000×30+30 000×30+35 000×10
y=
1
100
=27 300.
若每台都购买11次维修服务,则有下表:
某台机器使用
8 9 10 11 12
期内维修次数
该台机器的维
26 000 26 500 27 000 27 500 32 500
修费用
此时这100台机器维修费用的平均数
26 000×10+26 500×20+27 000×30+27 500×30+32 500×10
y=
2
100
=27 500.
因为y<y,所以购买1台该机器的同时应一次性额外购买10次维修服务.
1 2
说明:本参考答案仅给出一种解答供参考.
24. 解析 本小题考查圆的有关性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、三角形的面积等基础知识,考查运算能力、推理能力,考查函数与方程思想,满分12分.
(1)证明:∵AC⊥BD,∴∠AED=90°,
在Rt△AED中,∠ADE=90°-∠CAD.
∵AB=AC,∴ = ,
AB AC
⏜ ⏜
∴∠ACB=∠ABC=∠ADE=90°-∠CAD.
在△ABC中,∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠BAC=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-2(90°-∠CAD),
即∠BAC=2∠CAD.
(2)∵DF=DC,∴∠FCD=∠CFD.
∵∠BDC=∠FCD+∠CFD,∴∠BDC=2∠CFD.
∵∠BDC=∠BAC,且由(1)知∠BAC=2∠CAD,
∴∠CFD=∠CAD,
∵∠CAD=∠CBD,∴∠CFD=∠CBD,∴CF=CB.
∵AC⊥BF,∴BE=EF,故CA垂直平分BF,
∴AC=AB=AF=10.
设AE=x,则CE=10-x.
在Rt△ABE和Rt△BCE中,AB2-AE2=BE2=BC2-CE2,
又∵BC=4√5,∴102-x2=(4√5)2-(10-x)2,解得x=6.
∴AE=6,CE=4,∴BE= =8.
√AB2-AE2
∵∠DAE=∠CBE,∠ADE=∠BCE,AE DE AD
∴△ADE∽△BCE,∴ = = ,
BE CE BC
∴DE=3,AD=3√5.
过点D作DH⊥AB,垂足为H.
1 1
∵S = AB·DH= BD·AE,BD=BE+DE=11,
△ABD
2 2
33
∴10DH=11×6,故DH= .
5
6
在Rt△ADH中,AH=√AD2-DH2= ,
5
DH 11
∴tan∠BAD= = .
AH 2
说明:本参考答案仅给出一种解法供参考.
25. 解析 本小题考查一次函数和二次函数的图象与性质、等腰直角三角形的性质等基础知识,考查运算能力、推理能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想,满分14分.
b
(1)依题意, Δ=b2-4ac=0,- =2,
2a
所以(-4a)2-4ac=0,
因为a≠0,所以c=4a,即a,c满足的关系式为c=4a.
(2)①当k=0时,直线l为y=1,它与y轴的交点为(0,1).
因为直线y=1与x轴平行,所以等腰直角△ABC的直角顶点只能是A,且A是抛物线的顶点.
过A作AM⊥BC,垂足为M,则AM=1,
所以BM=MC=AM=1,故点A的坐标为(1,0).
所以抛物线的解析式可改写为y=a(x-1)2.
因为抛物线过点(0,1),所以1=a(0-1)2,解得a=1.
所以抛物线的解析式为y=(x-1)2,即y=x2-2x+1.
②证明:设B(x ,y),C(x ,y),则D(x ,-1).
1 1 2 2 1
由{y=kx+1-k, 得x2-(k+2)x+k=0.
y=x2-2x+1
Δ=(k+2)2-4k=k2+4>0,
由抛物线的对称性,不妨设x<x,则x=k+2-√k2+4,x=k+2+√k2+4,所以x<1<x.
1 2 1 2 1 2
2 2
设直线AD的解析式为y=mx+n,
1
{m=- ,
{ 0=m+n, x -1
则有 解得 1
-1=mx +n, 1
1 n= ,
x -1
1
1 1
所以直线AD的解析式为y=- x+ .
x -1 x -1
1 1因为y 2 -( - 1 x + 1 )=(x 2 -1)2+ x 2 -1
x -1 2 x -1 x -1
1 1 1
=
(x -1)[(x -1)(x -1)+1]
2 1 2
x -1
1
(k-√k2+4 k+√k2+4 )
(x -1) · +1
= =0,
2 2 2
x -1
1
1 1
即y=- x+ ,所以点C(x ,y)在直线AD上.
2 x -1 2 x -1 2 2
1 1
故对于每个给定的实数k,都有A,C,D三点共线.
说明:本参考答案仅给出一种解法供参考.
